2.7 探究勾股定理 第2課時 勾股定理應(yīng)用與逆定理（解析版）

2.7探索勾股定理第2課時勾股定理的應(yīng)用與逆定理1.掌握勾股定理的逆定理，會運用其判斷一個三角形是不是直角三角形,能夠理解勾股定理及其逆定理的區(qū)別與聯(lián)系2.了解幻股數(shù)，會判斷三個數(shù)是不是一組幻股數(shù)3.通過勾股定理逆定理的探索過程,學會用三角形全等證明勾股定理的逆定理知識點一勾股定理的應(yīng)用（1）已知直角三角形的兩邊長求第三邊長（2）已知非直角三角形的邊長，通過添加輔助線，把求非直角三角形邊的問題轉(zhuǎn)化為求直角三角形邊的問題（3）通過建模，將實際問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中，運用勾股定理來解決即學即練1（2023秋·山東棗莊·八年級?？茧A段練習）如圖，一架云梯長25米，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米，如果梯子的頂端下滑4米，那么梯子的底部在水平方向上滑動了(

)

A．4米 B．6米 C．8米 D．10米【答案】C【分析】根據(jù)梯子長度不會變這個等量關(guān)系，我們可以根據(jù)BC求AC，根據(jù)AD、AC求CD，根據(jù)CD計算CE，根據(jù)CE，BC計算BE，即可解題．【詳解】解：由題意知AB=DE=25米，BC=7米，AD=4米，

在直角△ABC中，AC∴AC=A已知AD=4米，則CD=24-在直角△CDE中，CE∴CE=DBE=15-故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理在實際生活中的運用，考查了直角三角形中勾股定理的運用，本題中正確的使用勾股定理求CE的長度是解題的關(guān)鍵．即學即練2（2023春·河北保定·八年級統(tǒng)考期中）如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內(nèi)部底面半徑為4.5cm，內(nèi)壁高為12cm．若這支鉛筆的長為18cm，則這只鉛筆在筆筒外面部分的長度不可能是

A．2cm B．3cm C．4cm【答案】A【分析】當鉛筆不垂直于底面放置時，利用勾股定理可求得鉛筆露出筆筒部分的最小長度；考慮當鉛筆垂直于筆筒底面放置時，鉛筆在筆筒外面部分的長度是露出的最大長度；從而可確定答案．【詳解】當鉛筆不垂直于底面放置時，由勾股定理得：122則鉛筆在筆筒外部分的最小長度為：18-當鉛筆垂直于筆筒底面放置時，鉛筆在筆筒外面部分的長度為18-即鉛筆在筆筒外面最長不超過6cm，所以鉛筆露出筆筒部分的長度不短于3cm，不超過6cm．只有A選項不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查了勾股定理的實際應(yīng)用，關(guān)鍵是把實際問題抽象成數(shù)學問題，分別考慮兩種極端情況，問題即解決．即學即練3（2023春·北京懷柔·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在我軍某次海上演習中，兩艘航母護衛(wèi)艦從同一港口O同時出發(fā)，1號艦沿東偏南60°方向以9節(jié)（1節(jié)=1海里/小時）的速度航行，2號艦沿南偏西60°方向以12節(jié)的速度航行，離開港口2小時后它們分別到達A，B兩點，此時兩艦的距離是（

）A．9海里 B．12海里 C．15海里 D．30海里【答案】D【分析】由∠EOA=60°，∠BOM=60°，求得【詳解】解：由題意可得：∠EOA=60°∴∠MOA=30°又∵AO=9×2=18（海里），在Rt△AOB中，AB=∴此時兩艦的距離是30海里．故選：D．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用以及方向角，正確得出∠AOB=90知識點二勾股定理的逆定理1.定義如果三角形的三邊長滿足,那么這個三角形是直角三角形,我們稱它為勾股定理的逆定理2.運用勾股定理的逆定理判斷直角三角形的一般步驟(1)找:確定三角形的最長邊；(2)算:分別計算出最長邊的平方與另兩邊的平方和;(3)比:通過比較來判斷最長邊的平方與另兩邊的平方和是否相等；(4)判:作出結(jié)論,若相等,則說明這個三角形是直角三角形,否則不是直角三角形.(1)如果用勾股定理的逆定理來判定一個三角形是否為直角三角形，則其中最長邊所對的角是直角，不能簡單地認為邊所對的角必是直角.例如:當時,則邊所對的角是直角，我們一般記作：大邊對大角或者大角對大邊，不要簡單地用字母對應(yīng)邊.(2)勾股定理的逆定理在敘述時不能說成“當斜邊長的平方等于兩條直角邊長的平方和時，這個三角形是直角三角形”,在未判定三角形為直角三角形前，不能稱最長邊為“斜邊”較短的兩邊為“直角邊”.3.股定理與其逆定理的聯(lián)系與區(qū)別(1)勾股定理和勾股定理的逆定理的題設(shè)和結(jié)論互換;(2)勾股定理是直角三角形的性質(zhì)，而其逆定理是直角三角形的判定拓展三角形的三邊長分別是(其中是最長邊)(1)若,則這個三角形是直角三角形;(2)若,則這個三角形是鈍角三角形;(3)若,則這個三角形是銳角三角形.即學即練1（2023春·江西宜春·八年級統(tǒng)考期中）下列條件中，不能判斷一個三角形是直角三角形的是（）A．三個角的比是2：3：5 B．三條邊a，b，c滿足關(guān)系a2＝c2﹣b2C．三條邊的比是2：3：5 D．三邊長為1，2，3【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理進行判斷即可．【詳解】A、三個角的比是2：3：5，可得最大角＝180°B、三條邊a，b，c滿足關(guān)系a2＝c2﹣b2，可得：a2+b2＝c2，是直角三角形，不符合題意；C、三條邊的比是2：3：5，設(shè)三邊分別為2x,3x,5x,（2x）2+（3x）2≠（5x）2，不是直角三角形，符合題意；D、12+（3）2＝22，是直角三角形，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查勾股定理的逆定理、直角三角形的定義及三角形內(nèi)角和定理，明確選用的方法是解題的關(guān)鍵．即學即練2（2023秋·廣東佛山·八年級佛山市高明區(qū)滄江中學?？计谀└鶕?jù)下列條件，分別判斷以a，b，c為三邊的△ABC，不是直角三角形的是（）A．b2=a2C．∠C=∠A-∠B D．a(chǎn):b:c=12:13:5【答案】B【分析】根據(jù)直角三角形的定義，勾股定理的逆定理逐項進行判斷即可．【詳解】解：A、∵b2∴c2∴△ABCB、∵∠A:∠B:設(shè)∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x解得：x=15°∴∠A=45°，∠B=60∴△ABCC、∵∠C=∴∠B+∵∠A+∴2∠∴∠A=90°，即D、a:b:c=12:13:5，設(shè)a=12k，b=13k，c=5k，∵5k2∴△ABC故選：B．【點睛】本題主要考查了直角三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形的定義和勾股定理的逆定理．即學即練3根據(jù)下列條件，分別判斷以a，(1)a=7，b=8，c=10．(2)a=35，b=12，c=37．(3)a=41，b=4，c=5(4)a=3n，b=4n，c=5n（n為正整數(shù)）(5)a:b:c=5:12:13．【答案】(1)以a，(2)以a，(3)以a，(4)以a，(5)以a，【分析】根據(jù)題意求出兩條較短邊的平方和，最長邊的平方，然后利用勾股定理的逆定理判斷求解即可．【詳解】（1）∵a2+b∴a2∴以a，（2）∵a2+b∴a2∴以a，（3）∵b2+c∴a2∴以a，（4）∵a2+b∴a2∴以a，（5）∵a:b:c=5:12:13，∴設(shè)a=5k,b=12k,c=13k，∵a2+b∴a2∴以a，【點睛】此題考查了勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的逆定理．判定三角形為直角三角形的方法(1)用角判斷:①兩個銳角互余的三角形是直角三角形;②有一個角是90°的三角形是直角三角形.(2)用邊判斷:如果已知條件與邊有關(guān)，則可通過勾股定理的逆定理進行判斷知識點三勾股數(shù)1.勾股數(shù)的概念能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù),稱為勾股數(shù),即中,a,b,c為正整數(shù)時,稱a,b,c為一組勾股數(shù)【注意：小數(shù)（含分數(shù)）、無理數(shù)就算滿足，也不能稱為勾股數(shù)，因為它們不是正整數(shù).】2.常見的勾股數(shù)①3,4,5;②6,8,10;③8,15,17;④7,24,25;⑤5,12,13;⑥9.12,15;⑦9,40,41.這些勾股數(shù)同學們請背誦下來，我們熟悉了常見的勾股數(shù)之后，將有利于我們快速判斷一個三角形是否為直角三角形.3.勾股數(shù)的求法(1)如果a為一個大于1的奇數(shù)，b，c是兩個連續(xù)自然數(shù)，且有a2=b+c,那么a,b,c為一組勾股數(shù).如3為大于1的奇數(shù)，4,5為兩個連續(xù)自然數(shù),且32=4+5,則3,4,5為一組勾股數(shù),還有5,12,13；7,24,25；9,40,41；11,60,61……(2)如果a,b,c為一組勾股數(shù),則na,nb,nc也是一組勾股數(shù),其中n(n≥1)為自然數(shù).例如3,4,5是一組勾股數(shù),那么6,8,10也是一組勾股數(shù),9,12,15也是一組勾股數(shù).判斷勾股數(shù)的方法步驟是什么？確定三個數(shù)是正整數(shù);確定出最大數(shù)與另外兩個較小的數(shù),計算最大數(shù)的平方與另外兩個較小數(shù)的平方和;(3)進行比較,若相等,則是勾股數(shù),否則不是即學即練1（2023春·廣東東莞·八年級?？茧A段練習）下列幾組數(shù)中，為勾股數(shù)的是（）A．4，5，6 B．12，16，18C．7，24，25 D．0.8，1.5，1.7【答案】C【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義：滿足a2【詳解】解：A、42+52≠62，不是勾股數(shù)；B、122+162≠182，不是勾股數(shù)；C、72+242＝252，是勾股數(shù)；D、0.82+1.52＝1.72，但不是正整數(shù)，不是勾股數(shù)．故選：C．【點睛】本題考查勾股數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握勾股數(shù)的定義，特別注意這三個數(shù)除了要滿足a2即學即練2（2023秋·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（

）A．5，6，7 B．3，4，5 C．1，2，5 D．0.6，0.8，1【答案】B【分析】勾股數(shù)的定義：滿足a2【詳解】解：A、52B、32C、三個數(shù)都不是整數(shù)，不是勾股數(shù)，不符合題意；D、三個數(shù)不都是整數(shù)，不是勾股數(shù)，不符合題意；故選：B．【點睛】此題主要考查了勾股數(shù)，注意：①一組勾股數(shù)中的三個數(shù)必須是正整數(shù)，例如：2．5、6、6．5滿足a2+b題型一求梯子滑落高度(勾股定理的應(yīng)用)例1（2022秋·八年級單元測試）一架梯子AC長25米，斜靠在一面墻上，梯子底端C離墻7米，

(1)這個梯子的頂端距地面有多高？(2)如果梯子的頂端下滑了4米到A'【答案】(1)梯子的頂端距地面24米；(2)梯子的底端在水平方向滑動了8米；【分析】（1）利用勾股定理直接得出AB的長即可；（2）根據(jù)條件求出A'B，再利用勾股定理直接得出【詳解】（1）解：由題意得：AC=25米，BC=7米，∴AB=25答：梯子的頂端距地面24米；（2）解：由（1）得：AB=24米，∵梯子的頂端下滑了4米到A'∴BA∵AC=25米，∴BC則CC答：梯子的底端在水平方向滑動了8米；【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練利用勾股定理是解題關(guān)鍵．舉一反三1（2023春·浙江杭州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，斜靠在墻上的一根竹竿，AB=5m，OB=3m．若B端沿地面OB方向外0.5m，則A端沿垂直于地面AC方向下移（

）A．等于0.5m B．小于0.5m C．大于0.5m D．不確定【答案】B【分析】利用勾股定理求出OA，然后根據(jù)平移的性質(zhì)求出OD和CD，再利用勾股定理求出OC，即可求出AC，最后比較大小即可得出結(jié)論．【詳解】解：由勾股定理可得OA=A∵B端沿地面OB方向外0.5m，∴OD=OB＋BD=3.5m，CD=AB=5由勾股定理可得OC=C∴AC=OA－OC=（4－512即A端沿垂直于地面AC方向下移（4－512∵（4－512）m＜故選B．【點睛】此題考查的是勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理和實數(shù)的比較大小是解決此題的關(guān)鍵．舉一反三2（2021秋·浙江溫州·八年級校聯(lián)考階段練習）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米，如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面2米，則小巷的寬度為(

)A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米【答案】A【分析】將梯子斜靠在墻上時，形成的圖形看做直角三角形，根據(jù)勾股定理，直角邊的平方和等于斜邊的平方，可以求出梯子的長度，再次利用勾股定理即可求出梯子底端到右墻的距離，從而得出答案.【詳解】如圖，在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，A∴A在Rt△A‘BD中，∵∠A’BD=90°，A’D=2米，B∴B∴B∵BD>0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米即小巷的寬度為2.2米，故答案選A【點睛】本題考查的是勾股定理，熟知并熟練運用勾股定理求斜邊和直角邊是解題的關(guān)鍵題型二求旗桿高度(勾股定理的應(yīng)用）例2（2022秋·浙江杭州·八年級校聯(lián)考期中）學過《勾股定理》后，某班興趣小組來到操場上測量旗桿AB的高度，得到如下信息：①測得從旗桿頂端垂直掛下來的升旗用的繩子比旗桿長1米（如圖1）；②當將繩子拉直時，測得此時拉繩子的手到地面的距離CD為1米，到旗桿的距離CE為6米（如圖2）．根據(jù)以上信息，求旗桿AB的高度．【答案】9米【分析】設(shè)AB=x，則AC=x+1，AE=x-【詳解】解：設(shè)AB=x依題意可知：在Rt△ACE中，∠AEC=90°，AC=x+1，根據(jù)勾股定理得：AC2=A解得：x=9答：旗桿AB的高度是9米．【點睛】本題考查勾股定理的實際應(yīng)用．結(jié)合題意，利用勾股定理列出含未知數(shù)的等式是解題關(guān)鍵．舉一反三1（2019秋·浙江溫州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，一高層住宅發(fā)生火災(zāi)，消防車立即趕到距大廈10米處（車尾到大廈墻面），升起云梯到火災(zāi)窗口，已知云梯長26米，云梯底部距地面AE=1.5米，問：發(fā)生火災(zāi)的住戶窗口距離地面多高？【答案】25.5米【分析】根據(jù)AB和AC的長度，構(gòu)造直角三角形，根據(jù)勾股定理就可求出直角邊BC的長．【詳解】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°；根據(jù)勾股定理，得BC=AB∴BD=24+1.5=25.5（米）；答：發(fā)生火災(zāi)的住戶窗口距離地面25.5米．【點睛】本題考查正確運用勾股定理．解題關(guān)鍵正確構(gòu)造直角三角形應(yīng)用勾股定理．舉一反三2（2022秋·浙江寧波·八年級余姚市梨洲中學?？计谥校┤鐖D，花果山上有兩只猴子在一棵樹CD上的點B處，且BC=5m，它們都要到A處吃東西，其中一只猴子甲沿樹爬下走到離樹10m處的池塘A處，另一只猴子乙先爬到樹頂D處后再沿纜繩DA線段滑到A處.已知兩只猴子所經(jīng)過的路程相等，設(shè)BD為xm.(1)請用含有x的整式表示線段AD的長為m；(2)求這棵樹高有多少米？【答案】（1）15-x;(2)7.5米【分析】(1)設(shè)BD為x，且存在BD+DA=BC+CA，即BD+DA=15，DA=15?x.(2)兩只猴子經(jīng)過路程相等的等量關(guān)BD+DA=BC+CA，根據(jù)此等量關(guān)系列出方程即可求解，已知BC，要求CD求BD【詳解】解：(1)BD為x，且存在BD+DA=BC+CA，即BD+DA=15故答案為：15-x(2)在Rt△則CD即(5+x)2解得x=2.5米，故樹高CD=BC+BD=5+2.5=7.5米，題型三求小鳥飛行距離(勾股定理的應(yīng)用)例3（2023秋·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）如圖，有兩棵垂直于地面的樹，一棵高8米，另一棵高2米，兩樹相距8米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，則它至少要飛行（）米．A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】根據(jù)“兩點之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的樹尖進行直線飛行，所行的路程最短，運用勾股定理可將兩點之間的距離求出．【詳解】解：如圖，構(gòu)造直角三角形ABC∵兩棵樹的高度差為AC=8-2=6（米），間距為AB=根據(jù)勾股定理可得：小鳥至少飛行的距離BC=8故選：C．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將現(xiàn)實問題建立數(shù)學模型，運用數(shù)學知識進行求解．舉一反三1（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，有兩只猴子在一棵樹CD高6m的點B處，他們都要到A處的池塘去喝水，其中一只猴子沿樹爬下去到離樹12m處的池塘A處，另一只猴子爬到樹頂D后直線越向池塘的A處，如果兩只猴子所經(jīng)過的路程相等，這棵樹高有多少米？【答案】樹高為9米．【分析】由題意知AD+DB=BC+CA，設(shè)BD=x米，則AD=(18-x)米，且在Rt△【詳解】解：由題意知AD+DB=BC+CA，且CA=12米，BC=6米，設(shè)BD=x米，則AD=(18-在Rt△ACD中：即(18-解得x=3，故樹高為CD=6+3=9米．答：樹高為9米．【點睛】本題考查了勾股定理在實際生活中的應(yīng)用，本題中找到AD+DB=BC+CA的等量關(guān)系，并根據(jù)勾股定理CD舉一反三2（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，兩樹高分別為10米和4米，相距8米，一只鳥從一樹的樹梢飛到另一樹的樹梢，則小鳥至少要飛（

）A．8米 B．9米 C．10米 D．11米【答案】C【分析】根據(jù)圖像構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖所示：BC=10-4=6米，∴AB=A∴小鳥至少要飛10米，故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理的實際應(yīng)用，熟練掌握勾股定理合理構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵．題型四求大樹折斷前的高度(勾股定理的應(yīng)用)例4（2023秋·浙江·八年級專題練習）海洋熱浪對全球生態(tài)帶來了嚴重影響，全球變暖導致華南地區(qū)汛期更長、降水強度更大，使得登錄廣東的臺風減少，但是北上的臺風增多．如圖，一棵大樹在一次強臺風中距地面5m處折斷，倒下后樹頂端著地點A距樹底端B的距離為12m，這棵大樹在折斷前的高度為（

A．10m B．15m C．18m【答案】C【分析】如圖，勾股定理求出AC的長，利用AC+BC求解即可．【詳解】解：如圖，由題意，得：BC=5,AB=12，BC⊥

∴AC=A∴這棵大樹在折斷前的高度為13+5=18m；故選C．【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．舉一反三1（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）一棵大樹在離地面6m高的B處斷裂，樹頂A落在離樹底部C的8

【答案】16米【分析】根據(jù)大樹折斷部分、下部、地面恰好構(gòu)成直角三角形，根據(jù)勾股定理解答即可．【詳解】解：由題意得BC=6，在直角三角形ABC中，AB=B所以大樹斷裂之前的高度是10+6=16米．【點睛】此題是勾股定理的應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題來解決．舉一反三2（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）《九章算術(shù)》是我國古代第一部數(shù)學專著，它的出現(xiàn)標志著中國古代數(shù)學形成了完整的體系．“折竹抵地”問題源自《九章算術(shù)》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根五尺，問折高者幾何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈=10尺）一陣風將竹子折斷，某竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部5尺遠，則折斷處離地面的高度是（

）A．53尺 B．6.25尺 C．4.75尺 D．3.75【答案】D【分析】根據(jù)題意可設(shè)折斷處離地面的高度OA是x尺，折斷處離竹梢AB是10-【詳解】解：設(shè)折斷處離地面的高度OA是x尺，折斷處離竹梢AB是10-由勾股定理可得：O即：x2解得：x=3.75，故選：D．【點睛】本題主要考查直角三角形勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練運用勾股定理．題型五解決水杯中筷子問題(勾股定理的應(yīng)用)例5舉一反三1（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖所示的是一個長方體筆筒，底面的長、寬分別為8cm和6cm，高為10cm，將一支長為18

A．10cm B．18-102cm C．8【答案】B【分析】長方體內(nèi)斜對角線是最長的，當簽字筆在筆筒里對角放置的時候露在外面的長度最小，求出筆筒的對角線長度即可得簽字筆露在外面的最短長度．【詳解】解：由題意知：筆筒底面對角長為62∴筆筒的對角線長：102∵簽字筆長18cm，∴簽字筆露在筆筒外面的最短長度是：18-故選：B．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．舉一反三2（2019秋·浙江杭州·八年級校考階段練習）如圖，將一根長24cm的筷子，置于底面直徑為5cm，高為12cm的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在杯子外面的長度是為hcm，則h的取值范圍是（）A．5≤h≤12 B．12≤h≤19 C．11≤h≤12 D．12≤h≤13【答案】C【分析】先找到筷子在杯內(nèi)最短和最長時筷子所處的位置，再利用勾股定理求解，進而得到h的范圍．【詳解】當筷子與杯底垂直時h最大，h最大=24-12=12cm．當筷子與杯底直徑及杯高構(gòu)成直角三角形時h最小，此時杯內(nèi)筷子長度=12h最小=24-13=11cm．故h的取值范圍是11≤h≤12．故選C．【點睛】本題考查勾股定理的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準最長最短的位置即可．題型六解決航海問題(勾股定理的應(yīng)用）例6（2023秋·浙江嘉興·九年級?？奸_學考試）甲船和乙船分別從A港口和B港口同時出發(fā)，各沿圖中箭頭所指的方向航行(如圖所示)，現(xiàn)已知甲、乙兩船的速度分別為16海里/時和12海里/時，且A，B兩港口之間的距離為10海里，則經(jīng)過小時甲船和乙船之間的距離最近．

【答案】25/【分析】設(shè)經(jīng)過x小時甲船和乙船之間的距離最近，最近距離是y海里，由勾股定理得y2=(10-16x)2+【詳解】解：設(shè)經(jīng)過x小時甲船和乙船之間的距離最近，最近距離是y海里，如圖，

由勾股定理得：y2當20x-8=0，即x=2則y的值最小，此時y取得最小值為6，即經(jīng)過25故答案為：25【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．舉一反三1（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，一艘輪船位于燈塔B的正西方向A處，且A處與燈塔B相距50海里，輪船沿東北方向勻速航行，到達位于燈塔B的北偏東15°方向上的C處．

(1)求∠ACB的度數(shù)；(2)求燈塔B到C處的距離．（結(jié)果保留根號）【答案】(1)30(2)燈塔B到C處的距離是502【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理進行計算；（2）過點B作AC的垂線，垂足為D．在△BDC【詳解】（1）在△ABC中，∠CAB=45°∴∠ACB=180（2）如圖所示，過點B作AC的垂線，垂足為D，

∵∠DAB=45°，∠DBA=45∴由勾股定理得：AD=BD=2在△BDC中，∠ACB=30°∴BC=2BD=502答：燈塔B到C處的距離是502【點睛】此題考查解直角三角形的應(yīng)用-方向角含義，等腰直角三角形的判定，勾股定理正確，含30度角直角三角形的性質(zhì)，構(gòu)造直角三角形是解決本題的關(guān)鍵．舉一反三2（2022秋·浙江·八年級專題練習）如圖，在南北方向的海岸線MN上，有A、B兩艘巡邏船，現(xiàn)均收到故障船C的求救信號．已知A、B兩船相距1003+1海里，船C在船A的北偏東60°方向上，船C在船B的東南方向上，MN上有一觀測點D，測得船C正好在觀測點D的南偏東（1）分別求出A與C，A與D之間的距離AC和AD（如果運算結(jié)果有根號，請保留根號）．（2）已知距觀測點D處100海里范圍內(nèi)有暗礁．若巡邏船A沿直線AC去營救船C，在去營救的途中有無觸暗礁危險﹖請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.4，3≈1.7，精確到【答案】（1）AC＝200海里，AD=2003【分析】（1）作CE⊥AB于E，設(shè)AE＝x海里，則BE＝CE＝3x海里．根據(jù)AB＝AE＋BE＝x＋3x＝100（3＋1），求得x的值后即可求得AC的長；過點D作DF⊥AC于點F，設(shè)AF＝y(tǒng)，則DF＝CF＝3y，再由AC=AF+CF列式求解即可．（2），求出DF的長，再與100比較即可得到答案．【詳解】解：（1）如圖，過點C作CE⊥AB于E，∴∠CEB=∠CEA=90°，由題意得：∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，∴∠AEC=30°，∠BCE=180°-∠ABC-∠BEC=45°，∴∠BCE=∠EBC=45°，∴BE=EC，∴AC=2AE設(shè)AE＝x海里，則AC=2x海里，在Rt△AEC中，CE=A∴BE=CE=3∴AB=AE+BE=1+∴1+3解得：x＝100，∴AC＝2x＝200海里．∵∠BAC=60°，∠ABC=45°，∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=75°過點D作DF⊥AC于點F，∴∠ADF=30°，∠FDC=90°-∠FCD=45°=∠FCD，∴AD=2AF，DF=FC設(shè)AF＝y(tǒng)，則AD＝2y，∴DF=CF=A∵AC=AF+CF=200海里∴y＋3y＝200，解得：y=1003∴AD=2y=2003（2）由（1）得DF=∴巡邏船A沿直線AC航線，在去營救的途中沒有觸暗礁危險．【點睛】本題考查的勾股定理的應(yīng)用?航海問題，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．題型七求河寬(勾股定理的應(yīng)用)例7（2023春·浙江臺州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，池塘邊有兩點A，B，點C是與BA方向成直角的AC方向上一點，測得AC=18m,BC=30m．求A

【答案】A，B兩點間的距離是24m【分析】直接由勾股定理求出AB的長即可．【詳解】解：由題意可知，∠BAC=90∴AB=B答：A，B兩點間的距離是24m．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用勾股定理求出AB的長．舉一反三1（2023·浙江衢州·三模）某工程隊負責挖掘一處通山隧道，為了保證山腳A，B兩處出口能夠直通，工程隊在工程圖上留下了一些測量數(shù)據(jù)（此為山體俯視圖，圖中測量線拐點處均為直角，數(shù)據(jù)單位：米）．據(jù)此可以求得該隧道預(yù)計全長米．【答案】1000【分析】延長700米和400米的兩邊，交于點C，分析得出BC⊥AC，再分別求出AC和BC【詳解】解：如圖，延長700米和400米的兩邊，交于點C，由題意可得：BC⊥由圖中數(shù)據(jù)可得：BC=900+400-AC=1850-∴AB=A故答案為：1000．【點睛】本題考查了勾股定理的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形．舉一反三2（2020·浙江·模擬預(yù)測）如圖，為了測量池塘的寬度DE，在池塘周圍的平地上選擇了A、B、C三點，且A、D、E、C四點在同一條直線上，∠C=90°，已測得AB=100m，BC=60m，AD=20m，EC=10m，則池塘的寬度A．80m B．60m C．50m【答案】C【分析】根據(jù)已知條件在直角三角形ABC中，利用勾股定理求得AC的長，用AC減去AD、CE求得DE即可．【詳解】解：在Rt△ABC中，AC＝AB2-所以DE＝AC?AD?EC＝80?20?10＝50m故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，將數(shù)學知識與生活實際聯(lián)系起來，是近幾年中考重點考點之一．題型八求臺階上地毯長度(勾股定理的應(yīng)用)例8（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）某會展中心在會展期間準備將高5m、長13m、寬2m的樓道鋪上地毯，已知地毯每平方米30元，請你幫助計算一下，鋪完這個樓道至少需要元．

【答案】1020【分析】地毯的長是樓梯的豎直部分與水平部分的和，即AB與BC的和，在直角△ABC中，根據(jù)勾股定理即可求得AB【詳解】解：由勾股定理得：AB=A則地毯總長為12+5=17m，則地毯的總面積為17×鋪完這個樓道至少需要34×故填：1020．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確理解地毯的長度的計算是解題的關(guān)鍵．舉一反三1（2022秋·浙江·八年級專題練習）如圖，三級臺階，每一級的長、寬、高分別為8dm、3dm、2dm，A和B是這個臺階上兩個相對的端點，點A處有一只螞蟻，想到點B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬行到點B的最短路程為dm．【答案】17【分析】先將圖形平面展開，再用勾股定理根據(jù)兩點之間線段最短進行解答．【詳解】解：三級臺階平面展開圖為長方形，長為8dm，寬為2+3×則螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是此長方形的對角線長．可設(shè)螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程為xdm，由勾股定理得：x2解得x=17．故答案為：17．【點睛】本題考查了平面展開-最短路徑問題，用到臺階的平面展開圖，只要根據(jù)題意判斷出長方形的長和寬即可解答．舉一反三2（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別為9、3和1，A和B是這個臺階兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物．則這只螞蟻沿著臺階面爬行的最短路程是（

）A．6 B．8 C．9 D．15【答案】D【分析】此類題目只需要將其展開便可直觀的得出解題思路．將臺階展開得到的是一個矩形，螞蟻要從B點到A點的最短距離，便是矩形的對角線，利用勾股定理即可解出答案．【詳解】解：如圖，將臺階展開，因為AC＝3×3＋1×3＝12，BC＝9，所以AB2＝AC2＋BC2＝225，所以AB＝15，所以螞蟻爬行的最短線路為15．故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理的應(yīng)用并能得出平面展開圖是解題的關(guān)鍵．題型九判斷汽車是否超速(勾股定理的應(yīng)用)例9（2022秋·浙江·八年級階段練習）如圖，有兩條公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向離O點160米處有一所學校A，當重型運輸卡車P沿道路ON方向行駛時，在以P為圓心，100米為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)都會受到卡車噪聲的影響，且卡車P與學校A的距離越近噪聲影響越大．若已知重型運輸卡車P沿道路ON方向行駛的速度為36千米/時，則對學校A的噪聲影響最大時卡車P與學校A的距離是米；重型運輸卡車P沿道路ON方向行駛一次給學校A帶來噪聲影響的時間是秒．【答案】8012【分析】作AD⊥ON于D，求出AD的長即可解決問題，如圖以A為圓心50m為半徑畫圓，交ON于B、C兩點，求出BC的長，利用時間【詳解】解：作AD⊥ON于∵∠MON=30°，∴AD=即對學校A的噪聲影響最大時卡車P與學校A的距離80m．如圖以A為圓心100m為半徑畫圓，交ON于B、C兩點，∵AD∴BD=CD=在Rt△ABD中，∴BC=120∵重型運輸卡車的速度為36千米/時=10米/秒，∴重型運輸卡車經(jīng)過BC的時間=120÷10=12（秒故卡車P沿道路ON方向行駛一次給學校A帶來噪聲影響的時間為12秒．故答案為：80，12．【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用、解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，學會添加常用輔助線構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．舉一反三1（2019·浙江杭州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，小明家（A）在小亮家（B）的正北方，某日，小明與小亮約好去圖書館（D），一小明行走的路線是A→C→D，小亮行走的路線是B→C→D，已知AB=3km，BC=4km，CD=5km，∠ABC=90°，已知小明騎自行車速度為akm/分鐘，小亮走路，速度為0.1km分鐘。小亮出發(fā)20分鐘后小明再出發(fā)，若小明在路上遇到小亮，則帶上小亮一起去圖書館，為了使小亮能坐上小明的順風車，則a的取【答案】1【分析】先根據(jù)勾股定理得出AC的長，再根據(jù)時間、路程、速度之間的關(guān)系分別求出小明、小亮同時到達C和D時a的值，即可得出而答案【詳解】解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3km∴AC=小亮到C所用時間=40.1=40∴小明、小亮同時到達C時，a=小明、小亮同時到達D時，a=∴a的取值范圍是：1【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，以及路程問題，熟練掌握相關(guān)的知識是解題的關(guān)鍵舉一反三2（2021秋·浙江溫州·八年級溫州市第二十一中學校考階段練習）如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀A處的正前方30m的C處，過了2s后，測得小汽車與車速檢測儀間的距離為50m，則這輛小汽車的速度是m/s．【答案】20【詳解】在Rt△ABC中，AC=30m，AB=50m；據(jù)勾股定理可得：BC=AB故小汽車的速度為v=402題型十判斷是否受臺風影響(勾股定理的應(yīng)用)例10（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）森林火災(zāi)是一種常見的自然災(zāi)害，危害很大．隨著中國科技、經(jīng)濟的不斷發(fā)展，開始應(yīng)用飛機灑水的方式撲滅火源．如圖，△ABC區(qū)域內(nèi)是一片森林，有一臺救火飛機沿東西方向AB，由點A飛向點B，已知點C為其中一個著火點，且點C與點A，B的距離分別為600m和800m，又AB=1000m，飛機中心周圍(1)求△ABC的面積．(2)著火點C能否受到灑水影響？為什么？【答案】(1)240000(2)受影響【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC（2）過點C作CD⊥AB于D，利用三角形面積得出CD的長，進而得出海港【詳解】（1）解：∵AC=600m，BC=800m，AB=1000m，∴AC∴△ABC∴S△（2）如圖，過點C作CD⊥AB于∴S∴600∴CD=480∵飛機中心周圍500m以內(nèi)可以受到灑水影響，∴著火點C受灑水影響．【點睛】本題考查的是勾股定理在實際生活中的運用，解答此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形，再利用勾股定理解答．舉一反三1（2023秋·浙江·八年級專題練習）如圖，公路MN和公路PQ在點P處交匯，∠OPN=30°，點A處有一所學校．AP=240m．假設(shè)汽車在公路MN上行駛時，周圍150m【答案】學校會受到噪聲影響；理由見解析；學校受影響的時間為10秒【分析】過點A作AB⊥PN于點B，則可得AB=120m，從而可判斷學校會受到影響；設(shè)從點E開始學校學到影響，點F結(jié)束，則易得AE=AF，從而BE=BF，由勾股定理可求得BE的長，從而得【詳解】解：如圖，過點A作AB⊥∵∠QPN=30°，∴AB=1∵120m<150m，∴學校會受到噪音的影響；設(shè)從點E開始學校學到影響，點F結(jié)束，則AE=AF=150m，又∵AB⊥∴BE=BF，由勾股定理得：BE=A∴EF=2BE=180m，∵汽車的速度為18m/s，∴受影響的時間為：180÷【點睛】本題是直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，考查了含30度角直角三角形的性質(zhì)，直角三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等知識，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題是本題的關(guān)鍵與難點．舉一反三2（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）為了積極響應(yīng)國家新農(nóng)村建設(shè)的號召，遂寧市某鎮(zhèn)政府采用了移動宣講的形式進行廣播宣傳．如圖，筆直的公路MN的一側(cè)點A處有一村莊，村莊到公路MN的距離為600m，假使宣講車P周圍1000m以內(nèi)能聽到廣播宣傳，宣講車P在公路MN上沿(1)村莊能否聽到廣播宣傳?請說明理由．(2)已知宣講車的速度是200m/【答案】(1)村莊能聽到廣播宣傳，理由見解析(2)8min【分析】（1）根據(jù)村莊A到公路MN的距離為600米<1000米，即可得出村莊能聽到廣播宣傳．（2）根據(jù)勾股定理得到BP=BQ=5002-3002【詳解】（1）解：村莊能聽到廣播宣傳，理由如下：∵村莊A到公路MN的距離為600米<1000米，∴村莊能聽到廣播宣傳．（2）如圖：假設(shè)當宣傳車行駛到P點開始能聽到廣播，行駛到Q點剛好不能聽到廣播，則AP=AQ=1000米，AB=600米，由勾股定理得：BP=BQ=1000∴PQ=1600∴能聽到廣播的時間為：1600÷∴村莊總共能聽到8min的宣傳．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，結(jié)合生活實際，便于更好地理解題意是解題的關(guān)鍵．題型十一選址使到兩地距離相等(勾股定理的應(yīng)用)例11（2023秋·浙江·八年級專題練習）如圖，鐵路上A，B兩點相距25km，C，D為兩村莊，DA⊥AB于點A，CB⊥AB于點B，已知DA=15km，CB=10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個土特產(chǎn)品收購站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建在離A

【答案】10km【分析】先根據(jù)垂直的定義可得∠A=∠B=90°，再根據(jù)勾股定理可得AE2+AD2【詳解】解：∵使得C,D兩村到E站的距離相等，∴DE=CE，∵DA⊥AB，∴∠A=∴AE2+A∴AE設(shè)AE=xkm，則BE=AB-∵DA=15km，CB=10km，∴x2解得：x=10，∴AE=10km，答：E站應(yīng)建在離A站10km處．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，利用勾股定理正確建立方程是解題關(guān)鍵．舉一反三1（2020秋·浙江紹興·八年級統(tǒng)考期中）如圖所示，A、B兩塊試驗田相距200m，C為水源地，AC＝160m，BC＝120m，為了方便灌溉，現(xiàn)有兩種方案修筑水渠．甲方案：從水源地C直接修筑兩條水渠分別到A、B；乙方案；過點C作AB的垂線，垂足為H，先從水源地C修筑一條水渠到AB所在直線上的H處，再從H分別向A、B進行修筑．（1）請判斷△ABC的形狀（要求寫出推理過程）；（2）兩種方案中，哪一種方案所修的水渠較短？請通過計算說明．【答案】（1）△ABC是直角三角形，理由見解析；（2）（2）甲方案所修的水渠較短；理由見解析【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形；（2）由△ABC的面積求出CH，得出AC+BC＜CH+AH+BH，即可得出結(jié)果．【詳解】解：（1）△ABC是直角三角形；理由如下：∴AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；（2）甲方案所修的水渠較短；理由如下：∵△ABC是直角三角形，∴△ABC的面積＝12AB?CH＝1∴CH＝AC?∵AC+BC＝160+120＝280（m），CH+AH+BH=CH+AB＝96+200＝296（m），∴AC+BC＜CH+AH+BH，∴甲方案所修的水渠較短．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、勾股定理的逆定理、三角形面積的計算；熟練掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理證出△ABC是直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．舉一反三2（2019秋·浙江溫州·九年級校聯(lián)考期末）某公路上有一隧道，頂部是圓弧形拱頂，圓心為O，隧道的水平寬AB為24m，AB離地面的高度AE=10m，拱頂最高處C離地面的高度CD為18m，在拱頂?shù)腗，N處安裝照明燈，且M，N離地面的高度相等都等于17m，則MN=【答案】10【分析】連接OA，OB，OM，即為圓弧的半徑，則根據(jù)勾股定理和已知條件，可得OA2=OG2+AG【詳解】解：如圖示：連接OA，OB，OM，并且CD交AB、MN與G、H兩點，根據(jù)對稱性，有AG=12AB=12，∴GC=CD-設(shè)圓弧的半徑是x，即：OA=OB=OC=OM=x，∴OG=0C-由勾股定理可得：OA2=O解之得：x=13，∴OH=OC-由勾股定理可得：OM2=M解之得：MH=5，∴MN=2MH=2故答案為：10.【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，能熟練構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵.題型十二求最短路徑(勾股定理的應(yīng)用）例12（2023秋·遼寧沈陽·八年級沈陽市第四十三中學校考階段練習）如圖，長方體的長、寬、高分別為6，4，4，點A是上底面中心，點B是棱CD的中點，一只螞蟻由A處爬到B處，最短路程為．

【答案】5【分析】比較短的路徑如圖1，2，計算出每個圖中AB的長度，即可求解．【詳解】解：比較短的路徑如圖1，2，

圖1表示將點A所在的上面沿點A后方點C所在的直線向后翻折90°則AB=3圖2表示右側(cè)面向上翻折90°則AB=2故AB的最小值為5，故答案為：5．【點睛】本題考查了平面展開-最短路徑問題，此題的關(guān)鍵是明確兩點之間線段最短這一知識點，然后把立體的長方體放到一個平面內(nèi)，求出最短的線段．舉一反三1（2023秋·廣東佛山·八年級佛山市第四中學?？茧A段練習）如圖，圓柱的高為12cm，底面周長為18cm，螞蟻在圓柱側(cè)面爬行，從點A爬到點B的最短路程是cm．

【答案】15【分析】將圓柱側(cè)面展開圖如圖所示，由圖形可知螞蟻在圓柱側(cè)面爬行，從點A爬到點B處吃食，那么它爬行的最短路程即為AB的長，再由勾股定理求出AB即可．【詳解】解：圓柱側(cè)面展開圖如圖所示，

∵圓柱高為12cm，底面圓的周長為18cm，∴BC=12cm,AC=由圖形可知，螞蟻在圓柱側(cè)面爬行，從點A爬到點B處吃食，那么它爬行的最短路程為AB的長，在Rt△AB=A故答案為：15．【點睛】本題考查了最短路線問題及勾股定理，將立體圖形轉(zhuǎn)化成平面圖形求解是解題的關(guān)鍵．舉一反三2（2023秋·廣東佛山·八年級?？茧A段練習）如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為12cm，底面周長為16cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm的點A

【答案】4【分析】將容器側(cè)面展開，作出A關(guān)于EF的對稱點A'，根據(jù)兩點之間線段最短可知A'B的長度即為所求，在Rt【詳解】解：如圖：將容器側(cè)面展開，作A關(guān)于EC的對稱點A'，過A'作

則四邊形A'∴A'D=EC，連接A'B，則∵高為12cm，底面周長為16cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點B處有一飯粒，此時螞蟻正好在容器外壁，離容器上沿3cm與飯粒相對的點A處，∴A'D=8（cm），BD=12-在Rt△A'BD中，【點睛】本題考查了平面展開-最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進行計算是解題的關(guān)鍵題型十三判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形例13（2022秋·浙江杭州·八年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，CD⊥AB，AB=5，BC=5，CD=2

(1)求DB的長；(2)求證：AC⊥BC．【答案】(1)1(2)詳見解析【分析】（1）根據(jù)垂直定義可得∠CDA=∠CDB=90（2）利用（1）的結(jié)論可得AD=4，然后在Rt△ACD中，利用勾股定理求出AC的長，從而利用勾股定理的逆定理證明△ABC【詳解】（1）解：∵CD⊥∴∠CDA=在Rt△CDB中，BC=5∴DB=B∴DB的長為1；（2）證明：∵AB=5，DB=1，∴AD=AB-在Rt△ACD中，∴AC2+B∴AC∴△ABC∴∠ACB=90∴AC⊥【點睛】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．舉一反三1（2022秋·浙江寧波·八年級校聯(lián)考階段練習）下列條件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（

）A．∠B=∠C+∠A B．a(chǎn)C．∠A:∠B:∠C=3:4:5 D．a(chǎn):b:c=5:12:13【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理和三角形內(nèi)角和定理分析判斷即可．【詳解】解：A.若∠B=∠C+∠A，則有∠B.若a2=(b+c)(b-c)，則有a2C.若∠A:∠B:∠C=3:4:5，設(shè)∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，則有∠A+∠B+D.若a:b:c=5:12:13，設(shè)a=5x，b=12x，c=13x，則有a2由勾股定理的逆定理可知△ABC故選：C．【點睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理和三角形內(nèi)角和定理等知識，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題關(guān)鍵．舉一反三2（2022秋·浙江寧波·八年級浙江省余姚市實驗學校校考期中）已知a、b、c為△ABC的三邊，且滿足a-ba2+A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)可得關(guān)于a、b、c的等式，繼而可得a、b、c三邊的數(shù)量關(guān)系，進而可判斷出△ABC【詳解】解：∵a-∴a-b=0或∴a=b或a2∴△ABC故選：D．【點睛】本題考查了直角三角形的判定以及非負數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握非負數(shù)的性質(zhì)以及勾股定理的逆定理等知識是解題的關(guān)鍵．題型十四在網(wǎng)格中判斷直角三角形例14（2022秋·浙江寧波·八年級?？计谀┰谡叫尉W(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點，頂點都在格點的三角形叫做格點三角形，現(xiàn)有A，B兩個格點，請以AB為邊分別畫出符合下列要求的格點三角形．(1)在圖甲中畫一個面積為4的直角三角形；(2)在圖乙中畫一個等腰（非直角）三角形，且這個等腰三角形的腰長為_______________．【答案】(1)見解析(2)見解析；10（畫圖3填13）【分析】（1）根據(jù)題意畫出符合要求的直角三角形即可；（2）畫出符合要求的等腰三角形，根據(jù)勾股定理求出腰長即可．【詳解】（1）解：△ABC（畫出一種情況即可）（2）解：△ABD圖1和圖2中腰長為32圖3中腰長為22故答案為：10（畫圖3填13）．【點睛】本題主要考查了在網(wǎng)格中畫等腰三角形，直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理和網(wǎng)格特點．舉一反三1（2022秋·浙江寧波·八年級校聯(lián)考期末）如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，要求只用一把無刻度的直尺作圖．(1)在圖1中作一個以AB為腰的等腰三角形，其頂點都在格點上．(2)在圖2中作所有以AB為一邊的直角三角形，其頂點都在格點上．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)格點特點作等腰三角形即可；（2）分別以AB為直角邊或以AB為斜邊，作直角三角形即可．【詳解】（1）解：如圖，△ABC（2）解：如圖，△ABC、△ABD、△ABE【點睛】本題主要考查了在網(wǎng)格中作等腰三角形和直角三角形，解題的關(guān)鍵是注意網(wǎng)格中互相垂直的線段作法．舉一反三2（2022秋·浙江溫州·八年級?？计谥校﹫D1與圖2均為5×5的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，點A、B均落在格點上，在圖1、圖(1)在圖1的格點中取一點C，使△ABC為等腰直角三角形；(2)在圖2的格點中取一點E，使△ABE是與△ABD面積相等的等腰三角形．【答案】(1)作圖見解析(2)作圖見解析【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及作圖方法，在網(wǎng)格中作出圖形即可得到答案；（2）在網(wǎng)格中可知S△ABD=2，從而結(jié)合點E在格點中，按照△【詳解】（1）解：如圖所示：∴存在三個這樣的點C，使△ABC（2）解：根據(jù)S△∴存在兩個這樣的點E，使△ABE是與△【點睛】本題考查復雜作圖，涉及等腰直角三角形及等腰三角形，熟練掌握等腰直角三角形及等腰三角形性質(zhì)與作圖，理解網(wǎng)格中三角形面積求法是解決問題的關(guān)鍵．題型十五利用勾股定理的逆定理求解例15（2022春·浙江·八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=90°，

(1)求AC的長．(2)求四邊形ABCD的面積．【答案】(1)5(2)36【分析】（1）根據(jù)勾股定理求解即可；（2）根據(jù)勾股定理逆定理可得出△ACD為直角三角形，且∠ACD=90°，再分別求出S△ACD【詳解】（1）解：∵∠B=90∴AC=A（2）解：∵AC=5，CD=12，∴AC∴△ACD為直角三角形，且∠∴S△∵S△∴S四邊形【點睛】本題主要考查勾股定理及其逆定理．證明△ACD舉一反三1（2022秋·浙江金華·八年級?？茧A段練習）如圖所示，AB⊥BC，AB=23，CD=5，AD=3，BC=2，則∠A=（

A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】C【分析】如圖，連接AC，求解AC=232+22=4，證明∠DAC=90°，延長CB至Q【詳解】解：如圖，連接AC，

∵AB⊥BC，AB=23∴AC=2∵CD=5，AD=3，∴AD∴∠DAC=90延長CB至Q，使CB=QB=2，連接AQ，而AB∴AC=AQ=4，而CQ=2+2=4，∴△AQC∴∠QAC=60∵AQ=AC，AB⊥∴∠QAB=∴∠DAB=90故選C【點睛】本題考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理的應(yīng)用，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的三線合一的應(yīng)用，線段的垂直平分線的性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．舉一反三2（2022秋·浙江寧波·八年級?？计谥校┤鐖D，小明爸爸在魚池邊開了一塊四邊形土地種了一些蔬菜，爸爸讓小明計算這塊土地的面積，AB=3m，AD=4m，CD=12m，BC=13

【答案】這塊土地的面積為36平方米．【分析】連接BD，由勾股定理求得BD2，然后勾股定理的逆定理得出△BCD是直角三角形，∠【詳解】解：連接BD，

∵∠A=90∴BD則BD因此△BCD是直角三角形，∠S==36（平方米），答：這塊土地的面積為36平方米．【點睛】本題考查勾股定理以及勾股定理的逆定理，掌握勾股定理是解答此題的關(guān)鍵．題型十六勾股定理逆定理的實際應(yīng)用例16（2022秋·浙江寧波·八年級校考期中）如圖所示，四邊形ABCD中，AB=3cm,AD=4cm

【答案】四邊形ABCD的面積為36【分析】如圖所示，連接BD，根據(jù)∠A=90°可得△ABD是直角三角形，可求出△ABD的面積和BD的長，在△BCD中，根據(jù)BD2【詳解】解：如圖所示，連接BD，

∵∠A=90∴△ABD是直角三角形，且AB=3cm,AD=4cm∴S△ABD=在△BCD中，BC=13cm，CD=12cm，BD=5cm∵52+12∴△BCD是直角三角形，即∠∴S△∴S四邊形∴四邊形ABCD的面積為36．【點睛】本題主要考查勾股定理及其逆定理的運用，掌握勾股定理求邊長，勾股定理的逆定理判定直角三角形的方法是解題的關(guān)鍵．舉一反三1（2022秋·浙江寧波·八年級校聯(lián)考期中）如圖，某住宅小區(qū)在施工過程中留下了一塊空地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米．(1)△ABC是直角三角形嗎？為什么？(2)小區(qū)為美化環(huán)境，欲在空地上鋪草坪，已知草坪每平方米100元，試問鋪滿這塊空地共需花費多少元？【答案】(1)△ABC(2)2400元【分析】（1）連接AC，根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)勾股定理逆定理求出∠ACB=90（2）求出空地面積，即可求出答案．【詳解】（1）△ABC理由：連接AC，在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AD=4米，CD=3∵AC2+B∴AC∴∠ACB=90∴△ABC（2）該空地面積S=S即鋪滿這塊空地共需花費=24×【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，三角形面積，勾股定理逆定理的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是求出區(qū)域面積．舉一反三2（2022秋·浙江寧波·八年級?？计谥校┤鐖D，AB⊥BC,AB=4,BC=3,DC=12,AD=13．請你連結(jié)AC．(1)求線段AC的長；(2)求四邊形ABCD的面積【答案】(1)5(2)24【分析】（1）根據(jù)勾股定理得出AC即可；（2）先根據(jù)勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，再根據(jù)三角形的面積公式解答即【詳解】（1）解：如圖，連接AC，∵∠B=90∴AC=A（2）解：∵AC=5,AD=13,CD=12，∴AD∴△ACD∴∠DCA=90在Rt△ABC中，在Rt△ADC中，∴S四邊形【點睛】本題考查了勾股定理在實際生活中的運用，直角三角形面積計算，根據(jù)勾股定理的逆定理判定△ACD題型十七勾股定理逆定理的拓展問題例17（2023春·廣西柳州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在筆直的公路AB旁有一條河流，為方便運輸貨物，現(xiàn)要從公路AB上的D處建一座橋梁到達C處，已知點C與公路上的?？空続的直線距離為9km，與公路上另一?？空綛的直線距離為12km，公路AB的長度為15km(1)求證：AC⊥BC；(2)求修建的橋梁CD的長．【答案】(1)見解析(2)36【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理即可求證；（2）根據(jù)S△【詳解】（1）證明：由題可知AC=9km，BC=12km，AB=15km．∵92即AC∴△ABC是直角三角形，且∠∴AC⊥（2）解：∵S△ABC=12AC?∴CD=AC答：修建的橋梁CD的長為365【點睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是掌握如果三角形的兩邊平方和等于第三邊的平方，則這個三角形是直角三角形．舉一反三1（2023春·山東臨沂·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，四邊形ABCD的頂點均在格點上．(1)直接寫出線段AC、CD、AD的長；(2)求∠ACD的度數(shù)；(3)求四邊形ABCD的面積．【答案】(1)AC=25，CD=5(2)∠ACD=90°(3)13【分析】（1）根據(jù)勾股定理可求；（2）根據(jù)勾股定理逆定理可判斷；（3）由S四邊形ABCD=SΔ【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得：AC==4CD==2AD=32（2）解：∵AC2+CD2=252+52=25=52∴∠ACD=90°．（3）解：．S四邊形ABCD=SΔ【點睛】本題考查了勾股定理及逆定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理與逆定理是解題的關(guān)鍵．舉一反三2（2023春·福建廈門·八年級校考期中）定義：如圖，點M，N（點M在N的左側(cè)）把線段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M、N是線段AB的購股分割．(1)已知M、N把線段AB分割成AM，MN，BN，若AM=1.5，MN=2.5，BN=2.0，則點M、N是線段AB的勾股分割點嗎？請說明理由；(2)已知點M、N是線段AB的勾股分割點，且AM為直角邊，若AB=30，AM=5，求BN的長．【答案】(1)是，理由見解析(2)BN＝12或13【分析】（1）根據(jù)勾股定理逆定理，即可判斷點M、N是線段AB的勾股分割點．（2）設(shè)BN＝x，則MN＝30?AM?BN＝25?x，分三種情形①當AM為最大線段時，依題意AM2＝MN2＋BN2，②當MN為最大線段時，依題意MN2＝AM2＋NB2，③當BN為最大線段時，依題意BN2＝AM2＋MN2，分別列出方程即可解決問題．【詳解】（1）是．理由如下：∵AM2＋BN2＝1.52＋22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25，∴AM2＋NB2＝MN2，∴AM、MN、NB為邊的三角形是一個直角三角形，∴點M、N是線段AB的勾股分割點．（2）設(shè)BN＝x，則MN＝30?AM?BN＝25?x，①當MN為最大線段時，依題意MN2＝AM2＋NB2，即（25?x）2＝x2＋25，解得x＝12；②當BN為最大線段時，依題意BN2＝AM2＋MN2．即x2＝25＋（25?x）2，解得x＝13，綜上所述，BN＝12或13．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理的運用，解題的關(guān)鍵是理解題意，學會分類討論，注意不能漏解．單選題1.（2023春·安徽淮南·八年級統(tǒng)考期中）如圖，一架2.6m長的梯子AB斜靠在豎直的墻面AO上，此時AO=2.4m．若梯子的頂端A沿墻下滑0.5m至位置C，那么梯子底端B

A．大于0.5m B．0.5m C．小于0.5【答案】A【分析】先根據(jù)勾股定理求出OB的長，再根據(jù)梯子的長度不變求出OD的長，根據(jù)BD=OD-【詳解】∵Rt△OAB∴OB=同理，Rt△∵CD=2.6m,OC=2.4-∴∴BD=OD故選：A【點睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖．領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．2．（2023春·河南安陽·八年級校考期中）如圖，一棵大樹被臺風刮斷，若樹在離地面0.8m處折斷