用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系(第3課時)課 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）+選擇性必修第一冊

1.4.1

用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系第3課時

空間中直線、平面的垂直【情境導(dǎo)入】類似空間中直線、平面平行的向量表示，在直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系中，直線的方向向量、平面的法向量之間有什么關(guān)系？【知識回顧】問題：空間中直線、平面平行的向量表示有哪些？

位置關(guān)系

向量表示線線平行設(shè)u1,u2

分別是直線

l1,l2

的方向向量.則l1∥l2

?u1∥u2

??λ∈R，使得u1=λu2

線面平行設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面的法向量，l

?α則l∥α?u⊥n?u·n=0面面平行設(shè)n1,n2是平面α,β的法向量，則α∥β?n1∥n2??λ∈R，使得n1=λn2提示：思考1：設(shè)直線l1,l2

的方向向量分別為u1,u2

.那么能否用直線的方向向量來刻畫空間直線的垂直？

【探究新知】結(jié)論1.線線垂直向量表示設(shè)u1,u2

分別是直線

l1,l2

的方向向量.l1⊥l2

?u1⊥u2

?u1·u2=0思考2：設(shè)直線l的方向向量是u，平面α的法向量是n，那么能否用直線的方向向量和平面的法向量來刻畫空間直線和平面的垂直？

結(jié)論2.線面垂直的向量表示設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量則l⊥α?u∥n??λ∈R，使得u=λn思考3：設(shè)平面α,β的法向量分別是n1,n2，那么能否用平面的法向量來刻畫兩平面的垂直？

結(jié)論3.面面垂直的向量表示設(shè)n1

,n2是平面α,β的法向量，則α⊥β?n1⊥n2?n1·n2=0我們隨時隨地看到向量運算的作用.可見“向量是軀體，運算是靈魂”.沒有運算的向量只能起路標(biāo)作用.1.判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.(1)若兩條直線的方向向量的數(shù)量積為0,則這兩條直線一定垂直相交.(

)(2)若一直線與平面垂直,則該直線的方向向量與平面內(nèi)的所有直線的方向向量的數(shù)量積為0.(

)(3)兩個平面垂直,則其中一平面內(nèi)的直線的方向向量與另一平面內(nèi)的直線的方向向量垂直.(

)(4)若兩平面α,β的法向量分別為u1=(1,0,1),u2=(0,2,0),則平面α,β互相垂直.(

)小試身手1×√×√2.設(shè)平面α的法向量為(1,2,－2),平面β的法向量(－2,－4,k),若α⊥β,則k=(

)

A.2 B.－5

C.4 D.－2B

解析:因為α⊥β,所以－2－8－2k=0,解得k=－5.小試身手2例1.如圖,在四棱錐P－ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD是矩形,PA=AB=1,點F是PB的中點,點E在邊BC上移動.求證:無論點E在邊BC上的何處,都有PE⊥AF.【舉例應(yīng)用】思路分析：只需證明直線PE與AF的方向向量互相垂直即可.

點撥：利用向量方法證明線線垂直的方法(1)坐標(biāo)法:建立空間直角坐標(biāo)系,寫出相關(guān)點的坐標(biāo),求出兩直線方向向量的坐標(biāo),然后通過數(shù)量積的坐標(biāo)運算法則證明數(shù)量積等于0,從而證明兩條直線的方向向量互相垂直;(2)基向量法:利用空間向量的加法、減法、數(shù)乘運算及其運算律,結(jié)合圖形,將兩直線所在的向量用基向量表示,然后根據(jù)數(shù)量積的運算律證明兩直線所在的向量的數(shù)量積等于0,從而證明兩條直線的方向向量互相垂直.三、舉例應(yīng)用掌握定義三、舉例應(yīng)用掌握定義點撥：利用空間向量證明線面垂直的方法(1)基向量法:選取基向量,用基向量表示直線所在的向量,在平面內(nèi)找出兩個不共線的向量,也用基向量表示,然后根據(jù)數(shù)量積運算律分別證明直線所在向量與兩個不共線向量的數(shù)量積均為零,從而證得結(jié)論.(2)坐標(biāo)法:建立空間直角坐標(biāo)系,求出直線方向向量的坐標(biāo)以及平面內(nèi)兩個不共線向量的坐標(biāo),然后根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運算法則證明直線的方向向量與兩個不共線向量的數(shù)量積均為零,從而證得結(jié)論.(3)法向量法:建立空間直角坐標(biāo)系,求出直線方向向量的坐標(biāo)以及平面法向量的坐標(biāo),然后說明直線方向向量與平面法向量共線,從而證得結(jié)論.例3.如圖所示,在直三棱柱ABC－A1B1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,點E為BB1的中點,證明:平面AEC1⊥平面AA1C1C.思路分析：要證明兩個平面垂直,由兩個平面垂直的條件,可證明這兩個平面的法向量垂直,轉(zhuǎn)化為求兩個平面的法向量n1,n2,證明n1·n2=0.

點撥：利用空間向量證明面面垂直的方法1.利用空間向量證明面面垂直通常有兩個途徑:一是利用兩個平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直進而轉(zhuǎn)化為線線垂直;二是直接求解兩個平面的法向量,由兩個法向量垂直,得面面垂直.2