《探索三角形全等的條件（第2課時(shí)）》示范公開(kāi)課教學(xué)設(shè)計(jì)【北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)】

第四章三角形4.3探索三角形全等的條件第2課時(shí)一、教學(xué)目標(biāo)1.探索三角形全等條件的方法；2.掌握判定三角形全等的方法，并能進(jìn)行推理和判斷．二、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)重點(diǎn)：三角形全等的條件ASA，AAS探索．難點(diǎn)：利用ASA，AAS進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理和判斷．三、教學(xué)準(zhǔn)備多媒體課件四、相關(guān)資源相關(guān)圖片，微課，動(dòng)畫五、教學(xué)過(guò)程【問(wèn)題情境】如圖所示，某同學(xué)把一塊三角形的玻璃不小心打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是帶哪塊去？學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生先自主探究出答案，然后再與同學(xué)進(jìn)行交流．教師點(diǎn)撥：顯然僅僅帶①或②是無(wú)法配成完全一樣的玻璃的，而僅僅帶③則可以，為什么呢？本節(jié)課我們繼續(xù)研究三角形全等的判定方法．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題情境提出確定三角形的問(wèn)題，明確探究方向，激發(fā)探究欲望．【探究新知】探究一：利用“角邊角”證明三角形全等1．先任意畫出一個(gè)△ABC，再畫一個(gè)△A′B′C′，使A′B′＝AB，∠A′＝∠A，∠B′＝∠B（即保證兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等）．把畫好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它們?nèi)葐幔繉W(xué)生活動(dòng)：（1）學(xué)生自己動(dòng)手，利用直尺、三角尺、量角器等工具畫出△ABC與△A′B′C′，將△A′B′C′剪下，與△ABC重疊，比較結(jié)果．（2）作好圖形后，與同伴交流作圖心得，討論發(fā)現(xiàn)什么樣的規(guī)律．教師活動(dòng)：在學(xué)生作完圖后，由一個(gè)學(xué)生口述作圖方法，教師進(jìn)行動(dòng)畫演示，再次體會(huì)探究全等三角形條件的過(guò)程．操作結(jié)果展示：畫一個(gè)△A′B′C′，使A′B′＝AB，∠A′＝∠A，∠B′＝∠B．（1）畫A′B′＝AB；（2）在A′B′的同旁畫∠DA′B′＝∠A，∠EB′A′＝∠B，A′D，B′E相交于點(diǎn)C′．將△A′B′C′剪下，發(fā)現(xiàn)△ABC與△A′B′C′全等．由此得出判定方法：兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）．2.幾何語(yǔ)言表示：如圖，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（ASA）．設(shè)計(jì)意圖：類比“邊邊邊”和“邊角邊”探究得出“角邊角”的兩個(gè)三角形全等的判定方法，學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作、自主探究、交流、獲得新知，進(jìn)一步增強(qiáng)了動(dòng)手能力，滲透類比思想．探究二：利用“角角邊”證明三角形全等在兩個(gè)三角形中，是不是只要有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，一條邊對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)三角形就全等呢？下面，我們來(lái)看一個(gè)問(wèn)題：1.如圖，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF．求證：△ABC≌△DEF．證明：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠C＝180°－∠A－∠B．同理∠F＝180°－∠D－∠E．又∠A＝∠D，∠B＝∠E，∴∠C＝∠F．在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（ASA）．由此得出：兩角和其中一角的對(duì)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”）．2.幾何語(yǔ)言表示：如圖，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（AAS）．設(shè)計(jì)意圖：用“角邊角”證明滿足兩角和其中一角的對(duì)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等的正確性，得出“角角邊”的判定方法．【典型例題】例1．如圖，AD∥BC，BE∥DF，AE＝CF，試說(shuō)明：△ADF≌△CBE．分析：根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠A＝∠C，∠DFE＝∠BEC，再根據(jù)等式的性質(zhì)可得AF＝CE，然后利用“ASA”可得到△ADF≌△CBE．解：∵AD∥BC，BE∥DF，∴∠A＝∠C，∠DFE＝∠BEC．∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE．在△ADF和△CBE中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠C，,AF＝CE，,∠DFA＝∠BEC，))∴△ADF≌△CBE(ASA)．設(shè)計(jì)意圖：在“ASA”中，包含“邊”和“角”兩種元素，是兩角夾一邊而不是兩角及一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，應(yīng)用時(shí)要注意區(qū)分；在“ASA”中，“邊”必須是“兩角的夾邊”．例2．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE⊥AC于E．AD與BE交于F，若BF＝AC，試說(shuō)明：△ADC≌△BDF．分析：先說(shuō)明∠ADC＝∠BDF，∠DAC＝∠DBF，再由BF＝AC，根據(jù)“AAS”即可得出兩三角形全等．解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠BDF＝∠BEA＝90°．∵∠AFE＝∠BFD，∠DAC＋∠AEF＋∠AFE＝180°，∠BDF＋∠BFD＋∠DBF＝180°，∴∠DAC＝∠DBF．在△ADC和△BDF中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DAC＝∠DBF，,∠ADC＝∠BDF，,AC＝BF，))∴△ADC≌△BDF(AAS)．設(shè)計(jì)意圖：鞏固學(xué)生對(duì)全等三角形判定中“AAS”的理解與應(yīng)用，在證明過(guò)程中要注意條件的把握，明確對(duì)應(yīng)性．例3．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D，E．試說(shuō)明：(1)△BDA≌△AEC；(2)DE＝BD＋CE．分析：(1)由垂直的關(guān)系可以得到一對(duì)直角相等，利用“同角的余角相等”得到一組對(duì)應(yīng)角相等，再由AB＝AC，利用“AAS”即可得出結(jié)論；(2)由△BDA≌△AEC，可得BD＝AE，AD＝CE，根據(jù)DE＝DA＋AE等量代換即可得出結(jié)論．解：(1)∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°．∵AB⊥AC，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE．在△BDA和△AEC中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ADB＝∠CEA＝90°，,∠ABD＝∠CAE，,AB＝AC，))∴△BDA≌△AEC(AAS)；(2)∵△BDA≌△AEC，∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE．設(shè)計(jì)意圖：利用全等三角形可以解決線段之間的關(guān)系，比如線段的相等關(guān)系、和差關(guān)系等，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行線段之間的轉(zhuǎn)化．【課堂練習(xí)】1．（1）下列結(jié)論中，正確的是（）CA．有兩條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等B．有一個(gè)角和兩條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等C．有兩個(gè)角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等D．任意兩個(gè)直角三角形全等（2）已知△ABC和△A1B1C1中，∠A＝∠A1，AB＝A1B1，再補(bǔ)充下列哪個(gè)條件可以根據(jù)“ASA”判斷△ABC和△A1B1C1全等（）AA．∠B＝∠B1B．∠C＝∠C1C．AC＝A1C1D．以上均不對(duì)2.（1）在△ABC和△DEF中，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF，則△ABC≌△DEF，根據(jù)是_______．AAS（2）如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分別過(guò)點(diǎn)B，C作過(guò)點(diǎn)A的直線的垂線BD，CE，垂足分別為D，E，若BD＝3，CE＝2，則DE＝．5設(shè)計(jì)意圖：考查運(yùn)用全等三角形的判定方法和全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行推理計(jì)算的能力．2．解決課前導(dǎo)入的問(wèn)題：一張教學(xué)用的三角形硬紙板不小心被撕壞了，如下圖，你能制作一張與原來(lái)同樣大小的新教具嗎？能恢復(fù)原來(lái)三角形的原貌嗎？解：被撕壞的這塊三角形硬紙板保留了原三角形硬紙板的兩角及其夾邊，新制作的三角形硬紙板的兩角及其夾邊和被撕壞的這塊三角形硬紙板對(duì)應(yīng)相等，新制作的三角形硬紙板和原三角形硬紙板滿足“角邊角”，自然就同樣大小了，所以能恢復(fù)原來(lái)三角形的原貌．設(shè)計(jì)意圖：運(yùn)用“角邊角”和“角角邊”的判定方法證明兩個(gè)三角形全等，體會(huì)全等三角形判定方法的多樣性，鍛煉學(xué)生挖掘題目中隱含條件的能力．3.如圖，已知AD∥BC，AD=BC，AE⊥BD，垂足為E，CF⊥BD，垂足為F．（1）寫出圖中所有全等的三角形；（2）選擇（1）中的任意一對(duì)進(jìn)行證明．AABCDEF解：圖中全等的三角形共有3對(duì)，分別是：①△ADE≌△CBF；②△ABE≌△CDF；③△ADB≌△CBD．（2）選擇①進(jìn)行證明．證明：∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBF．∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED＝∠CFB=90°．又∵AD＝BC，∴△ADE≌△CBF（AAS）．4.如圖，在△ABC中，AD＝BD，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD與BE相交于點(diǎn)H，則BH與AC相等嗎？為什么？解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∴∠CAD＋∠C＝90°．∵BE⊥AC，∴∠BEC＝90°．∴∠CBE＋∠C＝90°．∴∠CBE＝∠CAD．在△BDH和△ADC中，∴△BDH≌△ADC（ASA）．∴BH＝AC．設(shè)計(jì)意圖：考查運(yùn)用全等三角形的判定方法和全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行推理論證的能力．5．如圖，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，BE和CD相交于點(diǎn)O，AB＝AC，∠B＝∠C．求證：BO＝CO．證明：在△ACD和△ABE中，∴△ACD≌△ABE（ASA）．∴AD＝AE．∵AB＝AC，∴AB－AD＝AC－AE．即BD＝CE．在△BOD和△COE中，∴△BOD≌△COE（AAS）．∴BO＝CO．設(shè)計(jì)意圖：充分利用題目中的條件證明三角形全等，提高觀察圖形，分析問(wèn)題的能力.【課堂小結(jié)】1．兩角及其夾