專題2.1 導數(shù)起源于切線曲切聯(lián)系需熟練（原卷版）-高中數(shù)學壓軸題講義(解答題)

【題型綜述】導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在處的導數(shù)就是曲線在點處的切線的斜率，即．【注】曲線的切線的求法：若已知曲線過點P(x0，y0)，求曲線過點P的切線，則需分點P(x0，y0)是切點和不是切點兩種情況求解．（1）當點P(x0，y0)是切點時，切線方程為y?y0=f′(x0)(x?x0)；（2）當點P(x0，y0)不是切點時，可分以下幾步完成：第一步：設出切點坐標P′(x1，f(x1))；第二步：寫出過P′(x1，f(x1))的切線方程為y?f(x1)=f′(x1)(x?x1)；第三步：將點P的坐標(x0，y0)代入切線方程求出x1；第四步：將x1的值代入方程y?f(x1)=f′(x1)(x?x1)，可得過點P(x0，y0)的切線方程．求曲線y=f(x)的切線方程的類型及方法（1）已知切點P(x0,y0)，求y=f(x)過點P的切線方程：求出切線的斜率f′(x0)，由點斜式寫出方程；（2）已知切線的斜率為k，求y=f(x)的切線方程：設切點P(x0,y0)，通過方程k=f′(x0)解得x0，再由點斜式寫出方程；（3）已知切線上一點(非切點)，求y=f(x)的切線方程：設切點P(x0,y0)，利用導數(shù)求得切線斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切線斜率，列方程(組)解得x0，最后由點斜式或兩點式寫出方程．（4）若曲線的切線與已知直線平行或垂直，求曲線的切線方程時，先由平行或垂直關系確定切線的斜率，再由k=f′(x0)求出切點坐標(x0,y0)，最后寫出切線方程．（5）①在點P處的切線即是以P為切點的切線，P一定在曲線上．②過點P的切線即切線過點P，P不一定是切點．因此在求過點P的切線方程時，應首先檢驗點P是否在已知曲線上．【典例指引】例1．（2013全國新課標Ⅰ卷節(jié)選）已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲線y＝f(x)和曲線y＝g(x)都過點P(0，2)，且在點P處有相同的切線y＝4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值．例2．設函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（2）當時，曲線在點處的切線為，與軸交于點，求證：．例3．已知函數(shù)在點處的切線方程為．⑴求函數(shù)的解析式；⑵若對于區(qū)間上任意兩個自變量的值都有，求實數(shù)的最小值；⑶若過點可作曲線的三條切線，求實數(shù)的取值范圍．【新題展示】1．【2019吉林一調(diào)】已知函數(shù)．當時，求函數(shù)在點處的切線方程；當時，若對任意都有，求實數(shù)a的取值范圍．2．【2019北京昌平區(qū)期末】已知函數(shù)f(x)=lnx-a．(Ⅰ)若a=-1，求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程；(Ⅱ)若f(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．3．【2019浙江浙南名校聯(lián)盟期末聯(lián)考】設，函數(shù).（I）證明：當時，對任意實數(shù)，直線總是曲線的切線；（Ⅱ）若存在實數(shù)，使得對任意且，都有，求實數(shù)的最小值.4．【2019河南省期末】已知函數(shù).（1）若，曲線在點處的切線經(jīng)過點，求的最小值；（2）若只有一個零點，且，求的取值范圍.【同步訓練】1．設函數(shù)，若函數(shù)在處的切線方程為．（Ⅰ）求實數(shù)的值；（Ⅱ）求函數(shù)在上的最大值．2．已知函數(shù)，其導函數(shù)的兩個零點為-3和0．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）求函數(shù)在區(qū)間上的最值．3．設函數(shù)的定義域為，若對任意，，都有，則稱函數(shù)為“”函數(shù)．已知函數(shù)的圖象為曲線，直線與曲線相切于．（1）求的解析式，并求的減區(qū)間；（2）設，若對任意，函數(shù)為“”函數(shù)，求實數(shù)的最小值．4．已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）設曲線與軸正半軸的交點為，曲線在點處的切線方程為，求證：對于任意的正實數(shù)，都有；（3）若方程為實數(shù)）有兩個正實數(shù)根且，求證：．5．已知函數(shù)在處的切線方程為．（1）若=，求證：曲線上的任意一點處的切線與直線和直線圍成的三角形面積為定值；6．已知函數(shù)（）（1）若在處取得極大值，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，且過點有且只有兩條直線與曲線相切，求實數(shù)的值．7．已知函數(shù)，．（1）若直線是曲線與曲線的公切線，求；8．已知函數(shù)（為常數(shù)），其圖像是曲線．（1）設函數(shù)的導函數(shù)為，若存在三個實數(shù)，使得與同時成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）已知點為曲線上的動點，在點處作曲線的切線與曲線交于另一點，在點處作曲線的切線，設切線的斜率分別為，問：是否存在常數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請