高中數(shù)學講義（人教A版必修二）：第44講 頻率與概率（教師版）

第44課頻率與概率

0目標導航

課程標準課標解讀

1.通過實驗讓學生理解當試驗次數(shù)較大

時，實驗頻率穩(wěn)定在某一常數(shù)附近，并據(jù)

此能估計出某一事件發(fā)生的頻率.1.數(shù)學建模：概率的應用

2.通過對實際問題的分析，培養(yǎng)使用數(shù)學2.邏輯推理：頻率與概率的關系

3.數(shù)學運算：頻率與概率的計算

的良好意識，激發(fā)學習興趣，體驗數(shù)學的

4.數(shù)據(jù)抽象：概率的概念

應用價值.5.數(shù)學抽象：隨機模擬試驗的理解.

3.理解隨機模擬試驗出現(xiàn)地意義.6.數(shù)學運算：利用隨機模擬試驗求概率.

4.利用隨機模擬試驗求概率.

瞅’知識精講

知識點01頻率的穩(wěn)定性

為了估計水庫中魚的尾數(shù)，可以使用以下的方法：先從水庫中捕出一定數(shù)量的魚，例如2000尾，給每尾

魚做上記號，不影響其存活，然后放回水庫.經過適當?shù)臅r間，讓其和水庫中的其他魚充分混合，再從水庫

中捕出一定數(shù)量的魚，例如500尾，查看其中帶記號的魚，假設有40尾，根據(jù)上述數(shù)據(jù)，估計水庫中魚的

尾數(shù)為.

【解析】求2000尾魚占水庫中所有魚的百分比f

求帶記號的魚在500尾魚中占的百分比f

根據(jù)二者的關系列等式一求解，估計水庫中魚的尾數(shù)25000

知識點02利用隨機模擬實驗求概率

【即學即練2】在一次奧運會男子羽毛球單打比賽中，運動員甲和乙進入了決賽.假設每局比賽甲獲勝的概

率為0.6,乙獲勝的概率為0.4.利用計算機模擬試驗，估計甲獲得冠軍的概率.

【答案】0.65

【解析】設事件A="甲獲得冠軍”，事件3="單局比賽甲勝”，則P（5）=0.6.用計算器或計算機產生1~5之

間的隨機數(shù),當出現(xiàn)隨機數(shù)1,2或3時,表示一局比賽甲獲勝，其概率為0.6.由于要比賽3局,所以每3個隨機數(shù)

為一組.例如，產生20組隨機數(shù)：

423123423344114453525332152342

534443512541125432334151314354

相當于做了20次重復試驗.其中事件A發(fā)生了13次，對應的數(shù)組分別是

13

423,123,423,114,332,152,342,512,125,432,334,151,314,用頻率估計事件A的概率的近似似值為一=0.65.

20

解題技巧（利用隨機模擬實驗求概率）

用隨機模擬來估計概率，一般有如下特點的事件可以用這種方法來估計：（1）對于滿足“有限性”但不滿

足“等可能性”的概率問題，我們可采取隨機模擬方法來估計概率.（2）對于一些基本事件的總數(shù)比較大而導

致很難把它列舉得不重復、不遺漏的概率問題或對于基本事件的等可能性難于驗證的概率問題，可用隨機

模擬方法來估計概率.

[J能力拓展

考法01頻率的穩(wěn)定性

【典例1】某籃球運動員在同一條件下進行投籃練習，結果如下表:

8101520304050

681217253239

0.780.70.80.80.80.80.80

50053

（1）計算表中進球的頻率;

（2）這位運動員投籃一次，進球的概率約是多少？

⑶這位運動員進球的概率是0.8,那么他投10次籃一定能投中8次嗎？

解析：概率約是0.8

不一定.投10次籃相當于做10次試驗，每次試驗的結果都是隨機的，所以投10次籃的結果也是隨機的.

【變式訓練】新生嬰兒性別比是每100名女嬰對應的男嬰數(shù)，通過抽樣調查得知，我國2014年、2015年

出生的嬰兒性別比分別為115.88和113.51.

(1)分別估計我國2014年和2015年男嬰的出生率(新生兒中男嬰的比率，精確到0.001)；

(2)根據(jù)估計結果，你認為“生男孩和生女孩是等可能的”這個判斷可靠嗎？

分析：根據(jù)“性別比”的定義和抽樣調查結果，可以計算男嬰出生的頻率；由頻率的穩(wěn)定性，可以估計男

嬰的出生率

解：(1)2014年男嬰出生的頻率為

2015年男嬰出生的頻率為

由此估計，我國2014年男嬰出生率約為0.537,2015年男嬰出生率約為0.532.

——?0.537

100+115.88

113,51^0.532

100+113.51

(2)由于調查新生兒人數(shù)的樣本非常大，根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，上述對男嬰出生率的估計具有較高的可信度，

因此，我們有理由懷疑“生男孩和生女孩是等可能的”的結論.

由統(tǒng)計定義求概率的一般步驟

(1)確定隨機事件A的頻數(shù)nA；

(2)由f(4=計算頻率f(Z)(n為試驗的總次數(shù));

(3)由頻率f(4)估計概率P(A).

概率可看成頻率在理論上的穩(wěn)定值，它從數(shù)量上反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小，它是頻率的科學抽象,

當試驗次數(shù)越來越多時頻率向概率靠近，只要次數(shù)足夠多，所得頻率就近似地當作隨機事件的概率.

考法02利用隨機模擬實驗求概率

【典例2】袋子中有四個小球，分別寫有“中、華、民、族”四個字，有放回地從中任取一個小球，直到“中”“華”

兩個字都取到才停止.用隨機模擬的方法估計恰好抽取三次停止的概率，利用電腦隨機產生0到3之間取整

數(shù)值的隨機數(shù)，分別用0,1,2,3代表“中、華、民、族”這四個字，以每三個隨機數(shù)為一組，表示取球三次的

結果，經隨機模擬產生了以下18組隨機數(shù)：

232321230023123021132220001

IM1”Ml(KI1221(BTH

由此可以估計，恰好抽取三次就停止的概率為()

1325

A.-B.—C.-D.—

918918

【答案】C

【解析】由隨機產生的隨機數(shù)可知恰好抽取三次就停止的有021,001,130,031,共4組隨機數(shù)，恰好抽取三

42

次就停止的概率約為一=—,故選C.

189

【變式訓練】一個袋中有7個大小、形狀相同的小球，6個白球1個紅球.現(xiàn)任取1個，若為紅球就停止，

若為白球就放回，攪拌均勻后再接著取.試設計一個模擬試驗，計算恰好第三次摸到紅球的概率.

【答案】0.1

【解析】用123,4,5,6表示白球，7表示紅球，利用計算器或計算機產生1到7之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，因

為要求恰好第三次摸到紅球的概率，所以每三個隨機數(shù)作為一組.例如，產生20組隨機數(shù).

666743671464571

561156567732375

716116614445117

573552274114622

就相當于做了20次試驗，在這組數(shù)中，前兩個數(shù)字不是7,

第三個數(shù)字恰好是7,就表示第一次、第二次摸的是白球，

第三次恰好是紅球，它們分別是567和117共兩組，因此

恰好第三次摸到紅球的概率約為2=0.1.

fii分層提分

題組A基礎過關練

一、單選題

1.在如圖所示的電路圖中，開關a,b,c閉合與斷開的概率都是且是相互獨立的，則燈亮的概率是（）

117_

A.-BC.一D.

8-14I

【答案】B

【解析】要使燈亮，必須a閉合，而開關b,或c閉合，再根據(jù)相互獨立事件的概率乘法公式求得結果.

【詳解】解：設開關a,b,c閉合分別為事件A,B,C,燈亮為事件E,

則燈亮這一事件E=ABCuABCuABC,

且A,B,C相互獨立，ABC,ABC,4豆。兩兩互斥，

P(￡)=P[(ABC)u(ABC)u(ABC)]

=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

=尸(A)P(B)P(C)+P(A)尸(8)?P(C)+P(A)P(B)P(C)

故選：B.

【點睛】本題主要考查相互獨立事件的概率乘法公式的應用，屬于基礎題.

2.我國古代數(shù)學名著《九章算術》有"米谷粒分"題：糧倉開倉收糧，有人送來米1536石，驗得米內夾谷,

抽樣取米一把，數(shù)得224粒內夾谷28粒，則這批米內夾谷約為()

A.169石B.192石C.1367石D.1164石

【答案】B

【分析】根據(jù)抽取樣本中米夾谷的比例，得到整體米夾谷的頻率，從而可得結果.

OQ1

【詳解】由抽樣取米一把，數(shù)得224粒內夾谷28粒估計夾谷頻率為蕓=：,

2248

所以這批米內夾谷約為1536xJ=192石.

O

故選：B.

3.下列說法正確的有()

①隨機事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值；

②一次試驗中，不同的基本事件不可能同時發(fā)生；

③任意事件A發(fā)生的概率P(A)滿足0<P(A)<1；

④若事件A的概率趨近于0,則事件A是不可能事件.

A.0個

B.1個

C.2個

D.3個

【答案】C

【分析】根據(jù)概率與頻率的關系判斷①正確；根據(jù)基本事件的特點判斷②正確；根據(jù)必然事件，不可能事

件，隨機事件的概念判斷③錯誤；根據(jù)小概率事件的概念判斷④錯誤.

【詳解】頻率是較少數(shù)據(jù)統(tǒng)計的結果，是一種具體的趨勢和規(guī)律.在大量重復試驗時，頻率具有一定的穩(wěn)定

性，總在某個常數(shù)附近擺動，且隨著試驗次數(shù)的不斷增加，這種擺動幅度越來越小，這個常數(shù)叫做這個事

件的概率.

???隨機事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值，二①正確；

基本事件的特點是任意兩個基本事件是互斥的，

???一次試驗中，不同的基本事件不可能同時發(fā)生.,②正確；

必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,隨機事件的概率大于。小于1,

任意事件A發(fā)生的概率P（A）滿足。4P（A）<1.-③錯誤；

若事件A的概率趨近于0,則事件A是小概率事件.?.④錯誤.

說法正確的有2個，

故選：C.

4.在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網上銷售業(yè)務，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大

幅增加，導致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作.已知該超市某日積壓500份訂單未

配貨，預計第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05,志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第

二天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概率不小于0.95,則至少需要志愿者（）

A.42名B.32名C.24名D.18名

【答案】D

【分析】只要第二天能把原有積壓500份和第二天新訂單（按1600份計算）消化掉，就能滿足題意.

【詳解】由于"第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05%即"第二天的新訂單量小于或等于1600份的概

率為0.95",

所以只要第二天能把原有積壓500份和第二天新訂單（按1600份計算）消化掉，就能滿足題意：

第二天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概率不小于0.95,第二天新增積壓訂單數(shù)為1600-1200=400,兩

天共積壓500+400=900份，

因為嬰=18,故至少需要志愿者18名.

故選：D

5.下列命題中不正確的是

A.根據(jù)古典概型概率計算公式P(A)=區(qū)求出的值是事件A發(fā)生的概率的精確值

n

B.根據(jù)古典概型試驗，用計算機或計算器產生隨機整數(shù)統(tǒng)計試驗次數(shù)N和事件A發(fā)生的次數(shù)M,得到的值與

是P(A)的近似值

C.頻率是隨機的，在試驗前不能確定，隨著試驗次數(shù)的增加，頻率會越來越接近概率

D.5張獎券中有一張有獎，甲先抽,乙后抽，那么乙與甲抽到有獎獎券的可性相同

【答案】C

【解析】根據(jù)概率的定義以及古典概型概率計算方法逐個選項判斷即可.

【詳解】對于A,即古典概型概率計算公式，很明顯正確的；

對于B,隨機模擬中得到的值是概率的近似值，則B項命題正確；

對于C,頻率穩(wěn)定在某個常數(shù)上，這個常數(shù)叫做概率，但與概率的趨近程度不是試驗次數(shù)的函數(shù)，C命題不

正確；

對于D,5張獎券中有一張有獎，甲先抽，乙后抽，那么乙與甲抽到有獎獎券的可能性都是:，。命題正確；

故選：C.

【點睛】本題主要以命題的真假判斷為載體，考查了概率的基本概念，難度不大，屬于基礎題.

6.某城市有連接8個小區(qū)A、B、C、D、E、F、G、H和市中心。的整齊方格形道路網，每個小方格

均為正方形，如圖所示，某人從道路網中隨機地選擇一條最短路徑，由小區(qū)A前往小區(qū)H,則他經過市中

心。的概率是()

13

C.一D.一

44

【答案】B

【分析】列舉出所有的基本事件，記“此人經過市中心為事件確定事件”所包含的基本事件，然后

利用古典概型的概率公式可計算出所求事件的概率.

【詳解】此人從小區(qū)A前往”的所有最短路徑為：A告BiCrEfH,ATBFOTEFH,

AfBfO-G-H,ATDTOTETH,ATD-O4G-H,AfDrF—GfH,共6條

記“此人經過市中心O”為事件M,則M包含的基本事件為：A->B^O告ErH,Af3-OfG-H,

AfDfOfEfH,A—DTO—G—H,共4條.

4??

P（M）=-=-,即他經過市中心的概率為［.

633

故選：B.

【點睛】本題考查概率的應用，是中等題.解題時要認真審題，仔細解答，注意列舉法的靈活運用.

二、多選題

7.（多選）關于頻率和概率，下列說法正確的是（）

A.某同學投籃3次，命中2次，則該同學每次投籃命中的概率為:

B.費勒拋擲10000次硬幣，得到硬幣正面向上的頻率為0.4979；皮爾遜拋擲24000次硬幣，得到硬幣正面

向上的頻率為0.5005.如果某同學拋擲36000次硬幣那么得到硬幣正面向上的頻率可能大于0.5005

C.某類種子發(fā)芽的概率為0.903,若抽取2000粒種子試種，則一定會有1806粒種子發(fā)芽

D.將一顆質地均勻的骰子拋擲6000次，則擲出的點數(shù)大于2的次數(shù)大約為4000次

【答案】BD

【分析】通過對頻率和概率的定義的理解，即可判斷各選項，從而得出答案.

【詳解】解：A中，某同學投籃3次，命中2次，只能說明頻率為:，而不能說明概率為亨，故A選項錯誤;

B中，當試驗次數(shù)很多時，硬幣正面向上的頻率在0.5附近擺動，可能大于0.5,也可能小于0.5,故B選項

正確；

C中，只能說明大約有1806粒種子發(fā)芽，并不是定有1806粒種子發(fā)芽，故C選項錯誤；

D中，點數(shù)大于2的概率為:，故拋擲6000次點數(shù)大于2的次數(shù)大約為4000次，故D選項正確.

故選：BD.

8.某超市隨機選取1000位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成下面的統(tǒng)計表,

其中"V"表示購買，“X”表示未購買.

顧客人數(shù)甲乙丙T

100VXVV

217XVXV

200VVVX

300VXVX

85VXXX

98XVXX

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結論中正確的有（）

A.顧客購買乙商品的概率最大

B.顧客同時購買乙和丙的概率約為0.2

C.顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率約為0.3

D.顧客僅購買1種商品的概率不大于0.2

【答案】BCD

【分析】根據(jù)統(tǒng)計表逐項分析可得答案.

【詳解】對于A,由于購買甲商品的顧客有685位，購買乙商品的顧客有515位，故A錯誤；

對于B,因為從統(tǒng)計表可以看出，在這1000位顧客中，有200位顧客同時購買了乙和丙，所以顧客同時購

買乙和丙的概率可以估計為蒜=0.2,故B正確；

對于C,因為從統(tǒng)計表可以看出，在這1000位顧客中，有100位顧客同時購買了甲、丙、丁，另有200位

顧客同時購買了甲、乙、丙，其他顧客最多購買了2種商品，所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種

商品的概率可以估計為1°；器°0=0.3,故C正確；

對于D,因為從統(tǒng)計表可以看出，在這1000位顧客中，有183位顧客僅購買1種商品，所以顧客僅購買1

種商品的概率可以估計為Q183<Q2,故D正確.

故選：BCD.

三、填空題

9.在一個不透明的布袋中，紅色，黑色，白色的玻璃球共有40個，除顏色外其他完全相同，小明通過多

次摸球試驗后發(fā)現(xiàn)其中摸到紅色球，黑色球的頻率穩(wěn)定在15%和45%,則口袋中白色球的個數(shù)可能是

個.

【答案】16

【分析】根據(jù)紅色球和黑色球的頻率穩(wěn)定值，計算紅色球和黑色球的個數(shù)，從而得到白色球的個數(shù).

【詳解】根據(jù)概率是頻率的穩(wěn)定值的意義，

紅色球的個數(shù)為40x0.15=6個；

黑色球的個數(shù)為40x0.45=18個；

故白色球的個數(shù)為40-6-18=16個.

故答案為：16.

【點睛】本題考查概率和頻率之間的關系：概率是頻率的穩(wěn)定值.

10.已知小張每次射擊命中十環(huán)的概率都為40%,現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計小張三次射擊恰有兩次命中

十環(huán)的概率，先由計算器產生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定2,4,6,8表示命中十環(huán)，0,1,3,5,

7,9表示未命中十環(huán)，再以每三個隨機數(shù)為一組，代表三次射擊的結果，經隨機模擬產生了如下20組隨機

數(shù)：321421292925274632800478598663531297396021506318230113507965據(jù)此估計，小張三

次射擊恰有兩次命中十環(huán)的概率約為.

【答案】0.3

【分析】確定隨機數(shù)組中以恰有兩個數(shù)字是2,4,6,8,再由概率公式計算.

【詳解】由題意，隨機數(shù)組421,292,274,632,478,663共6個，表示恰有兩次命中十環(huán)，

所以概率為P=*Q3.

故答案為：0.3.

11.一個樣本的容量為70,分成五組，已知第一組、第三組的頻數(shù)分別是8,12,第二組、第五組的頻率

都為;，則該樣本第四組的頻率為.

【答案】巳

【解析】根據(jù)頻率的計算公式，結合題目已知信息，即可容易求得.

【詳解】因為樣本容量為70,根據(jù)題意可得：

第一組和第三組的頻率為=

根據(jù)頻率之和為1，即可求得：

第四組的頻率為=

故答案為：—.

【點睛】本題考查頻率的計算公式，屬基礎題.

12.如果袋中裝有數(shù)量差別很大而大小相同的白球和黑球（只是顏色不同），從中任取一球，取了10次有9

個白球，估計袋中數(shù)量多的是.

【答案】白球

99

【詳解】取了10次有9個白球，則取出白球的頻率是一，估計其概率約是―，那么取出黑球的概率約是

1010

—,那么取出白球的概率大于取出黑球的概率，所以估計袋中數(shù)量多的是白球.

10

考點：隨機事件的概率.

四、解答題

13.盒中有大小、形狀相同的5只白球和2只黑球，用隨機模擬法求下列事件的概率：

⑴任取一球，得到白球；

（2）任取三球，都是白球.

【答案】（1）答案見解析（2）答案見解析

【解析】（1）用1，2,3,4,5表示白球,6,7表示黑球，利用計算器或計算機產生1到7的整數(shù)值隨機數(shù)，每一個數(shù)為

一組，統(tǒng)計組數(shù)”，統(tǒng)計這〃組數(shù)中小于6的組數(shù)m，即可求得答案；

（2）用123,4,5表示白球,6,7表示黑球，統(tǒng)計這“組數(shù)中，每個數(shù)字均小于6的組數(shù)加，即可求得答案.

【詳解】（1）用1,2,3,4,5表示白球,6,7表示黑球.

步驟：

①利用計算器或計算機產生1到7的整數(shù)值隨機數(shù)，每一個數(shù)為一組,統(tǒng)計組數(shù)”；

②統(tǒng)計這n組數(shù)中小于6的組數(shù)m；

③任取一球，得到白球的概率估計值是竺.

n

（2）用1,2,3,4,5表示白球,6,7表示黑球.

步驟：

①利用計算器或計算機產生1到7的整數(shù)值隨機數(shù)，每三個數(shù)為一組,統(tǒng)計組數(shù)”；

②統(tǒng)計這n組數(shù)中，每個數(shù)字均小于6的組數(shù)m；

③任取三球,都是白球的概率估計值是竺.

n

【點睛】本題考查了隨機模擬法估計事件概率,解題關鍵是掌握隨機模擬法估計事件的概率方法，考查了分析

能力,屬于基礎題.

14.國家規(guī)定每年的7月1日以后的60天為當年的暑假.某鋼琴培訓機構對20位鋼琴老師暑假一天的授課量

進行了統(tǒng)計，如下表所示:

授課量（單位：小時）[0,2)［訓[4,6)[6,8)[8,10]

頻數(shù)27731

培訓機構專業(yè)人員統(tǒng)計近20年該校每年暑假60天的課時量情況如下表:

課時量（單位：天）[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50]

頻數(shù)36632

（同組數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)的中間值作代表）

（1）估計20位鋼琴老師一日的授課量的平均數(shù)；

（2）若以（1）中確定的平均數(shù)作為上述一天的授課量.已知當?shù)厥谡n價為200元/小時，每天的各類生活成

本為80元/天；若不授課，不計成本，請依據(jù)往年的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，估計一位鋼琴老師60天暑假授課利潤不少

于2萬元的概率.

【答案】（1）4.4小時；（2）0.4.

【解析】（1）將每組的中點值乘以頻數(shù)，相加后除以20可得出20位老師暑假一日的授課量的平均數(shù)；

（2）設一位鋼琴老師每年暑假60天的授課天數(shù)為x,計算出每位鋼琴老師每日的利潤，結合每位鋼琴老師

60天暑假授課利潤不少于2萬元求得工的取值范圍，再結合課時量頻數(shù)表可得出所求事件的概率.

_1

【詳解】（1）估計20位老師暑假一日的授課量的平均數(shù)為無=/（1X2+3X7+5X7+7X3+9X1）=4.4小時；

（2）設每年暑假60天的授課天數(shù)為x,則利潤為y=（4.4x200-80）尤=800x.

由800x220000,得x225.

一位老師暑假利潤不少于2萬元，即授課天數(shù)不低于25天，

3+3+2

又60天暑假內授課天數(shù)不低于25天的頻率為￡=0.4.

預測一位老師60天暑假授課利潤不少于2萬元的概率為0.4.

【點睛】本題考查頻數(shù)分布表的應用，考查平均數(shù)與概率的計算，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎題.

15.某盒子內裝有三種顏色的玻璃球，一位同學每次從中隨機拿出一個玻璃球，觀察顏色后再放回，重復

了50次，得到的信息如下：觀察到紅色26次、藍色13次.如果從這個盒子內任意取一個玻璃球，估計：

（1）這個球既不是紅色也不是藍色的概率；

（2）這個球是紅色或者是藍色的概率.

【答案】(1)0.22；(2)0.78

【解析】(1)計算紅色球、藍色球出現(xiàn)的頻率，即為概率，由事件的關系可計算既不是紅色也不是藍色的

概率；

(2)紅球為事件A,藍球為事件B,這個球是紅色或者是藍色為事件A+8,由互斥事件概率公式可計算.

【詳解】記取到紅球為事件4取到藍球為事件8,取到的球不是紅球也不是藍球為事件C.

(1)因為||=0.52,1|=0.26,所以尸(A)=0.52,P(B)=0.26

由題意，C=A^B,且A3互斥，則P(C)=1-尸(A+B)=1—P(A)-P(B)=0.22.

(2)由題意知，這個球是紅色或者是藍色為事件A+慶則P(A+B)=尸(A)+P?)=0.78.

【點睛】本題考查用頻率估計概率，考查互斥事件的概率公式.掌握互斥事件的概率是解題基礎.

16.某保險公司利用簡單隨機抽樣方法，對投保車輛進行抽樣,樣本車輛中每輛車的賠付結果統(tǒng)計如下:

賠付金額(元)01000200030004000

車輛數(shù)(輛)500130100150120

⑴若每輛車的投保金額均為2800元，估計賠付金額大于投保金額的概率.

(2)在樣本車輛中，車主是新司機的占10%,在賠付金額為4000元的樣本車輛中，車主是新司機的占20%,估計在

已投保車輛中，新司機獲賠金額為4000元的概率.

【答案】(1)0.27；(2)0.24

【詳解】試題分析：(1)設A表示事件"賠付金額為3000元"，8表示事件"賠付金額為4000元"，以頻率估

計概率求得尸(4),P(B),在根據(jù)投保金額為2800,賠付金額大于投保金額對應的情形時3000元和4000

元，問題就得以解決;

(2)設C表示事件"投保車輛中新司機獲賠4000元"，分別求出樣本車輛中車主為新司機人數(shù)和賠付金額為

4000元的車輛中車主為新司機人數(shù)，在求出其頻率，最后利用頻率表示概率.

試題解析:

(1)設A表示事件"賠付金額為3000元"，3表示事件"賠付金額為4000元〃，以頻率估計概率得:

150

P0)==0.12,

WOO

由于投保金額為2800,賠付金額大于投保金額對應的情形時3000元和4000元，所以其概率為:

P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27

設C表示事件"投保車輛中新司機獲賠4000元"，由已知，樣本車輛中車主為新司機的有0.1x1000=100,而

賠付金額為4000元的車輛中車主為新司機的有0.2x120=24

所以樣本中車輛中新司機車主獲賠金額為4000元的頻率為礪=0.24

由頻率估計概率得P（C）=0.24

考點：古典概型及其概率計算公式.

題組B能力提升練

一、單選題

1.下列說法正確的是（）

A.甲、乙兩人做游戲：甲、乙兩人各寫一個數(shù)字，若都是奇數(shù)或都是偶數(shù)則甲勝，否則乙勝，這個游戲公

平

B.做"次隨機試驗，事件A發(fā)生的頻率就是事件A發(fā)生的概率

C.某地發(fā)行福利彩票，回報率為47%,某人花了100元買該福利彩票，一定會有47元的回報

D.有甲、乙兩種報紙可供某人訂閱，事件3“某人訂閱甲報紙”是必然事件

【答案】A

【解析】對于A,利用列舉法,寫出所有可能，計算兩個人勝的概率是否相等，即可判斷游戲是否公平;利用頻率

與概率的定義可判斷B;利用概率的意義可判斷C;利用隨機事件的定義，可判斷D.

【詳解】對于A,甲、乙兩人各寫一個數(shù)字，所有可能的結果為（奇，偶），（奇,奇），（偶，奇）,（偶，偶），則都

是奇數(shù)或都是偶數(shù)的概率為故游戲是公平的；

對于B,隨著試驗次數(shù)的增加，頻率會越來越接近概率,故事件A發(fā)生的頻率就是事件A發(fā)生的概率是不正確

的；

對于C,某人花100元買福利彩票，中獎或者不中獎都有可能，但事先無法預料，故C不正確；

對于D,事件5可能發(fā)生也可能不發(fā)生,故事件B是隨機事件，故D不正確

綜上可知，正確的為A.

故選:A.

【點睛】本題考查了隨機事件概率的概念和意義，頻率與概率的關系，古典概型概率的求法,屬于基礎題.

2.下列四個命題中正確的是（）

A.設有一批產品，其次品率為0.05,則從中任取200件，必有10件是次品

B.做100次拋硬幣的試驗，結果51次出現(xiàn)正面，因此出現(xiàn)正面的概率是需

C.隨機事件發(fā)生的頻率就是這個隨機事件發(fā)生的概率

D.拋擲骰子100次，得點數(shù)是1的結果18次，則出現(xiàn)1點的頻率是4

【答案】D

【分析】依據(jù)頻率與概率的基本知識進行判斷即可.

【詳解】對于A,次品率是大量產品的估計值，并不是必有10件是次品，故A錯誤；

對于B,拋硬幣出現(xiàn)正面的概率是方，而不是故B錯誤；

對于C,頻率與概率不是同一個概念，故C錯誤；

對于D,利用頻率計算公式求得頻率，故D正確.

故選：D

3.每道選擇題有四個選項，其中只有一個選項是正確的.某次數(shù)學考試共有12道選擇題，有位同學說：〃每

個選項正確的概率是：，我每道題都選擇第一個選項，則一定有3道選擇結果正確.”該同學的說法

A.正確B.錯誤

C.無法解釋D.以上均不正確

【答案】B

【解析】由概率的含義可判斷其錯誤.

【詳解】解每一道選擇題都可看成一次試驗，每次試驗的結果都是隨機的，經過大量的試驗其結果呈一定

的規(guī)律，即隨機選取一個選項選擇正確的概率是1?做12道選擇題做對3道的可能性比較大，但并不能保

證一定做對3道，也有可能都選錯，因此該同學的說法錯誤.

故答案為B.

【點睛】這個題目考查了概率的意義，概率是通過大量實驗統(tǒng)計下來的一定的規(guī)律.

4.從標有數(shù)字1,2,6的號簽中，任意抽取兩張，抽出后將上面數(shù)字相乘，在10次試驗中，標有1的號

簽被抽中4次，那么結果"12”出現(xiàn)的頻率為（）

1317

A.-B.-C.-D.—

25510

【答案】B

【分析】由標有1的號簽出現(xiàn)4次，可知另外6次應抽到標有2,6的號簽，所以乘積12出現(xiàn)6次，由此

即可求出答案.

【詳解】標有1的號簽出現(xiàn)4次，另外6次應抽到標有2,6的號簽,

所以乘積12出現(xiàn)6次，頻率為R=|.

故選：B.

5.我國古代數(shù)學名著《數(shù)書九章》有“米谷粒分”題，現(xiàn)有類似的題：糧倉開倉收糧，有人送來532石，驗得

米內夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得54粒內夾谷6粒，則這批米內夾谷約為

A.59石B.60石C.61石D.62石

【答案】A

【分析】運用抽樣結果得到米內夾谷的概率，然后估算這批米內夾谷的結果

【詳解】由題中54粒內夾谷6?？傻闷涓怕蕿椋憾?:，

549

則這批米內夾谷為532義2=591，約為59石

故選A

【點睛】本題主要考查了抽樣調查的實際運用，由抽樣結果得到概率后然后估算其結果，較為簡單.

6.近年來，某市為促進生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分

別設置了相應的垃圾箱.為調查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機抽取了該市三類垃圾箱中總計1000，

生活垃圾.經分揀以后數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表（單位：t）:根據(jù)樣本估計本市生活垃圾投放情況，下列說法錯誤

的是（）

廚余垃圾"箱可回收物"箱其他垃圾"箱

廚余垃圾400100100

可回收物3024030

其他垃圾202060

7

A.廚余垃圾投放正確的概率為:

B.居民生活垃圾投放錯誤的概率為本

C.該市三類垃圾箱中投放正確的概率最高的是"可回收物"箱

D.廚余垃圾在“廚余垃圾"箱、"可回收物"箱、"其他垃圾”箱的投放量的方差為20000

【答案】C

【分析】由表格可求得：廚余垃圾投放正確的概率，可回收物投放正確的概率，其他垃圾投放正確的概率,

再結合選項進行分析即可.

4002

【詳解】由表格可得：廚余垃圾投放正確的概率=,”=：；可回收物投放正確的概率

400+100+1003

=2"4了0+3?0+3〃0=〈5；其他垃圾投放正確的概率=2"0+2f0+605

對A,廚余垃圾投放正確的概率為。，故A正確；

3003

對B,生活垃圾投放錯誤有200+60+20+20=300,故生活垃圾投放錯誤的概率為隔=歷，故B正確；

40082402

對C,該市廚余垃圾箱中投放正確的概率可回收物垃圾箱中投放正確的概率==二，其他垃圾箱中

投放正確的概率瑞哈

所以該市三類垃圾箱中投放正確的概率最高的是"廚余垃圾"箱，故C錯誤；

對D,廚余垃圾在“廚余垃圾"箱、"可回收物"箱、"其他垃圾”箱的的投放量的平均數(shù)于=史時詈&=200,

可得方差

s2=1x[(400-200)2+(100-200)2+(100-200)2]=20000,故D正確.

故選：C.

【點睛】本題考查概率與統(tǒng)計的計算，考查推理能力與數(shù)據(jù)處理能力，屬于中檔題.

二、多選題

7.小明與小華兩人玩游戲，則下列游戲公平的有()

A.拋擲一枚骰子，向上的點數(shù)為奇數(shù)，小明獲勝，向上的點數(shù)為偶數(shù)，小華獲勝

B.同時拋擲兩枚硬幣，恰有一枚正面向上，小明獲勝，兩枚都正面向上，小華獲勝

C.從一副不含大小王的撲克牌中抽一張，撲克牌是紅色，小明獲勝，撲克牌是黑色，小華獲勝

D.小明、小華兩人各寫一個數(shù)字6或8,如果兩人寫的數(shù)字相同，小明獲勝，否則小華獲勝

【答案】ACD

【分析】在四個選項中分別列出小明與小華獲勝的情況，由此判斷兩人獲勝是否為等可能事件.

【詳解】解：對于4拋擲一枚骰子，向上的點數(shù)為奇數(shù)和向上的點數(shù)為偶數(shù)是等可能的，所以游戲公平;

對于8,恰有一枚正面向上包括(正，反)，(反，正)兩種情況，而兩枚都正面向上僅有(正，正)一種情況,

所以游戲不公平；

對于c,從一副不含大小王的撲克牌中抽一張，撲克牌是紅色和撲克牌是黑色是等可能的，所以游戲公平;

對于。，小明、小華兩人各寫一個數(shù)字6或8,一共四種情況：(6,6),(6,8),(8,6),(8,8)；兩人寫的數(shù)字

相同和兩人寫的數(shù)字不同是等可能的，所以游戲公平.

故選：ACD.

【點睛】本題考查等可能事件的判斷，考查運算求解能力，是基礎題.

8.以下命題成立的是()

A.函數(shù)y=〃x+l)是偶函數(shù)，則y=〃x)關于直線x=l對稱

B.盒子中有5張獎券，只有一張上面寫著“中獎"，其它四張上都寫著“謝謝".學生甲先抽，已知甲抽中的是"謝

謝"，學生乙接著抽，則乙抽至廣中獎”的概率為2

C.某個紅綠燈路口的紅燈持續(xù)時間共為50秒鐘.李先生開車到達路口時，此時信號燈顯示為紅燈，則他等

3

候紅燈時間不超過30秒的概率為歹

D.yusinx+^cos無向右平移■個單位得到一奇函數(shù).

【答案】ACD

【解析】結合奇偶函數(shù)的性質，及函數(shù)圖象的平移變換規(guī)律，可知AD正確；結合古典概型、幾何概型知識,

計算可得B錯誤，C正確.

【詳解】對于A,函數(shù)y=F(x+l)是偶函數(shù)，其圖象關于，軸對稱，因為y=/(x+l)的圖象向右平移1個

單位后，得到y(tǒng)=/(x)的圖象，所以y=的圖象關于直線X=1對稱，故A正確；

對于B,5張獎券，其中1張上面寫著“中獎"，學生甲已經抽了一張，沒有中獎，因為是不放回抽獎，所以

還剩4張獎券，其中1張上面寫著“中獎"，學生乙接著抽，則乙抽到"中獎"的概率為!，故B錯誤；

4

303

對于C,根據(jù)幾何概型的概率公式可得，等候紅燈時間不超過30秒的概率為P=c=y,故C正確；

對于D,y=sinx+百cosx=2^-sinx+^-cosx=2sin^x+^,貝ljy=2sin[x+g]的圖象向右平移■個單

位得到y(tǒng)=2sin|x-§+§J=2sinx的圖象，y=2sinx是奇函數(shù)，故D正確.

故選：ACD.

【點睛】本題考查古典概型、幾何概型知識，考查函數(shù)的奇偶性，及函數(shù)圖象平移變換規(guī)律，考查三角函

數(shù)的恒等變換，考查學生的推理能力與計算能力，屬于中檔題.

三、填空題

9.我國南宋數(shù)學家秦九韶所著《數(shù)書九章》中有“米谷粒分"問題：糧倉開倉收糧，糧農送來米1512石，驗

得米內夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得216粒內夾谷27粒，則這批米內夾谷約石.

【答案】189

【分析】利用頻率估計概率，運算求解.

【詳解】由已知：抽得樣本中含谷27粒，占樣本的比例為2壬7=：1,

2168

則由此估計總體中谷的含量約為1512x：=189石.

O

故答案為：189.

10.李明和張健站在罰球處進行定點投籃比賽其結果如下表所示：

李明張健

投中數(shù)3025

未中數(shù)2015

上表數(shù)據(jù)顯示，李明投中的頻數(shù)是;投中的頻率是;張健投中的頻數(shù)是

，投中的頻率是，兩人中投中率更優(yōu)秀的是.

【答案】3060%2562.5%張健

【分析】根據(jù)表格中給出的數(shù)據(jù)，求得頻數(shù)和頻率值，進而得到兩人在投中率上誰更優(yōu)秀一些.

【詳解】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可得李明投中的頻數(shù)是30,頻率是3言0=60%,

張健投中的頻數(shù)是25,頻率是2胃5=62.5%,

40

所以張健更優(yōu)秀一些.

故答案為：30；60%；25；62.5%；張健.

11.在某市舉辦的城市運動會的跳高比賽中，甲、乙兩名跳高運動員一次試跳2米高度成功的概率分別是

0.7,0.6,且每次試跳成功與否相互之間沒有影響，若甲、乙各試跳兩次，兩人中恰有一人第二次才成功的

概率為.

【答案】0.3492

【解析】記"甲第，次試跳成功”為事件4,"乙第，次試跳成功"為事件B,,依題意得P（A）=0.7,P（Bj=0.6,

且4，耳。=1,2）相互獨立，由此能求出兩人中恰有一人第二次才成功的概率.

【詳解】解：記"甲第，次試跳成功”為事件4,"乙第/次試跳成功"為事件瓦，

依題意得P（A）=0-7,P（耳）=0.6,且4，耳《=1,2）相互獨立.

“甲第二次試跳才成功”為事件且兩次試跳相互獨立，.“（44）=P（A）P（d）=03x0.7=0.21,

故甲第二次試跳才成功的概率為0.21,

同理，可求得乙第二次試跳才成功的概率為尸（百也）=尸（區(qū)）尸出）=04x0.6=0.24,

故兩人中恰有一人第二次才成功的概率為021*（1-0.24）+0.24x（l-0.21）=0.3492,

故答案為：0.3492.

【點睛】本題主要考查相互獨立事件的概率乘法公式，屬于基礎題.

12.拋擲一枚質地均勻的硬幣，如果連續(xù)拋擲1000次，那么第998次拋擲恰好出現(xiàn)“正面向上”的概率為

【答案】|

【分析】根據(jù)概率概念可得概率與拋擲次數(shù)無關，即得結果.

【詳解】因為概率與拋擲次數(shù)無關,所以第998次拋擲恰好出現(xiàn)"正面向上”的概率等于1次拋擲恰好出現(xiàn)"正

面向上"的概率，為;.

【點睛】本題考查概率概念，考查基本分析求解能力，屬基礎題.

四、解答題

13.某棉紡廠為了了解一批棉花的質量，從中隨機抽取了25根棉花纖維的長度（棉花纖維的長度是棉花質

量的重要指標）（單位：mm）,所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間［5,40］中，具體數(shù)據(jù)如下：

1214161717

1920202122

2323232424

2525262727

2829303234

試估計這批棉花中長度小于20mm的棉花纖維的占比.

【答案】24%.

【分析】算出樣本對應的概率，用樣本估計總體

【詳解】由題，樣本中棉花中長度小于20mm的棉花纖維有6根，則占比為2=0.24,

由樣本估計總體，故估計這批棉花中長度小于20mm的棉花纖維的占比為24%.

14.某水產試驗廠進行某種魚卵的人工孵化，6個試驗小組記錄了不同的魚卵數(shù)所孵化出的魚苗數(shù)，如下表

所示:

魚卵數(shù)200600900120018002400

孵化出的魚苗數(shù)188548817106716142163

孵化成功的頻率0.9400.9130.908①0.897②

（1）表中①②對應的頻率分別為多少（結果保留三位小數(shù)）？

（2）估計這種魚卵孵化成功的概率.

（3）要孵化5000尾魚苗，大概需要魚卵多少個（精確到百位）？

【答案】（1）0.889,0.901（2）0.9（3）翳。5600

【解析】（1）計算黑，黑的值，即可得答案；

（2）從表中數(shù)據(jù)可看出，雖然頻率都不一樣，但隨著試驗的魚卵數(shù)不斷增多，孵化成功的頻率穩(wěn)定在0.9

附近，即可得答案；

（3）利用頻率等于頻數(shù)除以總數(shù)計算，即可得答案.

【詳解】（1）牖。6889,若|。0901,所以①②對應的頻率分別為。889,0.901.

（2）從表中數(shù)據(jù)可看出，雖然頻率都不一樣，但隨著試驗的魚卵數(shù)不斷增多，孵化成功的頻率穩(wěn)定在0.9

附近，由此可估計該種魚卵孵化成功的概率為09

（3）大概需要魚卵翳々5600（個）.

【點睛】本題考查頻率計算、頻率估計概率的思想，屬于基礎題.

15.某市從高二年級隨機選取1000名學生，統(tǒng)計他們選修物理、化學、生物、政治、歷史和地理六門課程

（前3門為理科課程，后3門為文科課程）的情況，得到如下統(tǒng)計表，其中"V"表示選課，"空白”表示未選.

科目

物理化學生物政治歷史地理

方案人數(shù)

一220VVV

二