2024年中考數(shù)學沖刺挑戰(zhàn)壓軸題專題匯編05挑戰(zhàn)壓軸題(解答題三)(安徽卷)(原卷版+解析)

2022年中考數(shù)學沖刺挑戰(zhàn)壓軸題專題匯編（安徽考卷）05挑戰(zhàn)壓軸題（解答題三）1．（2023·安徽宣城）如圖1，在四邊形ABCD中，，點E在邊BC上，且，，作交線段AE于點F，連接BF．（1）求證：；（2）如圖2，若，，，求BE的長；（3）如圖3，若BF的延長線經(jīng)過AD的中點M，求的值．2．（安徽省2020年中考數(shù)學試題）如圖1．已知四邊形是矩形．點在的延長線上．與相交于點，與相交于點求證：；若，求的長；如圖2，連接，求證：．3．（安徽省2019年中考數(shù)學試題）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P為△ABC內(nèi)部一點，且∠APB=∠BPC=135°（1）求證：△PAB∽△PBC（2）求證：PA=2PC（3）若點P到三角形的邊AB，BC，CA的距離分別為h1，h2，h3，求證h12=h2·h34．（安徽省2018年中考數(shù)學試題）如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D為邊AC上一點，DE⊥AB于點E，點M為BD中點，CM的延長線交AB于點F（1）求證：CM=EM；（2）若∠BAC=50°，求∠EMF的大?。唬?）如圖2，若△DAE≌△CEM，點N為CM的中點，求證：AN∥EM5．（2023·安徽）已知正方形，點為邊的中點.（1）如圖1，點為線段上的一點，且，延長，分別與邊，交于點，.①求證：；②求證：.（2）如圖2，在邊上取一點，滿足，連接交于點，連接延長交于點，求的值.1．（2023·江西南昌·九年級期末）已知正方形ABCD與正方形AEFG，正方形AEFG繞點A旋轉(zhuǎn)一周．(1)如圖1，連接BG、CF，①求的值；②求∠BHC的度數(shù)．(2)當正方形AEFG旋轉(zhuǎn)至圖2位置時，連接CF、BE，分別取CF、BE的中點M、N，連接MN，猜想MN與BE的數(shù)量關系與位置關系，并說明理由．2．（2023·遼寧大連·八年級期末）△ABC是等邊三角形，點D、E分別在邊AC、BC上，且AD＝CE，連接AE、BD交于點F．(1)如圖1，求∠BFE的度數(shù)；(2)如圖2，連接CF，當CF⊥BD時，求的值；(3)如圖3，點P在線段AE上，連接CP，且CP＝AF，在圖中找出與線段AP相等的線段，并證明．3．（2023·重慶南開中學八年級開學考試）在平行四邊形ABCD中，連接BD，若BD⊥CD，點E為邊AD上一點，連接CE．(1)如圖1，點G在BD上，且DG＝DC，連接CG，過G作GH⊥CE于點H，連接DH并延長交AB于點M，若HG＝BM，求證：BM+DH＝DB；(2)如圖2，∠ABC＝120°，AB＝，點N在BC邊上，BC＝4CN，若CE是∠DCB的角平分線，線段PQ（點P在點Q的左側(cè)）在線段CE上運動，PQ＝，連接BP、NQ，請直接寫出BP+PQ+QN的最小值．4．（2023·江蘇·無錫市東林中學八年級期末）在平面直角坐標系中，已知點A（4，0），點B（0，3）．點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度向右平移，點Q從點B出發(fā)，以每秒2個單位的速度向右平移，又P、Q兩點同時出發(fā)．(1)連接AQ，當△ABQ是直角三角形時，則點Q的坐標為；(2)當P、Q運動到某個位置時，如果沿著直線AQ翻折，點P恰好落在線段AB上，求這時∠AQP的度數(shù)；(3)若將AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使得P落在線段BQ上，記作P'，且AP'∥PQ，求此時直線PQ的解析式．5．（2023·江西贛州·九年級期末）在中，，，點E在射線CB上運動．連接AE，將線段AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°得到EF，連接CF．(1)如圖1，點E在點B的左側(cè)運動．①當，時，則___________°；②猜想線段CA，CF與CE之間的數(shù)量關系為____________．(2)如圖2，點E在線段CB上運動時，第（1）問中線段CA，CF與CE之間的數(shù)量關系是否仍然成立？如果成立，請說明理由；如果不成立，請求出它們之間新的數(shù)量關系．1．（2023·河南信陽·一模）如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)a得到△ADE，連接BD，EC，BD的延長線交EC的延長線于點F．(1)【問題發(fā)現(xiàn)】如圖①，當α＝60°時，線段BF與EF的數(shù)量關系是______，∠BFE＝______；(2)【類比探究】當△ABC旋轉(zhuǎn)到如圖②所示的位置時，請判斷線段BF與EF的數(shù)量關系及∠BFE的度數(shù)，并說明理由；(3)【問題解決】當AE∥BC時，請直接寫出線段BF的長．2．（2023·河南省實驗中學模擬預測）實踐操作：第一步：如圖1，將矩形紙片沿過點的直線折疊，使點落在上的點處，得到折痕．第二步：如圖2，將圖1中的圖形沿過點的直線折疊，點恰好落在上的點處，為折痕，延長交直線于點．問題解決：(1)如圖1，填空：三角形的形狀是；(2)如圖2，若，，求的長．提升反思：愛動腦筋的小敏同學用不同形狀的矩形紙片，按照題中第一步、第二步的方法折疊并延長，發(fā)現(xiàn)有些點不在線段上．若要使點落在線段上（不含端點），請直接寫出的取值范圍．3．（2023·重慶巫溪·八年級期末）如圖，是等腰三角形，，點D在直線上運動，點E為線段上一定點，連接，作，使，，連接．(1)如圖1，在上取點G，使，求證：；(2)如圖2，當點D在線段上，點F位于直線的上方時，求證：；(3)如圖3，當點D運動到線段的延長線上時，求證：為定值．4．（2023·黑龍江·哈爾濱市第四十七中學八年級開學考試）已知中，，，點G為線段BC上一點，連接AG，過點B作，交AG的延長線于點D，連接CD．(1)如圖1，求證：．(2)如圖2，當時，將沿AD翻折得到，點C與點E為對應點，DE與AB交于點F，求證：．(3)如圖3，在（2）的條件下，連接CF交AD于H，過點H作于M，若求AF的長．5．（2023·吉林·長春外國語學校九年級開學考試）【感知】已知四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°．求證：A、B、C、D四點在同一個圓上．李明同學認為：連結(jié)BD，取BD的中點O，連結(jié)OA、OC來證明，請你按照李明的思路完成證明．【拓展】如圖，在正方形ABCD中，AB=8，點F是AD中點，點E是邊AB上一點，F(xiàn)P⊥CE于點P．（1）如圖②，當點P在線段BD上時，PC=_______；（2）如圖③，過點P分別作AB、BC的垂線，垂足分別為N、M，則MN的最小值為______．2022年中考數(shù)學沖刺挑戰(zhàn)壓軸題專題匯編（安徽考卷）05挑戰(zhàn)壓軸題（解答題三）1．（2023·安徽宣城）如圖1，在四邊形ABCD中，，點E在邊BC上，且，，作交線段AE于點F，連接BF．（1）求證：；（2）如圖2，若，，，求BE的長；（3）如圖3，若BF的延長線經(jīng)過AD的中點M，求的值．【答案】（1）見解析；（2）6；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)及已知條件易證，，即可得，；再證四邊形AFCD是平行四邊形即可得，所以，根據(jù)SAS即可證得；（2）證明，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；（3）延長BM、ED交于點G．易證，可得；設，，，由此可得，；再證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得．證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，即，解方程求得x的值，繼而求得的值．【詳解】（1）證明：，；，，，，，，，，，，四邊形AFCD是平行四邊形在與中．，（2），，在中，，，，又，，，在與中．，；；，；，；，，或（舍）；（3）延長BM、ED交于點G．與均為等腰三角形，，，，設，，，則，，，，；在與中，，；．；，，，，，，，，（舍），，．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的性質(zhì)及判定、相似三角形的性質(zhì)及判定，熟練判定三角形全等及相似是解決問題的關鍵．2．（安徽省2020年中考數(shù)學試題）如圖1．已知四邊形是矩形．點在的延長線上．與相交于點，與相交于點求證：；若，求的長；如圖2，連接，求證：．【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析【分析】（1）由矩形的形及已知證得△EAF≌△DAB，則有∠E=∠ADB，進而證得∠EGB=90o即可證得結(jié)論；（2）設AE=x，利用矩形性質(zhì)知AF∥BC，則有，進而得到x的方程，解之即可；（3）在EF上截取EH=DG，進而證明△EHA≌△DGA，得到∠EAH=∠DAG，AH=AG，則證得△HAG為等腰直角三角形，即可得證結(jié)論．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠EAD=90o，AO=BC，AD∥BC，在△EAF和△DAB，，∴△EAF≌△DAB(SAS)，∴∠E=∠BDA，∵∠BDA+∠ABD=90o，∴∠E+∠ABD=90o，∴∠EGB=90o，∴BG⊥EC；（2）設AE=x，則EB=1+x，BC=AD=AE=x，∵AF∥BC，∠E=∠E，∴△EAF∽△EBC，∴，又AF=AB=1，∴即，解得：，（舍去）即AE=；（3）在EG上截取EH=DG，連接AH，在△EAH和△DAG，，∴△EAH≌△DAG(SAS)，∴∠EAH=∠DAG，AH=AG，∵∠EAH+∠DAH=90o，∴∠DAG+∠DAH=90o，∴∠HAG=90o，∴△GAH是等腰直角三角形，∴即，∴GH=AG，∵GH=EG-EH=EG-DG，∴．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角定義、相似三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程等知識，涉及知識面廣，解答的關鍵是認真審題，提取相關信息，利用截長補短等解題方法確定解題思路，進而推理、探究、發(fā)現(xiàn)和計算．3．（安徽省2019年中考數(shù)學試題）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P為△ABC內(nèi)部一點，且∠APB=∠BPC=135°（1）求證：△PAB∽△PBC（2）求證：PA=2PC（3）若點P到三角形的邊AB，BC，CA的距離分別為h1，h2，h3，求證h12=h2·h3【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析.【分析】（1）結(jié)合題意，易得∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC，然后由∠APB=∠BPC=135°即可證明△PAB∽△PBC；（2）根據(jù)（1）中△PAB∽△PBC，可得，然后由△ABC是等腰直角三角形，可得出，易得PA=2PC；（3）過點P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于點D，E，首先由Rt△AEP∽Rt△CDP得出，即，再根據(jù)△PAB∽△PBC可得出，整理即可得到.【詳解】解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC又∠APB=135°，∴∠PAB+∠PBA=45°，∴∠PBC=∠PAB，又∵∠APB=∠BPC=135°，∴△PAB∽△PBC；（2）∵△PAB∽△PBC，∴，在Rt△ABC中，AC=BC，∴,∴∴PA=2PC；（3）過點P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于點D，E，∵∠CPB+∠APB=135°+135°=270°，∴∠APC=90°，∴∠EAP+∠ACP=90°,又∵∠ACB=∠ACP+∠PCD=90°∴∠EAP=∠PCD，∴Rt△AEP∽Rt△CDP，∴，即，∴∵△PAB∽△PBC，∴即.【點睛】本題是相似三角形綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，其中第（3）問有一定難度，通過作輔助線構(gòu)造出Rt△AEP∽Rt△CDP是解題關鍵.4．（安徽省2018年中考數(shù)學試題）如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D為邊AC上一點，DE⊥AB于點E，點M為BD中點，CM的延長線交AB于點F（1）求證：CM=EM；（2）若∠BAC=50°，求∠EMF的大?。唬?）如圖2，若△DAE≌△CEM，點N為CM的中點，求證：AN∥EM【答案】（1）證明見解析；（2）∠EMF=100°；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）在Rt△DCB和Rt△DEB中，利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半進行證明即可得；（2）根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得∠ABC=40°，根據(jù)CM=MB，可得∠MCB=∠CBM，從而可得∠CMD=2∠CBM，繼而可得∠CME=2∠CBA=80°，根據(jù)鄰補角的定義即可求得∠EMF的度數(shù)；（3）由△DAE≌△CEM，CM=EM，∠DEA=90°，結(jié)合CM=DM以及已知條件可得△DEM是等邊三角形，從而可得∠EDM=60°，∠MBE=30°，繼而可得∠ACM=75°，連接AM，結(jié)合AE=EM=MB，可推導得出AC=AM，根據(jù)N為CM中點，可得AN⊥CM，再根據(jù)CM⊥EM，即可得出AN∥EM.【詳解】（1）∵M為BD中點，Rt△DCB中，MC=BD，Rt△DEB中，EM=BD，∴MC=ME；（2）∵∠BAC=50°，∠ACB=90°，∴∠ABC=90°-50°=40°，∵CM=MB，∴∠MCB=∠CBM，∴∠CMD=∠MCB+∠CBM=2∠CBM，同理，∠DME=2∠EBM，∴∠CME=2∠CBA=80°，∴∠EMF=180°-80°=100°；（3）∵△DAE≌△CEM，CM=EM，∴AE=EM，DE=CM，∠CME=∠DEA=90°，∠ECM=∠ADE，∵CM=EM，∴AE=ED，∴∠DAE=∠ADE=45°，∴∠ABC=45°，∠ECM=45°，又∵CM=ME=BD=DM，∴DE=EM=DM，∴△DEM是等邊三角形，∴∠EDM=60°，∴∠MBE=30°，∵CM=BM，∴∠BCM=∠CBM，∵∠MCB+∠ACE=45°，∠CBM+∠MBE=45°，∴∠ACE=∠MBE=30°，∴∠ACM=∠ACE+∠ECM=75°，連接AM，∵AE=EM=MB，∴∠MEB=∠EBM=30°，∠AME=∠MEB=15°，∵∠CME=90°，∴∠CMA=90°-15°=75°=∠ACM，∴AC=AM，∵N為CM中點，∴AN⊥CM，∵CM⊥EM，∴AN∥CM.【點睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等，綜合性較強，正確添加輔助線、靈活應用相關知識是解題的關鍵.5．（2023·安徽）已知正方形，點為邊的中點.（1）如圖1，點為線段上的一點，且，延長，分別與邊，交于點，.①求證：；②求證：.（2）如圖2，在邊上取一點，滿足，連接交于點，連接延長交于點，求的值.【答案】（1）詳見解析；（2）【解析】【詳解】試題分析：(1)①利用ASA判定證明兩個三角形全等；②先利用相似三角形的判定，再利用相似三角形的性質(zhì)證明；（2）構(gòu)造直角三角形，求一個角的正切值.試題解析：(1)①證明：∵四邊形為正方形，∴，，又，∴，又，∴，∴(ASA)，∴.②證明：∵，點為中點，∴，∴，又∵，從而，又，∴，∴，即，由，得.由①知，，∴，∴.(2)解：(方法一)延長，交于點(如圖1)，由于四邊形是正方形，所以，∴，又，∴，故，即，∵，，∴，由知，，又，∴，不妨假設正方形邊長為1，設，則由，得，解得，(舍去)，∴，于是,(方法二)不妨假設正方形邊長為1，設，則由，得，解得，(舍去)，即，作交于(如圖2)，則，∴，設，則，，∵，即，解得，∴，從而，此時點在以為直徑的圓上，∴是直角三角形，且，由(1)知，于是.考點：（1）全等三角形的判定；（2）相似三角形的判定及性質(zhì)；（3）求一個角的三角函數(shù)值.1．（2023·江西南昌·九年級期末）已知正方形ABCD與正方形AEFG，正方形AEFG繞點A旋轉(zhuǎn)一周．(1)如圖1，連接BG、CF，①求的值；②求∠BHC的度數(shù)．(2)當正方形AEFG旋轉(zhuǎn)至圖2位置時，連接CF、BE，分別取CF、BE的中點M、N，連接MN，猜想MN與BE的數(shù)量關系與位置關系，并說明理由．【答案】(1)①；②45°；(2)；；理由見解析【解析】【分析】（1）①通過證明△CAF∽△BAG，可得；②由①得出∠ACF＝∠ABG，∠CAB＝45°，最后用三角形的內(nèi)角和定理，即可求出答案；（2）過點C作，由“ASA”可證△CMH≌△FME，可得CH＝EF，ME＝HM，由“SAS”可證△BCH≌△BAE，可得BH＝BE，∠CBH＝∠ABE，由三角形中位線定理可得結(jié)論．(1)①如圖1，連接AF，AC，∵四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，∴，，∠CAB＝∠GAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠CAF＝∠BAG，，∴△CAF∽△BAG，∴；②∵AC是正方形ABCD的對角線，∴∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，在△BCH中，∠BHC＝180°?（∠HBC＋∠HCB）＝180°?（∠HBC＋∠ACB＋∠ACF）＝180°?（∠HBC＋∠ACB＋∠ABG）＝180°?（∠ABC＋∠ACB）＝45°；(2)BE＝2MN，MN⊥BE；理由如下：如圖2連接ME，過點C作CQ∥EF，交直線ME于Q，連接BQ，設CF與AD交點為P，CF與AG交點為R，∵CQ∥EF，∴∠FCQ＝∠CFE，∵點M是CF的中點，∴CM＝MF，又∵∠CMQ＝∠FME，∴△CMQ≌△FME（ASA），∴CQ＝EF，ME＝QM，∴AE＝CQ，∵CQ∥EF，AG∥EF，∴CQ∥AG，∴∠QCF＝∠CRA，∵AD∥BC，∴∠BCF＝∠APR，∴∠BCQ＝∠BCF＋∠QCF＝∠APR＋∠ARC，∵∠DAG＋∠APR＋∠ARC＝180°，∠BAE＋∠DAG＝180°，∴∠BAE＝∠BCQ，又∵BC＝AB，CQ＝AE，∴△BCQ≌△BAE（SAS），∴BQ＝BE，∠CBQ＝∠ABE，∴∠QBE＝∠CBA＝90°，∵MQ＝ME，點N是BE中點，∴BQ＝2MN，MN∥BQ，∴BE＝2MN，MN⊥BE．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理等知識，添加恰當輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關鍵．2．（2023·遼寧大連·八年級期末）△ABC是等邊三角形，點D、E分別在邊AC、BC上，且AD＝CE，連接AE、BD交于點F．(1)如圖1，求∠BFE的度數(shù)；(2)如圖2，連接CF，當CF⊥BD時，求的值；(3)如圖3，點P在線段AE上，連接CP，且CP＝AF，在圖中找出與線段AP相等的線段，并證明．【答案】(1)60°(2)(3)，見解析【解析】【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可知，．再結(jié)合題意即可利用“SAS”證明，得出，結(jié)合三角形外角的性質(zhì)即得出；（2）在BF上截取，連接AH，由全等的性質(zhì)可知．即可利用“SAS”證明，由此得出．再根據(jù)三角形外角性質(zhì)可證明，從而可求出，由等角對等邊可得出．從而即得出；（3）過A作延長線于G，過C作延長線于H，由全等的性質(zhì)可知，即得出，從而可證，得出，．進而可證，即得出，由，即得出．(1)∵是等邊三角形，∴，．又∵，∴．∴，∵．∴；(2)如圖，在BF上截取，連接AH，∵，∴，即．又∵，∴，∴．∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴．∴，∴；(3)．證明：過A作延長線于G，過C作延長線于H，如圖，∵，∴，又∵，，∴，∴，．又∵，∴∴，∴，即．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等角對等邊，三角形外角的性質(zhì)．正確的作出輔助線是解題關鍵．3．（2023·重慶南開中學八年級開學考試）在平行四邊形ABCD中，連接BD，若BD⊥CD，點E為邊AD上一點，連接CE．(1)如圖1，點G在BD上，且DG＝DC，連接CG，過G作GH⊥CE于點H，連接DH并延長交AB于點M，若HG＝BM，求證：BM+DH＝DB；(2)如圖2，∠ABC＝120°，AB＝，點N在BC邊上，BC＝4CN，若CE是∠DCB的角平分線，線段PQ（點P在點Q的左側(cè)）在線段CE上運動，PQ＝，連接BP、NQ，請直接寫出BP+PQ+QN的最小值．【答案】(1)見解析(2)【解析】【分析】（1）如圖1，過點D作DF⊥DM交CE于點F，設CE與BD交于點K，先證明△DCF≌△DGH（ASA），進而證得△DFH是等腰直角三角形，得出FH＝DH，再證明△DMB≌△CGH（AAS），推出CF＝BM，即可證得結(jié)論；（2）如圖2，在CD上截取CG＝CN，連接GQ，過點B作BF∥CE，使BF＝PQ＝，連接DF交CE于點T，連接QF，過點F作FM⊥BD于點M，過點G作GH⊥DF于點H，應用平行四邊形的性質(zhì)和含30°直角三角形三邊關系可得：BC＝2CD＝2，利用勾股定理可得BD＝，再利用含30°直角三角形三邊關系可得：BM＝BF＝，F(xiàn)M＝BM＝，進而可得DM＝，求得：FG＝，再證四邊形BPQF是平行四邊形，得出BP＝FQ，再證明△CNQ≌△CGQ（SAS），得出QN＝QG，根據(jù)FQ+QG≥FG，可得出：當點Q在線段FG上時，F(xiàn)Q+QG的最小值為FG，即BP+QN的最小值為FG，即可求得BP+PQ+QN的最小值．(1)如圖1，過點D作DF⊥DM交CE于點F，設CE與BD交于點K，∵BD⊥CD，DF⊥DM，GH⊥CE，∴∠CDG＝∠FDH＝∠CHG＝90°，∴∠CDF＝∠GDH，∵∠DGH+∠HKG＝∠DCF+∠DKC＝90°，∠HKG＝∠DKC，∴∠DCF＝∠DGH，在△DCF和△DGH中，，∴△DCF≌△DGH（ASA），∴DF＝DH，CF＝GH，∵∠FDH＝90°，∴△DFH是等腰直角三角形，∴∠DFH＝∠DHF＝45°，F(xiàn)H＝DH，∵DC＝DG，∠CDG＝90°，∴∠CGD＝DCG＝45°，∴∠CGD＝∠DHF，∵∠CGD+∠GCH+∠CKG＝∠DHF+∠BDM+∠DKH＝180°，∠CKG＝∠DKH，∴∠GCH＝∠BDM，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴ABCD，∴∠DBM＝∠CDG＝90°＝∠CHG，在△DMB和△CGH中，，∴△DMB≌△CGH（AAS），∴DB＝CH，∵CF＝GH，BM＝GH，∴CF＝BM，∵CF+FH＝CH，∴BM+DH＝DB；；(2)如圖2，在CD上截取CG＝CN，連接GQ，過點B作BF∥CE，使BF＝PQ＝，連接DF交CE于點T，連接QF，過點F作FM⊥BD于點M，過點G作GH⊥DF于點H，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴ABCD，CD＝AB＝，∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝180°﹣120°＝60°，∵BD⊥CD，CD＝，∴∠CBD＝90°﹣60°＝30°，∴BC＝2CD＝2，∴BD＝＝＝，∵CE平分∠DCB，∴∠BCE＝∠DCE＝∠DCB＝×60°＝30°，∵BFCE，∴∠CBF＝∠BCE＝30°，∴∠DBF＝∠CBF+∠CBD＝30°+30°＝60°，∵FM⊥BD，BF＝，∴BM＝BF＝＝，F(xiàn)M＝BM＝×＝，∴DM＝BD-BM＝＝，∴DF＝＝＝，∵DF2+BF2＝，∴DF2+BF2＝BD2，∴BF⊥DF，∵BFCE，∴CE⊥DF，∵∠DCE＝30°，∴∠CDF＝90°-30°＝60°，∵BC＝2，BC＝4CN，∴CN＝＝，∴CG＝CN＝，∴DG＝CD-CG＝-＝，∵GH⊥DF，∠CDF＝60°，∴DH＝DG＝＝，GH＝DH＝×＝，∴FH＝DF-DH＝+＝，∴FG＝＝＝，∵BFCE，BF＝PQ，∴四邊形BPQF是平行四邊形，∴BP＝FQ，在△CNQ和△CGQ中，，∴△CNQ≌△CGQ（SAS），∴QN＝QG，∵FQ+QG≥FG，∴當點Q在線段FG上時，F(xiàn)Q+QG的最小值為FG，∴BP+QN的最小值為FG，∵PQ＝，F(xiàn)G＝，∴BP+PQ+QN的最小值為FG+PQ＝＝，故BP+PQ+QN的最小值為．；【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，截長補短方法，熟練運用所學知識點是解題關鍵4．（2023·江蘇·無錫市東林中學八年級期末）在平面直角坐標系中，已知點A（4，0），點B（0，3）．點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度向右平移，點Q從點B出發(fā)，以每秒2個單位的速度向右平移，又P、Q兩點同時出發(fā)．(1)連接AQ，當△ABQ是直角三角形時，則點Q的坐標為；(2)當P、Q運動到某個位置時，如果沿著直線AQ翻折，點P恰好落在線段AB上，求這時∠AQP的度數(shù)；(3)若將AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使得P落在線段BQ上，記作P'，且AP'∥PQ，求此時直線PQ的解析式．【答案】(1)（，3）或（4，3）(2)45°(3)y＝－x＋【解析】【分析】（1）是直角三角形，分兩種情況：①，，軸，進而得出點坐標；②，，如圖過點Q作，垂足為C，在中，由勾股定理知，設,在中，由勾股定理知，在中，由勾股定理知，有，求解x的值，即的長，進而得出點坐標；（2）如圖，點P翻折后落在線段AB上的點E處，由翻折性質(zhì)和可得，，，，點E是AB的中點，過點E作EF⊥BQ于點F，EM⊥AO于點M，過點Q作QH⊥OP于點H，可證，求出EF的值，的值，有，用證明，知，，進而可求的值；（3）如圖，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，證，可知，，過點A作AG⊥BQ于G，設，則，在中，，由勾股定理得，解得的值，進而求出點的坐標，設過點的直線解析式為，將兩點坐標代入求解即可求得解析式．(1)解：∵是直角三角形，點，點∴①當時，∵軸∴點坐標為；②當時，，如圖過點Q作，垂足為C在中，由勾股定理知設,在中，由勾股定理知在中，由勾股定理知∴解得∴∴∴點坐標為；綜上所述，點坐標為或．(2)解：如圖，點P翻折后落在線段AB上的點E處，則又∵∴∴∴∴∴點E是AB的中點過點E作EF⊥BQ于點F，EM⊥AO于點M，過點Q作QH⊥OP于點H，在和中∵∠AEM=∠BEF∴∴∴EF＝∵∴在和中∵∴∴∴∴．(3)解：如圖由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∵∴在和中∠∴∴∴過點A作AG⊥BQ于G設∴在中，，由勾股定理得解得∴∴點的坐標分別為設過點的直線解析式為將兩點坐標代入得解得：∴過點的直線解析式為．【點睛】本題考查了翻折的性質(zhì)，三角形全等，勾股定理，一次函數(shù)等知識．解題的關鍵在于將知識靈活綜合運用．5．（2023·江西贛州·九年級期末）在中，，，點E在射線CB上運動．連接AE，將線段AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°得到EF，連接CF．(1)如圖1，點E在點B的左側(cè)運動．①當，時，則___________°；②猜想線段CA，CF與CE之間的數(shù)量關系為____________．(2)如圖2，點E在線段CB上運動時，第（1）問中線段CA，CF與CE之間的數(shù)量關系是否仍然成立？如果成立，請說明理由；如果不成立，請求出它們之間新的數(shù)量關系．【答案】(1)①；②(2)不成立，【解析】【分析】（1）①由直角三角形的性質(zhì)可得出答案；②過點E作ME⊥EC交CA的延長線于M，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE=EF，∠AEF=90°，得出∠AEM=∠CEF，證明△FEC≌△AEM（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出CF=AM，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；（2）過點F作FH⊥BC交BC的延長線于點H．證明△ABE≌△EHF（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出FH=BE，EH=AB=BC，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；(1)①∵，，，∴，∵sin∠EAB=∴，故答案為：30°；②．如圖1，過點E作交CA的延長線于M，∵，，∴，∴，∴，∴，∵將線段AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°得到EF，∴，，∴，在△FEC和△AEM中，∴，∴，∴，∵為等腰直角三角形，∴，∴；故答案為：；(2)不成立．如圖2，過點F作交BC的延長線于點H．∴，，∵，∴，在△FEC和△AEM中，∴，∴，，∴，∴為等腰直角三角形，∴．又∵，即．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關鍵．1．（2023·河南信陽·一模）如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)a得到△ADE，連接BD，EC，BD的延長線交EC的延長線于點F．(1)【問題發(fā)現(xiàn)】如圖①，當α＝60°時，線段BF與EF的數(shù)量關系是______，∠BFE＝______；(2)【類比探究】當△ABC旋轉(zhuǎn)到如圖②所示的位置時，請判斷線段BF與EF的數(shù)量關系及∠BFE的度數(shù)，并說明理由；(3)【問題解決】當AE∥BC時，請直接寫出線段BF的長．【答案】(1)BF＝EF，60°；(2)BF＝EF，∠BFE＝60°，見解析；(3)或【解析】【分析】（1）首先證明∠CAE+∠BAC=60°+120°=180°，則A、B、E三點共線，再證明△EBF是等邊三角形，從而得出答案；（2）通過AAS可證明△EDF≌△BCF，得BF=EF，由∠DEF=∠AEC-∠AED=∠AEC-30°，∠BDE=∠BDA+∠ADE=∠BDA+30°，利用三角形外角的性質(zhì)即可求出∠BFE的度數(shù)；（3）當點E在直線AB的右側(cè)時，如圖③，過點C作CH⊥BF于H，過點A作AM⊥BC于M，可得∠CBF=∠ABF-∠ABC=75°-30°=45°，∠F=60°，通過解直角三角形可求出BF的長，當點E在直線AB的左側(cè)時，同理可得．(1)解：∵將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE，AB=AC=2，∠BAC=120°，∴∠DAE=∠BAC=120°，∠BAD=∠CAE=α=60°，AB=AD=AE=AC，∴∠CAE+∠BAC=60°+120°=180°，∴A、B、E三點共線，∵∠CAE=60°，AC=AE，∴△ACE是等邊三角形，同理△ABD是等邊三角形，∴∠FBE=∠FEB=60°，∴△EBF是等邊三角形，∴BF=EF，∠BFE=60°；故答案為：BF=EF，60°(2)解：由旋轉(zhuǎn)可知：AD＝AE，∠DAE＝∠BAC＝120°，BC＝DE，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ACB＝∠ABC＝30°，同理：∠ADE＝∠AED＝30°，∵∠BAD＋∠DAC＝120°，∠EAC＋∠DAC＝120°，∴∠BAD＝∠EAC，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD△ACE，∴∠ADB＝∠ACE，∵∠EDF＝180°－∠ADB－∠ADE＝150°－∠ADB，∠BCF＝180°－∠ACE－∠ACB＝150°－∠ACE，∴∠EDF＝∠BCF，∵∠F＝∠F，∴△BCF△EDF（AAS），∴BF＝EF，∴∠DEF＝∠AEC－30°，∠BDE＝∠BDA＋30°，∴∠BFE＝∠BDE－∠DEF＝60°．(3)解：當點E在直線AB的右側(cè)時，如圖3，過點C作CH⊥BF于H，過點A作AM⊥BC于M，∵AEBC，∴∠ABC+∠BAE=180°，∵∠ABC=30°，∴∠BAE=150°，∴∠BAD=30°，∵AB=AD，∴∠ABF=∠ADB==75°，∴∠CBF=∠ABF-∠ABC=75°-30°=45°，∵CH⊥BF，∴∠BCH=∠CBF=45°，∴BH=CH=BC，∵AB=2，∠ABC=30°，AM⊥BC，∴AM=AB＝×2=，BM=CM，∴BM===3，∴BC=2BM=6，∴BH=CH=3，∵CH⊥BF，∠BFE=60°，∴HF=＝＝，∴BF=BH+HF=3+；當點E在直線AB的左側(cè)時，如圖4，同理求得BF=3?，綜上所述：BF的長為3+或3-．【點睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形等知識，作輔助線構(gòu)造特殊的直角三角形是解題的關鍵．2．（2023·河南省實驗中學模擬預測）實踐操作：第一步：如圖1，將矩形紙片沿過點的直線折疊，使點落在上的點處，得到折痕．第二步：如圖2，將圖1中的圖形沿過點的直線折疊，點恰好落在上的點處，為折痕，延長交直線于點．問題解決：(1)如圖1，填空：三角形的形狀是；(2)如圖2，若，，求的長．提升反思：愛動腦筋的小敏同學用不同形狀的矩形紙片，按照題中第一步、第二步的方法折疊并延長，發(fā)現(xiàn)有些點不在線段上．若要使點落在線段上（不含端點），請直接寫出的取值范圍．【答案】(1)等腰直角三角形(2)，【解析】【分析】（1）根據(jù)折疊性質(zhì)，可得，，進而證明四邊形是正方形，即可證明三角形的形狀是等腰直角三角形；（2）過點作，，垂足分別為、，在中，設，則，由勾股定理得：，解方程求解可得的長，繼而證明，設，則，，即可求得，進而求得的長提升反思：由（1）（2）得：，，當點與重合時：，化簡即可求得的值，由題意得：，進而可得的取值范圍．(1)等腰直角三角形，理由如下：由折疊的性質(zhì)得，，，又，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，的形狀為等腰直角三角形；故答案為：等腰直角三角形；(2)過點作，，垂足分別為、，由折疊得：是正方形，，，，，，在中，，，在中，設，則，由勾股定理得：，解得：，，，，又，，，設，則，，，，解得：，，；提升反思：令，，由題意得：，，由（1）（2）得：，，，當點與重合時：，，解得：，．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關鍵．3．（2023·重慶巫溪·八年級期末）如圖，是等腰三角形，，點D在直線上運動，點E為線段上一定點，連接，作，使，，連接．(1)如圖1，在上取點G，使，求證：；(2)如圖2，當點D在線段上，點F位于直線的上方時，求證：；(3)如圖3，當點D運動到線段的延長線上時，求證：為定值．【答案】(1)見詳解(2)見詳解(3)見詳解【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和EG=EC求得，結(jié)合得到，進而得到三角形全等，然后再利用全等三角形的性質(zhì)求解；（2）在上取點G，使，利用（1）的方法求得三角形全等，進而得到，結(jié)合，，來求得即可求解；（3）在上取點G，使，用（1）的方法得到三角形全等，進而得到，結(jié)合全等三角形的判定和點E為線段上一定點來求解．(1)證明：，．，，，，．，，，．在和中，，．(2)證明：在上取點G，使，如下圖，．，，，，,,，，，．在和中，，．，，，，；(3)證明：在上取點G，使，如下圖，．，，，，．，，，．在和中，，，．為定值，形狀唯一，為定值，為定值．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，理解相關知識和作出輔助線是解答（2）（3）的關鍵．4．（2023·黑龍江·哈爾濱市第四十七中學八年級開學考試）已知中，，，點G為線段BC上一點，連接AG，過點B作，交AG的延長線于點D，連接CD．(1)如圖1，求證：．(2)如圖2，當時，將沿AD翻折得到，點C與點E為對應點，DE與AB交于點F，求證：．(3)如圖3，在（2）的條件下，連接CF交AD于H，過點H作于M，若求AF的長．【答案】(1)見詳解(2)見詳解(3)AF=8【解析】【分析】（1）在AD上截取AE=BD，由題意易得，，進而可知，然后可得，最后問題可求證；（2）連接CE、BE，由題意易得，由折疊的性質(zhì)可知，則有△ACE是等邊三角形，然后可得，進而可得，即問題得證；（3）作ES⊥EF交AF于點S，HO⊥DF于點O，連接CE，由題意易得，然后根據(jù)折疊的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)可得HO=DM，進而可得，則有，易證，則可根據(jù)含30度直角三角形的性質(zhì)及線段的等量關系可進行求解．(1)證明：在AD上截取AE=BD，如圖所示：∵，，∴，∵，∴，∵，∴（SAS），∴，，∵，∴，即，∴△ECD是等腰直角三角形，∴；(2)證明：連接CE、BE，如圖所示：∵，∴，由折疊的性質(zhì)可得，CD=DE，∴△ACE