6.4.3.1余弦定理課件-【知識精講精研】高一下學期數(shù)學人教A版（2019）必修第二冊

第六章

平面向量及其應用6.4.3.1余弦定理人教2019A版必修第二冊學習目標【教學目標】1.掌握余弦定理的兩種表示形式及證明方法.2.會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題.3.學會運用方程思想解決兩邊及一角的問題.一個三角形含有各種各樣的幾何量，例如三邊邊長、三個內角的度數(shù)、面積等，它們之間存在著確定的關系.一般三角形，我們已經定性地研究過三角形的邊、角關系，得到了SSS、SAS、ASA、AAS等判定三角形全等的方法.這些判定方法表明，給定三角形的三個角、三條邊這六個元素中的某些元素，這個三角形就是唯一確定的.那么三角形的其他元素與給定的某些元素有怎樣的數(shù)量關系？下面我們利用向量方法研究這個問題.呈現(xiàn)背景提出問題兩邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等.這說明，給定兩邊及其夾角的三角形是唯一確定的.也就是說，三角形的其他邊、角都可以用這兩邊及其夾角來表示.那么，表示的公式是什么？呈現(xiàn)背景提出問題如圖，在△ABC中，三個角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，怎樣用a、b和C表示c？分析聯(lián)想尋求方法余弦定理三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍.即

你能用其他方法證明余弦定理嗎？猜想驗證得出結論法一：運用勾股定理分銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形三種情況法二：坐標化運用三角函數(shù)定義、兩點間距離公式思考：利用余弦定理可以解決三角形的哪類問題？已知兩邊夾一角求第三邊（SAS型）已知三邊求任意一個角（SSS型）

余弦定理及其推論把用“SAS”和“SSS”判定三角形全等的方法從數(shù)量化的角度進行了刻畫.已知兩邊及一角求第三邊（方程，知三求一）余弦定理與勾股定理的關系勾股定理指出了直角三角形中三邊之間的關系，余弦定理則指出了三角形的三條邊與其中的一個角的關系.你能說說這兩個定理之間的關系嗎？余弦定理是勾股定理的推廣，而勾股定理是余弦定理的特例解三角形的定義一般地，三角形的三個角A、B、C和它們的對邊a、b、c叫做三角形的元素.已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.(1)在△ABC中，已知b＝3，c＝

，A＝30°，求a的值.(2)在△ABC中，已知b＝

，c＝

，B＝30°，求a的值.例1運用新知鞏固內化余弦定理可以解決的問題：(1)已知兩邊及其夾角，利用余弦定理可求出第三邊；(2)已知兩邊及一邊對角，可利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三邊；(3)已知三邊，利用余弦定理求出角的余弦值，進而求出角.反思感悟練習√1.在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，則最大角的大小為________.例2用余弦定理證明：在△ABC中，當C為銳角時，a2+b2>c2；當C為鈍角時，a2+b2<c2．利用余弦定理判斷三角形形狀思考：(1)△ABC為銳角三角形是a2+b2>c2的_________條件；(2)△ABC為鈍角三角形是a2+b2>c2的_________條件.練習

已知鈍角三角形△ABC三邊a=k，b=k+2，c=k+4，求k的取值范圍．例3在△ABC中，若acosB＝bcosA，試判斷該三角形的形狀.反思感悟(1)利用三角形的邊角關系判斷三角形的形狀時，需從“統(tǒng)一”入手：①先化邊為角，再進行三角恒等變換，求出三角之間的數(shù)量關系；②先化角為邊，再進行代數(shù)恒等變換，求出三邊之間的數(shù)量關系.(2)判斷三角形的形狀時，經常用到以下結論①△ABC為直角三角形?a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2；②△ABC為銳角三角形?a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2；③△ABC為鈍角三角形?a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2；④若sin2A＝sin2B，則A＝B或A＋B＝.1．余弦定理是三角形邊角之間關系的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例．2．用余弦定理可以解決兩種解三角形的題型(1)已知三邊解三角形．(2)已知兩邊及一角解三角形．3．已知兩邊及其中一邊所對角用余弦定理求解時可能有兩個解，注意用邊與角之間的關系特點進行取舍．二、方法歸納：轉化化歸、數(shù)形結合.三、常見誤區(qū)：易忽略三角形中的隱含條件.一、知識清單：回顧反思拓展問題2.在△ABC中，已知a=ccosB，則△ABC的形狀是

.直角三角形練習11.在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，則△ABC一定是A.銳角三角形 B.鈍角三角形C.直角三角形 D.等