上海市楊浦區(qū)2023年高三《數(shù)學(xué)》上學(xué)期期中試卷與參考答案

上海市楊浦區(qū)2023年高三《數(shù)學(xué)》上學(xué)期期中試題與參考答案一、填空題本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分?？忌鷳?yīng)在答題紙的相應(yīng)位置填寫結(jié)果．1.集合，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_________．【答案】【分析】根據(jù)子集的定義和不等式的性質(zhì)，即可求得答案.【詳解】∵，，∴，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.2.函數(shù)的定義域是______．【答案】【詳解】由題設(shè)有，解得，故函數(shù)定義域?yàn)?，填?.陳述句“且”的否定形式是_________．【答案】“或”【分析】根據(jù)命題的否定理解.【詳解】“且”的否定形式是“或”.故答案為：“或”.4.已知A、B是獨(dú)立事件，，則_________．【答案】0.15【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式即可求解.【詳解】由于A、B是獨(dú)立事件,所以,故答案為:0.155.若圓錐的軸截面是邊長為1的正三角形．則圓錐的側(cè)面積是_________．【答案】【分析】根據(jù)題意可得圓錐的底面半徑和母線長，進(jìn)而根據(jù)圓錐側(cè)面積公式求得結(jié)果.【詳解】若圓錐的軸截面是邊長為1的正三角形，則圓錐的底面半徑，母線，故圓錐的側(cè)面積.故答案為：.6.若復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為______.【答案】2【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和純虛數(shù)的定義即可得出．【詳解】解：復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，，解得，故答案為：2．7.已知，在上的投影向量為，則_________．【答案】【分析】根據(jù)投影向量可得，結(jié)合向量模長公式得模長即可求解.【詳解】由得，在上的投影向量為，所以，故答案為：8.如果冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，那么單調(diào)減區(qū)間是_________．【答案】和【分析】根據(jù)冪函數(shù)解析式形式代入可得，即可求單調(diào)區(qū)間.【詳解】設(shè)，則，故，因此的單調(diào)遞減區(qū)間為：和，故答案：和9.某醫(yī)院對某學(xué)校高三年級的600名學(xué)生進(jìn)行身體健康調(diào)查，采用男女分層抽樣法抽取一個(gè)容量為50的樣本，己知女生比男生少抽了10人，則該年級的女生人數(shù)是_________．【答案】240【分析】先求分層抽樣比例，然后設(shè)元，根據(jù)題意列方程求解.【詳解】抽取比例為，設(shè)該年級的女生人數(shù)是，則男生人數(shù)為，因?yàn)榕饶猩俪榱?0人，所以，解得，故答案為：240.10.偶函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，若．則關(guān)于x的不等式的解集是_________．【答案】【分析】令，通過的奇偶性和單調(diào)性來確定的奇偶性和單調(diào)性，再將變形為，得到，再利用奇偶性和單調(diào)性可得答案.【詳解】令，在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，又也是偶函數(shù)，是定義在上的偶函數(shù)，由得，即，，解得故答案為：11.己且，則的最小值是_________．【答案】4【分析】根據(jù)絕對值三角不等式，即可容易求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號；又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號；則，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)取得等號.故答案為：.12.已知函數(shù)在上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的最大值為_________．【答案】【分析】根據(jù)正弦的二倍角公式可得或，進(jìn)而可得的零點(diǎn)情況，結(jié)合區(qū)間即可確定a的最大值.【詳解】由得，令，解得或，當(dāng),,當(dāng)，或，所以當(dāng)，的零點(diǎn)按從小到大排列有：，故在上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則這5個(gè)零點(diǎn)為，故，故a的最大值為，故答案為：二、選擇題本題共有4題，滿分20分，每題5分。每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑．13.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【分析】解不等式，利用集合間的關(guān)系理解充分、必要條件.【詳解】設(shè)，∵，則“”是“”的充要條件.故選：C.14.同時(shí)擲兩枚般子，向上點(diǎn)數(shù)之和是6的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】列舉法解決即可.【詳解】列表得共有36種等可能的結(jié)果，向上的點(diǎn)數(shù)之和是6的情況有5種，擲兩枚般子，向上的點(diǎn)數(shù)之和是6的概率是，故選：D15.已知某射擊愛好者打靶成績（單位：環(huán)）的莖葉圖如圖所示，其中整數(shù)部分為“莖”，小數(shù)部分為“葉”，則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為（精確到0.01）（）A.0.35 B.0.59 C.0.40 D.0.63【答案】B【分析】根據(jù)莖葉圖求平均值，再由標(biāo)準(zhǔn)差與均值的關(guān)系求【詳解】由莖葉圖可得數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為因?yàn)?，所以很接近，且小?.6，故只有B選項(xiàng)滿足，故選：B16.如圖所示，圖中多面體是由兩個(gè)底面相同的正四棱錐所拼接而成，且這六個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上．若二面角的正切值為1，則二面角的正切值為（）A.1 B. C.2 D.【答案】C【分析】根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)可得平面，外接球的球心在上，利用球的性質(zhì)結(jié)合二面角的平面角的定義分析運(yùn)算.【詳解】連接，則交于點(diǎn)，且平面，故多面體的外接球的球心在上，取的中點(diǎn)，連接，∵，且為的中點(diǎn)，則，∴二面角的平面角為，二面角的平面角為，又∵二面角的正切值為，即，不妨設(shè)，則，∵，即，解得，即外接球的半徑為，則，∴二面角的正切值.故選：C.三、解答題本大題共有5題，滿分76分。解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟17.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，（1）若A、B、C三點(diǎn)共線，求x的值；（2）若與夾角為鈍角，求x的取值范圖.【答案】（1）2（2）【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合運(yùn)算求解；（2）根據(jù)向量夾角與數(shù)量積之間的關(guān)系運(yùn)算求解.【小問1詳解】，三點(diǎn)共線，與共線，則，解得.【小問2詳解】由（1）知，與夾角為鈍角，可得，解得，若與平行，則，解得，若與不平行，則，的取值范圍是.18.已知函數(shù)（1）若關(guān)于x的不等式的解集為，求實(shí)數(shù)a和b的值；（2）若函數(shù)在上的最大值為2，求實(shí)數(shù)a的值．【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)三個(gè)二次之間的關(guān)系理解運(yùn)算；（2）根據(jù)二次函數(shù)的對稱性結(jié)合分類討論，運(yùn)算求解.【小問1詳解】由已知可得的兩根是，b所以，解得.【小問2詳解】的對稱軸為，當(dāng)，即時(shí)，在時(shí)取得最大值，故．解得，符合題意；當(dāng)，即時(shí)，在時(shí)取得最大值，故．解得，不符合題意，舍去；綜上所述：.19.如圖，一輛汽車在水平的公路上向正西直線行駛，到處時(shí)測得公路北側(cè)遠(yuǎn)處一山項(xiàng)（在水平面上的射影為點(diǎn)）在西偏北的方向上，仰角為，行駛后到達(dá)處，測得山頂在西偏北的方向上．（1）求此山的高度（單位，精確到）：（2）求汽車行駛過程中仰望山頂?shù)难鼋堑淖畲笾担ň_到）【答案】（1）（2）490【分析】（1）在直角三角形中求得山高，再由三角形中已知兩角一邊用正弦定理即可解決；（2）當(dāng)點(diǎn)到公路距離最小時(shí)，仰望山頂?shù)难鼋沁_(dá)到最大，根據(jù)直角三角形邊角關(guān)系，即可求解.【小問1詳解】設(shè)此山高，則，在中，，根據(jù)正弦定理得，即，解得．答：山的高度為．【小問2詳解】由題意可知，當(dāng)點(diǎn)到公路距離最小時(shí)，仰望山頂?shù)难鼋沁_(dá)到最大．過作，垂足為，連接．則所以答：仰角的最大值為20.如圖，三棱柱中，，，，點(diǎn)M，F(xiàn)分別為BC，的中點(diǎn)，點(diǎn)E為AM的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）證明：平面；（3）求直線EF與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【分析】（1）利用等腰三角形的三線合一定理及線面垂直的判定定理，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理即可求解；（2）利用三角形的中位線定理及平行四邊形的判定和性質(zhì)，結(jié)合線面平行的判定定理即可求解；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)及線面角的定義，再利用線面平行的判定定理及線面垂直的性質(zhì)定理，結(jié)合銳角三角函數(shù)即可求解.【小問1詳解】，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)同理，,平面,平面,平面【小問2詳解】取BM中點(diǎn)為G，連接EG、,則，所以又，所以四邊形平行四邊形，所以而在平面內(nèi)，EF在平面外，故平面，【小問3詳解】因?yàn)椋灾恍枨笾本€與平面所成角的正弦值．因，所以，因?yàn)樗砸驗(yàn)樗孕枨簏c(diǎn)到平面的距離．因?yàn)?，不在平面?nèi)，BC在平面內(nèi)，所以平面，所以只需求到平面的距離．過作的垂線，垂足為H．如圖所示因?yàn)槠矫妫裕忠驗(yàn)椋?，所以平面因?yàn)樗运裕灾本€EF與平面所成角的正弦值為.21.已知對任意正整數(shù)n，都存在n次多項(xiàng)式函數(shù)，使得對一切恒成立．例如“，”（1）求；（2）求證：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，不存在函數(shù)使得對一切恒成立；（3）求證：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，存在多項(xiàng)式函數(shù)使得對一切恒成立，并求其最高次項(xiàng)系數(shù)．【答案】（1）（2）證明見解析（3）答案見解析【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合余弦函數(shù)理解求值；（2）根據(jù)誘導(dǎo)公式結(jié)合反證法證明；（3）根據(jù)三角恒等變換結(jié)合等比數(shù)列分析證明.【小問1詳解】∵，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故.【小問2詳解】n為偶數(shù)，假設(shè)存在函數(shù)