2023-2024學年天津市和平區(qū)高二年級上冊期末數(shù)學模擬試題(含解析)

2023-2024學年天津市和平區(qū)高二上冊期末數(shù)學模擬試題

一、單選題

1.直線X—向+2=0的傾斜角為()

兀一兀一2九一5兀

A.-B.-C.■—D.——

6336

【正確答案】A

【分析】由斜率為傾斜角的正切值及傾斜角的范圍求得傾斜角.

【詳解】設傾斜角為%直線x-島+2=0的斜率為手.

tana=—?0<a<n,a=>,

36

故選：A.

2.已知等比數(shù)列｛4｝中4=32,%=2,則%=()

A.8B.±8C.16D.±16

【正確答案】B

【分析】利用等比中項的性質(zhì)即可求解.

【詳解】因為等比數(shù)列｛4｝中雙=32,紇=2,

由等比中項的性質(zhì)可得：。；=%.4=64,所以4=±8,

故選.B

3./8C三個頂點的坐標分別是/(-1,一5),8(2,4),C(5,-5),貝/8C外接圓的方程是

()

A.X2+/-4X-2^-20=0B.x2+y2+4x-2y-20=0

C.x2+y2-4x+2y-20=0D.x2+/+4x+2j^-20=0

【正確答案】C

【分析】利用圓的一般方程列出方程組求解即可.

【詳解】設所求圓方程為/+/+6+/+尸=0,

因為/(一1,—5),8(2,4),“5,-5)三點都在圓上，

’26-。一5￡+/=0fZ)=-4

所以《20+2Q+4E+/=0,解得＜E=2

50+5D-5E+F=0F=-20

即所求圓方程為./+V一4工+2?-20=0

故選：C.

4.南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中描述過如圖所示的“三角垛”，最上層有

1個球，第二層有3個球，第三層有6個球……設各層的球數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列{?！皚,即4=1,

%=3,%=6,....且滿足a“=qi+〃（〃22）,則第六層球的個數(shù)&為（）

A.28B.21C.15D.10

【正確答案】B

【分析】利用遞推公式進行累加法求解.

【詳解】由題意得勺=2,a3-a2=3,a4-a,=4,a5-a4=5,a6-a5=6,

以上式子累加可得4i=2+3+4+5+6=20,

因為4=1，所以。6=21,

故選:B.

5.已知直線3x+4y-5=0與圓/+/=4交于加，N兩點，則線段MN的長度為（）

A.GB.2C.26D.2A/5

【正確答案】C

【分析】先求出圓心到直線"N:3x+4y-5=0的距離，然后根據(jù)弦的一半，圓心到直線的

距離，半徑構(gòu)成直角三角形，用勾股定理解決.

【詳解】/+/=4的圓心為（0,0）,半徑廠=2

圓心（0,0）到直線MN:3x+4y-5=0的距離為邑牛誓二=-=1,則

<32+425

爍1=/2_F="..MN|=26.

故選：c

6.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，若Ss=10,兀=30,則$2。=()

A.40B.70C.90D.100

【正確答案】D

【分析】利用等差數(shù)列的前〃項和分別求出首項和公差，代入公式即可求解.

【詳解】設等差數(shù)列｛4,,｝的首項為％,公差為d,

6

5ci,H----x=10

12

因為Ss=10,&=30,解得：

10x9」〃

\10Aa,+----xd=30

12

所以50=20q+B|_^xd=20x]+190x(=100,

故選.D

7.已知正方體/BCD-44GA的棱長為1,則點A到平面5QC的距離為()

A.且B.|C.逑D.1

3333

【正確答案】C

【分析】根據(jù)正四面體頂點到底面之間的距離即可.

【詳解】如圖所示

三棱錐4-8QC為邊長為應的正四面體

A

故點A到平面BQ?的距離為OA=［的二f=W

故選：C

8.已知雙曲線C：5-，=1（。＞0力＞0）的焦點F到漸近線的距離與頂點Z到漸近線的距離

之比為3：1,則雙曲線C的漸近線方程為（）

A.y=±2A/2XB.y-±y/2xC.y=±^-xD.y=土立■x

24

【正確答案】A

【分析】根據(jù)相似三角形，直接得到￡=3,計算漸近線的斜率.

a

【詳解】如圖，可知焦點F到漸近線的距離與頂點力到漸近線的距離之比為3：1,

即￡=3,2=庫1=20，

aaVa-

所以雙曲線的漸近線方程為y=±2Vlr.

9.已知尸是拋物線/=4》上的一點，過點P作直線x=-3的垂線，垂足為“，若。是圓C：

（x+3p+（尸3）2=1上任意二點,則|尸。|+歸〃|的最小值是（）

A.35/5-1B.4C.5D.6

【正確答案】D

【分析】畫出拋物線V=4x的焦點和準線，利用拋物線的幾何性質(zhì)將|PQ|+|P〃|轉(zhuǎn)化為C,

P,尸之間的距離之和，根據(jù)三點共線求得最小值.

【詳解】拋物線/=4x的焦點是尸（1,0）,準線方程是x=-1,尸〃與準線的交點是乜，

圓C的半徑為r=l,圓心為C（-3,3）,

依題意作下圖:

r

.?.|P0|+|PH|>|PC|-l+|PH1|+|/ffi1|=|PC|+|PF|+2-l=|PC|+|PF|+l,

當C,P,尸三點共線時|尸。|+|尸尸|最小=爐下=5，

??.|尸。|+伊印的最小值是6；

故選：D.

二、填空題

10.拋物線C：/=8x的焦點坐標為.

【正確答案】（2,0）

【分析】根據(jù)拋物線的相關知識即可求得焦點坐標.

【詳解】由已知/=8x,所以P=4

故5=2,所以焦點坐標為：(2,0)

故(2,0)

11.已知aeR,若直線4：辦+卜+1=0與直線4：x+(a-l)y+2=0相互垂直，則。=.

【正確答案】g##0.5

【分析】根據(jù)直線垂直的充要條件列出方程，解之即可求解.

【詳解】因為直線點公+戶1=0與直線，2：x+("i)y+2=o相互垂直，

所以a+(a—1)=0,解得：。=5，

故答案為y.

12.在等差數(shù)列｛4｝中，若/+%+%=15,貝iJ2%-a“=.

【正確答案】5

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)由%+%+%=15可得：%=5,再利用等差數(shù)列的通項公式

可得2/-4|=q+4d=%,進而求解.

【詳解】設等差數(shù)列｛/｝的首項為4,公差為d,

因為/+%+%=15,由等差數(shù)列的性質(zhì)可得:%+%+%=雙=15,%=5,

又2%-a”=2%+14d-q-10d=q+4d=a,,所以2ag—a”=5,

故答案為.5

13.若正三棱柱的所有棱長都相等，。是4a的中點，則直線與平面8QC

所成角的余弦值為.

3

【正確答案】-##0.6

【分析】利用空間向量的坐標運算求解線面角即可.

如圖，取力C中點0,連接。民。。，

貝IJ有OD±OBQD±OC,OB±OC,

所以以OB'OC'OD為蒼y，z軸正方向建系如圖，設48=2,

則40,-1,0),。(0,0,2),4(6,0,2),C(0,1,01

AD=(0,1,2),DBt'=(60,0),DC=(0,1,-2),

設平面3QC的法向量為=(x,y,z),

、或d拒x=Q

則有,令y=2,則z=l,x=0,

[DCm=y-2z=0

所以(0,2,1),

設直線AD與平面BQC所成角為0,

?2r4

則sin。=cos<AD,m>=TJHEK^=—,

?|"。|阿5

兀[3

因為Oe0,-,所以cos6=：

3

故答案為：j.

22

14.設雙曲線5-2=14>06>0的左焦點為耳，過￡作直線/與圓x2+『=/相切于點

ab

T,/與雙曲線的一條漸近線交于點。，若T為線段不。的中點，則雙曲線的離心率為.

【正確答案】2

【分析】設雙曲線的右焦點為工，由題可得|0E|=2a,結(jié)合條件可得。(a,b),進而

2c-b=2a-2b即得.

【詳解】由題可得如圖雙曲線，設雙曲線的右焦點為K，

因為7為線段耳。的中點，0為耳鳥中點,

所以。T//Q6,|Or|=；|QK|,

又。7,。片，則。耳，06，

由|OT|=a,則|然|=勿，|明|=2b,

所以|O0|=g閨周=c,又tan/0O6=g

所以。(〃力)，

在Rt?！昶校?c-b=2a-2b,

所以c=2a,即e=2.

故2.

三、解答題

15.已知等差數(shù)列｛凡｝的前〃項和為S”，公差d為整數(shù)，5=21,且q,g+1，%成等比

數(shù)列.

(1)求｛4｝的通項公式；

(2)求數(shù)列|—^―廣的前〃項和T?.

【正確答案】(l)a“=5n-3

5n

⑵10〃+4

【分析】(1)利用等比數(shù)列和等差數(shù)列的定義求解即可;

(2)利用裂項相消求和.

【詳解】(1)因為S3=34+34=21,所以q+4=7,

又因為4，%+1，%成等比數(shù)列,所以(出+1)2=%%，

2

即(q+J+1)=a；+6atd,所以a；+6a/=64,

q+d=7解得【丁;

聯(lián)立

Q；+6%d=64[a=5

所以%=%+5(H-1)=5/7-3.

5511

==

(2)由(1)a?an+}(5n-3)(5n+2)5n-3~5n+2(

所以7>R-r|+(_L__q+(_L__L]+

m入(21)(7n)(1217J(5"-35n+2j25/1+210w+4,

16.如圖，在四棱雉尸-/BCD中，尸力_1平面48。。，/18〃?！?,且/8=1,8=2,8c=20，

(1)求證：/N〃平面P8C；

(2)求平面PDC與平面PBC夾角的余弦值.

【正確答案】(1)證明見詳解

2

(2)余弦值為

【分析】(1)根據(jù)線面平行的判定即可證明相面平行.

(2)利用向量法即可求得二面角的余弦值.

【詳解】(1)如圖所示

p

取PC中點為例，連接NM,MB.

所以NM〃工。CR.W--DC

22

又因為43〃《OC且=

22

所以NM〃AB,NM=AB,所以四邊形Ml處為平行四邊形.

所以AN〃BM,又因為/Net平面尸8C,BWu平面P8C

所以ZN〃平面P8C.

（2）如圖所示

取。C中點為E,以A為空間直角坐標系原點，4E為1軸，46為V軸，彳。為z軸

建立空間直角坐標系，所以“（0,0,0）,P（o,o,l）,8（0,1,0）,￡＞（272,-1,0）,C（2五,1,0）

設平面尸8c的法向量為加=（x）,z）,因為5尸=（O,-l,I）,BC=（242,0,0）

八X

3P'm——y+z=0八/、

則々x「所以令》=1,得加=0,14

BCm=2V2v=0

設平面尸。C的法向量為〃=（a,b,c）,因為尸。=（2五一1,-1）,Z）C=（0,2,0）

,、入f-

PDn=2^2a-b-c=0_'、（廠\

則%所以令a=0,得〃="0,4

DCn=2b=0'）

科:4二2

V2xVTs3

又因為平面尸DC與平面尸8c夾角為鈍角

所以平面POC與平面P8C夾角的余弦值為

17.已知橢圓，■+，=1(。>6>0)的右頂點為/,下頂點為可，上頂點為打，橢圓的離心

率為坐，且回=有.

(1)求橢圓的標準方程；

(2)設過點用的直線/與橢圓相交于點P(不在坐標軸上)，當舊聞=限尸時,求32P的

面積.

2

【正確答案】(1):+/=1

(2)逑

3

【分析】(1)根據(jù)離心率，MAh布等列出方程組，利用待定系數(shù)法求出橢圓方程；

(2)得到點P為以斗(0,1)為圓心，忸由21=26=2為半徑的圓與橢圓的交點(不在坐標軸上),

從而聯(lián)立圓與橢圓方程，求出點P坐標，從而利用$“曠=；忸求出答案.

22

【詳解】⑴由題意得：/(a,0)，4(0,詢,^\ABt\=yla+b=45,

222222

又￡=更，c=a-b,解得:c=3,a=4,b=\,

a2

丫2

故橢圓的標準方程為土+/=1;

4

(2)因為因引=忸2尸|,

所以點P為以B2(0,l)為圓心，忸/2卜26=2為半徑的圓與橢圓的交點(不在坐標軸上)，

其中以為為圓心，忸色|=2為半徑的圓的方程為f+(y-l)2=4,

2

聯(lián)立X?+(y—])~=4與a+V=1,得：3y2+2y—l=0,

解得：必=；或%=T，其中%=T時當=0,點P位于y軸上，不合題意，舍去；

當月=:時，立+L1,解得：X1=±-.

34913

故S4%>=；|8/J|xJ=gx2x^^=^^.

18.數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,,且，=/(〃eM),數(shù)列抄“｝滿足仇=2,

b?=36,1+2(”*2,“eN)

(1)求數(shù)列｛a“｝的通項公式；

(2)求證：數(shù)