2023年湖北省高中學業(yè)水平合格性考試數(shù)學試題試卷及答案解析

2023年湖北省普通高中學業(yè)水平合格性考試

數(shù)學

本試卷共6頁25題.全卷滿分100分.考試用時90分鐘.

注意事項：

1.答題前，考生務必先將自己的姓名、準考證號、座位號填寫在試卷和答

題卡上，并將準考證條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答

案標號涂黑、涂勻、涂實，未涂、錯涂、多涂或填涂不規(guī)范均不得分.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆將答案寫在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)，

超出答題區(qū)域書寫的答案無效.在試卷、草稿紙上答題無效.

4.考試結(jié)束后，請將本試卷、答題卡和草稿紙一并上交.

一、選擇題(本題共15小題，每小題3分，共45分.在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的.)

1.設集合A={1,2,3,4},B={l,2,3,a},且A=B,則。=()

A.1B.2C.3D.4

2.設z=l-i,則z?+i=()

A.1B.iC.-iD.-1

3.已知〃=(1,G),6=(2,o),則向量a在向量人上的投影向量是()

A.(0,2)B.(2,0)C.(0,1)D.(1,0)

4.設b,c,"都是不等于1的正數(shù)，函數(shù)"優(yōu)，產(chǎn)==，在同一直角

坐標系中的圖象如圖所示，則〃，b,c,d的大小關系是()

A.a<b<c<dB.b<a<d<cC.c<d<a<bD.d<c<b<a

33K

5.已知sina=一—,且兀<a<一,則cosa=()

52

4334

A.一B.——C.一D.一

5445

6.設向量a=(x,2),6=(6,3).若dJI"X=()

A.4B.3C.2D.1

7.下列函數(shù)中，定義域和值域都是R的是()

A.y=x3B.y=2xC.y=lgxD.y=tanx

8.若x>y>0,則下列不等式正確的是（)

11

A.AlVylB.x2<y2C.-<-D.晝＜歷

xy

9.設xeR,則“sinx=0''是"COSJC=1”的(）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不

必要條件

10.為建設美麗中國，增強民眾幸福感，市政府大力推進老舊小區(qū)改造工程.和諧小區(qū)

計劃建設一塊長為10m、寬為6m的矩形花園，其四周種植花卉，中間種植草坪（如圖

所示）.如果花卉帶的寬度相同，且草坪的面積不超過總面積的三分之一，那么花卉帶

的寬度可能為（）

10m

A.ImB.2mC.3mD.4m

11.有20種不同的綠色食品，每100克包含的能量（單位：kJ）如下：

110120120120123123140146150162

164174190210235249280318428432

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計這些食品每100克包含能量的第50百分位數(shù)是（）

A.165B.164C.163D.162

12.“升”是我國古代發(fā)明的量糧食的一種器具，升裝滿后沿升口刮平，稱為“平升己

知某種升的形狀是正四棱臺，上、下底面邊長分別為15cm和12cm,高為10cm（厚度

不計），則該升的1平升約為（）（精確到0.1L,IL=1000cm'）

試卷第2頁，共6頁

A.l.OLB.1.8LC.2.4LD.3.6L

13.如圖，在任意四邊形ABC。中，E,尸分別是AD,BC的中點，且=，

則實數(shù)2=（）

22

14.某對夫婦打算生育三個孩子，假設生男孩、女孩是等可能的，且不考慮多胞胎情形，

則這三個孩子中男、女孩均有的概率是（）

A.1B.-C.-D.-

2848

15.為了測量一座底部不可到達的建筑物的高度，復興中學跨學科主題學習小組設計了

如下測量方案：如圖，設A,B分別為建筑物的最高點和底部.選擇一條水平基線HG,

使得”，G,8三點在同一直線上，在G,4兩點用測角儀測得A的仰角分別是a和4，

CD=a,測角儀器的高度是正由此可計算出建筑物的高度43,若a=75。,尸=45。,

則此建筑物的高度是（）

A

HGB

A.^^La+hB.2^11〃+/?C.Jl±La_hD.

2424

二、選擇題（本題共3小題，每小題3分，共9分.在每小題給出的選項中，

有多項符合題目要求.全部選對的得3分，部分選對的得2分，有選錯的得0

分.）

16.隨著我國高水平對外開放持續(xù)提速，2022年貨物進出口再創(chuàng)新高，首次突破42萬

億元.根據(jù)下圖判斷，下列說法正確的是（）

萬億元*2018-2022年貨物進出口總額

45

口貨物進口額口貨物出口額

40

35

18.10

30

25

14.09

20

15

23.97

10

16.41

5

0

2019202020212022年份

A.從2018年開始，貨物進口額逐年增大

B.從2018年開始，貨物進出口總額逐年增大

C.從2018年開始，2020年的貨物進出口總額增長率最小

D.從2018年開始，2021年的貨物進出口總額增長率最大

17.十八世紀偉大的數(shù)學家歐拉引入了“倒函數(shù)”概念：若函數(shù)/*）滿足/（x）-/（-x）=l,

則稱/（x）為“倒函數(shù)下列函數(shù)為“倒函數(shù)''的是（）

A./(x)=lB./(x)=x2C.f(x)=exD./(x)=lnx

18.“圓柱容球”作為古希臘數(shù)學家阿基米德最得意的發(fā)現(xiàn)，被刻在他的墓碑上，當圓柱

容球時，圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑.記球的表面積為先,體積為匕/；圓柱

的表面積為S圓性，體積為％柱，則（）

A.與柱：S碑=3:2B.4桂：丫球=3：2C.%柱：％柱=3:2D.:=3:2

三、填空題（本題共4小題，每小題4分，共16分.）

19.已知兩個單位向量d與6的夾角是60。，則“1=.

20.已知加，〃是兩條不同直線，a,4是兩個不同平面.給出下列四個論斷：

①加②a，；（§）m±a；.

以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確命題：若,

則.（注：用序號作答）

21.沈括的《夢溪筆談》是中國科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術”.如

試卷第4頁，共6頁

圖，AB是以。為圓心(M為半徑的圓弧，C是AB的中點，。在AB上，且.記

AB的弧長的近似值為s，“會圓術''給出了的一種計算公式：s=AB+C±.若04=1,

OA

408=90。，則根據(jù)該公式計算s=.

22.為響應“強身健體，智慧學習”倡議，復興中學開展了一次學生體質(zhì)健康監(jiān)測活動.已

知高三(2)班有50名學生，其中男生28人，女生22人，按男生、女生進行分層，用

分層隨機抽樣的方法，從高三(2)班全體學生中抽取一個容量為25的樣本.如果各層

中按照比例分配樣本，則

(1)女生應抽取的人數(shù)為人；

(2)已知樣本中男生、女生的平均體重分別為60.8kg和46.4kg.估計高三(2)班全體

學生的平均體重為kg(精確到0.1kg).

四、解答題(本題共3小題，每小題10分，共30分.解答應寫出文字說明、

證明過程或演算步驟.)

23.某同學用“五點法”畫函數(shù)/(x)=Asin(s+0,|。［＜］］在某一個周期內(nèi)

(1)將上表數(shù)據(jù)補充完整，填寫在答題卡上相應位置，并寫出函數(shù)y=/(x)的解析式;

(2)將函數(shù)y=/(x)圖象上所有點向左平行移動B7T個單位長度，得到函數(shù)y=g(x)的圖象,

O

求使g(x)W0成立的X的取值集合.

24.如圖，長方體A8CO-AAG。中，A8=16,BC=10，M=8,點E,F分別在A4,

上，且AE=2F=4.

(1)求AF的長；

(2)過點E,F的平面與長方體的面相交，交線圍成一個正方形EFG”.在答題卡對應的

圖中，作出點G,H,并說明作法及理由.

25.已知函數(shù)/(x)=pa*+qaT(a>O,awl,且p,qeR).

(1)當IpHql時，討論函數(shù),⑶的奇偶性;

(2)從①②兩組條件中選取一組作為已知條件，證明：/*)為增函數(shù).

①a>l,p>0,”0；

②0<a<l,p<0,4>0.

注：如果選擇兩組條件分別解答，按第一個解答計分.

試卷第6頁，共6頁

1.D

【分析】根據(jù)集合相等直接得解.

【詳解】因為A={1,2,3,4},B={l,2,3,a},且A=B，

所以a=4.

故選：D

2.C

【分析】根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算法則計算可得.

【詳解】因為Z=l—i,所以z2+i=(l-i)2+i=12_2i+i2+i=_i.

故選：C

3.D

【分析】首先求出2小，W，再根據(jù)投影向量的定義計算可得.

【詳解】因為"(1,揚，匕=(2,0),

所以a?b2,問=2,

所以向量。在向量6上的投影向量是號xjf=g(2，0)=(l，°).

故選：D

4.B

【分析】先根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，確定“，h,c,d與1的關系，再由x=l時，函數(shù)值

的大小判斷.

【詳解】因為當?shù)讛?shù)大于1時，指數(shù)函數(shù)是定義域上的增函數(shù)，

當?shù)讛?shù)大于0且小于1時，指數(shù)函數(shù)是定義域上的減函數(shù)，

所以c,4大于1,a,大于0且小于1,

由圖知：c'>d',即c>d,b'<a',即

所以bva<l<4<c.

故選：B

5.A

【分析】應用平方關系求余弦值，注意角的范圍確定值的符號.

【詳解】由題設cosc=-Jl-sin2-=-：.

答案第1頁，共10頁

故選：A

6.A

【分析】根據(jù)平面向量共線的坐標表示計算可得.

【詳解】因為向量”=(x，2),5=(6,3)且4/區(qū),

所以3x=2x6,解得x=4.

故選:A

7.A

【分析】根據(jù)幕指對及正切函數(shù)的定義域、值域判斷各項是否符合要求即可.

【詳解】幕函數(shù)y=V的定義域和值域都是R,A符合；

指數(shù)函數(shù)y=2"的值域為(0,”)，B不符合；

對數(shù)函數(shù)y=lgx的定義域為(0,+oo),C不符合；

正切函數(shù)丫=1細》的定義域為{x|x#E+5},keZ,D不符合；

故選：A

8.C

【分析】應用不等式性質(zhì)、基本不等式判斷各項的正誤即可.

【詳解】由x>y>0,則IxAlyl,x2>y2,A、B錯，C對，

xy

由歲2而，且x>y>0,故等號取不到，則亨》再，D錯.

故選：C

9.B

【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)平方關系，結(jié)合必要不充分性的判斷即可求解.

【詳解】由sinx=0,則sin2x=l-cos2x=0ncosx=±l,故充分性不成立，

由cosx=l,貝Ucos2x=l-sin2x=l=>sinx=0,故必要性成立，

故"sinr=0”是"cos=l”的必要不充分條件，

故選：B

10.B

【分析】設花卉帶的寬度為xm,由題設有(10二；：)(,一20?J且;2》：°求x范圍,即

10x636-2x>0

可得答案.

答案第2頁，共10頁

【詳解】設花卉帶的寬度為xm,則二?*二2冷呈,

10x63

所以(5-x)(3-x)V5,Bp(X-4)2<6,可得4一卡4X44+N,

[10-2x>0廠l

又「c八=x<3,故4一遍4x<3，而1<4-#<2，則x可能取值為2.

[6-2x>0

故選：B

11.C

【分析】由百分位數(shù)的求法求第50百分位數(shù).

【詳解】由已知數(shù)據(jù)知：20x50%=10,則這些食品每100克包含能量的第50百分位數(shù)是

162+164公

--------=163.

2

故選：C

12.B

【分析】應用棱臺的體積公式求1平升，即可得答案.

【詳解】由題設，上底面積為5=225cm2,下底面積為§2=144cm?,

所以1平升為1X10X(225+J225X144+144)=1830cm',約為1.8L.

3

故選：B

13.B

【分析】先將48-CD,石尸分別用AZZOCC8表示，再結(jié)合題意即可得解.

【詳解】AB-CD=AD+DC+CB-CD=AD+2DC+CB，

一一一一1一一1一

EF=ED+DC+CF=—AD+DC+—CB,

22

所以48—CO=2￡；尸，

又因為A8—CO=/IEF，

所以4=2.

故選：B.

14.C

【分析】列表法求三個孩子中男、女孩均有的概率即可.

【詳解】三個孩子性別依次如下表：

1孩2孩3孩

答案第3頁，共10頁

男男男

男男女

男女男

女男男

男女女

女男女

女女男

女女女

所以這三個孩子中男、女孩均有的情況有6種，而一共有8種情況,

3

則這三個孩子中男、女孩均有的概率是

4

故選：C

15.A

【分析】在-AC。中，利用正弦定理求出AC,再解RtACE求出AE,即可得解.

【詳解】在▲AC。中，CD=a,ZADC=45°,ZCAD=75°-45°=30°,

ACCD

由正弦定理得

sinZADCsinZCAD

qx——

所以AC=-^-二后,

2

sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos300+cos45°sin30°=";拒

在RtACE中，AE=ACsin/ACE=母巫=避止a,

42

2

即此建筑物的高度是丑丑。+6

2

故選：A.

16.BCD

【分析】根據(jù)統(tǒng)計圖一一分析即可.

答案第4頁，共10頁

【詳解】由圖可知2020年的貨物進口額小于2019年的貨物進口額，故A錯誤;

2018年貨物進出口總額為14.09+16.41=30.5,

2019年貨物進出口總額為14.33+17.24=31.57,

2020年貨物進出口總額為14.29+17.93=32.22,

2021年貨物進出口總額為17.36+21.69=39.05,

2022年貨物進出口總額為18.1+23.97=42.07,

所以從2018年開始，貨物進出口總額逐年增大，故B正確；

其中2019年的貨物進出口總額增長率為^“0.035,

30.5

2020年的貨物進出口總額增長率為3言奇$7x0.021,

3905-3222

2021年的貨物進出口總額增長率為'%刊-0.212,

32.22

2022年的貨物進出口總額增長率為4絲2與07-3學905x0.077,

所以從2018年開始，2020年的貨物進出口總額增長率最小，故C正確；

從2018年開始，2021年的貨物進出口總額增長率最大，故D正確；

故選：BCD

17.AC

【分析】根據(jù)所給定義一一計算可得.

【詳解】對于A：f(x)=l,則洋-x)=l,所以/(x)“-A=l,故A正確；

對于B：f(x)=x2,則/(2)?/(-2)=16,故B錯誤；

對于C：/(x)=e\則/(一X)=0，所以f(x)?((—x)=eJer=e°=l,故C正確；

對于D：/⑴印口定義域為0+⑹，則當xe(O,y)時一xe(一,0),此時”-x)無意義，

故D錯誤；

故選：AC

18.AB

【分析】設球的半徑為R，根據(jù)圓柱和球的表面積公式及體積公式分別求出其表面積與體積,

再逐一判斷即可.

【詳解】設球的半徑為R,則圓柱的底面圓的半徑為R,高為2R,

2223

則S珠=4成2，/=g,S1al柱=2nR+2nR-2R—6nR,%柱-nR-2R=27iT?,

答案第5頁，共10頁

所以Simt：S球=6兀爐：4兀齊=3:2，故A正確；

/桂:/=2加:不/?3=3:2,故B正確;

S圓柱：/柱=6nR~:2nF^=3:7?,故C錯誤；

S球：4=4兀代：1兀R'=3:R,故D錯誤?

故選：AB.

19.-##0.5

2

【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義計算可得.

【詳解】因為兩個單位向量〃與萬的夾角是60。，

所以4?匕=|cz|?|/?|cos60°=1x1xg=g.

故答案為：y

20.①③④（答案不唯一）②（答案不唯一）

【分析】由〃?J_〃，〃?_La得n//a或“ua,分類討論并結(jié)合〃_L￡及平面的基本性質(zhì)、面

面垂直的判定有a，尸，可得一個正確命題.

【詳解】由m_L”,mla,則〃//a或"ua,

當”ua,〃_L尸，則a_L#；

當“〃cz,過〃作平面交a于/,則〃/〃，而

所以/，/?,而/ua,則

綜上，m±n,m_La,nA.（3,則c_L尸.

故答案為：①③④，②（答案不唯一）

3

21.-##1.5

2

【分析】連接0C,分別求出AB,OC,C￡?,再根據(jù)題中公式即可得出答案.

【詳解】如圖，連接0C,

答案第6頁，共10頁

因為C是AB的中點，

所以OC_LA8,

又CD_LM,所以0,C,。三點共線，

即00=04=03=1,

又ZAO3=90°,

所以=JOV+CB?=0，

則0c=")A2-AC?=①,故CD=0D-0C=2-6，

3

故答案為：-

22.1154.5

【分析】(1)應用分層抽樣等比例性質(zhì)求女生應抽取的人數(shù)；

(2)應用平均數(shù)的求法求樣本均值，即估計高三(2)班全體學生的平均體重.

【詳解】(1)由分層抽樣等比例性質(zhì)知：女生應抽取的人數(shù)為25x3=ll人；

(2)由(1)知：樣本中男生人數(shù)為14人，故樣本均值為")8"46上匚54.5kg.

故答案為：11,54.5

23.⑴數(shù)據(jù)補充見解析，f(x)=2sin(x+F)；

O

(2){x|2依-弓<2攵兀+笄},%￡Z.

【分析】(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù)求參數(shù)可得f(x)=2sin(x+7Tm),進而補充表格數(shù)據(jù)；

(2)由圖象平移得g(x)=2sin(x+§,結(jié)合正弦型函數(shù)性質(zhì)解不等式求解集即可.

答案第7頁，共10頁

【詳解】（1）由表格知：A=2且4="-4=兀，即7=2兀，故=

233T

I7t7C2兀兀1-.Ij...3./兀\

由<+9=7+。=丁=。=:，則/（x）=2sin（x+：）,

2236o

所以，表格補充如下：

兀3兀

GX+夕0兀2兀

2T

兀2717兀5兀1371

XT~6T百

Asin(的十0)020-20

(2)由題設g(x)=/(%+—)=2sin(x-i--)>0,即+工W2E+兀,ZcZ,

633

所以2碗-14x42E+夸，女eZ,即{x12?<x<2kn+^-},keZ.

24.(1)6>/5

（2）答案見解析

【分析】（1）利用勾股定理計算即可；

（2）根據(jù)基本題意結(jié)合勾股定理作出這個正方形.

【詳解】（1）連接4R,

因為平面4DRA，AAu平面A。AA，所以CQLAQ,

2

貝ijADt=y）A