三角形中的導角模型-平行線+拐點模型（學生版）-2024年中考數(shù)學常見幾何模型全歸納

三角形中的導角模型一平行線+拐點模型

近年來各地中考中常出現(xiàn)一些幾何導角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計算（內(nèi)角和定

理、外角定理等）。平行線+拐點模型在初中數(shù)學幾何模塊中屬于基礎(chǔ)工具類問題，也是學生必須掌握的一塊

內(nèi)容,熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就平行線+拐點模型（豬蹄模型（M型）、

鉛婚頭模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型）進行梳理及對應試題分析，方便掌握。

拐點（平行線）模型的核心是一組平行線與一個點，然后把點與兩條線分別連起來，就構(gòu)成了拐點模型，這個點

叫做拐點，兩條線的夾角叫做拐角。

通用解法:見拐點作平行線；基本思路:和差拆分與等角轉(zhuǎn)化。

模型1：豬蹄模型（M型）

【模城讀】

圖1圖2圖3

如圖1,①已知：AM7/BN,結(jié)論：ZAPB=/A+；②已知：ZAPB=/A+,結(jié)論：4河〃BN.

如圖2,已知：AM〃BN,結(jié)論:乙8+乙4=乙4+乙8+42

如圖3,已知：AM7/BN,結(jié)論：//+/A+…+產(chǎn)ZA+ZB+ZP2+...+

題工（2022.河南洛陽.統(tǒng)考二模）如圖，AB〃CD,4LBAG30°,/CZW=45°,則/87WD的度數(shù)為（）

A.105°B.90°C.75°D,70°

畫2（2023春?安徽蚌埠?九年級校聯(lián)考期中）太陽灶、衛(wèi)星信號接收鍋、探照燈及其他很多燈具都與拋物線有

關(guān).如圖，從點。照射到拋物線上的光線OB,OC反射后沿著與P。平行的方向射出，已知圖中

=46°,/OCD=88°,則/BOC的度數(shù)為（）

@18（2023春泗川瀘州?七年級校考期末）如圖所示，若用含a、0、？的式子表示必應為（）

B.0+7—aC.180°—a—7+6D.180°+^—7

回工（2023?廣東深圳?校聯(lián)考模擬預測）北京冬奧會掀起了滑雪的熱潮，谷愛凌的勵志故事也激勵著我們青少

年，很多同學紛紛來到滑雪場，想親身感受一下奧運健兒在賽場上風馳電掣的感覺,但是第一次走進滑雪

場的你,如果不想體驗人仰馬翻的感覺，學會正確的滑雪姿勢是最重要的,正確的滑雪姿勢是上身挺直略

前傾,與小腿平行,使腳的根部處于微微受力的狀態(tài)，如圖所示，//CD,當人腳與地面的夾角2CDE=

60°時,求出此時上身AB與水平線的夾角/R4F的度數(shù)為（）

A.60°C.50°D.55°

吼包（2023春?河南駐馬店?九年級專題練習）已知AB〃CD,/EAF=±/EAB,4ECF=J/ECD,若ZE

oJ

=66°,則/干為（）

A.23°B.33°C.44°D.46°

吼色（2022.浙江七年級期中）如圖（1）所示是一根木尺折斷后的情形,你可能注意過，木尺折斷后的斷口一般

是參差不齊的，那么請你深入考慮一下其中所包含的一類數(shù)學問題，我們不妨取名叫“木尺斷口問題”.

（1）如圖（2）所示，已知AB〃CD,請問/E有何關(guān)系并說明理由；

（2）如圖（3）所示，已知請問/B,4E,又有何關(guān)系并說明理由；

（3）如圖（4）所示，已知AB〃CD,請問/七+/3與/6+/9+/。有何關(guān)系并說明理由.

⑴

?M

B

BB

圖1圖2圖3

如圖1,①已知：AM//BN,結(jié)論：/I+/2+/3=360°；②已知：/I+/2+/3=360°,結(jié)論：AM//BN.

如圖2,已知:AM//BN,結(jié)論：Zl+Z2+Z3+Z4=540°

如圖3,已知：結(jié)論：Zl+Z2+---+Zn=(n-l)180°.

網(wǎng)］7（2023?廣東?統(tǒng)考二模）如圖所示，已知那么4BAC+4ACE+4CEF=（）

C.360°D.540°

廁8（2023.山西呂梁?校聯(lián)考模擬預測）如圖，這是路政工程車的工作示意圖,工作籃底部與支撐平臺平行.若

/1=32°,/2=62°,則/3的度數(shù)為（）

C.150°D.162°

網(wǎng)］9（2023?河南三門峽?校聯(lián)考一模）如圖，圖1是某小區(qū)車庫門口的“曲臂直桿道閘”，可抽象為圖2所示的數(shù)

MW

學圖形.已知CD垂直地面上的直線DF于點D,當車牌被自動識別后，曲臂直桿道閘的段將繞點C

緩慢向上抬高，AB段則一直保持水平狀態(tài)上升（即始終平行于DF）.在該運動過程中，當乙4BC=

112°時，/BCD的度數(shù)是（）

網(wǎng)］10（2023春?新疆?七年級?？茧A段練習）如圖，如果AB〃CD,那么乙8+/F+/E+乙0=

的11（2022春?河北保定?七年級校考期中）如圖，已知A.B//4C,則/4+/42+/4=,則ZA

+ZA2+—F/4等于（用含n的式子表示）.

模型3:牛角模型

如圖1,已知：AB//DE,結(jié)論：&=6—廠

如圖2,已知：4B〃DE,結(jié)論：&=￡+7-180°.

蒯衛(wèi)（2023?安徽滁州?校聯(lián)考二模）如圖，若AB〃CD,則（）?M

E

A.Z1=Z2+Z3B.Z1+Z3=Z2

C.Z1+Z2+Z3=180°D.Zl-Z2+Z3=180°

網(wǎng)］13（2023?江蘇?七年級假期作業(yè)）如圖，若AB〃CD,則/I+/3—/2的度數(shù)為

題14（2022?湖北洪山?七年級期中）如圖，已知ABIICD,P為直線AB,CD外一點，平分AABP,DE平

分/CDP的反向延長線交。E于點E,若NFED=a，試用a表示ZF為.

卿］15（2023春?廣東深圳?九年級校?？计谥校┮阎本€AB〃CD,點P為直線AB,CD所確定的平面內(nèi)的一

點，（1）問題提出：如圖1,乙4=120°,/C=130°.求N4PC的度數(shù):

（2）問題遷移:如圖2,寫出AAPC,乙4,/。之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由：

（3）問題應用：如圖3,ZEAH:ZHAB=1:3,ZECH=20°,/OCH=60°,求孑含的值.

血］16（2023?余干縣八年級期末）已知直線AB〃CD,（1）如圖1,直接寫出ZBME、NE、/END的數(shù)量關(guān)系

為;（2）如圖2,與/CNE的角平分線所在的直線相交于點P,試探究/P與/E之間的數(shù)

量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）如圖3,NABM=L/MBE,ZCDN=L2NDE,直線MB、ND交干前F,

nn

模型4：羊角模型

\\

._______________*V

EDDE

圖1圖2

如圖1,已知：AB〃DE,結(jié)論：a=7一8

如圖2,已知：4B〃DE,結(jié)論：a+6+7=180°.

廁17（2023春?上海?七年級專題練習）如圖所示，AB〃CD,Z力=37°,/。=20°,則/EAB的度數(shù)為

A------------------B

D

E

網(wǎng)］18二（2022?江蘇七年級期中）如圖所示，已知AB〃CD,=50,°,NC=4E.則/C等于（）

A.20°B.25°C.30°D.40°

網(wǎng)］19（2023春?浙江?七年級專題練習）已知AB〃CD，求證：NB=/E+ND

AB

D

E

回絲（2023?河南?統(tǒng)考三模）如圖，已知4B〃DE,150°,/CDE=75°,則/BCD的度數(shù)為（）

C.45°D.50°

血］21（2023?河北滄州??？寄M預測）如圖,乙4=58°,/。=122°,Z1=3Z2,/2=25°,點P是上一點.

⑴/。FE的度數(shù)為；⑵若ZBFF=50°.則CE與PF（填“平行”或“不平行”）.

模型5：蛇形模型（“5”字模型）

基本模型:如圖，AB〃CD,結(jié)論：/I+/3—/2=180°.

圖1圖2

如圖1,已知：〃。石，結(jié)論：a=￡+180°—廣

如圖2,已知：4B〃DE,結(jié)論：a=7+180°—民?M

的22（2023?四川廣元?統(tǒng)考三模）珠江流域某江段江水流向經(jīng)過B、。三點，拐彎后與原來方向相同，如

圖，若乙43。=120°,乙8。。=80°,則/8石等于（）

A.50°B.40°C.30°D.20°

血］23（2023?湖南長沙?九年級校聯(lián)考期中）如圖，若AB〃CD,/&=65°,/7=25°,則的度數(shù)是（）

Ary--------------------------B

A.115°B.130°C.140°D.150°

血124（2023?河南周口?校聯(lián)考三模）如圖，AB//EF,NB=100°,ACDE=25°,則/.BCD的度數(shù)是（）

B4

L

EDF

A.125°B.75°C.95°D.105°

血］25（2023?陜西西安?校考模擬預測）如圖，4B〃CD,CD力EF,CE平分2BCD,若AABC=58°,則

/CEF的度數(shù)為（）

A----------------

/EF

A.131°B.141°C.151°D.161°

血］26（2023?江西?九年級?？茧A段練習）如圖ABAC=10',,ZACn=125°,CD于點。，將AB繞點A

逆時針旋轉(zhuǎn)&，使AB〃EF,則a的最小值為.

EDF

課后專項訓練

題目1）（2023?山東臨沂?統(tǒng)考二模）如圖，a〃b,/l=45°,則/2的度數(shù)為（）

A.105°B.1251C.1351D.145°

題目團（2023春?安徽?九年級專題練習）如圖，已知：求證：BCV/DE.在證明該結(jié)論

時,需添加輔助線，則以下關(guān)于輔助線的作法不正確的是（）

A.延長交FE的延長線于點G

B.連接BE

C.分別作/BCD,ACDE的平分線CG,DH

D.過點。作CG〃AB（點G在點。左側(cè)）,過點D作DH//EF（點H在點D左側(cè)）

題目①（2023?浙江臺州?統(tǒng)考一模）如圖是路政工程車的工作示意圖，工作籃底部與支撐平臺平行.若/1=

30°,/2=50°,則N3的度數(shù)為（）.

A.130°B.1401C.150°D.160'

題目1（2023?江蘇?八年級假期作業(yè)）如圖，兩直線AB.CD平行測/I+/2+/3+/4+/5+/6=（）.

H

________0_________

CD

A.630°B.720°C.800°D.900°

題目可(2023?遼寧撫順?統(tǒng)考三模)如圖，若AB〃CD〃EF,/1=15°,/2=60°,那么乙BCE=()

A.120°B.125°C.130°D.135°

題目⑤（2022?安徽蕪湖?七年級期中）如圖，AB〃CD,BE,DF分別平分乙ABE和ZCDE,BF〃DE,ZF

與/ABE互補，則/F的度數(shù)為

uE

A.30°B.35°C.36°D.45°

題目可（2023?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?統(tǒng)考三模）如圖是一款手推車的平面示意圖，其中AB〃CD,/1=24°,Z3

=148°,則/2的度數(shù)為（）

題目同（2023春?重慶江津?七年級校聯(lián)考期中）如圖，AB〃CD,=/。?！?2/夙加,設(shè)

/O

/45￡;=3/七=￡,/干=7，則&/，7的數(shù)量關(guān)系是（）

B

DC

A.40—0+7=360°B.30—0+7=360°C.—a—y—360°D.30—2a—7=360°

豆目⑥（2022.江蘇七年級期末）如圖，AB〃CD,則/I+/3—/2的度數(shù)等于

題目?（2023?湖南長沙?校聯(lián)考二模）如圖所示，AB〃DE,/1=130°,/2=36°,則/3=度.

題目兀（2022.四川成都.七年級期末）已知直線4B〃DE,射線BF、DG分別平分乙4BC,/EDC,兩射線

反向延長線交于點H,請寫出/H,/C之間的數(shù)量關(guān)系：.

H

題目電（2022.黑龍江.七年級月考）如圖，是CD上的點，過點E作EF〃DP,若/PEF=

4PEH,EG平分ZDEH,ZB=152°,/PEG=65°,則/BPD=.

［題目亙（2023?浙江?九年級專題練習）如圖，已知AB〃DE,/BCD=30°,/CDE=138°,求/AB。的度

數(shù).

11

A

E

C

題目叵（2023春?重慶南岸?九年級?？计谥校┰跀?shù)學課上老師提出了如下問題：

如圖，匕8=160°,當/A與滿足什么關(guān)系時，BC〃DE1

小明認為/D—/A=20°時BCHDE,他解答這個問題的思路和步驟如下，請根據(jù)小明的思路完成下面的

作圖與填空：

題目亙］（2023春?河北廊坊?七年級?？茧A段練習）⑴如圖⑴AB//CD，猜想ABPD與乙8、乙D的關(guān)系，說

出理由.

（2）觀察圖（2）,已知48〃CD,猜想圖中的ABPD與NB、ND的關(guān)系,并說明理由.

（3）觀察圖⑶和（4）,已知AB〃CD,猜想圖中的ZBPD與的關(guān)系，不需要說明理由.

題目回（2023秋?廣東江門?八年級?？茧A段練習）⑴如圖①，如果AB〃CD,求證：AAPC=+ZC.

（2）如圖②，ABIICD,根據(jù)上面的推理方法，直接寫出乙4+ZP+/Q+.

（3）如圖③，AB//CD,若AABP=x,Z.BPQ=y,Z.PQC=z,Z.QCD=m,］J!|m=（用2、y、z表

示）.

\-----------B/

\cP\A--------yB

P$Q

CL-------D

圖①圖②圖③

：題目〔17］（2023春?山東淄博?九年級?？计谥校┤鐖D，AB〃CD,點H為兩直線之間的一點.

圖I圖2圖

⑴如圖1,若NBAE=30°,ADCE=20°,則2AEC=；

如圖1,若=ZDCE=6,則；

⑵如圖2,試說明，/BAE+/ABC+/ECD=360°；（3）如圖3,若/R4E的平分線與/DCE的平分線相

交于點F，判斷/力EC與/AFC的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

題目（2022?湖南株洲市八年級期末）已知直線a〃6,直線EF分別與直線a,b相交于點E,F,點A,B分

別在直線a,b上，且在直線EF的左側(cè),點P是直線EF上一動點（不與點H,F重合），設(shè)4PAE=Z1,

NAPB=N2,NPBF=43.

（1）如圖1,當點P在線段EF上運動時,試說明/I+/3=/2；（提示:過點P作PM//a）

（2）當點P在線段EF外運動時有兩種情況，①如圖2寫出/I,/2,23之間的關(guān)系并給出證明.

②如圖3所示，猜想/I,Z2,23之間的關(guān)系（不要求證明）.

題目叵（2023?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?七年級?？计谥校﹩栴}探究：

如下面四個圖形中，AB//CD.

（1）分別說出圖1、圖2、圖3、圖4中，/I與/2、/3三者之間的關(guān)系.

解決問題：

（3）如圖5所示的是一探照燈燈碗的縱剖面,從位于。點的燈泡發(fā)出兩束光線OB、0c經(jīng)燈碗反射后平行

射出.如果/ABO=57°,ADCO=44°，那么ABOC=°.

題目20（2023春?湖北黃岡?七年級?？计谥校┤鐖D，已知：點4不在同一條直線，AD//BE

（1）求證：ZB+ZC-ZA=180°：

（2）如圖②，AQ,BQ分別為ADAC./EBC的平分線所在直線,試探究與乙4QB的數(shù)量關(guān)系；

（3）如圖③，在（2）的前提下,且有AC〃QB,直線AQ、BC交于點P,QP，PB,直接寫出/.DAC-.

AACB-.4cBE=.

題目區(qū)〕（2023春?廣東?七年級專題練習）⑴如圖L4B〃CD,/ABE=45°,/CDE=21°,直接寫出

NBED的度數(shù).（2）如圖2,4B〃CD,點E為直線4B,CD間的一點，BF平分/ABE,OF平分ZCDE,

寫出ABED與/F之間的關(guān)系并說明理由.（3）如