重點突圍：專題01 平行線的判定與性質(zhì)（解析版）-人教七下期中綜合復(fù)習(xí)

七年級數(shù)學(xué)下冊期中期末綜合復(fù)習(xí)專題提優(yōu)訓(xùn)練（人教版）專題01平行線的判定與性質(zhì)【典型例題】1．（2021·上海奉賢·七年級期末）如圖，已知AE平分∠BAC交BC于點E，AF平分∠CAD交BC的延長線于點F，∠B＝64°，∠EAF＝58°，試判斷AD與BC是否平行．解：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝（）．又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2（∠1+∠2）＝°（等式性質(zhì)）．又∵∠B＝64°（已知），∴∠BAD+∠B＝°．∴（）．【答案】2∠2；角平分線的定義；116；180；AD；BC；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行【解析】【分析】由AE平分∠BAC，AF平分∠CAD，利用角平分線的定義可得出∠BAC＝2∠1，∠CAD＝2∠2，結(jié)合∠EAF＝∠1+∠2＝58°可得出∠BAD＝116°，由∠B＝64°，∠BAD＝116°，可得出∠BAD+∠B＝180°，再利用“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”即可得出AD∥BC．【詳解】解：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝2∠2（角平分線的定義）．又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2（∠1+∠2）＝116°（等式性質(zhì)）．又∵∠B＝64°（已知），∴∠BAD+∠B＝180°．∴AD∥BC（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．故答案為：2∠2；角平分線的定義；116；180；AD；BC；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．【點睛】此題考查了角平分線的定義，角的計算，平行線的判定．正確掌握線段、角、相交線與平行線的知識是解題的關(guān)鍵，還需掌握推理能力．【專題訓(xùn)練】選擇題1．（2022·福建·泉州五中七年級期末）如圖，直線a、b被直線c所截，下列說法不正確的是（）A．1與5是同位角 B．3與6是同旁內(nèi)角C．2與4是對頂角 D．5與2是內(nèi)錯角【答案】D【解析】【分析】根據(jù)同位角、對頂角、同旁內(nèi)角以及內(nèi)錯角的定義對各選項作出判斷即可．【詳解】解：A、∠1與∠5是同位角，故本選項不符合題意；B、∠3與∠6是同旁內(nèi)角，故本選項不符合題意．C、∠2與∠4是對頂角，故本選項不符合題意；D、∠5與2不是內(nèi)錯角，故本選項符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查了同位角、對頂角、同旁內(nèi)角、內(nèi)錯角的定義，解答此題的關(guān)鍵是確定三線八角，可直接從截線入手．對平面幾何中概念的理解，一定要緊扣概念中的關(guān)鍵詞語，要做到對它們正確理解，對不同的幾何語言的表達(dá)要注意理解它們所包含的意義．2．（2022·湖南雙峰·八年級期末）下列命題是真命題的是（）A．如果數(shù)，的積，那么，都是正數(shù)B．兩條直線被第三條直線所截，同位角相等C．有公共點的兩個角是對頂角D．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)有理數(shù)乘積的符號確定，平行線的性質(zhì)，對頂角的定義，逐項判斷即可求解．【詳解】解：A、如果數(shù)，的積，那么，同號，則本選項是假命題，故本選項不符合題意；B、兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，則本選項是假命題，故本選項不符合題意；C、因為有公共頂點且兩條邊都互為反向延長線的兩個角稱為對頂角，所以有公共點的兩個角不一定是對頂角，則本選項是假命題，故本選項不符合題意；D、兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，則本選項是真命題，故本選項符合題意；故選：D【點睛】本題主要考查了有理數(shù)乘積的符號確定，平行線的性質(zhì)，對頂角的定義，判斷命題的真假，熟練掌握有理數(shù)乘積的符號確定方法，平行線的性質(zhì)定理，有公共頂點且兩條邊都互為反向延長線的兩個角稱為對頂角是解題的關(guān)鍵．3．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六十九中學(xué)校七年級期末）如圖，點P是直線m外一點，A、B、C三點在直線m上，PB⊥AC于點B，那么點P到直線m的距離是線段（）的長度．A．PA B．PB C．PC D．AB【答案】B【解析】【分析】根據(jù)點到直線的距離的定義解答即可．【詳解】解：∵PB⊥AC于點B，∴點P到直線m的距離是線段B的長度．故選：B．【點睛】本題主要考查了點到直線的距離的定義，從直線外一點到這條直線的垂線段長度叫點到直線的距離．4．（2022·湖南·長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校七年級期末）如圖，△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，若BE=3cm，則平移的距離為（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可得的長度等于平移的距離，即可求解．【詳解】∵△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，∴點的對應(yīng)點為，即的長度等于平移的距離，∵BE=3cm，∴平移的距離為3cm．故選：C【點睛】本題主要考查了圖形的平移，熟練掌握平移的距離都等于對應(yīng)點間長度是解題的關(guān)鍵．5．（2022·廣東·深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）八年級期末）生活中常見的探照燈、汽車大燈等燈具都與拋物線有關(guān)．如圖，從光源P點照射到拋物線上的光線等反射以后沿著與直線平行的方向射出，若，，則的度數(shù)為（）°A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，進(jìn)而根據(jù)即可求解【詳解】解：故選C【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2022·遼寧丹東·八年級期末）如圖，①，②，③，④可以判定的條件有（）．A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平行線的判定定理逐個排查即可．【詳解】解：①由于∠1和∠3是同位角，則①可判定；②由于∠2和∠3是內(nèi)錯角，則②可判定；③①由于∠1和∠4既不是同位角、也不是內(nèi)錯角，則③不能判定；④①由于∠2和∠5是同旁內(nèi)角，則④可判定；即①②④可判定．故選A．【點睛】本題主要考查了平行線的判定定理，平行線的判定定理主要有：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行；如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行；如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行．二、填空題7．（2021·北京房山·七年級期末）如圖A，C，E共線，請你添加一個條件，使ABCD，這個條件是______，你的依據(jù)是_____．【答案】∠ECD=∠A同位角相等，兩直線平行（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)平行線的判定定理添加即可．【詳解】解：∵∠ECD=∠A，∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）故答案為：∠ECD=∠A；同位角相等，兩直線平行（答案不唯一）．【點睛】本題考查了平行線的判定定理，掌握同位角相等，兩直線平行是解題的關(guān)鍵．8．（2021·上海市羅南中學(xué)七年級期中）如圖，直線AB和CD相交于點O，∠BOE＝90°，∠DOE＝130°，則∠AOC＝______．【答案】40°【解析】【分析】先根據(jù)角的和差關(guān)系可求∠BOD，再根據(jù)對頂角相等可求∠AOC．【詳解】解：∵∠BOE=90°，∠DOE=130°，∴∠BOD=130°-90°=40°，又∴∠AOC=40°．故答案為：40°．【點睛】本題考查了對頂角，關(guān)鍵是根據(jù)角的和差關(guān)系可求∠BOD．9．（2021·上海民辦浦東交中初級中學(xué)七年級期末）如圖，已知EF∥GH，AC⊥CD，∠DCH＝35°，則∠CBF＝______度．【答案】125【解析】【分析】首先根據(jù)垂直定義可得∠ACD＝90°，再根據(jù)余角的定義可得∠ACH的度數(shù)，然后再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠FBC+∠ACH＝180°，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：∵AC⊥CD，∴∠ACD＝90°，∵∠DCH＝35°，∴∠ACH＝90°﹣35°＝55°，∵EF∥GH，∴∠FBC+∠ACH＝180°，∴∠FBC＝180°﹣55°＝125°，故答案為：125．【點睛】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．10．（2022·重慶巴蜀中學(xué)七年級期末）如圖所示，要在豎直高AC為3米，水平寬BC為12米的樓梯表面鋪地毯，地毯的長度至少需要______米．【答案】15【解析】【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)可得，地毯的水平長度與BC的長度相等，垂直長度與AC的長度相等，計算即可得出答案．【詳解】解：由題意可知，地毯的水平長度與BC的長度相等，垂直長度與AC的長度相等，所以地毯的長度至少需要12+3=15（米）．故答案為：15．【點睛】本題主要考查了平移現(xiàn)象，熟練應(yīng)用平移的性質(zhì)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．11．（2021·上海奉賢·七年級期末）如圖，將一塊三角板的直角頂點放在直尺的一邊上，若∠1＝34°，則∠2＝_____°．【答案】56【解析】【分析】先根據(jù)余角的定義求出∠3的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵∠1＝34°，∴∠3＝90°﹣34°＝56°．∵直尺的兩邊互相平行，∴∠2＝∠3＝56°．故答案為：56．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．12．（2022·全國·七年級）如圖，E在AD的延長線上，下列四個條件：①∠3=∠4；②∠C+∠ABC=180°；③∠A=∠CDE；④∠1=∠2，其中能判定AB∥CD的是________．（填序號）【答案】②③④【解析】【分析】根據(jù)平行線的判定定理，逐一判斷，即可得到答案．【詳解】∵，∴，∴①不符合題意；∵∠C+∠ABC=180°，∴AB∥CD；∴②符合題意；∵∠A=∠CDE，∴AB∥CD；∴③符合題意；∵∠1=∠2，∴AB∥CD．故答案為：②③④．【點睛】本題主要考查平行線的判定定理，掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．平行線的判定：內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同位角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．三、解答題13．（2022·全國·七年級）如圖，已知GH、MN分別平分∠AGE、∠DMF，且∠AGH＝∠DMN，試說明ABCD的理由．【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)角平分線的意義可得∠AGE＝2∠AGH，∠DMF＝2∠DMN，等量代換可得∠DMF＝∠FGB，根據(jù)平行線的判定定理即可求得ABCD【詳解】∵GH平分∠AGE，∴∠AGE＝2∠AGH同理∠DMF＝2∠DMN∵∠AGH＝∠DMN∴∠AGE＝∠DMF又∵∠AGE＝∠FGB∴∠DMF＝∠FGB∴ABCD（同位角相等，兩直線平行）．【點睛】本題考查了平行線的判定定理，角平分線的意義，掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．14．（2021·上海市羅南中學(xué)七年級期中）如圖，已知∠ADC＝∠ABC，DE、BF分別平分∠ADC和∠ABC，且DE∥BF，那么AB與DC平行嗎？為什么？【答案】AB∥DC，理由見解析.【解析】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)推出∠DEA＝∠FBA，再根據(jù)角平分線性質(zhì)推出∠CDE＝∠FBA，等量代換得到∠CDE＝∠DEA，根據(jù)平行線的判定推出即可．【詳解】解：AB∥DC，理由如下：∵DE∥BF，∴∠DEA＝∠FBA，∵∠ADC＝∠ABC，DE、BF分別平分∠ADC和∠ABC，∴∠CDE＝∠CDA＝∠CBA＝∠FBA＝∠DEA，∴AB∥DC．【點睛】本題主要考查對平行線的性質(zhì)和判定，角平分線性質(zhì)等知識點的理解和掌握，能推出∠CDE＝∠DEA是解此題的關(guān)鍵．15．（2022·重慶巴蜀中學(xué)七年級期末）如圖，，試說明．證明：∵（己知），∴（___________________），∴____________（同位角相等，兩直線平行），∵（已知），∴（___________________），∴（___________________），∴（兩直線平行，同位角相等）．【答案】垂直定義；AB；CD；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；平行于同一條直線的兩條直線平行【解析】【分析】根據(jù)垂直定義求出∠B=∠CDF=90°，根據(jù)平行線的判定得出AB∥EF，EF∥CD，即可得出答案．【詳解】證明：∵（己知），∴（垂直定義），∴ABCD（同位角相等，兩直線平行），∵（已知），∴（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），∴（平行于同一條直線的兩條直線平行），∴（兩直線平行，同位角相等）．故答案為：垂直定義；AB；CD；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；平行于同一條直線的兩條直線平行【點睛】本題考查了平行線的判定的應(yīng)用，能正確運用判定定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：平行線的判定定理有：①同位角相等，兩直線平行，②內(nèi)錯角相等，兩直線平行，③同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，④平行于同一直線的兩直線平行．16．（2022·黑龍江杜爾伯特·七年級期末）完成下面的證明：已知：如圖，∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC．求證：AD∥BC．證明：∵AB⊥AC（已知）∴∠＝90°（）∵∠1＝30°，∠B＝60°（已知）∴∠1+∠BAC+∠B＝（）即∠+∠B＝180°∴AD∥BC（）【答案】見解析【解析】【分析】先根據(jù)垂直的定義可得，再根據(jù)角的和差可得，從而可得，然后根據(jù)平行線的判定即可得證．【詳解】證明：∵（已知），∴（垂直的定義），∵，（已知），∴（等量關(guān)系），即，∴（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．【點睛】本題考查了垂直、平行線的判定等知識點，熟練掌握平行線的判定是解題關(guān)鍵．17．（2022·吉林長春·七年級期末）如圖，如果∠1＝60°，∠2＝120°，∠D＝60°，那么AB與CD平行嗎？BC與DE呢？觀察下面的解答過程，補(bǔ)充必要的依據(jù)或結(jié)論．解∵∠1＝60°（已知）∠ABC＝∠1（①）∴∠ABC＝60°（等量代換）又∵∠2＝120°（已知）∴（②）+∠2＝180°（等式的性質(zhì)）∴AB∥CD（③）又∵∠2+∠BCD＝（④°）∴∠BCD＝60°（等式的性質(zhì)）∵∠D＝60°（已知）∴∠BCD＝∠D（⑤）∴BC∥DE（⑥）【答案】對頂角相等；∠ABC；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；180；等量代換；內(nèi)錯角相等，兩直線平行．【解析】【分析】先求出∠ABC＝60°，即可證明∠ABC+∠2＝180°得到AB∥CD，然后求出∠BCD＝∠D即可證明BC∥DE．【詳解】解∵∠1＝60°（已知）∠ABC＝∠1（對頂角相等），∴∠ABC＝60°（等量代換），又∵∠2＝120°（已知），∴∠ABC+∠2＝180°（等式的性質(zhì)），∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），又∵∠2+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝60°（等式的性質(zhì)），∵∠D＝60°（已知），∴∠BCD＝∠D（等量代換），∴BC∥DE（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），故答案為：對頂角相等；∠ABC；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；180；等量代換；內(nèi)錯角相等，兩直線平行．【點睛】本題主要考查了平行線的判定，對頂角相等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握平行線的判定條件．18．（2022·江蘇昆山·七年級期末）如圖所示，已切直線AB∥直線CD，直線EF分別交直線AB、CD于點A，C．且∠RAC＝60°，現(xiàn)將射線AB繞點A以每秒2°的轉(zhuǎn)速逆時計旋轉(zhuǎn)得到射線AM．同時射線CE繞點C以每秒3°的轉(zhuǎn)速順時針旋轉(zhuǎn)得到射線CN，當(dāng)射線CN旋轉(zhuǎn)至與射線CA重合時，則射線CN、射線AM均停止轉(zhuǎn)動，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t（秒）．(1)在旋轉(zhuǎn)過程中，若射線AM與射線CN相交，設(shè)交點為P．①當(dāng)t＝20（秒）時，則∠CP