2023-2024學(xué)年重慶市萬州二中高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（8月份）（含解析）

2023-2024學(xué)年重慶市萬州二中高三(上)月考數(shù)學(xué)試卷(8月份)

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

1.設(shè)集合4={x|(x-l)(x-4)<0),B=[x\-2<x<3],則4UB=()

A.[-1,4)B.(-1,4)C.[-2,4)D.(-2,4)

2.已知五=(一15一1),b=(3,2)，且|2五+，|=3,則t的值為()

A.<7B.<3C.D.土?

3.已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+8)上單調(diào)遞增，則滿足f(2x—1)</4)的x的取值范圍為()

A.(-另)B.(/|)C.(另)D.(另)

4.函數(shù)y=cos2%+sinx-cos》圖象的對(duì)稱軸是()

A.x=^+^(kEZ)B.x=:—氯keZ)

c.x=^+^(kez)D.x=^-^(kez)

5.若雙曲線C；攝一*19>0/>0)的一條漸近線被圓。+2)2+、2=4所截得的弦長(zhǎng)為2，？，則c的

離心率為()

A.y/~3B.亨C.<7D.手

6.若a=0.1,b=ln*c=sin、，則()

yy

A.b<a<cB.a<c<bC.a<b<cD.c<b<a

7.在銳角△ABC中，角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,S為△ABC的面積，a=2,且2S=a?—(b—c)2,

則△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍是()

A.(4,6]B.(4,2<5+2]C.(6,2仁+2]D.(4,<5+2]

8.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足/(2-x)=/(x+2),當(dāng)xe[0,2]時(shí),/(x)=(13尸，若在區(qū)間[0,10]內(nèi)，

函數(shù)g(x)=f(x)-m久一1,(m>0)有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

AA-郎「e—1工e—)1、B.,(門0,於干一1)、C.1e—1、)nD./(八01—e-li]

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)

9.重慶榮昌折扇是中國(guó)四大名扇之一，其精雅宜士人，其華燦宜艷女，P

深受各階層人民喜愛.古人曾有詩贊曰：“開合清風(fēng)紙半張，隨機(jī)舒卷豈\

尋常；金環(huán)并束龍腰細(xì)，玉柵齊編鳳翅長(zhǎng)”.榮昌折扇平面圖為下圖的扇

O

形COD,其中“。。=拳OC=4OA=4,動(dòng)點(diǎn)P在力上(含端點(diǎn))，連結(jié)OP交扇形048的弧弱于點(diǎn)Q,且

0Q=xOC+yOD<則下列說法正確的是()

A.若；7=%,則x+y=lB.若y=2x,則8X.m=0

C.AB0P>-2D.^4.PF>y

10.已知正三棱錐P-4BC的四個(gè)頂點(diǎn)在球Oi的球面上，E,F分別是P4,4B的中點(diǎn)，4B=2且CE1EF,

與該三棱錐的四個(gè)面都相切的球記為球。2,則()

A.三棱錐P-ABC的表面積為4/2B.球01的表面積為6兀

5

C.球劣的體積為孕D.球。2的半徑為?/廠

46

11.在平面直角坐標(biāo)系中,定義d(A,B)=max{|xi-&l，1%-為|}為兩點(diǎn)a(Xi，yi)、外如光)的“切比雪夫

距離”，又設(shè)點(diǎn)P及2上任意一點(diǎn)Q，稱d(P,Q)的最小值為點(diǎn)P到直線，的“切比雪夫距離”，記作d(PJ),給

出下列四個(gè)命題，正確的是()

A.對(duì)任意三點(diǎn)4B、C,都有d(C,4)+d(C,B)2d(4B)

B.已知點(diǎn)P(2,l)和直線八x-2y-2=0,則d(P/)=<

C.到定點(diǎn)M的距離和到M的“切比雪夫距離”相等的點(diǎn)的軌跡是正方形.

D.定點(diǎn)&(一c,0)、F2(C,0),動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿足|d(P,&)-d(P,F2)l=2a(2c>2a>0),則點(diǎn)P的軌跡與直線

y=為常數(shù))有且僅有2個(gè)公共點(diǎn).

12.由倍角公式cos2x=2COS2X—1,可知cos2x可以表示為cosx的二次多項(xiàng)式.一?般地，存在一個(gè)n(nGN*)'次

nn2aaaae

多項(xiàng)式4(t)=aot+%產(chǎn)-1+a2t~+…+an(o>i>2--nR)，使得cosnr=Pn(cosx),這些多項(xiàng)式

%?)稱為切比雪夫(P.L.rsc/iebysc/ie//)多項(xiàng)式.運(yùn)用探究切比雪夫多項(xiàng)式的方法可得()

342

A.P3(t)=-4t+3tB.P4(t)=8t-8t+1

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知a,b,c均為正實(shí)數(shù)，ab+ac=4,則價(jià)高+高的最小值是—

14.楊輝三角是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種排列，在歐洲這個(gè)表叫做帕斯卡三角形,

帕斯卡是在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的，我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在1261年所著的辨解九

章算法J)一書中出現(xiàn)了如圖所示的表，這是我國(guó)數(shù)學(xué)史上的一次偉大成就，如圖所示,

在“楊輝三角”中去除所有為1的項(xiàng)，依次構(gòu)成數(shù)列，2,3,3,4,6,4,5,10,10,

5...........則此數(shù)列的前119項(xiàng)的和為.(參考數(shù)據(jù)：X,X,P)

15.仇章算術(shù)/中記載：將底面為直角三角形的直三棱柱稱為塹堵，將一塹堵沿其一頂點(diǎn)與相對(duì)的棱剖開,

得到一個(gè)陽馬（底面是長(zhǎng)方形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐）和一個(gè)鱉腌（四個(gè)面均為直角三角形的四

面體）.在如圖所示的塹堵4BC-A1B1G中，BB、=BC=2C，48=2,AC=4,且有鱉膈Q-ABB1和鱉

席G-ABC,現(xiàn)將鱉膈G—4BC沿線8的翻折，使點(diǎn)C與點(diǎn)名重合，則鱉膈G—4BC經(jīng)翻折后，與鱉艄口一

ABB1拼接成的幾何體的外接球的表面積是.

16.如圖是數(shù)學(xué)家GerzninalDcmde〃n用來證明一個(gè)平面截圓錐得到的截口曲線是橢圓

的模型（稱為“Ocmde〃n雙球”）：在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的小球，使得它們分別與

圓錐的側(cè)面、截面相切，設(shè)圖中球Oi，球。2的半徑分別為3和1,球心距離|。1。2|=8,

截面分別與球0】，球。2切于點(diǎn)E,F,（瓦尸是截口橢圓的焦點(diǎn)），則此橢圓的離心率等

于.

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（本小題10.0分）

已知數(shù)列｛即｝的前n項(xiàng)和為％,滿足&=2an-n（n6N*）.

（I）證明：｛即+1｝是等比數(shù)列；

（H）求的+。3++…+的值.

18.（本小題12.0分）

如圖，在四棱錐P-4BCC中，P4J■平面4BCD,正方形4BCD的邊長(zhǎng)為2,PA=4,設(shè)E為側(cè)棱PC的中點(diǎn).

（1）求正四棱錐E-力BCD的體積V；

（2）求直線BE與平面PCD所成角。的大小.

19.(本小題12.0分)

今年的5月20日是全國(guó)第34個(gè)“中學(xué)生營(yíng)養(yǎng)日”，今年的主題是“科學(xué)食養(yǎng)助力兒童健康成長(zhǎng)”.圍繞這個(gè)

主題，在今年的5月19日，中國(guó)校園健康行動(dòng)領(lǐng)導(dǎo)小組、中國(guó)國(guó)際公司促進(jìn)會(huì)、中國(guó)關(guān)心下一代健康體育基

金會(huì)、中國(guó)關(guān)心下一代工作委員會(huì)健康體育發(fā)展中心、中國(guó)國(guó)際跨國(guó)公司促進(jìn)會(huì)中國(guó)青少年兒童健康安全

食品聯(lián)合工作委員會(huì)、中國(guó)青少年兒童健康安全食品管理委員會(huì)等單位在京共同啟動(dòng)了“中國(guó)青少年兒童

營(yíng)養(yǎng)健康標(biāo)準(zhǔn)推廣實(shí)施行動(dòng)”.我校也希望大力改善學(xué)生的膳食結(jié)構(gòu)，讓更多的學(xué)生到食堂正常就餐，而不

是簡(jiǎn)單地用面包，方便面或者零食來填飽肚子.于是學(xué)校從晚餐在食堂就餐的學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生,

針對(duì)他們晚餐時(shí)更喜歡吃面食還是更喜歡吃米飯做了調(diào)查，得到如下列聯(lián)表:

更喜歡吃面食更喜歡吃米飯總計(jì)

男生302555

女生202545

總計(jì)5050100

(1)依據(jù)小概率a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷晚餐是否更喜歡吃面食與性別是否有關(guān)聯(lián)？

(2)在樣本中，從晚餐更喜歡吃面食的學(xué)生中按性別分層抽樣抽取5人，在這5人中任選2人，其中女生的人

數(shù)為X,請(qǐng)寫出X的分布列；

(3)現(xiàn)用頻率估計(jì)概率，在全校學(xué)生中，從晚餐更喜歡吃面食的學(xué)生中任選3人，其中男生人數(shù)為丫，請(qǐng)寫出

Y的期望和方差.

2

其中九=

附:X2=be)Q+/?+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'、

a0.050.010.005

%3.8416.6357.879

20.(本小題12.0分)

已知命題p：實(shí)數(shù)m滿足不等式瓶2-3am+2a2<0(a>0)；命題q：實(shí)數(shù)m滿足方程上+==1表示雙

m—1m—5

曲線.

(1)若命題q為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(2)若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

21.(本小題12.0分)

已知橢圓C；最+5=l(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(l,0),橢圓上的點(diǎn)到F的最大距離為3.

(1)求橢圓C的方程；

(2)不經(jīng)過尸的直線，與x軸垂直，I與橢圓C交于4,B兩點(diǎn)，連接4F并延長(zhǎng)交橢圓C于點(diǎn)D,求證：直線B。過

定點(diǎn).

22.(本小題12.0分)

已知是方程1-ax=ln(ax)-尤的兩個(gè)實(shí)根，且打〈打.

(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)已知f(x)=ax,g(x)=ln(l+x)-cosx+2,若存在正實(shí)數(shù)知使得/'(/)=。(句)成立，證明：<x3.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：由(x—l)(x-4)<0得1cx<4,所以4={x[l<x<4},

B={%|-2<%<3},

=[-2,4).

故選：C.

先利用一元二次不等式的解法化簡(jiǎn)集合4再利用并集的定義求解.

本題主要考查集合的基本運(yùn)算以及不等式的求解，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：va=(-l,t-l),b=(3,2)，

2a+b=

12a+b|=3>

JI?+(2t)2=3,解得t=±，3.

故選：C.

根據(jù)已知條件，結(jié)合向量的線性運(yùn)算，以及向量模公式，屬于基礎(chǔ)題.

本題主要考查向量的線性運(yùn)算，以及向量模公式，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】解：因?yàn)榕己瘮?shù)在區(qū)間[0,+8)上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，故x的絕對(duì)值越小，函數(shù)值越小，

由/(2x-1)</?)可得：/(|2x-1|)<型)，

111

|2x—1|<--<2x—1<

解得：|<x<|.

故選：D.

由偶函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)在(-8,0)上單調(diào)遞減，然后由函數(shù)的單調(diào)性即可求解不等式.

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性在不等式求解中的應(yīng)用，屬于中檔題.

4.【答案】A

【解析】解：函數(shù)y=cos2%+sinx?cosx==—sin(2x+9+今

由2x+”k7r+5(kez),得％=等+久kez),

、乙LO

所以函數(shù)y=cos2x+sin尤,cosx圖象的對(duì)稱軸是久=與+?keZ).

故選：A.

由題意，根據(jù)二倍角公式和兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)/(x),再根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱軸可求出結(jié)果.

本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】解：由題意，雙曲線C的一條漸近線方程為"—ay=0,

又由圓(x+2產(chǎn)+y2=4的圓心為(-2,0),半徑為r=2,

因?yàn)橐粭l漸近線被圓(x+2產(chǎn)+y2=4所截得的弦長(zhǎng)為2，？，

可得(〒=二)+(V3)=4,所以。2=3爐，即a2=3(c2-a2),

yja2+b

所以e=￡=*.

故選:B.

根據(jù)題意，得出方程(昔=t)2+(O=4,求得。2=3〃，結(jié)合離心率的定義，即可求解.

本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，圓的方程的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

［解析］解：a=^=l-云=l_^,b=ln§=ln(l+§),c=sin§,

9

==

構(gòu)造函數(shù)f(%)=lnx-l+^f則f'。)~~~z

當(dāng)％W(0,1)時(shí),f(%)<0,f(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)％e(1,+8)時(shí)，>o,/(%)單調(diào)遞增，

故⑴=0,??./(當(dāng)>0,即1嗎>1一4=0.1,???b>Q.

令g(%)=InQ+1)—sinx,xe(0,1),則g'(%)=cos%,

1i

令/i(x)=--cosx,則"(X)=---2+sinx,

''x+1(x+l)

???”(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，"(0)=-1<0,/iz(l)=sinl-^>0,

???3x0G(0,1)使=0,

當(dāng)工€(0,久0)時(shí)，”(％)VO,

???無(%)在(0,沏)上單調(diào)遞減，即g'(x)在(0,與)上單調(diào)遞減，在4e寸，"(%)>。，

在(&,1)上單調(diào)遞增,

即g'(x)在(&,1)上單調(diào)遞增，又g'(0)=0,g'(l)<0,??.g'(x)<0,

???g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，

1

10-b<C

故g(§)vg(o)=0,99-

綜上QVbVc.

故選：C.

根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù)f(%)=)%—1+%g(%)=ln(x+l)—s)》,xG(04),再利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的

單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)即可求解.

本題考查了通過構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性比較數(shù)的大小，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于

難題.

7.【答案】C

【解析】解：在銳角△ABC中，角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,S為AABC的面積,a=2,且2s=a2-(b-c)2,

2222

則2s=a—(b—c)2=a—b—c+2bc=2bc-2bccosAf

???S=be-bccosA=^besinA,

???1-cosA=^sinA,

BP2sin2^=sin^cosp

又4為銳角，

A1.14..4.3

???tan-=-,tanA=—=-,sinA=-,cosA=

44I—-—OTOO

4

又Q=2,

由正弦定理可得捻=磊5

sinC2f

所以|[sinB+sin(4+B)]

534

=—(sinS+^sinB+百cosB)=4sinB+2cosB

=2，Tsin(B+s),其中tan@=\,0=今

因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形,

所以

nn^^4nA

即5<Bn+(p<~?

所以cos9<sin(5+8)W1,

又cos"左

???4<2V_-5sin(B4-<p)<2V~~5,

即8+。€(4,2仁],

故^ABC的周長(zhǎng)的取值范圍是(6,2，號(hào)+2].

故選：C.

利用面積公式和余弦定理可得tan?=11tanA=然后根據(jù)正弦定理及三角變換可得b+c=|(sinF+

sinC)=2Hsin(B+w),再根據(jù)三角形是銳角三角形，得到B的范圍，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求值域的問題.

本題考查了余弦定理及正弦定理，重點(diǎn)考查了三角函數(shù)值域的求法，屬中檔題.

8.【答案】D

【解析】解:f[2-(x+2)]=/(-x)=f[(x+2)+2]=f(x+4),

又/(%)是偶函數(shù)，所以/(-%)=/(x),則+4)=/(%),

所以/(x)的周期為4,

由/(2—x)=/(%+2),得/'(x)的圖象關(guān)于x=2對(duì)稱,

當(dāng)xG[0,2]時(shí)，/(%)=(Cy,可得/(%)的大致圖象如下，

若在區(qū)間x6[0,10]內(nèi)，函數(shù)g(x)=/(%)-mx-l(m>0)有5個(gè)零點(diǎn),

等價(jià)于y=/(x)與4(-2,ni)的圖象在xG[0,10]有5個(gè)交點(diǎn)，

結(jié)合圖象，當(dāng)x=10時(shí)y=-0)與4(—2,m)的圖象恰好有5個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)m=o時(shí)y=〃為與4(—2,m)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，不符合題意，

可得4(10,e),此時(shí)e=10m+l,可得m=空，

則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(0,旨].

故選：D.

原問題等價(jià)于y=f(x)與4(—2,m)的圖象在xe[0,10]有5個(gè)交點(diǎn)，利用已知可得f(x)是周期為4的函數(shù)，且

圖象關(guān)于x=2對(duì)稱，畫出的圖象結(jié)合圖象可得答案.

本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化思想及數(shù)形結(jié)合思想，解題的關(guān)鍵點(diǎn)是將問題轉(zhuǎn)化為y=/(久)與4(-2,爪)的圖

象在x€[0,10]有5個(gè)交點(diǎn)，考查了學(xué)生的思維能力、運(yùn)算能力，屬于中檔題.

9.【答案】BD

【解析】解：如圖，作。E1OC,分別以O(shè)C,OE為x,y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

則4(1,0)，C(4,0),B(一；,?)，。(一2,26，]

設(shè)、(曲0,5譏。),。6[0,多，則「(4血。,45出0).

由=xOC+y可得：cosO=4x—2y,sinO=且x>0,y>\

0.*'一

O\ACx

若y=x,則cos?。+sin20=(4%-2y)2+(2V-3y)2=1=>16x2=1=

則久+y=；,故A錯(cuò)誤；

若y=2x,則cos。=4%-2y=0,。=]，0/1-OP=0?故B正確；

荏.麗=（一|,三）.（4cos。，4s譏0）=-Gcosd+2Gsi=4v_3sin（。-g），

又。6[0,弱n。-ge[-22]n-6W4csin（?！?lt;6,

"3JJJJ

則一6s荏?訶S6，故C錯(cuò)誤；

由于兩=（l-4cos0,-4sin9）,PB=（一：-4cos。,號(hào)-4sin。），

PA-PB=（1-4cos0）x（-j-4cos0）+（-4sin0）x（號(hào)-4sin0）=y-2cos0-2csm。=y-

4sin（0+2）,

又&+[e*素=sin（。+1）G

所以PA.PB=—4s譏（0+7）>-4=故O正確.

zozz

故選：BD.

作OE_LOC,分別以O(shè)C,OE為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)求解即可.

本題考查了向量的數(shù)量積和三角函數(shù)的恒等變換，屬于中檔題.

10.【答案】BD

【解析】解：如圖2,設(shè)PC=b,M為"的中點(diǎn)，則所以cos乙1cM=%=『

因?yàn)镋是PA的中點(diǎn)，所以而;(m+CP),則謂之=l(cX2+CP2+2CA-CP)=^(4+b2+2x2xbx^)=

1

b2

4-8)

如圖1,「EFICE,二EF2+CE2=CF2,又EF=；PB=引,CF=C，

1212

-b+-b+2=3

44解得b=A/2,

???正三棱錐P-中P4=PB=PC=V2,AB=BC=AC=2,.,?正三棱錐P—ABC的三條側(cè)棱P4PB,

PC互相垂直，

三棱錐P-ABC的表面積為S=?x22+3xgxvr2xS'=3+<3>故A錯(cuò)；

正三棱錐P-ABC的外接球。i的就是棱長(zhǎng)為。的正方體的慰藉球，其半徑R=書C=?,

球。1的表面積為4TTR2=6兀，故B正確；

球。1的體積，=|TT7?3=V-67T,故。錯(cuò)；

設(shè)求。2的半徑為r,則2(SMBC+3SAP4B)"=3SAPB「P4即(3+0=r==段得軍,

故。正確.

故選：BD.

利用CE1EF求得正三棱錐P-ABC^PA=PB=PC=，7,從而得到正三棱錐P-48c的三條側(cè)棱P4PB,

PC互相垂直，再根據(jù)三棱錐的性質(zhì)逐一判定即可.

本題考查了空間線面位置關(guān)系，空間幾何體的外接球、內(nèi)切球，屬于中檔題.

II.【答案】AD

【解析】解：4選項(xiàng)：對(duì)任意三點(diǎn)4B、C,若NC￡

它們共線,設(shè)4(%1，%)，8(*2,、2)，。(*3而，

如圖，結(jié)合三角形的相似可得d(C,A),d(C,B),

d(A,B)為AN,CM,4K或CN,BM,BK,

則d(C,A)+d(C,B)=d(4B)；

若B,C或4C對(duì)調(diào)，可得d(C,4)+d(C,B)>d(48)；

若4,B,C不共線，且三角形中C為銳角或鈍角，如圖,

由矩形CMNK或矩形BMNK,d(C,4)+d(C,B)>d(A,B)；

則對(duì)任意的三點(diǎn)A,B,C,都有d(C,4)+d(C,B)2d(A,B)；故A正確;

B選項(xiàng)：設(shè)點(diǎn)Q是直線x-2y-2=0上一點(diǎn)，且Q(x[x-1),

可得d(P,Q)=max[\x-2|,|2-gx|},

由|x-2|22-六|,解得xWO或x?|,即有d(P,Q)=|X-2],

當(dāng)x=|時(shí)，取得最小值|：由|%-2|<|2-六|,解得0<x<*

即有d(P,Q)=—d(P,Q)的范圍是(|,2),無最值，

綜上可得，P,Q兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”的最小值為|,故B錯(cuò)誤;

C選項(xiàng)：到定點(diǎn)M的距離和到M的“切比雪夫距離”相等的點(diǎn)；

設(shè)即為J(x—a)2+(y—b)2=max[\x-a\,\y-6|}>

若|y-b|2|x-a|,則J(x—a)2+(y—b)2=|y—b|,兩邊平方整理得％=a；

若|y-b|<|x-a|,則J(x—a)2+(y—b)2=|x—a|，兩邊平方整理得丫=b；

故沒法說所求軌跡是正方形，故C錯(cuò)誤;

D選項(xiàng):定點(diǎn)&(-c,0)、F2(C,0),動(dòng)點(diǎn)P(x,y),滿足|d(P,Fi)-d(P，6)l=2a(2c>2a>0),

可得P不在y軸上，若P在線段片尸2間，可得x+c-(c-x)=2a,解得x=a,

由對(duì)稱性可得％=-a也成立，即有兩點(diǎn)P滿足條件；

若P在第一象限內(nèi),滿足|d(P,Fi)—d(P，B)|=2a,即為工+c-y=2a,為射線,

由對(duì)稱性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一條射線，

則點(diǎn)P的軌跡與直線y=k(k為常數(shù))有且僅有2個(gè)公共點(diǎn).故。正確.

故選：AD.

4選項(xiàng):對(duì)任意三點(diǎn)4、B、C,若它們共線,設(shè)4(卬%),F(x2,y2),C(x3,y3),如圖，結(jié)合三角形的相似,

可得d(C,A),d(C,B),d(4,B)為AN,CM,4K或CN,BM,BK,推出d(C,4)+d(C,B)2d(4,B)；判斷4的

正誤；

B選項(xiàng)：設(shè)點(diǎn)Q是直線x—2y—2=0上一點(diǎn)，且Q(x[x—1),轉(zhuǎn)化求解P,Q兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”的最

小值為多判斷B的正誤；

C選項(xiàng)：到定點(diǎn)M的距離和到M的“切比雪夫距離”相等的點(diǎn)；設(shè)M(a,b),求解所求軌跡，判斷C的正誤；

。選項(xiàng):定點(diǎn)FM—c,0)、F2(C,0),動(dòng)點(diǎn)P(x,y),滿足|d(P,F])-d(P，6)|=2a(2c>2a>0),判斷點(diǎn)P的軌

跡與直線y=k(k為常數(shù))解得的個(gè)數(shù)，判斷。的正誤.

本題考查軌跡方程的應(yīng)用，函數(shù)與方程的思想的應(yīng)用，是難題.

12.【答案】BC

【解析】解：對(duì)于A,cos3x=cos(2x+%)=cos2xcosx-sin2xsinx=(2cos2x-l)cosx—2sin2xcosx

=(2COS2X-l)cosx—2(1—cos2x)cosx=4cos3x—3cos%,

由題意可知P3(t)=4t3-33故A錯(cuò)誤；

對(duì)于8,cos4x=COS22X—sin22x=(2cos2x—l)2—4sin2xcos2x

=4cos4％—4COS2X+1—4(1—cos2x)cos2x=8cos4x—8cos2x+1,

有題意可知乙?)=8尸一8t2+1,故8正確；

對(duì)于C,cosSx=cos(4x+%)=cos4xcosx—sin4xsinx

=(8COS4X—8cos2x+l)cosx—2sin2xcos2xsinx

=8cossx—8cos3%+cosx—4sin2x(2cos2x—l)cosx

=16coss%—20cos3%+5cosx,

所以有cos90。=cos(5x18°)=16cos5180-20cos318°+5cos18。=0,

由于cosl8。*0,所以有16cosr8。-20cos218。4-5=0,

又cosl8。>cos30。，所以COS218。>cos230°=7,

4

所以對(duì)于16cos418。-20cos218。+5=0可解得cos218。=必至I,

16

Wsinl8°=V1—cos218°=/1—5=[故C正確；

716\164

對(duì)于D,由于(在±1)2=殳等大等二，故￡)錯(cuò)誤.

故選：BC.

根據(jù)題意，結(jié)合切比雪夫多項(xiàng)式的方法依次分析選項(xiàng)是否正確，綜合可得答案.

本題主要考查類比推理，屬中檔題.

13.【答案】4

【解析】解：設(shè)。=%,b+c=y,

原題轉(zhuǎn)化為：已知%>0,y>0,且xy=4,求:+：+忘的最小值.

^2+2+_^_=14+4^_=1=

xyx+y2、xx+y2"'x+y

當(dāng)且僅當(dāng)^3+%)=募即》=丫=2時(shí)，等號(hào)成立.

所以;+5+搭的最小值為生

故答案為：4.

將b+c看成一個(gè)整體，將所求式轉(zhuǎn)化為常見二元最值問題，借助“1”的代換，適當(dāng)變形后利用基本不等式

求解即可.

本題主要考查了換元法的應(yīng)用，還考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題.

14.【答案】131022

【解析】解：n次二項(xiàng)式系數(shù)對(duì)應(yīng)楊輝三角形的第n+1行，

例如(x+l)2=/+2%+1,系數(shù)分別為1,2,1,對(duì)應(yīng)楊輝三角形的第3行，

令％=1,就可以求出該行的系數(shù)之和，

第1行為2。，第2行為21，第3行為22,以此類推

即每一行數(shù)字和為首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，

則楊輝三角形的前n項(xiàng)和為無=契=271-1，

若去除所有的為1的項(xiàng)，則剩下的每一行的個(gè)數(shù)為1,2,3,4,.......

可以看成構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，則〃=岑0,

可得當(dāng)n=14,在加上第15行的前14項(xiàng)時(shí)，所有項(xiàng)的個(gè)數(shù)和為119,

由于最右側(cè)為2,3,4,5,……，為個(gè)首項(xiàng)是2公差為1的等差數(shù)列，

則第15行的第15項(xiàng)為16,

則楊輝三角形的前17項(xiàng)的和為So=217一1,且前17行中有15x2+3=33個(gè)1,

則此數(shù)列前119項(xiàng)的和為So-33-16=217-50=131022.

故答案為:13答22.

利用n次二項(xiàng)式系數(shù)對(duì)應(yīng)楊輝三角形的第n+1行，然后令x=1得到對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)和，結(jié)合等比數(shù)列和等差

數(shù)列的公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.

本題主要考查歸納推理的應(yīng)用，結(jié)合楊輝三角形的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的關(guān)系，考慮等比數(shù)列、等差數(shù)列的

求和公式，是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大.

15.【答案】竿

【解析】【分析】

本題考查多面體外接球表面積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.

山題意可得鱉BIC1-4BC經(jīng)翻折后，與鱉腌G-ABB1拼接成的幾何體是三棱錐，由已知求得底面三角形

A&A是邊長(zhǎng)為4的正三角形，側(cè)棱GBi1底面找出三棱錐外接球的球心，求解三角形求得外接球的

半徑，代入球的表面積公式得答案.

【解答】

解：鱉腌Ci-ABC經(jīng)翻折后，與鱉拼接成的幾何體如圖，

該幾何體是三棱錐，由已知求得底面三角形A&A是邊長(zhǎng)為4的正三角形，

側(cè)棱QB1，底面ABM，

設(shè)△4BP4的外心為M,過M作底面垂線，取好當(dāng)?shù)闹悬c(diǎn)N,過N作的名的垂線,

使兩垂線相交于點(diǎn)。，則。為拼接成的幾何體的外接球的球心.

1x=殍，則外接球的半徑R滿足R2=（亨產(chǎn)+??）2=學(xué)

???拼接成的幾何體的外接球的表面積為4兀x與=竽.

故答案為學(xué).

16.【答案】亨

【解析】解：如圖，圓錐面與其內(nèi)切球01、。2分別相切與B,A,

連接OiB,02A,則OIBIAB,O2A1AB,過。1作0]D_L。2>1于。，

連接。02E,EF交O1O2于點(diǎn)C.

設(shè)圓錐母線與軸的夾角為a,截面與軸的夾角為/7.

D

在RtAOi"。中，。。2=3-1=2,0山=782-22=2C?.

■:。1。2=8,

CO2=8—OiC,

E。2c尸。1。，

，霍=器，解得僅=2.

CF=J01c2―/1=722-12=q.

即cos”彘嚀

則橢圓的離心率e=煞=M=卓.

-v

故答案為：吟

利用已知條件和幾何關(guān)系找出圓錐母線與軸的夾角為a,截面與軸的夾角為夕的余弦值，即可得出橢圓離心

率.

本題考查了“雙球模型”橢圓離心率等于截面與軸的交角的余弦cos/?與圓錐母線與軸的夾角的余弦cosa之

比，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題.

17.【答案】(I)證明：依題意，當(dāng)n=l時(shí)，=S1=2ax-1,解得的=1,

—

當(dāng)ri>2時(shí)，an=Sn-Sn-i-2an—n—2(^-1(n—1),

化簡(jiǎn)整理，得斯=2即_1+1,

兩邊同時(shí)加1,可得

an+1=2an_x+1+1=2(an_x+1),

???at+1=2,

???數(shù)列｛斯+1｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

(II)解：由(I),可得

即+1=2?271T=2n,

n

an=2—1,nEN*,

?i+?3+a5++a2n-i

=(21-1)+(23-1)+(25-1)+…+(22n-1-1)

=(21+23+2s+…+22n-1)-n

21-22n

【解析】本題第(I)題依據(jù)公式與=分;：1”>別行計(jì)算可得即=2ax+1，然后進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可發(fā)

現(xiàn)數(shù)列｛an+l｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，從而證明結(jié)論成立；

第(II)題先根據(jù)第(I)題的結(jié)論計(jì)算出數(shù)列｛即+1｝的通項(xiàng)公式，然后計(jì)算出數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式，再運(yùn)用

分組求和法，以及等比數(shù)列的求和公式即可計(jì)算出的+a3+a5+…+的值.

本題主要考查數(shù)列求通項(xiàng)公式，以及運(yùn)用分組求和法求前律項(xiàng)和.考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，分類討論，定義

法，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.本題屬中檔題.

18.【答案】解：(1)???在四棱錐P-4BCD中，PALnABCD,

正方形/BCD的邊長(zhǎng)為2,PA=4,設(shè)E為側(cè)棱PC的中點(diǎn).

???點(diǎn)E到平面4BCD的距離h==ix4=2,

S正方形ABCD=2x2=4，

???正四棱錐E-ABC。的體積：

]18

K=3X/IXS正方形4BCD=3x2x4=3-

(2)以4為原點(diǎn)，AB為x軸，40為y軸,AP為z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，

則8(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,4),E(l,l,2),￡>(0,2,0),

BE=(-1,1,2).DP=(0,-2,4)>DC=(2,0,0).

設(shè)平面PCD的法向量元=(x,y,z),

則儼?更=-2y+4z=0,取小=2,得元=(o,2,l),

???直線BE與平面PCD所成角。，

.?麻?宿42n

S17T0=,=?,/=f

\BE\\n\yTi-yTS5

???0=arcsm—?

???直線BE與平面PCD所成角。為arcsin看.

【解析】(1)求出點(diǎn)E到平面ABCD的距離/i==；x4=2,IE^ABCD=2X2=4,由此能求出正四棱

錐E-4BCD的體積.

(2)以A為原點(diǎn)，AB為x軸，4D為y軸，4P為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線BE與平面PCC

所成角.

本題考查正四棱錐的體積的求法，考查線面角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)

知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.

19.【答案】解：(1)由表中數(shù)據(jù)，可得X2="吆碼型5-變洌工1Qi。<3,841，

50x50x55x45

依據(jù)小概率a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)說明晚餐是否更喜歡吃面食與性別有關(guān)聯(lián)，

即依據(jù)小概率a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，喜歡吃面食與性別無關(guān)聯(lián)；

(2)在樣本中，從晚餐更喜歡吃面食的學(xué)生中按性別分層抽樣抽取5人，則男生有3人，女生有2人，

在這5人中任選2人，其中女生的人數(shù)X的可能取值為0,1,2,

其中,P(X=0)W底,P(x=l)=譬=|,P(X=2)W=S，

故X的分布列為:

X012

331

P

10510

(3)用頻率估計(jì)概率，在全校學(xué)生中，從晚餐更喜歡吃面食的學(xué)生中任選1人，是男生的概率為|,

則從晚餐更喜歡吃面食的學(xué)生中任選3人，其中男生人數(shù)y?8(3,|),

故E(Y)=3x|=|,

八八八c33、18

D(y)=3x-x(l

【解析】(1)利用公式求出X2的值，根據(jù)臨界值表可作出判斷；

(2)先確定5人中男女生的人數(shù)，再用超幾何分布求出X的概率；

(3)用頻率估計(jì)概率，則從更喜歡面食的學(xué)生中任選一人是男生的概率是0.6,再用二項(xiàng)分布的期望和方差公

式即可求出.

本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，離散型隨機(jī)變量的分布列、期望、方差，二項(xiàng)分布等知識(shí)，屬中檔題.

20.【答案】解：(1)由Hi?—3am+2a2<。得(m-a)(m-2a)<0,

而a>0,所以a<m<2a,

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為(a,2a)；

(2)命題p為真時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍為(a,2a)；

命題q為真時(shí)，(7n—l)(7n-5)<0,即實(shí)數(shù)m的取值范圍為(1,5)；

而p是q的充分不必要條件，即(d2a)是(1,5),

所以f，解得1

12Q<52

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍ISas|.

【解析】(1)將不等式進(jìn)行因式分解，然后根據(jù)一元二次不等式的解法進(jìn)行求解即可；

(2)先分別求出p真與q真時(shí)機(jī)的取值范圍，然后根據(jù)p是q的充分不必要條件建立關(guān)系式，解之即可.

本題主要考查了含參不等式的解法和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及充分條件、必要條件的判定，同時(shí)考查了學(xué)

生邏輯推理的能力和運(yùn)算求解的能力.

21.【答案】解：(1)由題意c=l,橢圓上的點(diǎn)到F的最大距離為a+c=3,

所以a=2,b=A/-3?

所以橢圓方程為3+1=1;

(2)證明：顯然直線4