三角形中的導(dǎo)角模型-平行線+拐點(diǎn)模型（學(xué)生版）-2024年中考數(shù)學(xué)常見(jiàn)幾何模型全歸納

三角形中的導(dǎo)角模型一平行線+拐點(diǎn)模型

近年來(lái)各地中考中常出現(xiàn)一些幾何導(dǎo)角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計(jì)算（內(nèi)角和定

理、外角定理等）。平行線+拐點(diǎn)模型在初中數(shù)學(xué)幾何模塊中屬于基礎(chǔ)工具類(lèi)問(wèn)題，也是學(xué)生必須掌握的一塊

內(nèi)容,熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專(zhuān)題就平行線+拐點(diǎn)模型（豬蹄模型（M型）、

鉛婚頭模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。

拐點(diǎn)（平行線）模型的核心是一組平行線與一個(gè)點(diǎn)，然后把點(diǎn)與兩條線分別連起來(lái)，就構(gòu)成了拐點(diǎn)模型，這個(gè)點(diǎn)

叫做拐點(diǎn)，兩條線的夾角叫做拐角。

通用解法:見(jiàn)拐點(diǎn)作平行線；基本思路:和差拆分與等角轉(zhuǎn)化。

模型1：豬蹄模型（M型）

【模城讀】

圖1圖2圖3

如圖1,①已知：AM7/BN,結(jié)論：ZAPB=/A+；②已知：ZAPB=/A+,結(jié)論：4河〃BN.

如圖2,已知：AM〃BN,結(jié)論:乙8+乙4=乙4+乙8+42

如圖3,已知：AM7/BN,結(jié)論：//+/A+…+產(chǎn)ZA+ZB+ZP2+...+

題工（2022.河南洛陽(yáng).統(tǒng)考二模）如圖，AB〃CD,4LBAG30°,/CZW=45°,則/87WD的度數(shù)為（）

A.105°B.90°C.75°D,70°

畫(huà)2（2023春?安徽蚌埠?九年級(jí)校聯(lián)考期中）太陽(yáng)灶、衛(wèi)星信號(hào)接收鍋、探照燈及其他很多燈具都與拋物線有

關(guān).如圖，從點(diǎn)。照射到拋物線上的光線OB,OC反射后沿著與P。平行的方向射出，已知圖中

=46°,/OCD=88°,則/BOC的度數(shù)為（）

@18（2023春泗川瀘州?七年級(jí)?？计谀┤鐖D所示，若用含a、0、？的式子表示必應(yīng)為（）

B.0+7—aC.180°—a—7+6D.180°+^—7

回工（2023?廣東深圳?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）北京冬奧會(huì)掀起了滑雪的熱潮，谷愛(ài)凌的勵(lì)志故事也激勵(lì)著我們青少

年，很多同學(xué)紛紛來(lái)到滑雪場(chǎng)，想親身感受一下奧運(yùn)健兒在賽場(chǎng)上風(fēng)馳電掣的感覺(jué),但是第一次走進(jìn)滑雪

場(chǎng)的你,如果不想體驗(yàn)人仰馬翻的感覺(jué)，學(xué)會(huì)正確的滑雪姿勢(shì)是最重要的,正確的滑雪姿勢(shì)是上身挺直略

前傾,與小腿平行,使腳的根部處于微微受力的狀態(tài)，如圖所示，//CD,當(dāng)人腳與地面的夾角2CDE=

60°時(shí),求出此時(shí)上身AB與水平線的夾角/R4F的度數(shù)為（）

A.60°C.50°D.55°

吼包（2023春?河南駐馬店?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知AB〃CD,/EAF=±/EAB,4ECF=J/ECD,若ZE

oJ

=66°,則/干為（）

A.23°B.33°C.44°D.46°

吼色（2022.浙江七年級(jí)期中）如圖（1）所示是一根木尺折斷后的情形,你可能注意過(guò)，木尺折斷后的斷口一般

是參差不齊的，那么請(qǐng)你深入考慮一下其中所包含的一類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們不妨取名叫“木尺斷口問(wèn)題”.

（1）如圖（2）所示，已知AB〃CD,請(qǐng)問(wèn)/E有何關(guān)系并說(shuō)明理由；

（2）如圖（3）所示，已知請(qǐng)問(wèn)/B,4E,又有何關(guān)系并說(shuō)明理由；

（3）如圖（4）所示，已知AB〃CD,請(qǐng)問(wèn)/七+/3與/6+/9+/。有何關(guān)系并說(shuō)明理由.

⑴

?M

B

BB

圖1圖2圖3

如圖1,①已知：AM//BN,結(jié)論：/I+/2+/3=360°；②已知：/I+/2+/3=360°,結(jié)論：AM//BN.

如圖2,已知:AM//BN,結(jié)論：Zl+Z2+Z3+Z4=540°

如圖3,已知：結(jié)論：Zl+Z2+---+Zn=(n-l)180°.

網(wǎng)］7（2023?廣東?統(tǒng)考二模）如圖所示，已知那么4BAC+4ACE+4CEF=（）

C.360°D.540°

廁8（2023.山西呂梁?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，這是路政工程車(chē)的工作示意圖,工作籃底部與支撐平臺(tái)平行.若

/1=32°,/2=62°,則/3的度數(shù)為（）

C.150°D.162°

網(wǎng)］9（2023?河南三門(mén)峽?校聯(lián)考一模）如圖，圖1是某小區(qū)車(chē)庫(kù)門(mén)口的“曲臂直桿道閘”，可抽象為圖2所示的數(shù)

MW

學(xué)圖形.已知CD垂直地面上的直線DF于點(diǎn)D,當(dāng)車(chē)牌被自動(dòng)識(shí)別后，曲臂直桿道閘的段將繞點(diǎn)C

緩慢向上抬高，AB段則一直保持水平狀態(tài)上升（即始終平行于DF）.在該運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)乙4BC=

112°時(shí)，/BCD的度數(shù)是（）

網(wǎng)］10（2023春?新疆?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，如果AB〃CD,那么乙8+/F+/E+乙0=

的11（2022春?河北保定?七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知A.B//4C,則/4+/42+/4=,則ZA

+ZA2+—F/4等于（用含n的式子表示）.

模型3:牛角模型

如圖1,已知：AB//DE,結(jié)論：&=6—廠

如圖2,已知：4B〃DE,結(jié)論：&=￡+7-180°.

蒯衛(wèi)（2023?安徽滁州?校聯(lián)考二模）如圖，若AB〃CD,則（）?M

E

A.Z1=Z2+Z3B.Z1+Z3=Z2

C.Z1+Z2+Z3=180°D.Zl-Z2+Z3=180°

網(wǎng)］13（2023?江蘇?七年級(jí)假期作業(yè)）如圖，若AB〃CD,則/I+/3—/2的度數(shù)為

題14（2022?湖北洪山?七年級(jí)期中）如圖，已知ABIICD,P為直線AB,CD外一點(diǎn)，平分AABP,DE平

分/CDP的反向延長(zhǎng)線交。E于點(diǎn)E,若NFED=a，試用a表示ZF為.

卿］15（2023春?廣東深圳?九年級(jí)校?？计谥校┮阎本€AB〃CD,點(diǎn)P為直線AB,CD所確定的平面內(nèi)的一

點(diǎn)，（1）問(wèn)題提出：如圖1,乙4=120°,/C=130°.求N4PC的度數(shù):

（2）問(wèn)題遷移:如圖2,寫(xiě)出AAPC,乙4,/。之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由：

（3）問(wèn)題應(yīng)用：如圖3,ZEAH:ZHAB=1:3,ZECH=20°,/OCH=60°,求孑含的值.

血］16（2023?余干縣八年級(jí)期末）已知直線AB〃CD,（1）如圖1,直接寫(xiě)出ZBME、NE、/END的數(shù)量關(guān)系

為;（2）如圖2,與/CNE的角平分線所在的直線相交于點(diǎn)P,試探究/P與/E之間的數(shù)

量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）如圖3,NABM=L/MBE,ZCDN=L2NDE,直線MB、ND交干前F,

nn

模型4：羊角模型

\\

._______________*V

EDDE

圖1圖2

如圖1,已知：AB〃DE,結(jié)論：a=7一8

如圖2,已知：4B〃DE,結(jié)論：a+6+7=180°.

廁17（2023春?上海?七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，AB〃CD,Z力=37°,/。=20°,則/EAB的度數(shù)為

A------------------B

D

E

網(wǎng)］18二（2022?江蘇七年級(jí)期中）如圖所示，已知AB〃CD,=50,°,NC=4E.則/C等于（）

A.20°B.25°C.30°D.40°

網(wǎng)］19（2023春?浙江?七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知AB〃CD，求證：NB=/E+ND

AB

D

E

回絲（2023?河南?統(tǒng)考三模）如圖，已知4B〃DE,150°,/CDE=75°,則/BCD的度數(shù)為（）

C.45°D.50°

血］21（2023?河北滄州?校考模擬預(yù)測(cè)）如圖,乙4=58°,/。=122°,Z1=3Z2,/2=25°,點(diǎn)P是上一點(diǎn).

⑴/。FE的度數(shù)為；⑵若ZBFF=50°.則CE與PF（填“平行”或“不平行”）.

模型5：蛇形模型（“5”字模型）

基本模型:如圖，AB〃CD,結(jié)論：/I+/3—/2=180°.

圖1圖2

如圖1,已知：〃。石，結(jié)論：a=￡+180°—廣

如圖2,已知：4B〃DE,結(jié)論：a=7+180°—民?M

的22（2023?四川廣元?統(tǒng)考三模）珠江流域某江段江水流向經(jīng)過(guò)B、。三點(diǎn)，拐彎后與原來(lái)方向相同，如

圖，若乙43。=120°,乙8。。=80°,則/8石等于（）

A.50°B.40°C.30°D.20°

血］23（2023?湖南長(zhǎng)沙?九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，若AB〃CD,/&=65°,/7=25°,則的度數(shù)是（）

Ary--------------------------B

A.115°B.130°C.140°D.150°

血124（2023?河南周口?校聯(lián)考三模）如圖，AB//EF,NB=100°,ACDE=25°,則/.BCD的度數(shù)是（）

B4

L

EDF

A.125°B.75°C.95°D.105°

血］25（2023?陜西西安??？寄M預(yù)測(cè)）如圖，4B〃CD,CD力EF,CE平分2BCD,若AABC=58°,則

/CEF的度數(shù)為（）

A----------------

/EF

A.131°B.141°C.151°D.161°

血］26（2023?江西?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖ABAC=10',,ZACn=125°,CD于點(diǎn)。，將AB繞點(diǎn)A

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)&，使AB〃EF,則a的最小值為.

EDF

課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練

題目1）（2023?山東臨沂?統(tǒng)考二模）如圖，a〃b,/l=45°,則/2的度數(shù)為（）

A.105°B.1251C.1351D.145°

題目團(tuán)（2023春?安徽?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知：求證：BCV/DE.在證明該結(jié)論

時(shí),需添加輔助線，則以下關(guān)于輔助線的作法不正確的是（）

A.延長(zhǎng)交FE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G

B.連接BE

C.分別作/BCD,ACDE的平分線CG,DH

D.過(guò)點(diǎn)。作CG〃AB（點(diǎn)G在點(diǎn)。左側(cè)）,過(guò)點(diǎn)D作DH//EF（點(diǎn)H在點(diǎn)D左側(cè)）

題目①（2023?浙江臺(tái)州?統(tǒng)考一模）如圖是路政工程車(chē)的工作示意圖，工作籃底部與支撐平臺(tái)平行.若/1=

30°,/2=50°,則N3的度數(shù)為（）.

A.130°B.1401C.150°D.160'

題目1（2023?江蘇?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，兩直線AB.CD平行測(cè)/I+/2+/3+/4+/5+/6=（）.

H

________0_________

CD

A.630°B.720°C.800°D.900°

題目可(2023?遼寧撫順?統(tǒng)考三模)如圖，若AB〃CD〃EF,/1=15°,/2=60°,那么乙BCE=()

A.120°B.125°C.130°D.135°

題目⑤（2022?安徽蕪湖?七年級(jí)期中）如圖，AB〃CD,BE,DF分別平分乙ABE和ZCDE,BF〃DE,ZF

與/ABE互補(bǔ)，則/F的度數(shù)為

uE

A.30°B.35°C.36°D.45°

題目可（2023?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?統(tǒng)考三模）如圖是一款手推車(chē)的平面示意圖，其中AB〃CD,/1=24°,Z3

=148°,則/2的度數(shù)為（）

題目同（2023春?重慶江津?七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，AB〃CD,=/。?！?2/夙加,設(shè)

/O

/45￡;=3/七=￡,/干=7，則&/，7的數(shù)量關(guān)系是（）

B

DC

A.40—0+7=360°B.30—0+7=360°C.—a—y—360°D.30—2a—7=360°

豆目⑥（2022.江蘇七年級(jí)期末）如圖，AB〃CD,則/I+/3—/2的度數(shù)等于

題目?（2023?湖南長(zhǎng)沙?校聯(lián)考二模）如圖所示，AB〃DE,/1=130°,/2=36°,則/3=度.

題目兀（2022.四川成都.七年級(jí)期末）已知直線4B〃DE,射線BF、DG分別平分乙4BC,/EDC,兩射線

反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H,請(qǐng)寫(xiě)出/H,/C之間的數(shù)量關(guān)系：.

H

題目電（2022.黑龍江.七年級(jí)月考）如圖，是CD上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF〃DP,若/PEF=

4PEH,EG平分ZDEH,ZB=152°,/PEG=65°,則/BPD=.

［題目亙（2023?浙江?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知AB〃DE,/BCD=30°,/CDE=138°,求/AB。的度

數(shù).

11

A

E

C

題目叵（2023春?重慶南岸?九年級(jí)?？计谥校┰跀?shù)學(xué)課上老師提出了如下問(wèn)題：

如圖，匕8=160°,當(dāng)/A與滿足什么關(guān)系時(shí)，BC〃DE1

小明認(rèn)為/D—/A=20°時(shí)BCHDE,他解答這個(gè)問(wèn)題的思路和步驟如下，請(qǐng)根據(jù)小明的思路完成下面的

作圖與填空：

題目亙］（2023春?河北廊坊?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）⑴如圖⑴AB//CD，猜想ABPD與乙8、乙D的關(guān)系，說(shuō)

出理由.

（2）觀察圖（2）,已知48〃CD,猜想圖中的ABPD與NB、ND的關(guān)系,并說(shuō)明理由.

（3）觀察圖⑶和（4）,已知AB〃CD,猜想圖中的ZBPD與的關(guān)系，不需要說(shuō)明理由.

題目回（2023秋?廣東江門(mén)?八年級(jí)校考階段練習(xí)）⑴如圖①，如果AB〃CD,求證：AAPC=+ZC.

（2）如圖②，ABIICD,根據(jù)上面的推理方法，直接寫(xiě)出乙4+ZP+/Q+.

（3）如圖③，AB//CD,若AABP=x,Z.BPQ=y,Z.PQC=z,Z.QCD=m,］J!|m=（用2、y、z表

示）.

\-----------B/

\cP\A--------yB

P$Q

CL-------D

圖①圖②圖③

：題目〔17］（2023春?山東淄博?九年級(jí)校考期中）如圖，AB〃CD,點(diǎn)H為兩直線之間的一點(diǎn).

圖I圖2圖

⑴如圖1,若NBAE=30°,ADCE=20°,則2AEC=；

如圖1,若=ZDCE=6,則；

⑵如圖2,試說(shuō)明，/BAE+/ABC+/ECD=360°；（3）如圖3,若/R4E的平分線與/DCE的平分線相

交于點(diǎn)F，判斷/力EC與/AFC的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.

題目（2022?湖南株洲市八年級(jí)期末）已知直線a〃6,直線EF分別與直線a,b相交于點(diǎn)E,F,點(diǎn)A,B分

別在直線a,b上，且在直線EF的左側(cè),點(diǎn)P是直線EF上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)H,F重合），設(shè)4PAE=Z1,

NAPB=N2,NPBF=43.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動(dòng)時(shí),試說(shuō)明/I+/3=/2；（提示:過(guò)點(diǎn)P作PM//a）

（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段EF外運(yùn)動(dòng)時(shí)有兩種情況，①如圖2寫(xiě)出/I,/2,23之間的關(guān)系并給出證明.

②如圖3所示，猜想/I,Z2,23之間的關(guān)系（不要求證明）.

題目叵（2023?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?七年級(jí)校考期中）問(wèn)題探究：

如下面四個(gè)圖形中，AB//CD.

（1）分別說(shuō)出圖1、圖2、圖3、圖4中，/I與/2、/3三者之間的關(guān)系.

解決問(wèn)題：

（3）如圖5所示的是一探照燈燈碗的縱剖面,從位于。點(diǎn)的燈泡發(fā)出兩束光線OB、0c經(jīng)燈碗反射后平行

射出.如果/ABO=57°,ADCO=44°，那么ABOC=°.

題目20（2023春?湖北黃岡?七年級(jí)校考期中）如圖，已知：點(diǎn)4不在同一條直線，AD//BE

（1）求證：ZB+ZC-ZA=180°：

（2）如圖②，AQ,BQ分別為ADAC./EBC的平分線所在直線,試探究與乙4QB的數(shù)量關(guān)系；

（3）如圖③，在（2）的前提下,且有AC〃QB,直線AQ、BC交于點(diǎn)P,QP，PB,直接寫(xiě)出/.DAC-.

AACB-.4cBE=.

題目區(qū)〕（2023春?廣東?七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）⑴如圖L4B〃CD,/ABE=45°,/CDE=21°,直接寫(xiě)出

NBED的度數(shù).（2）如圖2,4B〃CD,點(diǎn)E為直線4B,CD間的一點(diǎn)，BF平分/ABE,OF平分ZCDE,

寫(xiě)出ABED與/F之間的關(guān)系并說(shuō)明理由.（3）如