2024屆四川省成都市某中學高三年級上冊一診模擬考試理科數(shù)學試卷及答案

2023-2024學年度2024屆高三（上）一診模擬試卷

本試卷分第T卷（選擇題）和第TT卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時間120分鐘.

第I卷

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的）

LE,知集合4=”2--2\-3<0},則集合/的子集個數(shù)為（）

A.3B,4C.8D.16

2.已知。為實數(shù)，若復數(shù)（a+i）（l-21）為純虛數(shù)，則。=（）

A.-2B.一）C.-D.2

3,與y=才有相同定義域的函數(shù)是（)

2

A.y=x^B.y=(?)2C.D.y-^x

4,若向量6萬滿足1慟=6+6)12|2方_昨而,則|可=()

A.2B.JIC.10D.VlO

5.閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序，若輸出的S為蔡，則判斷框中填寫的內(nèi)容

可以是（）

6.己知名AceR,則的必要不充分條件可以是《）

A.—B.ac<beC.ac1<he2D.a1<：b1

ab

7.拋物線。：/-2"（〃>0）的頂點為0,斜率為1的直線/過點（2p,0）,且與拋物線C交于

兩點，若AQ/8的面積為8石，則該拋物線的準線方程為（）

A.x=-1B.x=—C.x=-2D.x=—5/2

2

&設"以是兩條不相同的直線，名夕是兩個不重合的平面，則下列命題錯誤的是（）

1

A.TitnLa,nI!praIIft>NOm1n

B.若?6,則aJLp

C.若秋”是異面直線，mua,Mt/BmuB,"tia,\aali。.

D.若m_Ln,m1/7?則“〃尸

9.某人根據(jù)自己愛好，希望從｛%,X,y,Z｝中選2個不同字母，從｛0,2,6,8｝中選3個不

同數(shù)字編擬車牌號，要求前3位是數(shù)字，后兩位是字母，口數(shù)字2不能排在首位，字瑾Z和

數(shù)字2不能相鄰，那么滿足要求的車牌號有（）

A.198個B.180個C.216個D.234個

10.己知a-p=g,tana-tan夕=3,6,則cos（a+6）的值,為（）

A.-B.-C.--D.--

2346

11.已知雙llll繾C：￡_￡=l（a>0,b>0）的左焦點為尸，過尸的立線與圓/+），2=/相

b-

切于點0,與雙曲線的右支交于點p,若|PQ|=2|國則雙曲線C的離心率為（）

A.叵B.巫C.1D.1

3223

12.與曲線在某點處的切線垂直，且過該點的直線稱為曲線在某點處的法線，關于曲線的法

線有下列4種說法：

①存在一類曲線，其法線恒過定點；

②若曲線y=f的法線的縱截距存在，則其最小值為」；

4

③存在唯??條直線既是曲線y="的法線，也是曲線y=lnx的法線：

④曲線p=sinx的任意法線與該曲線的公共點個數(shù)為1.

其中說法正確的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

第TT卷

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

\x-3y+240,

13.若x,7滿足約束條件〈X-y40,貝1]z=工-2y的最大值為____________.

Lv>o.

14.（x-2j，）（2x+y）s的展開式中xV的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）

15.半球的表面積與其內(nèi)最大正方體的表面積之比為.

16.如圖，在△/1/右所在平面內(nèi)，分別以/W,XT為邊向外作正方形/W杼,和正方形成癡記

△4BC的內(nèi)角/I，B>C的對邊分別為a,b,c,而枳為S.己知5=3，上L

4

?sinN+csinC=4qsinCsin5,則F//=.

2

三、解答題供70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

17.(12分)在等比數(shù)列｛%｝和等差數(shù)列｛4｝中，/=24=2,a2=2b2,6=24+2.

(1)求數(shù)列｛%｝和｛4｝的通項公式；

(2)令c.4,記數(shù)列｛cj的前〃項積為北，其中工=4,證明：

1&(12分)綜合素質(zhì)評價是高考招生制度改革的內(nèi)容之一.某高中采用多維評分的方式進

行綜合素質(zhì)評價.下圖是該校高三學生“運動與建康”評價結果的頻率直方圖，評分在區(qū)

間[90,100)，[70,90),[60,70),[50,60)上，分別對應為d,B,C,。四個等級.為

了進一步引導學生對運動與健康的重視，初評獲H等級的學生不參加包評，等級不受，對

其余學生學校將進行一次復評,復評中，原獲3等級的學生有上的概率提升為4等級：原

4

獲，等級的學生有二的概率提升為8等級：原獲。等級的學生有L的概率提升為。等

56

級.用頻率估計概率，每名學生復評結果相互獨立.

(1)若初評中甲獲得3等級，乙、丙獲得C等級，記甲、乙、丙三人復評后等級為夕等級的

人數(shù)為f,求f的分布列和數(shù)學期望；

(2)從全體高三學生中任選1人，在已知該學生是復評晉級的條件下，求他初評是C等級的

概率.

19.(12分)如圖，平面四邊形4BCD中，BC//AD,^ADC=90\ZABC=120,E是3上

的一點，4B=BC=2Z)及F是EC的中點，以EC為折痕把△KDC折起，使點。到達點p

的位置，旦尸C_L3F.

3

(1)證明t平面PECJ■平面；

(2)求直線PC與平面R4B所成角的正弦值.

20.(12分)在平面直角坐標系xOy中，0為坐標原點，動點。(吃力與定點F(VIo)的距離

和0到定直線工=勺巨的距離的比是常數(shù)也，設動點。的軌跡為曲線C.

32

(1)求曲線C的方程；

(2)已知定點PRO),-2<t<0.過點戶作垂直于*軸的直線入過點?作斜率大于。的直

線r與曲線C交于點G,H,其中點C在彳軸上方，點〃在X軸下方.曲線。與“軸負半軸

交于點發(fā),直線4G，NH與直線，分別交于點四川若4aM〃四點共圓，求￡的

值.

21.(12分)設函數(shù)尸(x)=(1-2)cosx+2cosa-”■—吧烏，其中“《(。，巴).

x-a2

(D若4=1,討論F。)在(”令上的單調(diào)性，

⑵當xe時，不等式F(x)<0恒成立，求實數(shù)；I的取值范圍.

請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.

22.(10分)選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在平面直角坐標系x分中，已知直線?的參數(shù)方程為卜="c°sa［為參數(shù))，4為7的傾

卜=l+￡sina

斜角，且ae(0/),以坐標原點為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐

標方程為/2

i+cos'e

(D求曲線C的直角坐標方程，

(2)若直線，與曲線C交于48兩點，點尸(0,1)恰為線段3的三等分點，求sina.

23.(10分)選修4-5,不等式選講

已知=|2x+s|(附eR).

(D當加=0時，求不等式/(x)+|x-2|<5的解集，

⑵對于任意實數(shù)x,不等式|2.2|-/卜)〈〉成立，求加的取值范圍.

4

參考答案(理科)

—、單選題：共12道，'題，每題5分，共60分.

123456789101112

CADBCCADADBD

二、填空題：共4道小題，每題5分，共20分.

31t_

13,T14,-7015.-16.35/2

4

三、解答題：共5道大題，共70分.

17.,(12分)解：

(1)設數(shù)列｛斯｝的公比為q，數(shù)列出曷的公差為d,

由m=2bi=2,有。1=2,&i=l>

又由。2=?2，有2q=2(小4)，有9=方1,

又由㈤=乃3+2,有2#=2(l+2d)+2,有/=2由2

可得J=2q,得q=2或q=0(舍去)，d—1?

故勺=2"，瓦i=M

(2)證明，由(1)知:c=-=—,力GN,

n“冊2”

i（w+1）2n22/7+1-W2

則mr-q=-―滑~源~

當W>3時,Olli-C||<0?即G3>C4>C5>C6>C7>***>0?

而Cj,4=1,G=""=L當卸?4時，有\(zhòng)*二%〃vl,

28Tn

則彳1=轉1=鈣9=正七=9正乜乜>…，故心記9?

18.（12分）解*

C1）4的所有可能取值為。，L2,3,

1/144<144111414

^=0）=-x-x-=_,P（^=l）=-x-x-+-xC2.-x-=->

*TJF。Jp

P（^=2）=-xC^-lxi+Ax-xi=-.P（^=3）=7xix1=—>

74554554v7455100

:.&的分布列如下:

0123

414￡3

p

25254Too

L/F、141911523

25210010020

（2）記事件4為“該學生復評晉級”，事件8為“該學生初評是"，

,..P（AB）015X718

P（B\A）=\/=------：------T-------=—.

「⑷0.6xl+0,15x1+0.0Sx-Jr.113

456

19.（12分）解：

（1）由BC//4D,44DC=90",/^=BC=2OE，所以平面四邊形4BCD為直角梯形，設

AB=BC=2DE=4a，因為//8￡?=120匚

所以在此△口>￡■中，CD=2yj3a,EC=4a,tanZ.ECD=~=^->則N￡CD=30"，又

ZADC=ZBCD=9（f>所以NBCE=60°，山EC=BC="=4a，

所以A2?CE為等邊三角形，

又尸是EC的中點，所以B尸1EC，又BF^LPC,EC,PCu平面PEC,ECcPC=C，

則有M-L平面PEC，

而Mu平面ARCE，故平血PEC1平血ABCE-

(2)在RQPEC中，PE=DE=PF=-EC=2a-取E/中點。，所以POJLEF，

2

由(1)可知平面P￡CJ?平面48CE，平面尸EUR平面48CE=EC，

所以POJ,平面48CE，

以O為坐標原點，od方向為，軸方向，

建立如圖所示的空間宜角坐標系，

則戶(0,0,島),/(26”,-3“,0),8(2由“,4,0),。(0,3“,0)，

PA=(2\/3a,—3a,—73a),PB=(2\(3a,a,—>j3a),PC=(0,3%-Ga),

設平面以8的法向量荷=(.“/)，由kL得的依-姆-/=0,取I，則

眄P3=0|[2&x?+砂-&tz=0,

歷=0,0,2）

設直線PC與平面研所成角大小為9，

|ni-PC26a

則sin。=

間元JF+2「-#34+（-Ay

故直線PC與平面PAB所成角的正弦值為由.

20.(12分)解：__________

小-6)+/道2

(1)由題得：-——而—=妥，兩邊平分并化簡得二+/=1，即曲線C的方程.

3I

⑵設點G(*,yJ,

直線GH:蚱A(x-，)(A>0)勺橢圓C的方程片+V=1聯(lián)立，

2

消去y得(1+42產(chǎn)-朧%+(#"-4)=0.

山豐;大方神8好t4k212—4

由韋必定理：x+x2=--------?x-x2=------

由條件，直線4G的方程為y="一(x+2),直線/目的方程為＞=*半x+2),

甬+2^2+~

于是可得以=坐言'3亭等.

因為4O,M,N四點共圓，由廟交弦定理可知為(-%)=(-改+2)，

化簡得7~鬻不=4

(Xj丁2)(三+2)1+2

又乂=外占_，)，yl=k(x2-t),代入整理得：巴斗二/包￡)=」_.

為/+2(曰+0)+4t+2

將韋達定理代入化簡得，,-4，,即,=-2.

4(g+2)2t+23

21.(12分)解：

.,**.、sinx-sina、cosx(x-a)-(sinx-sina)人

(1)由2=1知，F(xiàn)(x)=cosa-----------------,F(x)=-----------------/--------,令

x-a(x-a)

G(.v)=-cos式x—G)十(sinx-sina)?由G'(x)=sinx{x-〃)>0,知G(x)在(a,g)上單增，

TT

有G(X)>G(G)=0,即/a)>0,亦知尸(x)在(a彳)上單調(diào)遞增.

(2)tS/(x)=[(1-2)cosx+zlcosa](x-a)-(sinx-sina),且工今，

fXx)=4(cosa-cosx)-(1-比X4—a)sinx,/“(》)=(22-l)sinx+(A-iXx-fl)cosx,

1)當a時，由/”(刈4(2?3—1)$[11>:+(3—1)(工一4)854=-3(>:-1)8$*<0,知

f'(x)在(。,微)上單減，有r(x)</'(a)=0,亦知f(x)在(a,1)上單減，有

/(X)</(A)=0,即?。)=儂<0,滿足題設；

x-a

2)當：<4vl時,對xe(a,&),

22

/,z(x)=(2A-l)smx+(2—-a)cosf>(2A-l)sina十(A-l\x-a),

取6=min{—,a+sina},當xc(a,b)時，ff，(x)>0,知ff(x)在(a,b)上單增,

有/'(x)>/,(a)=0,亦知/(x)在(a,b)上單增，有/(x)>/(a)=0,即

尸(汾=以4>0,不滿足題設；

x-a

3)當221時，對工￡(?,/),f\x)=2(cosa-cosx)-(1-A)(x-^)sinxcosa-cosx>0,

知/(X)在(aj)上單增，有〃幻“(。)=0,即產(chǎn)⑺=&>0,不滿足題設；

2x-a

綜上，僅當；IV1時，滿足題設.

2

3

22.Q0分)解:

【詳解】⑴由曲線C的極坐標方程為"二￡萬，可得02+/cos%=2,又由x=/?cosay=psin8,

代入可得2x2+y2=2,即曲線C的直角坐標方程為V+