2021版高考數(shù)學(人教A版理科)一輪復習攻略核心素養(yǎng)測評十三

核心素養(yǎng)測評十三

變化率與導數(shù)、導數(shù)的計算

鞏固提升練（25分鐘50分）

一、選擇題（每小題5分，共35分）

1.下列求導運算正確的是（）

Mx+SY

B.（logx）'=-^—

2rln2

C.（5x）'=5xlogx

5

D.（X2cosx）'=-2xsinx

【解析】選B.A.（x+丄丫=1-2，故錯誤；

vxJX2

B.符合對數(shù)函數(shù)的求導公式，故正確；

C.（5x）'=5xln5,故錯誤；

D.（X2cosx）'=2xcosX-X2Sinx,故4皆誤.

2.若函數(shù)f（x）&,則f'（0）等于（）

r+1

A.1B.0c.-lD,-2

【解析】選A.函數(shù)的導數(shù)

_<r<>s,x(.v+

(x)

(r+n2

-1-

3.某煉油廠的一個分廠將原油精煉為汽油，需對原油進行冷卻和加熱,如果第x

小時時,原油溫度(單位：℃)為f(X)2X3-X2+8(0WXW5),那么，原油溫度的瞬時

變化率的最小值是()

A.8B.—C.-1D.-8

【解析】選C.因為f(x)」X3-X2+8(0WXW5),

a

所以f'(x)=X2-2X=(XT7,

又0WxW5,故當x=1時，f'(x)有最小值7,即原油溫度的瞬時變化率的最小值

是7.

4.(2020?廣元模擬)已知函數(shù)f(x)=X2+cosx,則其導函數(shù)伊(x)的圖象大致是

()

ABCD

【解析】選A.因為fz(x)=ix-sinx,這是一個奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，故排

A.2B.3C.4D.5

-2-

M—1vnv

【解析】選D.因為導函數(shù)為y‘二沱『

",產(chǎn)

所以y'|=二￡=，,所以n=5.

X=1ae

6.設曲線y衛(wèi)在點⑶2)處的切線與直線ax+y+l=O垂直，則a=()

r-1

A.2B.lC.-1D.-2

2?

【解析】選D.y'廿￡)二一2

(x_l)(x_l)

vl—z二-_■又因為切線與直線ax+y+1=0垂直，且直線ax+y+1=0的斜率

(3-1)2

為-a.所以a=-2.

7.直線y=x+l與曲線y=ln(x+a)相切時，a=()

A.-lB.1C.-2D.2

［解析］選D.設切點P(x,y),則y=x+1,且y=In(x+a),又因為切線方程y=x+1

000000

的斜率為1,即y'|二二一二1,所以x+a=1,

x=x。x0+a0

所以y=0,x,所以a=2.

00

二、填空題(每小題5分，共15分)

8.(2019?南昌模擬)設函數(shù)f(x)在(0,+8)內(nèi)可導,其導函數(shù)為f，(x),且

f(Inx)=x+lnx,則f'(1)=.

【解析】因為千(Inx)=x+lnx,

所以f(x)=x+e?,

所以f'(x)=1+ex,所以f'(1)=1+ei=1+e.

-3-

答案：1+e

9.已知函數(shù)y=f(x)的圖象在x=2處的切線方程是y=3x+l,則f(2)+f'(2)

=--------n

【解析】由題意可知f(2)=3X2+1=7,*(2)=3,所以f(2)+f'(2)=10.

答案：10

【變式備選】

如凰y=f(x)是可導函數(shù),直線/是曲線y=f(x)在x=4處的切線,令g(x)=必,則

g'(4)=.

【解析】由題圖知，切線過(0,3),(4,5),所以直線/的斜率為a=丄，

4--0?

由于曲線在切點處的導數(shù)值為曲線的切線的斜率，所以f'(4)=1,f(4)=5.

2

由g(x)=0，得屋(x)三廣G丿一

XX2

故g'(4)5二—丄

,121a

答案:--1

16

10.(2018?全國卷II)曲線y=21n(x+l)在點(0,0)處的切線方程為

-----------------------------------------n

【解析】y'=二―,k二2二2,

Y+104-1

-4-

所以切線方程為y-0=2(x-0),即y=2x.

答案：y=2x

縹合運用練(15分鐘35分)

1.(5分)已知函數(shù)f(x)=X2+2xf'(1),則f(-l)與f(l)的大小關系是()

c.⑴D.不能確定

【解析】選A.由函數(shù)的解析式可得：*(x)=2x+2f‘(1),

令x=1可得：V(1尸2+2千‘(1),

則千'(1)=-2,故函數(shù)的解析式為f(X)=X2-4X,據(jù)此可知弓-1)=5,千(1)=-3,

故f(-L)>可1).

2.(5分)(2020?太原模擬)已知點P是直線y=2x-4上的動點，點Q是曲線y=x+ex

上的動點，則|PQ|的最小值為()

A.5B.西

C.e+3D/15^+3;

【解析】選B.設曲線y=x+ex上切點為M(x,x+c%。),y=x+ex=>yr=l+ex,k=解c"o=2

00

nx°=0=M(0,l),M(0,1)至u直線y=2x-4的距離為、，耳即|PQ|的最小值為'虧

-5-

3.(5分)函數(shù)f(x)=sinx+ae、的圖象過點(0,2),則曲線y=f(x)在(0,2)處的切線

方程為.

【解析】由函數(shù)千(x)=sinx+ae*的圖象過點(0,2),

可得：a=2,由函數(shù)千(x)=sinx+2e、，可得f'(x)=cosx+2ex,曲線y=f(x)在(0,2)

處的切線的斜率為3.所以在(0,2)處的切線方程為：y-2=3x,即3x-y+2=0.

答案:3x_y+2=0

4.(10分)已知P(-1,1),Q(2,4)是曲線y=X2上的兩點.

(1)在曲線y=X2上分別求過點P,Q的切線方程.

⑵求與直線PQ平行的曲線y=X2的切線方程.

【解析】(1)因為y'=2x,

所以過點P,Q的切線斜率分別為-2,4,

所以過點P的切線方程為：y-1=-2(x+1);

即y=-2x-1;過點Q的切線方程為：

y-4=4(x-2);即y=4x-4.

⑵設切點為(X。，/)，k;點1,

因為切線和直線PQ平行，且切線的斜率為2x,

0

所以2x=1,所以x=丄,所以切點為己

所以切線方程為y--=x--,即y=x-L

474.

5.(10分)已知函數(shù)f(x)=xs+(1-a)X2-a(a+2)x+b(a,b￡R。

(1)若函數(shù)f(x)的圖象過原點,且在原點處的切線斜率為-3,求a,b的值.

(2)若曲線y=f(x)存在兩條垂直于y軸的切線,求a的取值范圍.

【解析】f'(x)=3x2+2(l-a)x-a(a+2).

⑴由題意得丁/ft)丿=b=0'

』’(0丿=~a(a+2)=-3,

解得b=0,a=-3或a=1.

⑵因為曲線y=f(x)存在兩條垂直于y軸的切線，

所以關于x的方程千'(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0有兩個不