線性代數(shù)方程組的迭代解法_第1頁
線性代數(shù)方程組的迭代解法_第2頁
線性代數(shù)方程組的迭代解法_第3頁
線性代數(shù)方程組的迭代解法_第4頁
線性代數(shù)方程組的迭代解法_第5頁
已閱讀5頁,還剩20頁未讀 繼續(xù)免費閱讀

下載本文檔

版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進行舉報或認領(lǐng)

文檔簡介

關(guān)于線性代數(shù)方程組的迭代解法§2Jacobi和Gauss-Seidel迭代法一、Jacobi迭代法設(shè)方程組將系數(shù)矩陣分裂為:其中第2頁,共25頁,2024年2月25日,星期天如果原方程組可化為其中相應(yīng)的迭代格式上述方法稱為Jacobi迭代法,簡稱J法或簡單迭代法分量形式:第3頁,共25頁,2024年2月25日,星期天二、Gauss-Seidel迭代法G-S迭代法是J迭代法的一種改進在J迭代公式中,計算時,利用已經(jīng)算出來的新的值,從而得到G-S迭代法。

G-S迭代法的分量形式:第4頁,共25頁,2024年2月25日,星期天例1:利用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解方程組解:Jacobi迭代格式第5頁,共25頁,2024年2月25日,星期天G-S迭代格式計算結(jié)果取初值Jacobi迭代法

要求精度迭代次數(shù)

0.0019(1.00025071.00006941.0002507)0.000110(0.99995411.00012530.9999541)0.0000114(0.99999811.00000200.9999981)方程組的近似解第6頁,共25頁,2024年2月25日,星期天

G-S迭代法的迭代矩陣:計算結(jié)果Gauss-Seidel迭代法

要求精度迭代次數(shù)

0.0015(0.99979160.99984791.0000664)0.00017(0.99999290.99999491.0000022)0.000018(1.00000131.00000090.9999996)方程組的近似解取初值由迭代公式迭代矩陣第7頁,共25頁,2024年2月25日,星期天三、Jacobi和Gauss-Seidel迭代法的收斂性Jacobi迭代法收斂的充要條件是Gauss-Seidel迭代法收斂的充要條件是推論1:Jacobi迭代法收斂的充分條件是Gauss-Seidel迭代法收斂的充分條件是

如例1:利用J和G-S迭代法求解方程組第8頁,共25頁,2024年2月25日,星期天Jacobi迭代矩陣系數(shù)矩陣第9頁,共25頁,2024年2月25日,星期天Gauss-Seidel迭代矩陣第10頁,共25頁,2024年2月25日,星期天設(shè)滿足稱為嚴格對角占優(yōu)矩陣如果且至少有一個嚴格不等式成立,則稱為弱對角占優(yōu)矩陣。設(shè),如果能找到排列陣,使得其中與均為方陣,稱為可約的否則稱為不可約的第11頁,共25頁,2024年2月25日,星期天例如:矩陣是可約的若系數(shù)矩陣是可約的,則可通過行與列重排化為(*)式,從而可以將方程組簡化為低階方程組。第12頁,共25頁,2024年2月25日,星期天(補充:可約矩陣的等價定義)是可約矩陣,當(dāng)且僅當(dāng)存在一個下標(biāo)的非空子集,使得例如:矩陣矩陣不可約第13頁,共25頁,2024年2月25日,星期天如果嚴格對角占優(yōu),則,且非奇異。如果不可約且弱對角占優(yōu),則,且非奇異。自己看證明:

首先證明設(shè)由條件:是弱對角占優(yōu),交換的第k、n行與k、n列,則矩陣變?yōu)榕c不可約矛盾!第14頁,共25頁,2024年2月25日,星期天

其次證明是非奇異的設(shè)則存在非零向量滿足定義下標(biāo)的集合且令對某個j顯然J非空,否則第15頁,共25頁,2024年2月25日,星期天對,有由此可知,當(dāng)時,但對于都有所以否則與弱對角占優(yōu)矛盾!與不可約矛盾第16頁,共25頁,2024年2月25日,星期天如果為嚴格對角占優(yōu)或為不可約且弱對角占優(yōu)矩陣,則求解方程組的J法和G-S法均收斂。證明:僅給出不可約且弱對角占優(yōu)矩陣G-S法的證明只要證明,其中設(shè)有一個特征值,滿足,且有

是不可約且弱對角占優(yōu)矩陣,由定理6.8:第17頁,共25頁,2024年2月25日,星期天因此注意到和的零元素和非零元素的位置完全一樣,故是不可約也是弱對角占優(yōu)矩陣矛盾!如果為嚴格對角占優(yōu)矩陣,易證其中為J法的迭代矩陣第18頁,共25頁,2024年2月25日,星期天如果是對稱矩陣,且有正的對角元,則求解方程組的J法收斂的充要條件是矩陣和均為正定的,其中證明:記其中迭代矩陣矩陣和相似,故有相同的特征值;且、、對稱第19頁,共25頁,2024年2月25日,星期天必要性設(shè)J法收斂,則記的特征值為,則的特征值為所以是對稱正定的。對而矩陣是對稱正定的同理可證第20頁,共25頁,2024年2月25日,星期天矩陣的正特征值均小于1充分性因為正定,所以也是正定矩陣,且其特征值全部大于零。所以的特征值均小于1矩陣和相似,故有相同的特征值,且特征值均小于1。第21頁,共25頁,2024年2月25日,星期天如果是對稱正定矩陣,則求解方程組的G-S法收斂。證明見定理6.13注:如果是對稱正定矩陣,則求解方程組的G-S法收斂,而J法不一定收斂。例2:判定用J法和G-S法求解下列方程組的收斂性:第22頁,共25頁,2024年2月25日,星期天解:是正定矩陣所以G-S法收斂;J法的迭代矩陣為計算特征值:

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負責(zé)。
  • 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

最新文檔

評論

0/150

提交評論