2025屆新高考數學精準沖刺復習：數形結合思想

2025屆新高考數學精準沖刺復習數形結合思想

數形結合思想，就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相

互轉化來解決數學問題的思想.“數缺形時少直觀，形少數時難入

微”，因此，數形結合思想的應用包括以下兩個方面：（1）

“以形助

數”，把某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象

思維，揭示數學問題的本質；（2）

“以數定形”，把直觀圖形數量

化，使形更加精確.運用數形結合的思想解決問題時，要注意以下兩個方面：（1）

一

定要準確把握有關函數與圖象、方程與曲線、幾何圖形，否則極易導致

錯誤的結果；（2）

既要關注數，也要關注形，還要關注性，即數學問

題的本質特征.

1.（2023·四省適應性考試）已知平面向量

a

與

b

互相垂直，

a

＝（6，－

8），｜

b

｜＝5，且

b

與向量（1，0）的夾角是鈍角，則

b

等于（

D

）A.（－3，－4）B.（4，3）C.（－4，3）D.（－4，－3）D

C3.（多選）（2021·新高考Ⅰ卷）已知

O

為坐標原點，點

P

1（cosα，sin

α），

P

2（cosβ，－sinβ），

P

3（cos（α＋β），sin（α＋β）），

A

（1，0），則下列式子正確的是（

AC

）AC4.（2023·新高考Ⅰ卷）已知函數

f

（

x

）＝cosω

x

－1（ω＞0）在區(qū)間

[0，2π]上有且僅有3個零點，則ω的取值范圍是

?.[2，3）

熱點1

依性識圖[典例設計]例1

（2023·岳陽模擬）函數

f

（

x

）＝sin

x

＋

a

cos

x

（

a

＜0）在一個

周期內的圖象可能是（

C

）ABCDC總結提煉

依據函數的解析式（代數性質）識別函數的圖象特征（幾何性

質）通常有如下五個維度的考量：（1）

根據函數的定義域，判斷圖象的左右位置；根據函數的值域，判

斷圖象的上下位置.（2）

根據函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢.（3）

根據函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性.（4）

根據函數的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復.（5）

根據特殊點處的函數值，排除不合適的圖象.[對點訓練]1.函數

f

（

x

）＝（

x

2－2

x

）e

x

的圖象大致是（

B

）ABCDB解：令

f

（

x

）＝0，則

x

＝0或

x

＝2，排除選項AC.當

x

→－∞時，

f

（

x

）→0，排除選項D.故選B.熱點2

以形助數[典例設計]例2

（2021·新高考Ⅰ卷）若過點（

a

，

b

）可以作曲線

y

＝e

x

的兩條切

線，則下列各式正確的是（

D

）A.eb＜aB.ea＜bC.0＜a＜ebD.0＜b＜eaD解：設點

P

的坐標為（

a

，

b

）.畫出函數

y

＝e

x

的圖象如圖所示，由此

非常直觀地就可以判定只有點

P

（

a

，

b

）在曲線

y

＝e

x

的下方和

x

軸上

方時才可以作出兩條切線.所以0＜

b

＜e

a

.故選D.總結提煉

根據函數的圖象特征，借助幾何直觀往往是快速突破并解決問題

的有效方法.比純代數方法更優(yōu)越，解題成本更低、效率更高.[對點訓練]2.若

x

＝

a

為函數

f

（

x

）＝

a

（

x

－

a

）2（

x

－

b

）的極大值點，

a

≠0，

則下列各式正確的是（

D

）A.a＜bB.a＞bC.ab＜a2D.ab＞a2D解：若

a

＝

b

，則

f

（

x

）＝

a

（

x

－

a

）3為單調函數，無極值點，不符

合題意，故

a

≠

b

.所以

f

（

x

）有

x

＝

a

和

x

＝

b

兩個不同的零點，且

f

（

x

）在

x

＝

a

左右不變號，在

x

＝

b

左右變號.因為

x

＝

a

為函數

f

（

x

）

＝

a

（

x

－

a

）2（

x

－

b

）的極大值點，所以

f

（

x

）在

x

＝

a

左右都是小

于零的.當

a

＜0時，由

x

＞

b

，

f

（

x

）≤0，畫出函數

f

（

x

）的圖象如

圖①所示.由圖可知，

b

＜

a

＜0，所以

ab

＞

a

2.當

a

＞0時，由

x

＞

b

，

f

（

x

）＞0，畫出函數

f

（

x

）的圖象如圖②所示.由圖可知，

b

＞

a

＞0，

所以

ab

＞

a

2.綜上所述，

ab

＞

a

2一定成立.故選D.

A.4B.