組合問(wèn)題同步練習(xí) 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

§3組合問(wèn)題3.1組合3.2組合數(shù)及其性質(zhì)基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練題組一組合、組合數(shù)及其性質(zhì)1.以下5個(gè)命題,屬于組合問(wèn)題的有()①?gòu)?,2,3,…,9九個(gè)數(shù)字中任取三個(gè),組成一個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù);②從1,2,3,…,9九個(gè)數(shù)字中任取三個(gè),然后把這三個(gè)數(shù)字相加得到一個(gè)和,這樣的和的個(gè)數(shù);③從a,b,c,d四名學(xué)生中選兩名去完成同一份工作的選法;④5個(gè)人規(guī)定相互通話(huà)一次,通電話(huà)的次數(shù);⑤5個(gè)人相互寫(xiě)一封信,所有信的數(shù)量.A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)2.(2023上海市西中學(xué)期中)已知C82x-1=C3.不等式1Cx3-4.(2023浙江金華階段考試)C33+C43+C5.(1)求值:Cn(2)已知1C5m-題組二組合的簡(jiǎn)單應(yīng)用6.(2023遼寧沈陽(yáng)皇姑期中)如圖,某類(lèi)共享單車(chē)密碼鎖的密碼是由4位數(shù)字組成,所有密碼中,恰有三個(gè)重復(fù)數(shù)字的密碼個(gè)數(shù)為()A.90B.324C.360D.4007.(2024河北邢臺(tái)名校聯(lián)盟期中)現(xiàn)有紅色、黃色、藍(lán)色的球各4個(gè),每個(gè)球上都標(biāo)有不同的編號(hào).從中任取3個(gè)球,若這3個(gè)球的顏色不全相同,且至少有一個(gè)紅球,則不同的取法有()A.160種B.220種C.256種D.472種8.(2022上海自主招生)8個(gè)點(diǎn)將半圓分成9段弧,以10個(gè)點(diǎn)(包括2個(gè)端點(diǎn))為頂點(diǎn)的三角形中鈍角三角形的個(gè)數(shù)為()A.55B.112C.156D.1209.(多選題)(2023吉林長(zhǎng)春期末)從7名男生和5名女生中任選4人參加夏令營(yíng),規(guī)定男、女生至少各有1人參加,則不同的選法種數(shù)為()A.C71CC.C124-C10.(2022上海高橋中學(xué)階段模考)夏老師從家到學(xué)校,可以選擇走錦繡路、楊高路、張楊路或者浦東大道,由于夏老師不知道楊高路有一段在修路導(dǎo)致第一天上班就遲到了,所以夏老師決定以后要繞開(kāi)那段維修的路,如圖,假設(shè)夏老師家在M處,學(xué)校在N處,AB段正在修路要繞開(kāi),則夏老師從家到學(xué)校的最短路徑有()A.23條B.24條C.25條D.26條11.(2024河北棗強(qiáng)中學(xué)月考)杭州亞運(yùn)會(huì)期間某餐廳為志愿者供應(yīng)客飯,每位志愿者可以在餐廳提供的菜肴中任選2葷2素共4種不同品種.現(xiàn)在餐廳準(zhǔn)備了5種不同的葷菜,若要保證每位志愿者有200種以上不同選擇,則餐廳至少還需要準(zhǔn)備種不同的素菜.

12.有10本相同的書(shū)要送給5位同學(xué),其中甲、乙兩位同學(xué)每人至少2本,其余每人至少一本,則不同的分配方案有種.(用數(shù)字作答)

題組三排列與組合的綜合應(yīng)用13.(2023河南開(kāi)封通許等3地押題)黃金分割最早見(jiàn)于古希臘和古埃及.黃金分割又稱(chēng)黃金律、中外比,即把一條線(xiàn)段分成長(zhǎng)短不等的a,b兩段,使得長(zhǎng)線(xiàn)段a與原線(xiàn)段a+b的比等于短線(xiàn)段b與長(zhǎng)線(xiàn)段a的比,即a∶(a+b)=b∶a,其比值約為0.6180339….小王酷愛(ài)數(shù)學(xué),他選了其中的6,1,8,3,3,9這六個(gè)數(shù)字組成了手機(jī)開(kāi)機(jī)密碼,如果兩個(gè)3不相鄰,則小王可以設(shè)置的不同密碼個(gè)數(shù)為()A.180B.210C.240D.36014.(2024浙江強(qiáng)基聯(lián)盟聯(lián)考)浙江大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)、南京大學(xué)三所學(xué)校發(fā)布了2024年冬令營(yíng)招生簡(jiǎn)章,現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)報(bào)名,每位同學(xué)只能選一所大學(xué),每所大學(xué)至少有一位同學(xué)報(bào)名,且甲同學(xué)不報(bào)南京大學(xué),則不同的報(bào)名方法共有()A.16種B.20種C.24種D.28種15.(2024浙江稽陽(yáng)聯(lián)誼學(xué)校聯(lián)考)第33屆夏季奧運(yùn)會(huì)預(yù)計(jì)在2024年7月26日至8月11日在法國(guó)巴黎舉辦,這屆奧運(yùn)會(huì)將新增電子競(jìng)技和沖浪兩個(gè)競(jìng)賽項(xiàng)目以及滑板等五個(gè)表演項(xiàng)目.現(xiàn)有A,B,C三個(gè)場(chǎng)地分別承擔(dān)競(jìng)賽項(xiàng)目與表演項(xiàng)目比賽,其中電子競(jìng)技和沖浪兩個(gè)項(xiàng)目?jī)H能由A,B兩個(gè)場(chǎng)地承辦,且各自承辦其中一項(xiàng).五個(gè)表演項(xiàng)目分別由A,B,C三個(gè)場(chǎng)地承辦,且每個(gè)場(chǎng)地至少承辦其中一個(gè)項(xiàng)目,則不同的安排方法有()A.150種B.300種C.720種D.1008種16.(2022福建福州期末)用數(shù)字1,2,3排成一個(gè)五位數(shù),要求每個(gè)數(shù)字至少用一次,則不同的五位數(shù)有()A.180個(gè)B.150個(gè)C.120個(gè)D.90個(gè)17.(2023廣東河源中學(xué)質(zhì)量檢測(cè))某市教育局人事部門(mén)打算將甲、乙、丙、丁、戊這5名應(yīng)屆大學(xué)畢業(yè)生安排到該市4所不同的學(xué)校任教,每所學(xué)校至少安排一名,每名畢業(yè)生只去一所學(xué)校,則不同的安排方法種數(shù)是.

18.(2024江浙兩省縣域高中發(fā)展共同體聯(lián)考)第19屆杭州亞運(yùn)會(huì)的吉祥物是一組名為“江南憶”的機(jī)器人:“琮琮”代表世界遺產(chǎn)良渚古城遺址,“蓮蓮”代表世界遺產(chǎn)西湖,“宸宸”代表世界遺產(chǎn)京杭大運(yùn)河.現(xiàn)有6個(gè)不同的吉祥物,其中“琮琮”“蓮蓮”和“宸宸”各2個(gè),將這6個(gè)吉祥物排成前后兩排,每排3個(gè),且每排相鄰兩個(gè)吉祥物名稱(chēng)不同,則排法種數(shù)共有.(用數(shù)字作答)

19.一條沿江公路上有18盞路燈,為節(jié)約用電,現(xiàn)打算關(guān)掉其中4盞路燈,為安全起見(jiàn),要求公路的頭尾兩盞路燈不可關(guān)閉,關(guān)掉的相鄰兩個(gè)路燈之間至少有3盞亮著的路燈,則不同的方案總數(shù)共有.

20.(2022陜西西北農(nóng)林科技大學(xué)附中期末)3名男同志和3名女同志到4輛不同的公交車(chē)上服務(wù).(1)若每輛車(chē)上都要有人服務(wù),但最多安排男、女各一名,有多少種不同的安排方法?(2)若男、女同志各服務(wù)兩輛車(chē),有多少種安排方法?

答案與分層梯度式解析§3組合問(wèn)題3.1組合3.2組合數(shù)及其性質(zhì)基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1.B①取出三個(gè)數(shù)字后,改變這三個(gè)數(shù)字的順序,會(huì)得到不同的三位數(shù),所以此問(wèn)題與順序有關(guān),是排列問(wèn)題;②取出三個(gè)數(shù)字之后,無(wú)論怎樣改變這三個(gè)數(shù)字的順序,其和均不變,此問(wèn)題只與取出的元素有關(guān),與元素的順序無(wú)關(guān),是組合問(wèn)題;③兩名學(xué)生完成的是同一份工作,沒(méi)有順序,是組合問(wèn)題;④甲與乙通一次電話(huà),也就是乙與甲通一次電話(huà),與順序無(wú)關(guān),是組合問(wèn)題;⑤寄信人與收信人是有區(qū)別的,是排列問(wèn)題.故屬于組合問(wèn)題的有3個(gè).故選B.2.答案4或2解析由C82x-1=C8x+3,可得2x-1=x+3或2x-1+x+3=8,解得x=43.答案{5,6,7,8,9,10,11}解析由題意得x≥5,x∈N.原不等式可化為6x即x2-11x-12<0,解得-1<x<12.又x≥5,x∈N,所以x∈{5,6,7,8,9,10,11}.4.答案C解析根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)得C33+C43+C55.解析(1)由題意得5-n≤n,5∵n∈N+,∴n=4或n=5.當(dāng)n=4時(shí),原式=C4當(dāng)n=5時(shí),原式=C5(2)由題意可知m的取值范圍為{m|0≤m≤5,m∈N},由已知得m!(即10m=(7-m)(6-m),整理得m2-23m+42=0,解得m=21(舍去)或m=2,∴C86.C分兩步進(jìn)行分析:①?gòu)?0個(gè)數(shù)字中任選一個(gè),重復(fù)安排在密碼四個(gè)位置中的三個(gè)位置,有C101C43=40種情況;②在剩下的9個(gè)數(shù)字中任選一個(gè),安排在剩余的位置,有9種情況7.A若取出的球中有1個(gè)紅球,則不同的取法有C41C若取出的球中有2個(gè)紅球,則不同的取法有C42C故不同的取法有112+48=160(種).故選A.8.B在10個(gè)點(diǎn)中,任意3點(diǎn)不共線(xiàn),所以從中任取3個(gè)點(diǎn),可以組成C103=120個(gè)三角形,其中沒(méi)有銳角三角形,有8個(gè)直角三角形,所以鈍角三角形有120-8=112(個(gè)).故選9.BC(1)分三類(lèi):3男1女,2男2女,1男3女,∴男、女生至少各有1人參加的選法種數(shù)為C7(2)任選4人的方法種數(shù)為C124,其中全部為男生或全部為女生的方法種數(shù)為C74+C54,10.D由M到N的最短路徑需要向右走四段路,向上走三段路,所以不考慮修路的情況有C73條路徑,由M到A的最短路徑需要向右走兩段路,向上走一段路,所以由M到A的最短路徑有C31條,由B到N的最短路徑需要向右走一段路,向上走兩段路,所以由B到N所以由M到N不經(jīng)過(guò)AB的最短路徑有C73-C3111.答案7解析設(shè)還需要準(zhǔn)備n(n≥2,n∈N+)種不同的素菜,由題意得C52Cn2>200,解得n>因?yàn)閚≥2,n∈N+,所以n的最小值為7,所以餐廳至少還需要準(zhǔn)備7種不同的素菜.12.答案35解析解法一:5位同學(xué)每人分1本,因?yàn)榧?、乙兩位同學(xué)每人至少2本,所以剩余的5本至少分成兩份,利用“隔板法”如下:分成兩份,給甲、乙,共C41=4分成三份,給甲、乙和另一名學(xué)生,共C42C分成四份,給甲、乙和另兩名學(xué)生,共C43C分成五份,五名學(xué)生再每人1本,共1種分法.所以不同的分配方案有4+18+12+1=35(種).解法二:先分給甲、乙一人一本書(shū),再將余下的8本相同的書(shū)送給5位同學(xué),每人至少一本,使用隔板法,8本書(shū)形成7個(gè)空(不算兩端),在7個(gè)空中插入4塊隔板,所以不同的分配方案有C74=35(13.C先把6,1,8,9進(jìn)行排列,有A44種情況,然后選兩個(gè)空檔插入3,有C52種情況故選C.14.C可分為兩類(lèi):第1類(lèi):甲單獨(dú)報(bào)一個(gè)學(xué)校,則不同的報(bào)名方法有C21C第2類(lèi),甲和其中一位同學(xué)報(bào)一個(gè)學(xué)校,則不同的報(bào)名方法有C31C由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理,可得共有12+12=24種不同的報(bào)名方法.故選C.15.B電子競(jìng)技和沖浪兩個(gè)項(xiàng)目?jī)H能由A,B兩個(gè)場(chǎng)地承辦,且各自承辦其中一項(xiàng),有A22=2五個(gè)表演項(xiàng)目分別由A,B,C三個(gè)場(chǎng)地承辦,且每個(gè)場(chǎng)地至少承辦其中一個(gè)項(xiàng)目,有C53A故不同的安排方法有2×150=300(種).故選B.16.B用數(shù)字1,2,3排成一個(gè)五位數(shù),共有35=243個(gè)不同的數(shù).只用1或2或3排成一個(gè)五位數(shù),共有3個(gè)不同的數(shù).用其中的兩個(gè)數(shù)字排成一個(gè)五位數(shù),先從數(shù)字1,2,3中選出兩個(gè),有C32=3假如選了數(shù)字1,2排成一個(gè)五位數(shù),可按數(shù)字1的個(gè)數(shù)分類(lèi):若數(shù)字1只用了一次,則可排成C51=5若數(shù)字1用了兩次,則可排成C52=10若數(shù)字1用了三次,則可排成C53=10若數(shù)字1用了四次,則可排成C54=5共有5+10+10+5=30個(gè)不同的數(shù).因此用其中的兩個(gè)數(shù)字排成一個(gè)五位數(shù),共有3×30=90個(gè)不同的數(shù).所以用數(shù)字1,2,3排成一個(gè)五位數(shù),且每個(gè)數(shù)字至少用一次的不同的五位數(shù)有243-3-90=150(個(gè)).故選B.解題指導(dǎo)根據(jù)題意,可采用間接法,先求得所有的五位數(shù)的個(gè)數(shù),再求得用一個(gè)數(shù)字排成的五位數(shù)和用兩個(gè)數(shù)字排成的五位數(shù)的個(gè)數(shù),進(jìn)而求得答案.17.答案240解析先將5名畢業(yè)生分成4組共有C51C41C31C22A33=10(種),再將易錯(cuò)警示平均分組時(shí)應(yīng)考慮重復(fù)計(jì)算的情況,比如四個(gè)人平均分成兩組,即兩人為一組的所有選法有C42A22=3(種),即A,B,C,D四個(gè)人中,兩個(gè)人為一組的選法為(AB,CD),(AC,BD),(AD,BC),而非(AB,CD),(AC,BD),(AD,BC),(CD,AB),(BD,AC),(BC,AD),應(yīng)剔除重復(fù)分組.本題中5名學(xué)生分成4組,共有C51C4118.答案336解析由題意可分兩種情形:①前排含有兩種不同名稱(chēng)的吉祥物,即從“琮琮”“蓮蓮”和“宸宸”中取兩種,其中一種取兩個(gè),另一種取一個(gè),有C32C21C21C22A②前排含有三種不同名稱(chēng)的吉祥物,有C21C21C21A33=48因此,共有48+288=336