2024年新高考新結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)模擬卷（一）（解析版）

2024年新高考新結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)模擬卷（一）（模擬測(cè)試）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分：150分）注意事項(xiàng):1.答題前,先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答:每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫(xiě)在試卷草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。4.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交。一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．一組數(shù)據(jù)為，，，，，，，，，，，，則這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)上四分位數(shù)的概念即可求得答案.【詳解】依題意，該組數(shù)據(jù)是從小到大排列，又，所以所給數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是，故選：D．2．已知雙曲線(xiàn)=1(a>0，b>0)的漸近線(xiàn)方程為y=±3x，則雙曲線(xiàn)的離心率是（

）A． B． C． D．3【答案】A【解析】由漸近線(xiàn)求得，由雙曲線(xiàn)的離心率求得答案.【詳解】因?yàn)樵撾p曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=±3x，則，所以雙曲線(xiàn)的離心率故選：A【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線(xiàn)的離心率，涉及雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，屬于簡(jiǎn)單題.3．等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別記為與，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)可得，進(jìn)而代值計(jì)算即可得解.【詳解】因?yàn)椋?故選：D.4．設(shè)，是兩條不同的直線(xiàn)，，是兩個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，那么；④如果，那么.其中正確命題的序號(hào)是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】C【分析】①利用空間內(nèi)兩直線(xiàn)的位置關(guān)系判斷；②利用空間內(nèi)兩直線(xiàn)的位置關(guān)系判斷；③根據(jù)垂直于同一直線(xiàn)的兩平面平行判斷；④利用直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系判斷.【詳解】①如果，，那么與b平行，相交或異面，故錯(cuò)誤；②如果，，那么與b平行或異面，故錯(cuò)誤；③如果，由垂直于同一直線(xiàn)的兩平面平行知正確；④如果，與平行，相交或在內(nèi)，故錯(cuò)誤；故選：C5．某中學(xué)于2023年4月25日召開(kāi)春季運(yùn)動(dòng)會(huì)，在開(kāi)幕式之前，由高一，高二學(xué)生自發(fā)準(zhǔn)備了7個(gè)娛樂(lè)節(jié)目，其中有2個(gè)歌曲節(jié)目，3個(gè)樂(lè)器獨(dú)奏，2個(gè)舞蹈節(jié)目，要求舞蹈節(jié)目一定排在首尾，另外2個(gè)歌曲節(jié)目不相鄰．則這7個(gè)節(jié)目出場(chǎng)的不同編排種數(shù)為（

）A．288 B．72 C．144 D．48【答案】C【分析】先把舞蹈節(jié)目排好，再在2個(gè)舞蹈節(jié)目中間排好3個(gè)樂(lè)器獨(dú)奏，再利用插空法排2個(gè)歌唱節(jié)目即可.【詳解】先把舞蹈節(jié)目排好，共種，再在2個(gè)舞蹈節(jié)目中間排好3個(gè)樂(lè)器獨(dú)奏，共種，這樣3個(gè)樂(lè)器獨(dú)奏與2個(gè)舞蹈節(jié)目中間共產(chǎn)生4個(gè)空檔（不包括兩邊），2個(gè)歌唱節(jié)目排在4個(gè)空檔上，共種．故這7個(gè)節(jié)目出場(chǎng)的不同編排種數(shù)為種．故選：C．6．已知，則“”是“直線(xiàn)和直線(xiàn)垂直”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)直線(xiàn)垂直的等價(jià)條件，求出的取值，根據(jù)包含關(guān)系即可得到結(jié)論【詳解】直線(xiàn)和直線(xiàn)垂直，則，解得或，所以“”是“直線(xiàn)和直線(xiàn)垂直”的充分不必要條件，故選：A，【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合直線(xiàn)垂直的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題，7．已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用兩角和與差的余弦展開(kāi)式、余弦的二倍角公式可得，解法一，再將兩邊平方可得，利用弦化切解得；解法二，再將兩邊平方可得，利用求出，結(jié)合求出、可得答案.【詳解】因?yàn)?，且，所以，即，解法一，上式兩邊同時(shí)平方可得，所以，解得或，因?yàn)?，，所以，，因?yàn)?，所以，所以，即，所以，則舍去，所以.解法二，上式兩邊同時(shí)平方可得，則，因?yàn)?，易知，兩邊開(kāi)方可得，結(jié)合，可得，，故.故選：B．8．雙曲線(xiàn)的左，右焦點(diǎn)分別為，過(guò)作垂直于軸的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于兩點(diǎn)，的內(nèi)切圓圓心分別為，則的面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意畫(huà)出圖，由已知求出的值，找出的坐標(biāo)，由的內(nèi)切圓圓心分別為，進(jìn)行分析，由等面積法求出內(nèi)切圓的半徑，從而求出的底和高，利用三角形的面積公式計(jì)算即可.【詳解】由題意如圖所示：由雙曲線(xiàn)，知，所以，所以，所以過(guò)作垂直于軸的直線(xiàn)為，代入中，解出，由題知的內(nèi)切圓的半徑相等，且，的內(nèi)切圓圓心的連線(xiàn)垂直于軸于點(diǎn)，設(shè)為，在中，由等面積法得：由雙曲線(xiàn)的定義可知：由，所以，所以，解得：，因?yàn)闉榈牡慕瞧椒志€(xiàn)，所以一定在上，即軸上，令圓半徑為，在中，由等面積法得：，又所以，所以，所以，，所以，故選：A.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分）9．已知函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．是函數(shù)的一個(gè)周期 B．在上單調(diào)遞增C．的最小值是 D．在有3個(gè)零點(diǎn)【答案】BCD【分析】取特值計(jì)算判斷A；利用導(dǎo)數(shù)判斷B；由偶函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合時(shí)的周期性分段討論判斷CD.【詳解】顯然，，即，因此不是函數(shù)的一個(gè)周期，A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，，求導(dǎo)得，因此在上單調(diào)遞增，B正確；函數(shù)的定義域?yàn)镽，，即函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，顯然，則只需討論在上最小值，當(dāng)時(shí)，，而，且與不同時(shí)為0，則，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，由，得，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，由，得，，當(dāng)時(shí)，，，由，得，，因此當(dāng)時(shí)，，的零點(diǎn)為，所以函數(shù)的最小值是，在有3個(gè)零點(diǎn)，CD正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及求含正(余)的二次式的最值問(wèn)題，可以換元或整體思想轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在區(qū)間或其子區(qū)間上的最值求解.10．已知復(fù)數(shù)，滿(mǎn)足，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則 B．C．若，則 D．【答案】BD【分析】對(duì)選項(xiàng)A，C，利用特殊值法即可判斷A，C錯(cuò)誤，對(duì)選項(xiàng)B，根據(jù)復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的性質(zhì)即可判斷B正確，對(duì)選項(xiàng)C，根據(jù)復(fù)數(shù)模長(zhǎng)公式即可判斷D正確.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，設(shè)，，則，，，不滿(mǎn)足，故A錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)B，設(shè)在復(fù)平面內(nèi)表示的向量分別為，且，當(dāng)方向相同時(shí)，，當(dāng)方向不相同時(shí)，，綜上，故B正確.對(duì)選項(xiàng)C，設(shè)，，，，故C錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)D，設(shè)，，，，則，，故D正確.故選：BD11．已知函數(shù)，的定義域?yàn)?，為的?dǎo)函數(shù)，且，，若為偶函數(shù)，則下列一定成立的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】由是偶函數(shù)得出是奇函數(shù)，由已知兩條件推出是以4為周期的函數(shù)，然后在已知式中對(duì)自變量賦值求解．【詳解】由是偶函數(shù)，則，兩邊求導(dǎo)得，所以是奇函數(shù)，故．對(duì)于A，由，代入，得，又是奇函數(shù)，則，所以是周期函數(shù)，且周期為4，，故A正確；對(duì)選項(xiàng)B，令得，，令得，，故，故B正確；對(duì)于C：令得，即，若，則，但不一定為0，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：令，得，故，，所以，令，得，則則，由是以4為周期得，所以，故D正確．故選：ABD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用條件得出函數(shù)的奇偶性及周期性，進(jìn)而得到函數(shù)的性質(zhì)，然后利用賦值法求解.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．對(duì)于集合，，我們把集合叫做集合與的差集，記作.若，，則.【答案】【分析】利用定義進(jìn)行直接計(jì)算.【詳解】由差集的定義，，,則.故答案為：.13．如圖是我國(guó)古代米斗，它是隨著糧食生產(chǎn)而發(fā)展出來(lái)的用具，是古代官倉(cāng)、糧棧、米行等必備的用具，早在先秦時(shí)期就有，到秦代統(tǒng)一了度量衡，漢代又進(jìn)一步制度化，十升為斗、十斗為石的標(biāo)準(zhǔn)最終確定下來(lái).已知一個(gè)斗型（正四棱臺(tái)）工藝品上、下底面邊長(zhǎng)分別為2和4，側(cè)棱長(zhǎng)為，則其外接球的表面積為.【答案】【分析】如圖，設(shè)該正四棱臺(tái)為四棱臺(tái)，設(shè)上下底面的焦點(diǎn)分別為，則其外接球的球心在直線(xiàn)上，先求出棱臺(tái)的高，再利用勾股定理求出外接球的半徑，再根據(jù)球的表面積公式即可得解.【詳解】如圖，設(shè)該正四棱臺(tái)為四棱臺(tái)，設(shè)上下底面的焦點(diǎn)分別為，則其外接球的球心在直線(xiàn)上，由題意，，故四棱臺(tái)的高，易知在線(xiàn)段上，設(shè)，外接球的半徑為，則，解得，所以，所以其外接球的表面積.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決與球相關(guān)的切、接問(wèn)題，其通法是作出截面，將空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問(wèn)題平面化的目的；（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.14．已知當(dāng)，表示不超過(guò)的最大整數(shù)，稱(chēng)為取整函數(shù)，例如，若，且偶函數(shù)，則方程的所有解之和為．【答案】/【分析】數(shù)形結(jié)合，在同一坐標(biāo)系中分別畫(huà)出和的圖像，結(jié)合分析的解，從而求和即可.【詳解】當(dāng)時(shí),,則,因?yàn)闉榕己瘮?shù),所以當(dāng)時(shí)，,由有,所以由有,在同一坐標(biāo)系中分別畫(huà)出和的圖像,如下圖所示.由圖像知,兩個(gè)圖像有4個(gè)交點(diǎn),且交點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為：當(dāng)時(shí),方程的解為0和1；當(dāng)時(shí),令,解得,令,解得,綜上有方程的解為,所有解之和為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：數(shù)形結(jié)合解決函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題，需要根據(jù)題意作出圖形，進(jìn)而分析零點(diǎn)個(gè)數(shù)，同時(shí)需要聯(lián)立函數(shù)的方程求解零點(diǎn).屬于難題.四、解答題（本題共5小題，共77分，其中15題13分，16題15分，17題15分，18題17分，19題17分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15．已知函數(shù).(1)若曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)平行，求出這條切線(xiàn)的方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)幾何意義和平行關(guān)系得到方程，求出，從而得到，求出切線(xiàn)方程；（2）求定義域，求導(dǎo)，對(duì)導(dǎo)函數(shù)因式分解，分，和三種情況，討論得到函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】（1），由已知，∴得又∴曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為化簡(jiǎn)得：（2）定義域?yàn)镽，，令得或①當(dāng)即時(shí)，令得或，令得，故在單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；②當(dāng)即時(shí)，恒成立，故在R上單調(diào)遞增；③當(dāng)即時(shí)，令得或，令得，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；綜上，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；16．，，，四人進(jìn)行羽毛球單打循環(huán)練習(xí)賽，其中每局有兩人比賽，每局比賽結(jié)束時(shí)，負(fù)的一方下場(chǎng)，第局由，對(duì)賽，接下來(lái)按照，的順序上場(chǎng)第局、第局來(lái)替換負(fù)的那個(gè)人，每次負(fù)的人其上場(chǎng)順序排到另外個(gè)等待上場(chǎng)的人之后即排到最后一個(gè)，需要再等局即下場(chǎng)后的第局才能參加下一場(chǎng)練習(xí)賽．設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立．(1)求前局都不下場(chǎng)的概率；(2)用表示前局中獲勝的次數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）根據(jù)前4局A都不下場(chǎng)，由前4局A都獲勝求解；（2）由的所有可能取值為0，1，2，3，4，分別求得其概率，列出分布列，再求期望.【詳解】（1）解：前4局A都不下場(chǎng)說(shuō)明前4局A都獲勝，故前4局A都不下場(chǎng)的概率為（2）的所有可能取值為0，1，2，3，4，其中，表示第1局B輸，第4局是B上場(chǎng)，且B輸，則；表示第1局B輸，第4局是B上場(chǎng)，且B贏；或第1局B贏，且第2局B輸，則；表示第1局B贏，且第2局B贏，第3局B輸，則；表示第1局B贏，且第2局B贏，第3局B贏，第4局B輸，則；表示第1局B贏，且第2局B贏，第3局B贏，第4局B贏，則所以X的分布列為X01234P故X的數(shù)學(xué)期望為17．在直角梯形中，，，，如圖（1）．把沿翻折，使得平面平面．

(1)求證：；(2)在線(xiàn)段BC上是否存在點(diǎn)N，使得AN與平面ACD所成角為60°？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，【分析】（1）利用勾股定理證明，再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，再根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，且，可得，，又因?yàn)?，可得，所以，則，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，且平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?；?）因?yàn)槠矫?，且平面，所以，如圖所示，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，可得，，，，所以，．設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，假設(shè)存在點(diǎn)，使得與平面所成角為，設(shè)，（其中），則，，所以，整理得，解得或（舍去），所以在線(xiàn)段上存在點(diǎn)，使得與平面所成角為，此時(shí)．

18．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，分別過(guò)、兩點(diǎn)作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，兩條切線(xiàn)分別與軸交于、兩點(diǎn)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，為線(xiàn)段的中點(diǎn)．(1)證明：為定值；(2)設(shè)直線(xiàn)的斜率為，證明：為定值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)，則，寫(xiě)出直線(xiàn)的方程，將直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，寫(xiě)出拋物線(xiàn)在點(diǎn)、處的切線(xiàn)方程，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，可得出直線(xiàn)的方程，再將直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立，可求出，進(jìn)而可求出，然后結(jié)合韋達(dá)定理可求得的值；（2）求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，可求得的表達(dá)式，由此可求出的值.【詳解】（1）證明：設(shè)，則，易知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，設(shè)直線(xiàn)的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，接下來(lái)證明拋物線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，聯(lián)立可得，即，即，所以，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有唯一的公共點(diǎn)，所以，的方程為，同理可知，直線(xiàn)的方程為，在直線(xiàn)的方程中，令，可得，即點(diǎn)，同理可得點(diǎn)，所以，直線(xiàn)的方程為，即，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，則，由韋達(dá)定理可得，，所以，，同理可得，所以，.故為定值.（2）解：設(shè)點(diǎn)，則，所以，，即點(diǎn)，同理