四川省綿陽市秀水鎮(zhèn)民興中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)文摸底試卷含解析

四川省綿陽市秀水鎮(zhèn)民興中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)文摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.4張卡片上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為（） A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式． 【專題】概率與統(tǒng)計(jì)． 【分析】4張卡片上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張，基本事件總數(shù)n==6，取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)包含的基本事件個(gè)數(shù)m==4，由此能求出取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率． 【解答】解：4張卡片上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張， 基本事件總數(shù)n==6， 取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)包含的基本事件個(gè)數(shù)m==4， ∴取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為=． 故選：C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等可能事件的概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用． 2.已知直線mx﹣y+1=0交拋物線y=x2于A、B兩點(diǎn)，則△AOB（）A．為直角三角形 B．為銳角三角形C．為鈍角三角形 D．前三種形狀都有可能參考答案：A【考點(diǎn)】三角形的形狀判斷．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)A和B都為拋物線上的點(diǎn)，設(shè)出A和B的坐標(biāo)，把直線與拋物線解析式聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理求出兩根之積，然后利用A和B的坐標(biāo)表示出和，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，計(jì)算得出?為0，從而得出兩向量互相垂直，進(jìn)而得到三角形為直角三角形．【解答】解：設(shè)A（x1，x12），B（x2，x22），將直線與拋物線方程聯(lián)立得，消去y得：x2﹣mx﹣1=0，根據(jù)韋達(dá)定理得：x1x2=﹣1，由=（x1，x12），=（x2，x22），得到?=x1x2+（x1x2）2=﹣1+1=0，則⊥，∴△AOB為直角三角形．故選A【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形形狀的判斷，涉及的知識(shí)有韋達(dá)定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，以及兩向量垂直時(shí)滿足的條件，曲線與直線的交點(diǎn)問題，常常聯(lián)立曲線與直線的方程，消去一個(gè)變量得到關(guān)于另外一個(gè)變量的一元二次方程，利用韋達(dá)定理來解決問題，本題證明垂直的方法為：根據(jù)平面向量的數(shù)量積為0，兩向量互相垂直．3.乒乓球運(yùn)動(dòng)員10人，其中男女運(yùn)動(dòng)員各5人，從這10名運(yùn)動(dòng)員中選出4人進(jìn)行男女混合雙打比賽，選法種數(shù)為（

）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．參考答案：A4.“2a＞2b＞1“是“＞“的（）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：C【考點(diǎn)】2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】由“2a＞2b＞1“?a＞b＞0，但是由“＞“?a＞b，不一定大于0．即可得出結(jié)論．【解答】解：由“2a＞2b＞1“?a＞b＞0，但是由“＞“?a＞b，不一定大于0．∴“2a＞2b＞1“是“＞“的充分不必要條件．故選：C．5.若=1，則f′（x0）等于（）A．2 B．﹣2 C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】6F：極限及其運(yùn)算；61：變化的快慢與變化率．【分析】先將進(jìn)行化簡變形，轉(zhuǎn)化成導(dǎo)數(shù)的定義式，即可解得．【解答】解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可得，=故選C6.直線是曲線的一條切線，則實(shí)數(shù)b的值為（

）A．2

B．

C.

D．參考答案：Cy′=（lnx）′=,，令得x=2，∴切點(diǎn)為（2，ln2），代入直線方程,∴l(xiāng)n2=1+b∴b=ln2-1．故選C．

7.

執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：D8.在中,已知向量,,則的面積為(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：A9.過點(diǎn)（0，3）與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（

）A．1條

B．2條

C．3條

D．4條參考答案：C10.定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足，且的導(dǎo)函數(shù)，則滿足的x的集合為（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】利用2f(x)<x＋1構(gòu)造函數(shù)g(x)＝2f(x)－x－1，進(jìn)而可得g′(x)＝2f′(x)－1>0。得出g(x)的單調(diào)性結(jié)合g(1)＝0即可解出。【詳解】令g(x)＝2f(x)－x－1.因?yàn)閒′(x)>，所以g′(x)＝2f′(x)－1>0.所以g(x)為單調(diào)增函數(shù)．因?yàn)閒(1)＝1，所以g(1)＝2f(1)－1－1＝0.所以當(dāng)x<1時(shí)，g(x)<0，即2f(x)<x＋1.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考察導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算以及構(gòu)造函數(shù)利用其單調(diào)性解不等式。屬于中檔題。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.雙曲線兩條漸近線的夾角為60o，該雙曲線的離心率為--

.參考答案：12.已知經(jīng)過計(jì)算和驗(yàn)證有下列正確的不等式:,,,,,根據(jù)以上不等式的規(guī)律，寫出一個(gè)一般性的不等式.參考答案：13.為了慶祝六一兒童節(jié)，某食品廠制作了3種不同的精美卡片，每袋食品隨機(jī)裝入一張卡片，集齊3種卡片可獲獎(jiǎng)，現(xiàn)購買該種食品5袋，能獲獎(jiǎng)的概率為________．參考答案：能獲獎(jiǎng)有以下兩種情況：①5袋食品中三種卡片數(shù)分別為1,1,3，此時(shí)共有×A33＝60(種)不同的方法，其概率為P1＝＝；②5袋食品中三種卡片數(shù)分別為2,2,1，共有×A33＝90(種)不同的裝法，其概率為P2＝＝，所以所求概率P＝P1＋P2＝.14.觀察下列等式：，，，……由以上等式推測到一個(gè)一般的結(jié)論：對(duì)于n∈，

；參考答案：略15.一個(gè)正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則球的表面積與這個(gè)正方體的表面積之比為_______.參考答案：16.已知圓C過點(diǎn)（1,0），且圓心在x軸的正半軸上，直線l：y＝x－1被圓C所截得的弦長為2，則過圓心且與直線l垂直的直線的方程為________．參考答案：x＋y－3＝017.設(shè)的展開式中的系數(shù)為a，二項(xiàng)式系數(shù)為b，則的值為_______.參考答案：4【分析】列出展開式的通項(xiàng)公式，可知當(dāng)時(shí)，為的項(xiàng)，從而可確定二項(xiàng)式系數(shù)和系數(shù)，作比得到結(jié)果.【詳解】展開式通項(xiàng)公式為：當(dāng)，即時(shí)，，

【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理中求解指定項(xiàng)的系數(shù)、二項(xiàng)式系數(shù)的問題，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（16分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓（a＞b＞0）的焦距為2，且過點(diǎn)（1，），橢圓上頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)A作圓（x﹣1）2+y2=r2（0＜r＜1）的兩條切線分別與橢圓E相交于點(diǎn)B，C（不同于點(diǎn)A），設(shè)直線AB，AC的斜率分別為kAB，KAC．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求kAB?kAC的值；（3）試問直線BC是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由．

參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】（1）由題意可得：2c=2，=1，又a2=b2+c2，聯(lián)立解得求出橢圓的方程．（2）設(shè)切線方程為y=kx+1，則（1﹣r2）k2﹣2k+1﹣r2=0，設(shè)兩切線AB，AD的斜率為k1，k2（k1≠k2），k1?k2=1，由切線方程與橢圓方程聯(lián)立得：（1+4k2）x2+8kx=0，由此能求出直線BD方程，進(jìn)而得到直線．（3）設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），kAB=k1，kAC=k2．設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A所作的圓的切線方程為：y=kx+1．與橢圓方程聯(lián)立可得：（1+4k2）x2+8kx=0，解得x=0，x=，可得：xB，xC．yB，yC，kBC=．可得直線BC的方程，即可得出．【解答】解：（1）由題意可得：2c=2，=1，又a2=b2+c2，聯(lián)立解得c=，a=2，b=1．∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1．（2）A（0，1），設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A的圓（x﹣1）2+y2=r2（0＜r＜1）的切線方程為：y=kx+1．則=r，化為：（r2﹣1）k2+2k+r2﹣1=0，則kAB?kAC==1．（3）設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），kAB=k1，kAC=k2．設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A的圓（x﹣1）2+y2=r2（0＜r＜1）的切線方程為：y=kx+1．聯(lián)立，化為：（1+4k2）x2+8kx=0，解得x=0，x=，∴xB=，xC==．yB=，yC=．∴kBC==．∴直線BC的方程為：y﹣=，令x=0，可得：y=．∴直線BC經(jīng)過定點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、圓的切線方程、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．19.已知f（x）=（a2﹣a﹣1）xa（a是常數(shù)）為冪函數(shù)，且在第一象限單調(diào)遞增．（1）求f（x）的表達(dá)式；（2）討論函數(shù)g（x）=在（﹣，+∞）上的單調(diào)性，并證之．參考答案：【考點(diǎn)】3E：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；4U：冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域．【分析】（1）由f（x）為冪函數(shù)，且在第一象限單調(diào)遞增，列出方程組，能求出f（x）的表達(dá)式．（2）推導(dǎo)出g（x）=x++3，利用定義法和分類討論思想能求出結(jié)果．【解答】解：（1）∵f（x）=（a2﹣a﹣1）xa（a是常數(shù)）為冪函數(shù)，且在第一象限單調(diào)遞增．∴由題意得：，解得a=2，∴f（x）=x2．（2）g（x）===x++3，任取x1，x2∈（﹣），且x1＜x2，則g（x1）﹣g（x2）=（）﹣（+3）=（x1﹣x2）+（）=，①當(dāng)﹣＜0時(shí)，x1x2﹣2＜0，x1﹣x2＜0，x1x2＞0，∴g（x1）﹣g（x2）＞0，即g（x1）＞g（x2），∴g（x）在（﹣，0）上單調(diào)遞減．②當(dāng)0＜時(shí)，x1x2﹣2＜0，x1﹣x2＜0，x1x2＞0，∴g（x1）﹣g（x2）＞0，即g（x1）＞g（x2），∴g（x）在（0，）上單調(diào)遞減．③當(dāng)時(shí)，x1x2﹣2＜0，x1﹣x2＜0，x1x2＜0，∴g（x1）﹣g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2），∴g（x）在[，+∞）上單調(diào)遞增．20.（1）求證：（2）參考答案：（1）詳見解析（2）詳見解析試題分析：（1）結(jié)合不等式特點(diǎn)采用分析法證明；（2）由題意可知此題證明時(shí)采用反證法，首先假設(shè)兩者都大于等于2，由此推出與已知矛盾的結(jié)論，從而說明假設(shè)不成立，從而證明結(jié)論試題解析：而上式顯然成立，故原不等式成立．………………6分……………8分………………12分考點(diǎn)：不等式證明21.已知點(diǎn)O（0，0），A（2，一1），B（一4，8）．（1）若點(diǎn)C滿足，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）若與垂直，求k．參考答案：（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)出C點(diǎn)的坐標(biāo)，利用終點(diǎn)減起點(diǎn)坐標(biāo)求得和的坐標(biāo)，利用向量運(yùn)算坐標(biāo)公式，得到滿足的條件求得結(jié)果；（2）利用向量坐標(biāo)運(yùn)算公式求得，，利用向量垂直的條件，得到等量關(guān)系式，求得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以．設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，則．由，得解得，，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為．（2），，因?yàn)榕c垂直，所以，解得.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)向量的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有向量坐標(biāo)運(yùn)算公式及法則，向量垂直的條件，數(shù)量積坐標(biāo)公式，屬于簡單題目.22.（10分）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，已知a5=9，S7=49．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）令bn=an?2n，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】（1）由S7=49結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求得a4=7，再求等差數(shù)列的公差和通項(xiàng)式；（2）bn=an?2n=（2n﹣1）?2n，用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn【解答】解：（1）在等差數(shù)列{an}中，由S7=7（a1+a7）=49，得：a4=7，又∵a5=9，∴公差d=2，a1=1，∴數(shù)列{an}的通