高中數(shù)學(xué)-立體幾何專項(xiàng)練習(xí)（含解析）

專題三立體幾何專題

【命題趨向】高考對(duì)空間想象能力的考查集中體現(xiàn)在立體幾何試題上，著重考查空間

點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的判斷及空間角等幾何量的計(jì)算.既有以選擇題、填空題形式出現(xiàn)的

試題，也有以解答題形式出現(xiàn)的試題.選擇題、填空題大多考查概念辨析、位置關(guān)系探究、

空間幾何量的簡單計(jì)算求解，考查畫圖、識(shí)圖、用圖的能力；解答題一般以簡單幾何體為載

體，考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，以及空間幾何量的求解問題，

綜合考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力.試題在突出對(duì)空間想象能力考查的

同時(shí)，關(guān)注對(duì)平行、垂直關(guān)系的探究，關(guān)注對(duì)條件或結(jié)論不完備情形下的開放性問題的探究.

【考點(diǎn)透析】立體幾何主要考點(diǎn)是柱、錐、臺(tái)、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征、三視

圖、直觀圖，表面積體積的計(jì)算，空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系判斷與證明，（理科）空

間向量在平行、垂直關(guān)系證明中的應(yīng)用，空間向量在計(jì)算空間角中的應(yīng)用等.

【例題解析】

題型1空間幾何體的三視圖以及面積和體積計(jì)算

例1（2008高考海南寧夏卷）某幾何體的一條棱長為J7,在該幾何體的正視圖中，這

條棱的投影是長為痛的線段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是

長為。和力的線段，則a+匕的最大值為

A.2A/2B.2百C.4D.2舊

分析：想像投影方式，將問題歸結(jié)到一個(gè)具體的空間幾何體中解決.

解析：結(jié)合長方體的對(duì)角線在三個(gè)面的投影來理解計(jì)算，如圖設(shè)長方體的高寬高分別為

m,n,k,由題意得J+左2=S，yjnr+k2=V6=>/?=1,

y/l+k2=a,Vl+m2=h,所以（4—1）+（〃-1）=6

=>a2+h2=8,?,.（a+。）2=a2+2ab+b2=8+2。。<8+。？+b2—16=。+/?<4當(dāng)

且僅當(dāng)。=〃=2時(shí)取等號(hào).

點(diǎn)評(píng)：本題是課標(biāo)高考中考查三視圖的試題中難度最大的一個(gè)，我們通過移動(dòng)三個(gè)試圖

把問題歸結(jié)為長方體的一條體對(duì)角線在三個(gè)面上的射影，使問題獲得了圓滿的解決.

例2（2008高考山東卷、2009年福建省理科數(shù)學(xué)高考樣卷第3題）下圖是一個(gè)幾何體

的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是

A.9兀B.10兀C.11KD.12K

正視圖側(cè)前圖

o

俯視圖

分析：想像、還原這個(gè)空間幾何體的構(gòu)成，利用有關(guān)的計(jì)算公式解答.

解析：這個(gè)空間幾何體是由球和圓柱組成的，圓柱的底面半徑是1,母線長是3,球的

半徑是1,故其表面積是2%X1X3+2X%X『+4?XF=12〃，答案D.

點(diǎn)評(píng)：由三視圖還原空間幾何體的真實(shí)形狀時(shí)要注意“高平齊、寬相等、長對(duì)正”的規(guī)則.

例3（江蘇省蘇州市2009屆高三教學(xué)調(diào)研測試第12題）已知一個(gè)正三棱錐P-ABC的

3

主視圖如圖所示，若AC=BC=2,

2

pc=4e,則此正三棱錐的全面積為

分析：正三棱錐是頂點(diǎn)在底面上的射影是底面正三角形的中心的三棱錐，根據(jù)這個(gè)主試

圖知道，主試圖的投影方向是面對(duì)著這個(gè)正三棱錐的一條側(cè)棱，并且和底面三角形的一

條邊垂直，這樣就知道了這個(gè)三棱錐的各個(gè)棱長.

解析：這個(gè)正三棱錐的底面邊長是3、高是指，故底面正三角形的中心到一個(gè)頂點(diǎn)的

距離是gx曰*3=百，故這個(gè)正三棱錐的側(cè)棱長是+#2=3,由此知道這個(gè)

正三棱錐的側(cè)面也是邊長為3的正三角形，故其全面積是4x—x32=96，答案96.

4

點(diǎn)評(píng)：由空間幾何體的一個(gè)視圖再加上其他條件下給出的問題，對(duì)給出的這“一個(gè)視圖”

要仔細(xì)辨別投影方向，這是三視圖問題的核心.

題型2空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判斷

例4（江蘇蘇州市2009屆高三教學(xué)調(diào)研測試7）已知根，〃是兩條不同的直線，aR為

兩個(gè)不同的平面，有下列四個(gè)命題：

①若m_La,〃_L/?,mJ_〃，則aJL/；

②若相〃a,〃〃小，則a〃小

③若m1a,nllp,mLn,則a〃尸；

④若ml.a,n//1/0,則加_L〃.

其中正確的命題是（填上所有正確命題的序號(hào)）.

分析：根據(jù)空間線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理逐個(gè)作出判斷.

解析：我們借助于長方體模型解決.①中過直線發(fā)〃作平面可以得到平面a,萬所

成的二面角為直二面角，如圖（1）,故aJL/?①正確；②的反例如圖（2）；③的反例如

圖（3）；④中由m_La,a/可得mJL/?,過〃作平面/可得〃與交線g平行，由于

根_Lg,故〃答案①④.

點(diǎn)評(píng)：新課標(biāo)的教材對(duì)立體幾何處理的基本出發(fā)點(diǎn)之一就是使用長方體模型，本題就是

通過這個(gè)模型中提供的空間線面位置關(guān)系解決的，在解答立體幾何的選擇題、填空題時(shí)

合理地使用這個(gè)模型是很有幫助的.

例5（浙江省2009年高考省教研室第一次抽樣測試?yán)砜频?題）設(shè)加方是兩條不同的

直線，/，是兩個(gè)不同的平面，下列命題正確的是

A.若工a,n///3,則a〃/?B.若機(jī)〃a,〃〃尸,a〃△則加〃〃

C.若〃z〃⑸a〃尸，則D.若機(jī)〃〃，機(jī)〃a,〃〃⑸則a〃/

分析：借助模型、根據(jù)線面位置關(guān)系的有關(guān)定理逐個(gè)進(jìn)行分析判斷.

解析：對(duì)于a〃夕，結(jié)合機(jī)J_a,〃〃/，則可推得m_L〃.答案C.

點(diǎn)評(píng)：從上面幾個(gè)例子可以看出，這類空間線面位置關(guān)系的判斷類試題雖然形式上各異,

但本質(zhì)上都是以空間想象、空間線面位置關(guān)系的判定和性質(zhì)定理為目標(biāo)設(shè)計(jì)的，主要是

考查考生的空間想象能力和對(duì)線面位置關(guān)系的判定和性質(zhì)定理掌握的程度.

題型3空間平行與垂直關(guān)系的證明、空間幾何體的有關(guān)計(jì)算（文科解答題的主要題型）

例6.（2009江蘇泰州期末16）如圖所示，在棱長為2的正方體A6CO—中，E、

產(chǎn)分別為。08的

中點(diǎn).

（1）求證：EF7/平面A3CQ］；

（2）求證：EF±B,C；

（3）求三棱錐Vq-EFc的體積.

分析：第一問就是找平行線，最明顯的就是BQ；第二問轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)行證

明；第三問采用三棱錐的等積變換解決.

解析：（1）連結(jié)如圖，在AOnB中，

E、F分別為RO,03的中點(diǎn)，則

EFHD}B

28<=平面48￡2>=>成7//平面450〃.

EF<Z平面A3G4

(2)

B，上Bq6c，平面ABCQj

A6,4Cu平面48GRBQu平面ABCQjEF/1BD,1

ABBC\=B

(3)?.。尸，平面5?！?，，。/?人平面67里且。尸=6/=血，

EF=；BD[=6B[F=《BF?+BB；=J(夜)2+*=娓,

4E=dB[D：+Df=J『+(2揚(yáng)2=3

AEF2+B,F2=B[E2即NEFB1=90,

:?V斤EFC=VCTEF=1?SWKF,CF=；x；.EF?B\F?CF=；x；x6X娓XC=1

點(diǎn)評(píng)：這個(gè)題目也屬于文科解答題的傳統(tǒng)題型.空間線面位置關(guān)系證明的基本思想是轉(zhuǎn)

化，根據(jù)線面平行、垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)，進(jìn)行相互之間的轉(zhuǎn)化，如本題第二問是證

明線線垂直，但問題不能只局限在線上，要把相關(guān)的線歸結(jié)到某個(gè)平面上(或是把與這

些線平行的直線歸結(jié)到某個(gè)平面上，通過證明線面的垂直達(dá)到證明線線垂直的目的，但

證明線面垂直又得借助于線線垂直，在不斷的相互轉(zhuǎn)化中達(dá)到最終目的.立體幾何中的

三棱柱類似于平面幾何中的三角形，可以通過“換頂點(diǎn)”實(shí)行等體積變換，這也是求點(diǎn)面

距離的基本方法之一.

例7.(江蘇省蘇州市2009屆高三教學(xué)調(diào)研測試第17題)在四棱錐P-A6c。中，

ZABC=ZACO=90,NB4C=NC4D=60,%，平面ABC。，E為尸。的中

點(diǎn)，PA=2AB=2.

(1)求四棱錐P—A6C。的體積V；

(2)若尸為PC的中點(diǎn)，求證PC_L平面AE產(chǎn)；

(3)求證CE〃平面Q4B.

分析：第一問只要求出底面積和高即可；第二問的線面垂直通過線線垂直進(jìn)行證明；第

三問的線面平行即可以通過證明線線平行、利用線面平行的判定定理解決，也可以通過

證明面面平行解決，即通過證明直線CE所在的一個(gè)平面和平面Q46的平行解決.

解析：(1)在RtAABC中，AB=l,NBAC=60,，8C=6，AC=2.

在RtAACO中，AC=2,NACZ)=60,二CO=2G,AO=4.

S^CD=3AB.BC+；AC.CD=^xlxV3+^x2x2>/3=|>/3.

則V=,X3G*2=3G.

323

(2)VPA=CA,R為PC的中點(diǎn)，AFLPC.

???弘，平面ABC。，PA^CD,VACLCD,PAAC=A,.?.8_1_平面

PAC,：.CD±PC.

為尸。中點(diǎn)，尸為PC中點(diǎn),EF//CD,則所J_CD,?；AFEF=F,

PC_L平面AE/7.

(3)證法一：

取A￡>中點(diǎn)M,連EM,CM.則￡M〃Q4,YEM平面243,PAu平面

PAB,

：.EM〃平面

在RtMCD中，NC4￡>=60,AC=AM=2,：.ZACM=60.而N84C=60,

MC//AB.

?：MC(Z平面B4B,ABu平面B45,

...MC〃平面Q45.

VEM{MC=M,二平面EMC〃平面B4B.

ECu平面EMC>EC//平面PAB.

證法二：延長。C,A8,設(shè)它們交于點(diǎn)N,

連PN.NNAC=NDAC=6D,ACVCD,

??.C為NO的中點(diǎn).?:E為PD中點(diǎn)、，：.EC〃PN.

?：EC<Z平面PAB,PNu平面PAB,

...EC〃平面PAB.

點(diǎn)評(píng)：新課標(biāo)高考對(duì)文科的立體幾何與大綱的高考有

了諸多的變化.一個(gè)方面增加了空間幾何體的三視圖、

表面積和體積計(jì)算，拓展了命題空間；另一方面刪除了

三垂線定理、刪除了凸多面體的概念、正多面體的概念

與性質(zhì)、球的性質(zhì)與球面距離，刪除了空間向量，這就給立體幾何的試題加了諸多的枷

鎖，由于這個(gè)原因課標(biāo)高考文科的立體幾何解答題一般就是空間幾何體的體積和表面積

的計(jì)算、空間線面位置關(guān)系的證明（主要是平行與垂直）.

題型4空間向量在立體幾何中的應(yīng)用（理科立體幾何解答題的主要題型）

例8.（2009年福建省理科數(shù)學(xué)高考樣卷第18題）如圖，在棱長為2的正方體

ABC?！狝4GA中，E、歹分別為和CG的中點(diǎn).

（1）求證：EF〃平面ACA；

（2）求異面直線即與A5所成的角的余弦值;

（3）在棱上是否存在一點(diǎn)P,使得二面角P—AC—P的大小為30?若存在，求出

8P的長；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【解析】解法一：如圖分別以所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間

直角坐標(biāo)系D-xyz,

由已知得0（0,0,0）、A（2,0,0）、6（2,2,0）、C（0,2,0）、與（2,2,2）、

0（0,0,2）E（l,0,2）、、F（0,2,1）.

（1）取AR中點(diǎn)G,則G（l,0,l）,

CG=（1,-2,1）,又所=（-1,2,-1）,

由EF=—CG,

二EF與CG共線.從而EF〃CG,

：CGu平面EFa平面AC。，〃平面4cA.

(2)VAB=(0,2,0),

4V6

cos〈EF,A免

\EF\-\AB\2"一3

.?.異面直線族與知所成角的余弦值為去

(3)假設(shè)滿足條件的點(diǎn)尸存在，可設(shè)點(diǎn)P(2,2j)(0V1W2),平面ACP的一個(gè)法向

量為〃=(x,y,z),

,n-AC=0,/、/、-2x+2y=0,

則《,??AP=(O,2,r)AC=(-2,2,0)

n-AP=0.2y+tz=0,

取〃=2).

t

易知平面ABC的一個(gè)法向量=(0,0,2),

依題意知,(3,力=30或150,

—，即￡=3(2+4)，解得?=逅.

cos(88,

2r4r3

半w(0,2],.?.在棱8用上存在一點(diǎn)P,當(dāng)3P的長為彳時(shí)，二面角P—AC—3的

大小為30.

解法二：

(1)同解法一知所=(T,2,—I),明=(—2,0,2),AC=(-2,2,0),

EF=AC-^ADl,EF、AC.AD1共面.又?:跖■平面ACQ,EF//

平面Acq.

(2)^(3)同解法一.

解法三：易知平面ACQ的一個(gè)法向量是=(2,2,2).又???￡尸=(—1,2,—1),由

EF?DB]=()?,

EF±DB},而￡尸.平面ACQ,ER〃平面ACQ.

(2)、(3)同解法一.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系、二面角的概念等基礎(chǔ)知識(shí)；

考查空間想像能力、推理論證能力和探索問題、解決問題的能力.利用空間向量證明線

面平行的方法基本上就是本題給出的三種，一是證明直線的方向向量和平面內(nèi)的一條直

線的方向向量共線，二是證明直線的方向向量和平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量共面、根據(jù)

共面向量定理作出結(jié)論；三是證明直線的方向向量與平面的一個(gè)法向量垂直.

例9(浙江寧波市2008學(xué)年度第一學(xué)期期末理科第20題)已知幾何體A-BCED的三

視圖如圖所示，其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯

形.

(1)求異面直線0E與AB所成角的余弦值；

(2)求二面角A-ED-B的正弦值；

(3)求此幾何體的體積V的大小.

【解析】(1)取EC的中點(diǎn)是F,連結(jié)則BEOE,.?.NEBA或其補(bǔ)角即為異

面直線DE與AB所成的角.在岫AF中，AB=，O

BF=AF=2卮：.cosNABF=半

.?.異面直線DE與AB所成的角的余弦值為乎.

(2)AC_L平面8C￡,過。作CG_LOE交OE于G,連結(jié)AG.

可得DEL平面ACG,從而AG上DE,

...NAGC為二面角A-ED-B的平面角.

在RtMCG中，ZACG=90,AC=4,

CG=隨tanZAGC=—

E

52

/.sinZAGC=—

3

...二面角A一四一3的的正弦值為好

3

(3)V=；-SBCED-AC=16,...幾何體的體積V為16.

方法二：(坐標(biāo)法)(1)以C為原點(diǎn)，

以C4,CB,CE所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則A(4,0,0),8(0,4,0),0(0,4,2),￡(0,0,4),

DE=(0,-4,2),AB=(-4,4,0),

cos<DE,AB>=--

5

.?.異面直線DE與AB所成的角的余弦值為半

(2)平面3DE的一個(gè)法向量為C4=(4,0,0),

設(shè)平面AOE的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),

n.LAD,nlDE,AD=(-4,4,2),DE=(0,-4,2)

/.小AD—0,〃.DE—0

從而-4x+4y+2z=0,Ty+2z=0,

2

令y=l,則〃=(2/,2),cos〈CA,〃>=—

3

二面角A-ED—3的的正弦值為好.

3

(3)V='SBCEAAC=16,.?.幾何體的體積V為16.

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線所成角的求法、考查二面角的求法和多面體體積的求法.空間

向量對(duì)解決三類角(異面直線角、線面角、面面角)的計(jì)算有一定的優(yōu)勢.對(duì)理科考生

來說除了要在空間向量解決立體幾何問題上達(dá)到非常熟練的程度外，不要忽視了傳統(tǒng)的

方法，有些試題開始部分的證明就沒有辦法使用空間向量.

【專題訓(xùn)練與高考預(yù)測】

說明：文科以選擇題、填空題和解答題前三題為主.理科以選擇題、填空題和解答題后

三題為主.

一、選擇題

1.如圖為一個(gè)幾何體的三視圖，尺寸如圖所示，則該幾何體的表面積為(不考慮接觸點(diǎn))

)

A.6+5/3+71B.18+y/3+4zrC.18+2>/34-7iD.32+%

1*7L?■*1/3*1

2.某幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的體積是（）

A.372+73B.血+36C.272-373D.30-2百

正視圖左視圖

兇

I?<—指fI

俯視圖

3.已知一個(gè)幾何體的主視圖及左視圖均是邊長為2的正三角形，俯視圖是直徑為2的圓，則

此幾何體的外接球的表面積為（）

A,幼B.二

33

4.一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是一個(gè)底角為45,腰和上底長均為1的等腰梯

形，則這個(gè)平面圖形的面積是（）

A.-+—B.1+—C.1+V2D.2+V2

222

5.一個(gè)盛滿水的三棱錐容器S—A3C,不久發(fā)現(xiàn)三條側(cè)棱上各有一個(gè)小洞。,￡尸，且知

SD:DA=SE:EB=CF:FS=2:\,若仍用這個(gè)容器盛水，則最多可盛原來水的（）

6.點(diǎn)尸在直徑為2的球面上，過P作兩兩垂直的三條弦，若其中一條弦長是另一條弦長的

2倍，則這三條弦長之和為最大值是（）

277037704V1565/15

5555

7.正方體ABQ-4UC'。'中，AB的中點(diǎn)為M,￡＞。的中點(diǎn)為N,異面直線B'V與CN

所成的角是（）

A.30B.90C.45D.60

8.己知異面直線。和人所成的角為50,P為空間一定點(diǎn)，則過點(diǎn)尸且與所成角都是30

的直線有且僅有（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

9.如圖所示，四邊形A8CO中，AD//BC,AD=AB,ZBCD=45,ZBAD=90,將

△A5O沿3。折起，使平面上平面3CD,構(gòu)成三棱錐A—3C。，則在三棱錐

A—6CO中，下列命題正確的是（）

A.平面ABD_L平面ABCB.平面ADCL平面皿C

C.平面ABC,平面BDCD.平面ADC_L平面ABC

10.設(shè)x、y、z是空間不同的直線或平面，對(duì)下列四種情形：①x、y、z均為直線；

②x、y是直線，z是平面；③z是直線，x、y是平面；④x、y.z均為平面.

其中使“XJLz且y_Lz=x〃y”為真命題的是（）

A.③④B.①③C.②③D.①②

11.已知三條不重合的直線加、〃、/兩個(gè)不重合的平面a、夕，有下列命題

①若，〃//〃,〃cza,則w//a；

②若/_La,4且/m,則a/3；

③若〃2ucr,/nucr,m/3,n\/?,則a（3；

④若aA.p,a（3=m,nu0,nLm,則“_La.

中正確的命題個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

12.直線AB與直二面角a-/-4的兩個(gè)面分別交于A,B兩點(diǎn)，且A,8都不在棱上，設(shè)直

線4?與平面a,4所成的角分別為。,夕，則。+8的取值范圍是（）

A.（0,y）B.C.（全乃）D.{y}

二、填空題

13.在三棱錐P—ABC中，PA=PB=PC=2,ZAPB=ZBPC=ZCPA=30,一只

螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿三棱錐的側(cè)面繞一周，再回到A點(diǎn)，則螞蟻經(jīng)過的最短路程

是.

14.四面體的一條棱長為x,其它各棱長為1,若把四面體的體積V表示成x的函數(shù)/（x）,

則“X）的增區(qū)間為，減區(qū)間為.

15.如圖，是正方體平面展開圖，在這個(gè)正方體中：①與匹平行；②CN與

BE是異面直線；

③CN與8W成60角；④ZW與8N垂直.以上四個(gè)說法中，正確說法的序號(hào)

依次是.

16.已知棱長為1的正方體A8CD—4用GR中，E是的中點(diǎn)，則直線AE與平面

ABC.D,所成的角的正弦值是

三、解答題

17.已知，如圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖.

(1)該空間幾何體是如何構(gòu)成的；

(2)畫出該幾何體的直觀圖；

(3)求該幾何體的表面積和體積.

18.如圖，已知等腰直角三角形R8C,其中NRBC=90,RB=BC=2.點(diǎn)分別是

的中點(diǎn)，現(xiàn)將aMD沿著邊AO折起到ARW位置，使連結(jié)PB、

PC.

(1)求證：BCA.PB；

(2)求二面角A—C。一P的平面角的余弦值.

19.如下圖，在正四棱柱—中，點(diǎn)分別為A0,CG的

中點(diǎn)，過點(diǎn)三點(diǎn)的平面A、BMN交G4于點(diǎn)N.

(1)求證：EM平面A,gG2；

(2)求二面角8—AN—片的正切值；

(3)設(shè)截面A8MN把該正四棱柱截成的兩個(gè)幾何體的體積分別為乂,匕(匕＜匕)，求

V,:匕的值.

20.如圖，在四棱錐P—A8CD中，底面為直角梯形，AD//BC,NBAD=9W,PA垂

直于底面ABC。，PA=AD=AB=2BC=2,M,N分別為PC,尸8的中點(diǎn).

(1)求證：PB工DM；(2)求BO與平面AOMN所成的角；(3)求截面ADMN的

面積.

p

21.如圖，正方形ACDE所在的平面與平面A6c垂直，M是CE和AO的交點(diǎn)，AC±BC,

且AC=6C.

(1)求證：AM_L平面￡8。；

(2)求直線A3與平面EBC所成的角的大??；

(3)求二面角A—￡6—C的大小.

22.已知斜三棱柱ABC—A4G，NBC4=90,AC=BC=2,%在底面ABC上的射

影恰為AC的中點(diǎn)。，又知BAt1AQ.

(1)求證：AG_L平面ABC；(2)求Cq到平面AAB的距離;

(3)求二面角A-A/-C的一個(gè)三角函數(shù)值.

【參考答案】

1.解析：C該幾何體是正三棱柱上疊放一個(gè)球.故其表面積為

3x2x3+2x立x22+4%x仕］=18+2#+%.

4⑴

2.解析：B這個(gè)空間幾何體的是一個(gè)底面邊長為百的正方形、高為百的四棱柱，上半

部分是一個(gè)底面邊長為行的正方形、高為血的四棱錐，故其體積為

V3x>/3xV3+-xV3xV3xV2=3^+72.

3

3.解析：C由三視圖知該幾何體是底面半徑為1,高為g的圓錐，其外接球的直徑為生叵.

3

4.解析：D如圖設(shè)直觀圖為O'A'6'C',建立如圖所示的坐標(biāo)系，按照斜二測畫法的規(guī)則，

在原來的平面圖形中OCLQ4,且OC=2,BC=1,Q4=l+2x、一=1+J5,故

2

其面積為g-(l+2+&)-2=2+J5

5.解析：D當(dāng)平面EFD處于水平位置時(shí)，容器盛水最多

A

VF_SDE3s^SD-SEsinZDSE^SD42214

SASB27

"C-SBgs與AB%^-SASBsmZASB^色3

4?3

最多可盛原來水得1-二=上.

2727

6.解析:A設(shè)三邊長為x,2x,y,則5/+/=4,

令》=Jgcos?,y=2sine,.13x+y=3^cos^+2sin0<-1\/70.

7.解析：B如圖，取A4'的中點(diǎn)P,連結(jié)BP,在正方形AB3'4中易證

8.解析：B過點(diǎn)P作a'|"，b'b,若Pwa,則取。為a',若Peb,則取匕為這時(shí)

屋，〃相交于P點(diǎn)，它們的兩組對(duì)頂角分別為50和130.記"，//所確定的平面為a,

那么在平面a內(nèi)，不存在與a，,。'都成30的直線.過點(diǎn)尸與a',〃都成30角的直

線必在平面a外，這直線在平面a的射影是a',6'所成對(duì)頂角的平分線.其中射影是50

對(duì)頂角平分線的直線有兩條/和射影是130對(duì)頂角平分線的直線不存在.故答案選

B.

9.解析：D如圖，在平面圖形中CDL8D,折起后仍然這樣，由于平面ABO,平面5CO,

故COJ_平面A8D,8,48,又43_1_4￡>,故43，平面4。。，所以平面">。_1_

平面ABC.

10.解析：Cx、y、z均為直線，顯然不行；由于垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，故

②，可以使“xJ_z且yJ.z=x〃y”為真命題；又由于垂直于同一條直線的兩個(gè)平面

平行，故③可以使“x_Lz且y_Lz=x〃y”為真命題；當(dāng)x、y,z均為平面時(shí)，也

不能使“X_Lz且y_Lz=x〃y”為真命題.

11.解析：B①中有mua的可能；人機(jī)且/_La,可得小_La，又根■!尸，故a0,

②正確；③中當(dāng)加|〃時(shí)，結(jié)論不成立；④就是面面垂直的性質(zhì)定理，④正確.故兩個(gè)

正確的.

12.解析：B如圖，在A/7XADC中，AD=ABcos0,AC=ABsin(p,而A￡>>AC,即

(7T\7TTT7T

cos6>sine=cos——°,故。<——夕，即。+夕<—，而當(dāng)A8_L/時(shí)，9+(p=—.

(2J222

13.解析：2夜將如圖⑴三棱錐P-A6C,沿棱Q4展開得圖⑵，螞蟻經(jīng)過的最短路程

應(yīng)是A4',又,：ZAPB=/BPC=NCPA=3。，ZA/W=90,A4,=2&.

14.解析:

15.解析：③④如圖，逐個(gè)判斷即可.

解析：孚取CO的中點(diǎn)/，連接所交平面A8GR于。，連40.由已知正方體,

16.

易知EO_L平面ASG",所以/E4O為所求.在RtAEOA中，E0=；EF=小1)=當(dāng),

AE=同+儼=且,sinNE4O=g°=典.所以直線AE與平面ABGR所成的角

V22A.E5

的正弦值為典.

5

17.解析：(1)這個(gè)空間幾何體的下半部分是一個(gè)底面邊長為2的正方形高為1的長方體,

上半部分是一個(gè)底面邊長為2的正方形高為1的四棱錐.

(2)按照斜二測的規(guī)則得到其直觀圖，如圖.

(3)由題意可知，該兒何體是由長方體ABCD—A'3'C'D'與正四棱錐P—A'3'C'。'

構(gòu)成的簡單幾何體.

由圖易得：AB=AD=ZAA'=\,PO'=\,取A'B'中點(diǎn)Q,連接PQ,從而

"Q=J尸。'2+。'。2所以該幾何體表面積

SB'+B'C'+C'D'+D'A')PQ+(A'B'+B'C'+C'D'+D'A')AA'+AB-AD=472+12.

體積V=2x2xl+」x2x2xl=3.

33

18.解析：(1)..?點(diǎn)A、。分別是R3、RC的中點(diǎn)，...AD〃8C,AD=LBC.

/.ZPAD=ARAD=ZRBC=90APA±AD.：.PA±BC,

???BC±AB,PAHAB=A,：.BC_L平面PAR：P3u平面PA及BC±PB.

(2)取HZ)的中點(diǎn)尸，連結(jié)PF.?：RA^AD^l,：.AF1RC.

?；AP±AR,AP±AD,：.APL平面HBC.

■:HCu平面RBC,：.RCLAP.

AFC]AP=A,：.火。_1平面24F.

PFu平面PAF,：.RC上PF.

NAFP是二面角A—8-P的平面角.

痣

在RtA/M￡)中，AF=-RD=-ylRA2-^-AD2=---,

222

在RtA^4F中，PF=VPA2+AF2=—,

2

也

RAB

cosZAFP=^-=.

PF近3

...二面角A—CZ)—P的平面角的余弦值是土

3

/p

19.解析：(1)設(shè)A4的中點(diǎn)為尸，連結(jié)石￡尸6.5

?w

,??七為48的中點(diǎn)，，"』；8片

AB

又三三「：「

C\MBB.EF&MC???四邊形EMC.F為平行四邊形.

：.EM|FC,.VEM<z平面A『CQ,FC,u平面A4GR,

EM平面

(2)作用“于“，連結(jié),???84，，平面AgGA，BH.

，NBHBi為二面角B-AN-Bi的平面角.

￡M〃平面AgCQ,￡A7u平面A^BMN,平面A、BMN-平面

：.EM4N.又：EMIFCi,；.ANFC「

又???A/NG，??.四邊形AFJN是平行四邊形.NC|=AE.

設(shè)AA}-a,則A4=2a,D、N=a.

在RtAAQN中，%N=jAQj+[N?=#>a

sm^.A\NDi=sinAA.ND,———-―—產(chǎn).

“'AN后

_2__4^

在RtAAA”中,BH=4gsinZ.H\B=2a?

}X軍=五

在RtABB,H中，tanZBHB.=毀==—

卮4

(3)延長AN與8c交于P,則Pe平面A8WV,且Pe平面BgGC.

又?.?平面48WV，平面,

:.PwBM,即直線AN,4G,8V交于一點(diǎn)P.

又?.?平面MNC、11〃平面氏44，.?.幾何體MNC「BA'B1為梭臺(tái).

；SA418s,=].2a?a=礦，=--a--a=—a',

梭臺(tái)MNC「BAB1的高為4cl=2a，

20.解析：（1）因?yàn)镹是尸B的中點(diǎn)，所以ANJ.P8.由Z4_L底面A8CD,

得B4_LAD,

又ZBAD=9(f,即84_LAZ),AO_L平面PAB,所以A￡>_LP3，,平

面AOA/V,APBA.DM.

(2)連結(jié)。N,因?yàn)槠矫鍭OMN,即平面ADMN,所以ZBZW是5。

與平面ADMN所成的角.在RtMBD中,BD=yjBA1+AD2=2J5,在RtAE4B

中，PB=\IPA2+AB2=2x/2,故BN=-PB=y/2,在RtABDN中，

2

sinZBDN=—=~,又bWNBDN勺三,故8。與平面AOMN所成的角是乙.

BD226

(3)由M,N分別為PC,PB的中點(diǎn)，得MN"BC,且MN=,BC='，又

22

AD//BC,故MNHAD,

由(1)得AO_L平面PA8,又4Vu平面PA8,故AD_L4V,.?.四邊形ADMN是

直角梯形，

在氏AR4B中，PB=yjPA2+AB2=272,AN=-PB=y/2,截面4)肱V的

2

面積S=L(MN+AO)XAN='(4+2)XV^=^.

2224

p

法二：(1)以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,如圖所示(圖略)

由PA=AD=AB=2BC=2,得4(0,0,0)

P(0,0,2),B(2,0,0),M(1,；,1),0(0,2,0)

因?yàn)镻BDM=(2,0,—2)(l,—3,l)=0,所以PBLDM.

2

(2)因?yàn)镕5-AD=(2,0,-2).(0,2,0)=0,所以尸3_LAD,又PB工DM,

故，平面ADMN,即P8=(2,0,-2)是平面ADMN的法向量.

設(shè)8。與平面ADAW所成的角為6,又5。=(―2,2,0).

則sin0=|cos<8。,PB>|=叩1-41

\BD\\PB\，4+4xJ4+42

又。€[0,工]，故6=工，即8。與平面AOMN所成的角是王.

266

TT

因此8。與平面A￡>MN所成的角為一.

6

(3)同法一.

21.解析：法一：(1)?.?四邊形ACDE是正方形，：.EA±AC,AM1EC.

???平面ACOEL平面ABC,又.?.3C_L平面EAC.

?.?4Mu平面EAC,BC1AM.二AM_L平面E8C.

(2)連結(jié)BAf,平面EBC,.?.NZBM是直線AB與平面E6C所成的角.

設(shè)￡A=AC=8C=2a,則AM=億，AB=2叵a,；.sinZABM=^=L,

AB2

:.ZABM^30°.即直線AB與平面E5C所成的角為30。

(3)過A作AHJ.EB于”，連結(jié)HW.?.?A"_L平面ESC,二砂，

平面.?.NAHM是二面角A-￡8—C的平面角.

?.?平面ACDEL平面ABC,.?.￡XJ_平面ABC.：.EA±AB.

在R腐A3中，AH上EB,有AE，AB=EB-AH.

由(2)所設(shè)￡A=AC=BC=2a可得AB=20a，EB=243a,

AEAB2y[2a

AH

EB-M

smZAHM=—=—ZAHM^60°.二二面角A—EB-C等于60。.

AH2

法二：?.?四邊形ACDE是正方形，：.EA±AC,AM±EC,:?平面AC￡>￡_1平面

ABC,.?.E4,平面ABC,.?.可以以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以過A點(diǎn)平行于8c的直線為x

軸，分別以直線AC和AE為y軸和z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系4-邙.

設(shè)EA=AC=BC=