矩陣的特征值和特征向量

關(guān)于矩陣的特征值和特征向量2024/4/625.1.1特征值和特征向量的基本概念

定義設(shè)A為數(shù)域F上的n階矩陣,如果存在數(shù)l

F和非零的n維列向量X,使得

AX=lX

就稱(chēng)l是矩陣A的特征值,X是A的屬于(或?qū)?yīng)于)特征值l的特征向量.

注意:特征向量X0;特征值問(wèn)題是對(duì)方陣而言的,本章的矩陣如不加說(shuō)明,都是方陣.第2頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/63

AX=lX

根據(jù)定義,n階矩陣A的特征值,就是齊次線性方程組

(lI-A)X=0

有非零解的l值.即滿(mǎn)足方程

det(lI-A)=0即 的l都是矩陣A的特征值.

因此,特征值是l的多項(xiàng)式det(lI-A)的根.第3頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/64

AX=lX,

det(lI-A)=0 (5.2)

定義設(shè)n階矩陣A=(aij),則稱(chēng)為矩陣A的特征多項(xiàng)式,lI-A稱(chēng)為A的特征矩陣,(5.2)式稱(chēng)為A的特征方程.第4頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/65

顯然,n階矩陣A的特征多項(xiàng)式是l的n次多項(xiàng)式.特征多項(xiàng)式的k重根也稱(chēng)為k重特征值.當(dāng)n5時(shí),特征多項(xiàng)式?jīng)]有一般的求根公式,即使是三階矩陣的特征多項(xiàng)式,一般也難以求根,所以求矩陣的特征值一般是三階行列式求特征值,一般用0,1,-1,2,-2進(jìn)行嘗試先得到一個(gè)根,則剩下的兩個(gè)根可用解一元二次方程的辦法解.第5頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/66例解驗(yàn)證：是否為A的特征向量第6頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/67注1注2注3如果是A對(duì)應(yīng)于特征值

的特征向量，則也是A對(duì)應(yīng)于特征值

的特征向量。第7頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/68注5矩陣A的任一特征向量所對(duì)應(yīng)的特征值是唯一的注4如果是A對(duì)應(yīng)于特征值

的線性無(wú)關(guān)特征向量，則也是A對(duì)應(yīng)于特征值

的特征向量。第8頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/69例求下列矩陣的特征值和特征向量解A的特征多項(xiàng)式為A的特征值為即對(duì)應(yīng)的特征向量可取為第9頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/610對(duì)應(yīng)的特征向量可取為A屬于的全部特征向量：A屬于的全部特征向量：第10頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/611例求矩陣

的特征值和特征向量.解矩陣A的特征多項(xiàng)式為A的特征值為l1=2,l2，3=1(二重特征值).第11頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/612當(dāng)l1=2時(shí),由(l1I-A)X=0,即得其基礎(chǔ)解系為X1=(0,0,1)T,因此k1X1(k10為常數(shù))是A的對(duì)應(yīng)于l1=2的特征向量.第12頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/613當(dāng)l2=1時(shí),由(l2I-A)X=0,即得其基礎(chǔ)解系為X2=(1,2,-1)T,因此k2X2(k20為常數(shù))是A的對(duì)應(yīng)于l2=1的特征向量.第13頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/614例求矩陣的特征值和特征向量解A的特征多項(xiàng)式為A的特征值為第14頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/615得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系第15頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/616例主對(duì)角元為a11,a22,...,ann的對(duì)角陣A或上(下)三角陣B的特征多項(xiàng)式是

|lI-A|=|lI-B|=(l-a11)(l-a22)...(l-ann),

故A,B的n個(gè)特征值就是n個(gè)主對(duì)角元.第16頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/617

2、n階矩陣A=(aij)的n個(gè)特征值為l1,l2,...,ln.則5.1.2特征值和特征向量的性質(zhì)

1、設(shè)n階矩陣A可逆的充要條件是它的每一個(gè)特征值均不為0.第17頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/618

矩陣的特征值和特征向量還有以下性質(zhì):

3、若l是矩陣A的特征值,X是A屬于l的特征向量,則

(i)kl+a是kA+aI的特征值(k,a是任意常數(shù)),

(ii)lm是Am的特征值(m是正整數(shù));

(iii)當(dāng)A可逆時(shí),l-1是A-1的特征值;

(iv)當(dāng)A可逆時(shí),detA/l是A*的特征值.

且X仍是矩陣kA+aI,Am,A-1,A*的分別對(duì)應(yīng)于特征值kl+a,lm,1/l,detA/l的特征向量.第18頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/619證已知AX=lX

(i)kl是kA的特征值(k是任意常數(shù)),

這是因?yàn)?kA)X=k(AX)=klX,即kl是kA的特征值,

X是kA的屬于特征值kl的特征向量.

(ii)A(AX)=A(lX)=l(AX)=l(lX),

即

A2X=l2X

再繼續(xù)上述步驟m-2次,就得AmX=lmX.

(iii)當(dāng)A可逆時(shí),l0,由AX=lX可得

A-1(AX)=A-1(lX)=lA-1X

因此

A-1X=l-1X

故l-1是A-1的特征值,且X也是A-1對(duì)應(yīng)于l-1的特征向量第19頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/6204、矩陣A和AT的特征值相同.

證因?yàn)?lI-A)T=(lI)T-AT=lI-AT

所以 det(lI-A)=det(lI-AT)

因此A和AT有完全相同的特征值.第20頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天2024/4/621定理

設(shè)階方陣A

有互不相同的特征值，(λiI–A)x=0的基礎(chǔ)解系為

則；；……；線性無(wú)關(guān)

推論

6、設(shè)A為n階方陣，,若λ為A的特征值，則