3.8 弧長及扇形面積（7大題型）（分層練習(xí)）（解析版）

第3章圓的基本性質(zhì)3.8弧長及扇形面積（7大題型）分層練習(xí)考查題型一求弧長1．（2023春·湖南常德·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，點A、B、C是半徑為6的上的三點．如果，那么的長為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓周角定理可得出，再根據(jù)弧長公式計算即可；【詳解】解：如圖，連接，

∵，∴，∵，∴的長是：，故選：C．【點睛】本題考查了弧長的計算以及圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握弧長公式．2．（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，的半徑為，，則的長是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到，由圓周角定理得到，根據(jù)弧長的公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：四邊形內(nèi)接于，，，，的長．故選：．【點睛】本題考查的是弧長的計算，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關(guān)鍵．3．（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）在如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，與網(wǎng)格分別交于格點B，C，交其中一條網(wǎng)格線于點A，則的長為

【答案】【分析】取格點O，連接，由，推出為等邊三角形，得到，利用弧長公式計算即可．【詳解】如解圖，取格點O，連接，∵，∴點O為所在圓的圓心，∵為的半徑，∴，由網(wǎng)格可知，，∴垂直平分，∴，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，由弧長公式可得的長為，

故答案為：．【點睛】此題考查了求弧長，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確取格點O，得到等邊三角形解決問題是解題的關(guān)鍵．4．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）圓心角為的扇形面積為，則該扇形的弧長等于．【答案】2π【分析】設(shè)扇形的半徑是，先根據(jù)扇形面積計算公式求得，再根據(jù)弧長公式進行計算即可．【詳解】解：設(shè)扇形的半徑是，由題意得：，解得：，∴扇形的弧長＝．故答案為：．【點睛】本題主要考查了扇形面積的計算，弧長的計算等知識點，掌握扇形面積計算公式，弧長的計算公式是解答本題的關(guān)鍵．5．（2022秋·浙江溫州·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，弦，相交于點E，連結(jié)，已知．

(1)求證：；(2)連結(jié)、，若，的半徑為2，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)弧、弦之間的關(guān)系定理得到，進而得出，根據(jù)圓周角定理證明即可；（2）根據(jù)圓周角定理求出，根據(jù)弧長公式計算，得到答案．【詳解】（1）證：∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∴，∵的半徑為2，∴．

【點睛】本題考查的是弧長的計算、圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理、圓周角定理，熟記弧長公式是解題的關(guān)鍵．考查題型二求扇形面積1．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）一個扇形的面積為．弧長為．那么這個扇形的半徑是（

）A．20 B．24 C．26 D．32【答案】B【分析】設(shè)扇形的半徑為r，根據(jù)扇形面積等于（為扇形弧長）進行求解即可【詳解】解：設(shè)扇形的半徑為r，由題意得，，解得，故選B．【點睛】本題主要考查了扇形面積公式和弧長公式，熟知扇形面積等于扇形弧長和半徑乘積的一半是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·九年級課時練習(xí)）如圖，在紙上剪下一個圓形和一個扇形的紙片，使之恰好能圍成一個圓錐模型．若圓形的半徑為1，扇形的圓心角等于，則這個扇形的半徑的值是（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【分析】根據(jù)扇形的弧長與圓的周長相等，列方程求解即可．【詳解】解：由題意可得：，解得，故選：B【點睛】本題考查扇形弧長公式，圓的周長，掌握扇形弧長公式，圓的周長公式，抓住扇形弧長與圓的周長相等構(gòu)造等式是解題關(guān)鍵．3．（2023·福建福州·福建省福州延安中學(xué)?？级＃┮阎粋€扇形的面積是，弧長是，則這個扇形的半徑為．【答案】【分析】根據(jù)扇形面積公式直接代入求解即可得到答案；【詳解】解：∵一個扇形的面積是，弧長是，∴，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查扇形面積公式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握．4．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，用一個圓心角為150°的扇形圍成一個無底的圓錐，如果這個圓錐底面圓的半徑為，則這個扇形的半徑是．

【答案】【分析】利用底面周長=展開圖的弧長可得．【詳解】設(shè)扇形的半徑為，則解得：．故答案為：．【點睛】本題考查了圓錐的側(cè)面展開圖問題，解答本題的關(guān)鍵是確定“底面周長=展開圖的弧長”這個等量關(guān)系，然后由扇形的弧長公式和圓的周長公式求值．5．（2022秋·九年級單元測試）弧長為的弧所對的圓心角為，求弧所在的圓的半徑．【答案】18【分析】設(shè)弧所在的圓的半徑為，由弧長公式計算即可得到答案．【詳解】解：設(shè)弧所在的圓的半徑為，由弧長公式得：，解得：，弧所在的圓的半徑為18．【點睛】本題主要考查了弧長公式，熟練掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵．考查題型三求圓心角1．（2023·吉林·統(tǒng)考一模）圖1是等邊三角形鐵絲框，按圖2方式變形成以A為圓心，長為半徑的扇形（圖形周長保持不變），則所得扇形的圓心角的度數(shù)是（

）A．． B．． C．． D．．【答案】D【分析】根據(jù)題意的長就是邊的長，由弧長公式即可求解．【詳解】解：設(shè)，，，解得：，圓心角的度數(shù)為：故選：D．【點睛】本題考查了弧長公式的應(yīng)用，掌握公式和理解圖形變化前后對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·江蘇蘇州·九年級蘇州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若圓錐的底面圓半徑是，圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為扇形，則此扇形的圓心角為（

）A．60° B．90° C．120° D．150°【答案】C【分析】根據(jù)圓錐底面圓周長等于展開圖扇形的弧長進行求解即可．【詳解】解：設(shè)這個圓心角度數(shù)為n°，由題意得：，解得，故選C．【點睛】本題主要考查了求扇形圓心角度數(shù)，熟知圓錐底面圓周長等于展開圖扇形的弧長是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·山東濟寧·九年級濟寧學(xué)院附屬中學(xué)?？计谀┤鐖D，《擲鐵餅者》是希臘雕刻家米隆于約公元前年雕刻的青銅雕塑，刻畫的是一名強健的男子在擲鐵餅過程中具有表現(xiàn)力的瞬間，擲鐵餅者張開的雙臂與肩寬可以近似看成一張拉滿弦的弓，弧長約為米，“弓”所在的圓的半徑約米，則“弓”所對的圓心角為度．

【答案】【分析】由題意得：，，設(shè)“弓”所在的圓的弧長圓心角度數(shù)是，則，進行計算即可得．【詳解】解：如圖，

由題意得：，，設(shè)“弓”所在的圓的弧長圓心角度數(shù)是，則，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查的是已知弧長與半徑求解弧所對的圓心角，熟記弧長公式是解本題的關(guān)鍵．4．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）將一半徑為6的圓形紙片，沿著兩條半徑剪開形成兩個扇形．若其中一個扇形的弧長為5π，則另一個扇形的圓心角度數(shù)是．【答案】/210度【分析】用圓的周長減去已知扇形弧長，求出另一個扇形的弧長，設(shè)另一個扇形的圓心角為，利用弧長公式求解．【詳解】解：∵圓的周長為，∴另一個扇形的弧長為，設(shè)另一個扇形的圓心角為，根據(jù)弧長公式得，解得，即另一個扇形的圓心角度數(shù)為．故答案為：．【點睛】本題考查扇形的圓心角、弧長，解題的關(guān)鍵是掌握扇形的弧長公式．5．（2022秋·廣東惠州·九年級?？茧A段練習(xí)）半徑為的圓，一圓心角所對的弧長為，這個圓心角多少度？【答案】【分析】根據(jù)弧長公式求解即可．【詳解】解：，，∴．∴這個圓心角為．【點睛】本題考查了弧長公式，靈活應(yīng)用弧長公式是解題的關(guān)鍵．考查題型四求某點的弧形運動路徑長1．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，一塊含有角的直角三角板，在水平桌面上繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)到的位置．若的長為，那么頂點從開始到結(jié)束所經(jīng)過的路徑長為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】頂點從開始到結(jié)束所經(jīng)過的路徑是一段弧長是以點為圓心，為半徑的圓弧，旋轉(zhuǎn)的角度是，所以根據(jù)弧長公式可得．【詳解】解：在含有角的直角三角板中，，，，，，故選：A．【點睛】本題考查弧長公式，解題的關(guān)鍵是弄準弧長的半徑和圓心角的度數(shù)．2．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，內(nèi)接于，，的半徑為8，點Q是上一動點，點P是弦的中點，則點Q從點B運動到點C時，點P所經(jīng)過的路徑長為（）A． B．2π C． D．【答案】C【分析】連接，由垂徑定理知，則點P在以為直徑的上運動，設(shè)與交于點，則點Q從點B運動到點C時，點P所經(jīng)過的路徑為的長，利用弧長公式進行計算即可．【詳解】解：連接，∵點P為的中點，∴，∴點P在以為直徑的上運動，設(shè)與交于點，則點Q從點B運動到點C時，點P所經(jīng)過的路徑為的長，∵，的半徑為8，∴，，∴點P所經(jīng)過的路徑長為，故選：C．【點睛】本題主要考查了動點的運動軌跡，垂徑定理，圓周角定理等知識，確定點P的運動路徑是解題的關(guān)鍵．3．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）中，，，若將繞點B旋轉(zhuǎn)，則頂點C運動的路徑長是．【答案】或【分析】頂點C運動的路線長是就是以點B為圓心，為半徑所旋轉(zhuǎn)的弧，根據(jù)弧長公式即可求得．【詳解】解：當時，∵，，∴，∴頂點C運動的路線長是；當時，∵，，∴，∴頂點C運動的路線長是；故答案為：或．【點睛】本題考查了弧長的計算、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，靈活運用所學(xué)知識是解題關(guān)鍵．4．（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考一模）如圖，將矩形繞其右下角的頂點按順時針方向旋轉(zhuǎn)至圖①位置，繼續(xù)繞右下角的頂點按順時針方向旋轉(zhuǎn)至圖②位置，以此類推，這樣連續(xù)旋轉(zhuǎn)2022次．若，則頂點A在整個旋轉(zhuǎn)過程中所經(jīng)過的路徑總長為．【答案】【分析】首先求得每一次轉(zhuǎn)動的路線的長，發(fā)現(xiàn)每4次循環(huán)，找到規(guī)律然后計算即可．【詳解】解：,,轉(zhuǎn)動一次的路線長是：轉(zhuǎn)動第二次的路線長是：轉(zhuǎn)動第三次的路線長是：轉(zhuǎn)動第四次的路線長是：0，以此類推，每四次循環(huán)，故頂點轉(zhuǎn)動四次經(jīng)過的路線長為：,頂點轉(zhuǎn)動四次經(jīng)過的路線長為：故答案為：【點睛】本題主要考查了探索規(guī)律問題和弧長公式的運用，掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、靈活運用弧長的計算公式、發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵．5．（2023春·廣東梅州·九年級?？奸_學(xué)考試）如圖所示，扇形從圖①無滑動繞著點A旋轉(zhuǎn)到圖②（）的位置，再由圖②緊貼直線運動到圖③，已知，．(1)求由圖①到圖②點O所運動的路徑長；（結(jié)果保留）(2)點O所走過的路徑與直線l圍成的面積是多少？（結(jié)果保留π）【答案】(1)(2)【分析】（1）點的運動路徑是以為圓心，為半徑，圓心角為的弧，根據(jù)弧長公式即可求解；（2）如圖，找出點的完整運動路徑是由三段組成，分別求出面積即可求解．【詳解】（1）解：由圖①到圖②：．（2）解：如圖，，，．答：點O所走過的路徑與直線l圍成的面積是．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的點的路徑問題，重點考查了弧長公式，掌握弧長公式，并能找出點的運動路徑是解題的關(guān)鍵．考查題型五求扇形面積1．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的外接圓，半徑為4，連接OB，OC，OA，若，，則陰影部分的面積是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求得，再根據(jù)扇形的面積公式即可求解．【詳解】解：∵，，，∴，，∵，∴，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及扇形的面積公式等知識，求出是解答的關(guān)鍵．2．（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考一模）如圖1是一塊弘揚“社會主義核心價值觀”的扇面宜傳展板，該展板的部分示意圖如圖2所示，它是以為圓心，長分別為半徑，圓心角形成的扇面，若，則陰影部分的面愁為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)計算即可．【詳解】故選：D．【點睛】本題考查的是扇形面積的計算，掌握扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·吉林長春·九年級長春外國語學(xué)校校考開學(xué)考試）如圖，在中，，，，點E為的中點，以E為圓心，線段的長為半徑畫弧，交于點F，則陰影部分的面積為．

【答案】【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)求出，最后根據(jù)扇形面積公式計算．【詳解】解：∵，，∴，又∵，點E為的中點，∴，∵，∴，∴，∴，∴陰影部分的面積為．故答案為：．【點睛】本題主要考查了扇形面積計算，三角形內(nèi)角和定理及外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．4．（2023·吉林松原·統(tǒng)考一模）如圖所示，矩形的對角線，交于點，分別以點，為圓心，長為半徑畫弧，分別交，于點，．若，，則圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果保留）

【答案】【分析】由圖可知，陰影部分的面積是扇形和扇形的面積之和．【詳解】解：四邊形是矩形，圖中陰影部分的面積為：，故答案為：．【點睛】本題考查扇形面積的計算、矩形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．5．（2023秋·河北張家口·七年級統(tǒng)考期末）一個圓被分成三個扇形，其中一個扇形的圓心角為，另外兩個扇形的圓心角度數(shù)的比為．(1)求另外兩個扇形的圓心角；(2)若圓的半徑是，求圓心角為的扇形的面積（結(jié)果保留）．【答案】(1)和(2)【分析】（1）設(shè)另外兩個扇形的圓心角度數(shù)分別為度與度，根據(jù)周角為，即可求得x的值，從而求得另外兩個扇形圓心角度數(shù)；（2）利用扇形面積公式計算即可．【詳解】（1）解：設(shè)另外兩個扇形的圓心角度數(shù)分別為度與度，由題意得：，解得：，另外兩個扇形的圓心角分別為：答：另外兩個扇形的圓心角分別為和．（2）解：由扇形面積公式得：，答：圓心角為的扇形的面積．【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用、求扇形面積等知識，題目較簡單，是基礎(chǔ)題，掌握這些知識是關(guān)鍵．考查題型六求弓形面積1．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，已知內(nèi)接于，為直徑，的平分線交于點D，連接，若，則圖中陰影部分的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，求得，得到，因為，根據(jù)，于是得到問題的答案．【詳解】解：連接，

∵是的直徑，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，故選：A．【點睛】此題重點考查圓周角定理、扇形的面積公式、三角形的面積公式、根據(jù)轉(zhuǎn)化思想求圖形面積等知識與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·北京東城·九年級北京二中校聯(lián)考期末）如圖，直徑為的圓內(nèi)有一個圓心角為的扇形，則與弦圍成的弓形面積為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得，再根據(jù)即可得到解答．【詳解】解：∵扇形，∴，又∵，∴為大圓的直徑，∴，∴，∴，故選C．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)和扇形面積公式，靈活運用所學(xué)知識求解是解決本題的關(guān)鍵．3．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，有一個半徑為的圓形時鐘，其中每個刻度間的弧長均相等，過點和點的位置作一條線段，則鐘面中陰影部分的面積為結(jié)果保留．

【答案】/【分析】連接、，過點作，根據(jù)等邊三角形的判定得出為等邊三角形，再根據(jù)扇形面積公式求出，再根據(jù)三角形面積公式求出，進而求出陰影部分的面積．【詳解】解：連接、，過點作于點，

由題意可知：，，為等邊三角形，，，，，，，，陰影部分的面積為：．故答案為：．【點睛】本題考查的是扇形的面積，熟練應(yīng)用面積公式，其中作出輔助線是解題關(guān)鍵．4．（2022春·九年級課時練習(xí)）如圖，點A，B，C，在半徑為6的圓上，∠ACB=45°，則圖中陰影部分的面積為（結(jié)果保留）．【答案】9π-18/-18+9π【分析】根據(jù)圓周角定理求出∠BOA，根據(jù)扇形面積公式計算即可．【詳解】解：連接OA、OB，由圓周角定理得，∠BOA=2∠ACB=90°，∴△BOA為等腰直角三角形，則圖中陰影部分的面積=-×6×6=9π-18，故答案為：9π-18．【點睛】本題考查的是扇形面積計算、圓周角定理，掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·安徽淮南·九年級淮南實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，以平行四邊形的頂點A為圓心，為半徑作圓，分別交，于點，，延長交于點．(1)求證：；(2)若，，求陰影部分弓形的面積．【答案】(1)見解析(2)．【分析】（1）要證明，則要證明，由平行四邊形的性質(zhì)以及半徑相等能夠證明之；（2）先證明是等邊三角形，利用，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接．∵A為圓心，∴，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴是等邊三角形，過點A作于點H，則，∴，，∴．【點睛】本題考查了平行四邊形性質(zhì)，平行線性質(zhì)，圓周角定理，扇形面積公式等知識點的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出．考查題型七求其他不規(guī)則圖形的面積1．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，將含角的直角三角板繞頂點順時針旋轉(zhuǎn)后得到，點經(jīng)過的路徑為弧，若，，則圖中陰影部分的面積是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，則，，再根據(jù)進行計算即可得到答案．【詳解】解：在中，，，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，則，，，故選：C．【點睛】本題主要考查了扇形面積的計算，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及扇形的面積計算公式是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，扇形的圓心角為直角，，點在弧上，以，為鄰邊構(gòu)造，邊交于點，若，則圖中兩塊陰影部分的面積和為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，利用勾股定理求出，根據(jù)，計算即可．【詳解】解：如圖，連接，

四邊形是平行四邊形，，，，，，，故選：C．【點睛】本題考查扇形的面積的計算，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是掌握割補法求陰影部分的面積．3．（2023秋·河南·九年級校聯(lián)考期末）如圖，邊長為2的正方形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后得到正方形，則圖中陰影部分的面積是．

【答案】【分析】利用扇形的面積減去三角形的面積解題即可．【詳解】解：∵正方形，∴，故答案為：．【點睛】本題考查利用扇形面積求陰影面積，熟記扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．4．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形的邊長為2，對角線相交于點，以點為圓心，對角線的長為半徑畫弧，交的延長線于點，則圖中陰影部分的面積為．

【答案】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出陰影部分的面積為扇形的面積，然后由勾股定理得出，再由扇形的面積公式求解即可．【詳解】解：正方形，∴，，∴，∵正方形的邊長為2，∴∴陰影部分的面積為扇形的面積，即，故答案為：．【點睛】題目主要考查正方形的性質(zhì)及扇形的面積公式，理解題意，將陰影部分面積進行轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．5．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考一模）如圖，將含角的直角三角板放入半圓中，三點恰好在半圓上，點是的中點，連結(jié)并延長交圓于點．

(1)求證：；(2)若，求陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)垂徑定理和圓周角定理的推論，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)圖示，可知是等邊三角形，根據(jù)扇形的面積公式計算出扇形的面積，的面積，由此即可求解陰影部分的面積．【詳解】（1）證明：根據(jù)題意，是半圓的直線，∵點是的中點，∴，∵，∴，∴．（2）解：如圖所示，連結(jié)，

∵，，∴是等邊三角形，∵，∴，∴，，∴．【點睛】本題主要考查扇形面積，垂徑定理，圓周角定理，掌握垂徑定理，扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．1．（2023·湖南永州·?？级＃┤鐖D，在中，，，，以點為圓心，的長為半徑畫弧，交于點，連接，則陰影部分的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】可求，，從而可證是等邊三角形，可得，即可求解．【詳解】解：，，，，，，是等邊三角形，，，故選：B．【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，扇形的面積公式，掌握性質(zhì)及公式是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，是邊上的一點，以為直徑的交邊于點，若，則的長為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，根據(jù)，得，再根據(jù)圓周角定理得，即可求出答案．【詳解】解：如圖，連接，

，，，，，，的長為，故選：B．【點睛】本題考查了弧長的計算和圓周角定理，熟練記住弧長公式：（弧長為，圓心角度數(shù)為，圓的半徑為）是關(guān)鍵．3．（2023·山西晉城·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，中，，以A為圓心，長為半徑畫弧，交于點E，以B為圓心，長為半徑畫弧，交于點D．則圖中陰影部分的面積為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】觀察圖形可知陰影部分的面積，由此可解．【詳解】解：中，，∴，∴，，∴陰影部分的面積．故選B．【點睛】本題考查不規(guī)則圖形的面積計算，解題的關(guān)鍵是掌握扇形的面積公式．4．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)后得到，點經(jīng)過的路徑為，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)后，點恰好落在上的點處，點經(jīng)過的路徑為，則圖中陰影部分的面積是()

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)即可求解．【詳解】解：∵在中，，，，∴，，則，∴．故選：A．【點睛】本題考查了求扇形面積，熟練掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·山西長治·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形中，以為直徑的與相交于點E，與相交于點F，，已知，，則的長為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，等腰三角形三線合一性質(zhì)，圓周角定理，弧長公式計算即可．【詳解】如圖，連接，

∵為的直徑，∴，∵，∴，∵平行四邊形，，∴，∴，∵，∴，∴，故選D．【點睛】本題考查了直徑所對的圓周角是直角，等腰三角形三線合一性質(zhì)，圓周角定理，平行四邊形的性質(zhì)，弧長公式，熟練掌握弧長公式，圓周角定理是解題的關(guān)鍵．6．（2023·山東濟南·統(tǒng)考中考真題）如圖，正五邊形的邊長為，以為圓心，以為半徑作弧，則陰影部分的面積為（結(jié)果保留）．

【答案】【分析】根據(jù)正多邊形內(nèi)角和公式求出正五邊形的內(nèi)角和，再求出的度數(shù)，利用扇形面積公式計算即可．【詳解】解：正五邊形的內(nèi)角和，，，故答案為：．【點睛】本題考查了扇形面積和正多邊形內(nèi)角和的計算，熟練掌握扇形面積公式和正多邊形內(nèi)角和公式是解答本題的關(guān)鍵．7．（2023·河南新鄉(xiāng)·校聯(lián)考二模）如圖，在矩形中，，點O為的中點，以O(shè)為圓心，長為半徑畫弧，交于點E，若點E為的中點，則圖中陰影部分的面積為．

【答案】【分析】連接交于點F，利用矩形的性質(zhì)證明，可得，進而可得，即可求解．【詳解】如圖，連接交于點F，∵四邊形是矩形，∴，∵點O為的中點，點E為的中點，∴，

在和中，，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】此題主要考查了扇形面積求法以及矩形的性質(zhì)等知識，證明是解題關(guān)鍵．8．（2023·湖南長沙·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，用一個直徑為的定滑輪拉動重物上升，滑輪旋轉(zhuǎn)了，假設(shè)繩索粗細不計，且與輪滑之間沒有滑動，則重物上升了cm．（結(jié)果保留π）

【答案】5π【分析】根據(jù)弧長的計算方法計算半徑為，圓心角為的弧長即可．【詳解】解：由題意得，重物上升的距離是半徑為，圓心角為所對應(yīng)的弧長，即．故答案為：．【點睛】本題主要考查了弧長公式的應(yīng)用，牢記弧長公式是解答本題的關(guān)鍵．9．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，以AB為直徑作，與交于點D，BC與交于點，過點作，且，連接，，①的長為；②．

【答案】【分析】①連接、，由圓周角定理得出，即，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出，利用圓周角定理得出，再根據(jù)弧長公式即可求出的長；②連接，證明是等腰直角三角形，求出．由圓周角定理得出，由等腰三角形的性質(zhì)得出，由平行線的性質(zhì)得出，進而得出，利用證明，得出．【詳解】解：①如圖，連接、．為的直徑，，即，，，，．，，的長為．

故答案為：；②如圖，連接，為的直徑，，，是等腰直角三角形，．，，，，．在和中，，，．故答案為：．【點睛】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，弧長的計算，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識．熟練掌握各定理與性質(zhì)，正確作出輔助線是解決問題的關(guān)鍵．10．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在扇形中，，，將扇形沿射線方向平移得到對應(yīng)的扇形，交于點，若點恰好為弧的點，則圖中陰影部分的面積為．

【答案】【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)，圓周角定理以及直角三角形的邊角關(guān)系求出，再根據(jù)圖形中的面積關(guān)系進行計算即可求解.【詳解】解：如圖，連接，過點N作于點F，由平移可知，四邊形是平行四邊形，

∵點P是的中點，∴，∴，∴，∴，在中，，∴，在中，，∴=.故答案為：.【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，扇形的面積計算，能把求不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化成求規(guī)則圖形的面積是解此題的關(guān)鍵．11．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在中，，以為直徑的交于點，是的中點．

(1)判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若，，求陰影部分的面積；【答案】(1)與相切，理由見解析(2)陰影部分的面積為【分析】（1）連接，如圖，先利用為的中位線得到，再證明，接著證明得到，然后利用直線與圓的位置關(guān)系可判斷為的切線；（2）先計算出，，則根據(jù)圓周角定理得到，接著利用，然后根據(jù)扇形的面積公式，利用陰影部分圖形的面積等于扇形面積減去三角形面積進行計算．【詳解】（1）解：與相切，理由如下：連接，，如圖：

是中點，為的中點，為的中位線，，，，，，，在和中，，，，，且為半徑，為的切線．（2）解：，，，，，∴在中，，∴，則，即的半徑為，，，∴，設(shè)與交于點，∴，，∴，則，∵，，∴，陰影部分圖形的面積，∴，∴陰影部分的面積為．【點睛】本題考查了圓與幾何圖形的綜合，掌握圓的基礎(chǔ)知識，切線的證明方法，含角的直角三角形三邊的關(guān)系、圓周角和扇形的面積公式等知識是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋·浙江金華·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖是輸水管的切面，陰影部分是有水部分，其中水面寬，水最深，

(1)求圓的半徑.(2)求陰影部分的面積.【答案】(1)8厘米(2)【分析】（1）設(shè)圓形切面的半徑為r，過點O作于點D，交于點E，由垂徑定理可求出的長，再根據(jù)最深地方的高度是得出的長，根據(jù)勾股定理即可求出的長．（2）先求得此時的水管半徑，再求和，然后根據(jù)即可求得．【詳解】（1）設(shè)圓形切面的半徑，過點O作于點D，交于點E，

則最深地方的高度是，，在中，，即，解得.即圓的半徑是；（2）在中，，，，.【點睛】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，解答此類問題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用垂徑定理及勾股定理進行解答．13．（2022秋·上海靜安·七年級上海市風(fēng)華初級中學(xué)?？计谥校┰陂L方形中，弧是以為圓心的一段圓弧，．

求：(1)用含有的代數(shù)式表示陰影部分的面積；(2)當時，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留）．【答案】(1)(2)【分析】（1）由矩形的性質(zhì)和弧是以為圓心的一段