2022-2023學(xué)年上海四團(tuán)中學(xué)高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

2022-2023學(xué)年上海四團(tuán)中學(xué)高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.過(guò)點(diǎn)的直線與圓有公共點(diǎn)，則直線的傾斜角的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D2.已知集合，，則A∩B=(

)A.[－2,3] B.[3,4] C.[－2,4] D.(－2,3)參考答案：B【分析】分別解出集合A，B，再求兩個(gè)集合的交集?！驹斀狻坑深}解得，，則，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集，屬于基礎(chǔ)題。3.設(shè)命題甲：的解集是實(shí)數(shù)集R；命題乙：，則命題甲是命題乙成立的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件參考答案：B由題意得，命題甲的解集是實(shí)數(shù)集，則，所以命題甲是命題乙成立的必要不充分條件，故選C.考點(diǎn)：必要不充分條件的判定.4.圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)面積為16π2的正方形，該圓柱內(nèi)有一個(gè)體積為V的球，則V的最大值為（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】根據(jù)正方形的面積計(jì)算出圓柱的底面直徑和高，由此求得圓柱內(nèi)最大球的半徑，進(jìn)而求得體積.【詳解】設(shè)圓柱的底面直徑為，高為，則，解得.故圓柱的底面直徑為，高為，所以圓柱內(nèi)最大球的直徑為，半徑為，其體積為.故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查圓柱側(cè)面展開圖有關(guān)計(jì)算，考查圓柱內(nèi)的最大球的體積的求法，屬于基礎(chǔ)題.5.已知命題p：可表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；命題q：若實(shí)數(shù)a，b滿足a＞b，則a2＞b2．則下列命題中：①p∨q②p∧q③（￢p）∨q④（￢p）∧（￢q）真命題的序號(hào)為（）A．① B．③④ C．①③ D．①②③參考答案：B【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用；雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】先分別判定命題p、命題q的真假，在根據(jù)復(fù)合命題的真值表判定．【解答】解：對(duì)于命題p：若可表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則3﹣a＞0，a﹣5＞0，a不存在，故命題p是假命題；對(duì)于命題q：若實(shí)數(shù)a，b滿足a＞b，則a2＞b2或a2=b2或a2＜b2，命題q為假命題；①p∨q為假，②p∧q為假，③（￢p）∨q為真，④（￢p）∧（￢q）為真；故選：B．6.若拋物線C：y2＝4x上一點(diǎn)M（a，b）到焦點(diǎn)F的距離為5，以M為圓心且過(guò)點(diǎn)F的圓與y軸交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝（）A.4 B.6 C. D.8參考答案：B【分析】求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，由拋物線的定義可得a＝1＝5，求得a，b，以及圓的半徑，運(yùn)用弦長(zhǎng)公式計(jì)算可得所求值．【詳解】拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為（1，0），準(zhǔn)線方程為x＝﹣1，由拋物線的定義可得a+1＝5，解得a＝4，b＝±4，以M（4，±4）為圓心且過(guò)點(diǎn)F的圓的半徑為5，由圓心到y(tǒng)軸的距離為4，可得|AB|＝26，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義和方程、性質(zhì)，以及圓的定義和弦長(zhǎng)求法，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7.函數(shù)為偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，則的解（

）A．

B.C.

D.參考答案：A略8.函數(shù)y=的圖象大致是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，利用特殊值判斷函數(shù)值的即可．【解答】解：函數(shù)y=是奇函數(shù)，所以選項(xiàng)A，B不正確；當(dāng)x=e時(shí)，y=＞0，圖象的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第一象限，D正確；C錯(cuò)誤．故選：D．9.若直線和x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，以線段AB為邊在第一象限內(nèi)做等邊△ABC，如果在第一象限內(nèi)有一點(diǎn)使得△ABP和△ABC的面積相等，則m的值為A.

B.

C.

D.參考答案：C10.已知ABC中，A=30°，B=45°，b=，則a=（）A．3 B．1 C．2 D．參考答案：B【考點(diǎn)】正弦定理．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；分析法；解三角形．【分析】由已知利用正弦定理即可求值得解．【解答】解：∵A=30°，B=45°，b=，∴由正弦定理可得：a===1．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.為橢圓上的點(diǎn)，是其兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則的面積是

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．參考答案：略12.若隨機(jī)變量，則.參考答案：13.在區(qū)間（0，1）上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)m,n,則關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)根的概率為

參考答案：略14.，則

.參考答案：略15.若y=x3+x﹣2在P處的切線平行于直線y=7x+1，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是．參考答案：（，）或（﹣，）

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．分析：先求導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義令導(dǎo)函數(shù)等于4建立方程，求出方程的解，即可求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入原函數(shù)即可求出切點(diǎn)坐標(biāo)．解答：解：由y=x3+x﹣2，求導(dǎo)數(shù)得y′=3x2+1，由已知得3x2+1=7，解之得x=±．當(dāng)x=時(shí)，y=；當(dāng)x=﹣時(shí)，y=．∴切點(diǎn)P0的坐標(biāo)為（，）或（﹣，）．故答案為：（，）或（﹣，）．點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求切點(diǎn)的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．16.過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線相交于M、N兩點(diǎn)，以MN為直徑的圓恰好過(guò)雙曲線的右頂點(diǎn)，則雙曲線的離心率等于______.參考答案：2略17.函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線上，其中,則的最小值為

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的解集；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：（1）；（2）.【分析】（1）將代入函數(shù)的解析式，并將函數(shù)表示為分段函數(shù)，分段解出不等式，可得出所求不等式的解集；（2）分和兩種情況，將函數(shù)的解析式表示為分段函數(shù)，求出函數(shù)的最小值，然后解出不等式可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由，得；當(dāng)時(shí)，由，得；當(dāng)時(shí)，不等式無(wú)解.所以原不等式的解集為；（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，由，得或，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的解法以及絕不等式不等式恒成立問(wèn)題，一般采用去絕對(duì)值的辦法，利用分類討論思想求解，考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于中等題.19.已知：復(fù)數(shù)與在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，且（i為虛數(shù)單位），||=。（I）求的值；（II）若的虛部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值。參考答案：（I）或（II）【分析】（I）設(shè)，得出的表達(dá)式，根據(jù)和列方程組，解方程組求得的值，進(jìn)而求得的值.（II）根據(jù)（I）的結(jié)論確定的值.代入運(yùn)算化簡(jiǎn)，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件列方程組，解方程組求得的值.【詳解】解：（I）設(shè)（x，y∈R），則=－x+yi，∵z1（1－i）=（1+i），||=，∴，∴或，即或

（II）∵的虛部大于零，∴，∴，則有，∴，∴?！军c(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的概念，考查復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)相等、復(fù)數(shù)的虛部等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.20.已知函數(shù).（1）證明：函數(shù)在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)；（2）已知，若函數(shù)有兩個(gè)相異零點(diǎn)，且（b為與x無(wú)關(guān)的常數(shù)），證明：.參考答案：（1）證明見解析；（2）證明見解析【分析】（1）先利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，再利用零點(diǎn)存在定理證明結(jié)論，（2）先求，再結(jié)合恒成立轉(zhuǎn)化證明，即需證，根據(jù)條件消，令，轉(zhuǎn)化證，即需證，這個(gè)不等式利用導(dǎo)數(shù)易證.【詳解】（1），令，則在上恒成立，所以，在上單調(diào)遞減，，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理得，函數(shù)在存在唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，所以在存在唯一零點(diǎn)；（2）因?yàn)?，，所以，不妨設(shè)，因?yàn)椋裕?，所以，，因?yàn)?，，而要求滿足的b的最大值，所以只需證明.所以（*）令，則，所以（*），令，則，所以在上單調(diào)遞增，即綜上，.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查綜合分析論證能力，屬難題.21.已知函數(shù)f（x）=x2﹣2ax﹣1+a，a∈R．（Ⅰ）若a=2，試求函數(shù)y=（x＞0）的最小值；（Ⅱ）對(duì)于任意的x∈，不等式f（x）≤a成立，試求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）由y===x﹣4．利用基本不等式即可求得函數(shù)的最小值；（Ⅱ）由題意可得不等式f（x）≤a成立”只要“x2﹣2ax﹣1≤0在恒成立”．不妨設(shè)g（x）=x2﹣2ax﹣1，則只要g（x）≤0在恒成立．結(jié)合二次函數(shù)的圖象列出不等式解得即可．【解答】解：（Ⅰ）依題意得y===x﹣4．因?yàn)閤＞0，所以x，當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)，即x=1時(shí)，等號(hào)成立．所以y≥﹣2．所以當(dāng)x=1時(shí)，y=的最小值為﹣2．…（Ⅱ）因?yàn)閒（x）﹣a=x2﹣2ax﹣1，所以要使得“?x∈，不等式f（x）≤a成立”只要“x2﹣2ax﹣1≤0在恒成立”．不妨設(shè)g（x）=x2﹣2ax﹣1，則只要g（x）≤0在恒成立．因?yàn)間（x）=x2﹣2ax﹣1=（x