離散模型離散模型

關(guān)于離散模型離散模型離散模型

離散模型：差分方程（第7章）、整數(shù)規(guī)劃（第4章）、圖論、對策論、網(wǎng)絡(luò)流、……

分析社會經(jīng)濟系統(tǒng)的有力工具

只用到代數(shù)、集合及圖論（少許）的知識第2頁,共67頁，2024年2月25日，星期天8.1層次分析模型背景

日常工作、生活中的決策問題

涉及經(jīng)濟、社會等方面的因素

作比較判斷時人的主觀選擇起相當大的作用，各因素的重要性難以量化Saaty于1970年代提出層次分析法AHP(AnalyticHierarchyProcess)AHP——一種定性與定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化、層次化的分析方法第3頁,共67頁，2024年2月25日，星期天目標層O(選擇旅游地)P2黃山P1桂林P3北戴河準則層方案層C3居住C1景色C2費用C4飲食C5旅途一.層次分析法的基本步驟例.選擇旅游地如何在3個目的地中按照景色、費用、居住條件等因素選擇.第4頁,共67頁，2024年2月25日，星期天“選擇旅游地”思維過程的歸納

將決策問題分為3個層次：目標層O，準則層C，方案層P；每層有若干元素，各層元素間的關(guān)系用相連的直線表示。

通過相互比較確定各準則對目標的權(quán)重，及各方案對每一準則的權(quán)重。

將上述兩組權(quán)重進行綜合，確定各方案對目標的權(quán)重。層次分析法將定性分析與定量分析結(jié)合起來完成以上步驟，給出決策問題的定量結(jié)果。第5頁,共67頁，2024年2月25日，星期天層次分析法的基本步驟成對比較陣和權(quán)向量

元素之間兩兩對比，對比采用相對尺度

設(shè)要比較各準則C1,C2,…,Cn對目標O的重要性A~成對比較陣A是正互反陣要由A確定C1,…,Cn對O的權(quán)向量選擇旅游地第6頁,共67頁，2024年2月25日，星期天成對比較的不一致情況一致比較不一致允許不一致，但要確定不一致的允許范圍考察完全一致的情況成對比較陣和權(quán)向量第7頁,共67頁，2024年2月25日，星期天成對比較完全一致的情況滿足的正互反陣A稱一致陣，如

A的秩為1，A的唯一非零特征根為n

A的任一列向量是對應(yīng)于n的特征向量

A的歸一化特征向量可作為權(quán)向量對于不一致(但在允許范圍內(nèi))的成對比較陣A，建議用對應(yīng)于最大特征根

的特征向量作為權(quán)向量w，即一致陣性質(zhì)成對比較陣和權(quán)向量第8頁,共67頁，2024年2月25日，星期天2468比較尺度aij

Saaty等人提出1~9尺度——aij

取值1,2,…,9及其互反數(shù)1,1/2,…,1/9尺度13579相同稍強強明顯強絕對強aij=1,1/2,,…1/9的重要性與上面相反

心理學(xué)家認為成對比較的因素不宜超過9個

用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p

(p=2,3,4,5),d+0.1~d+0.9(d=1,2,3,4)等27種比較尺度對若干實例構(gòu)造成對比較陣，算出權(quán)向量，與實際對比發(fā)現(xiàn)，1~9尺度較優(yōu)。

便于定性到定量的轉(zhuǎn)化：成對比較陣和權(quán)向量第9頁,共67頁，2024年2月25日，星期天一致性檢驗對A確定不一致的允許范圍已知：n階一致陣的唯一非零特征根為n可證：n

階正互反陣最大特征根

n,且

=n時為一致陣定義一致性指標:CI越大，不一致越嚴重RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

n1234567891110為衡量CI的大小，引入隨機一致性指標RI——隨機模擬得到aij,形成A，計算CI即得RI。定義一致性比率CR=CI/RI

當CR<0.1時，通過一致性檢驗Saaty的結(jié)果如下第10頁,共67頁，2024年2月25日，星期天“選擇旅游地”中準則層對目標的權(quán)向量及一致性檢驗準則層對目標的成對比較陣最大特征根

=5.073權(quán)向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指標隨機一致性指標RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1通過一致性檢驗第11頁,共67頁，2024年2月25日，星期天組合權(quán)向量記第2層（準則）對第1層（目標）的權(quán)向量為同樣求第3層(方案)對第2層每一元素(準則)的權(quán)向量方案層對C1(景色)的成對比較陣方案層對C2(費用)的成對比較陣…Cn…Bn最大特征根

1

2

…

n

權(quán)向量w1(3)w2(3)…

wn(3)第12頁,共67頁，2024年2月25日，星期天第3層對第2層的計算結(jié)果k10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665組合權(quán)向量RI=0.58(n=3),

CIk

均可通過一致性檢驗w(2)

0.2630.4750.0550.0900.110方案P1對目標的組合權(quán)重為0.5950.263+…=0.300方案層對目標的組合權(quán)向量為(0.300,0.246,0.456)T第13頁,共67頁，2024年2月25日，星期天組合權(quán)向量第1層O第2層C1,…Cn第3層P1,…Pm第2層對第1層的權(quán)向量第3層對第2層各元素的權(quán)向量構(gòu)造矩陣則第3層對第1層的組合權(quán)向量第s層對第1層的組合權(quán)向量其中W(p)是由第p層對第p-1層權(quán)向量組成的矩陣第14頁,共67頁，2024年2月25日，星期天層次分析法的基本步驟1）建立層次分析結(jié)構(gòu)模型深入分析實際問題，將有關(guān)因素自上而下分層（目標—準則或指標—方案或?qū)ο螅?，上層受下層影響，而層?nèi)各因素基本上相對獨立。2）構(gòu)造成對比較陣用成對比較法和1~9尺度，構(gòu)造各層對上一層每一因素的成對比較陣。3）計算權(quán)向量并作一致性檢驗對每一成對比較陣計算最大特征根和特征向量，作一致性檢驗，若通過，則特征向量為權(quán)向量。4）計算組合權(quán)向量（作組合一致性檢驗*）組合權(quán)向量可作為決策的定量依據(jù)。第15頁,共67頁，2024年2月25日，星期天二.層次分析法的廣泛應(yīng)用

應(yīng)用領(lǐng)域：經(jīng)濟計劃和管理，能源政策和分配，人才選拔和評價，生產(chǎn)決策，交通運輸，科研選題，產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，教育，醫(yī)療，環(huán)境，軍事等。

處理問題類型：決策、評價、分析、預(yù)測等。

建立層次分析結(jié)構(gòu)模型是關(guān)鍵一步，要有主要決策層參與。

構(gòu)造成對比較陣是數(shù)量依據(jù)，應(yīng)由經(jīng)驗豐富、判斷力強的專家給出。第16頁,共67頁，2024年2月25日，星期天國家綜合實力國民收入軍事力量科技水平社會穩(wěn)定對外貿(mào)易美、俄、中、日、德等大國工作選擇貢獻收入發(fā)展聲譽關(guān)系位置供選擇的崗位例1

國家實力分析例2

工作選擇第17頁,共67頁，2024年2月25日，星期天過河的效益

A經(jīng)濟效益B1社會效益B2環(huán)境效益B3節(jié)省時間C1收入C2岸間商業(yè)C3當?shù)厣虡I(yè)C4建筑就業(yè)C5安全可靠C6交往溝通C7自豪感C8舒適C9進出方便C10美化C11橋梁D1隧道D2渡船D3（1）過河效益層次結(jié)構(gòu)例3

橫渡江河、海峽方案的抉擇第18頁,共67頁，2024年2月25日，星期天過河的代價

A經(jīng)濟代價

B1環(huán)境代價B3社會代價B2投入資金C1操作維護C2沖擊渡船業(yè)C3沖擊生活方式C4交通擁擠C5居民搬遷C6汽車排放物C7對水的污染C8對生態(tài)的破壞C9橋梁D1隧道D2渡船D2（2）過河代價層次結(jié)構(gòu)例3

橫渡江河、海峽方案的抉擇第19頁,共67頁，2024年2月25日，星期天待評價的科技成果直接經(jīng)濟效益

C11間接經(jīng)濟效益

C12社會效益

C13學(xué)識水平

C21學(xué)術(shù)創(chuàng)新

C22技術(shù)水平

C23技術(shù)創(chuàng)新

C24效益C1水平C2規(guī)模C3科技成果評價例4科技成果的綜合評價第20頁,共67頁，2024年2月25日，星期天三.層次分析法的若干問題

正互反陣的最大特征根是否為正數(shù)？特征向量是否為正向量？一致性指標能否反映正互反陣接近一致陣的程度？

怎樣簡化計算正互反陣的最大特征根和特征向量？

為什么用特征向量作為權(quán)向量？

當層次結(jié)構(gòu)不完全或成對比較陣有空缺時怎樣用層次分析法？第21頁,共67頁，2024年2月25日，星期天1.

正互反陣的最大特征根和特征向量的性質(zhì)定理1

正矩陣A的最大特征根

是正單根，對應(yīng)正特征向量w，且定理2n階正互反陣A的最大特征根

n,

=n是A為一致陣的充要條件。正互反陣的最大特征根是正數(shù)，特征向量是正向量。一致性指標定義合理第22頁,共67頁，2024年2月25日，星期天2.

正互反陣最大特征根和特征向量的簡化計算

精確計算的復(fù)雜和不必要

簡化計算的思路——一致陣的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反陣的列向量都應(yīng)近似特征向量，可取其某種意義下的平均。和法——取列向量的算術(shù)平均列向量歸一化算術(shù)平均精確結(jié)果:w=(0.588,0.322,0.090)T,=3.010第23頁,共67頁，2024年2月25日，星期天根法——取列向量的幾何平均冪法——迭代算法1）任取初始向量w(0),k:=0，設(shè)置精度

2)計算3）歸一化5)計算簡化計算4）若，停止；否則，k:=k+1,轉(zhuǎn)2第24頁,共67頁，2024年2月25日，星期天3.

特征向量作為權(quán)向量——成對比較的多步累積效應(yīng)問題一致陣A,權(quán)向量w=(w1,…wn)T,aij=wi/wjA不一致,應(yīng)選權(quán)向量w使wi/wj與

aij相差盡量?。▽λ衖,j)。用擬合方法確定w非線性最小二乘線性化——對數(shù)最小二乘結(jié)果與根法相同第25頁,共67頁，2024年2月25日，星期天

按不同準則確定的權(quán)向量不同，特征向量有什么優(yōu)點。成對比較Ci:Cj(直接比較）aij~1步強度aisasj~Ci通過Cs與Cj的比較aij(2)

~2步強度更能反映Ci對Cj的強度多步累積效應(yīng)體現(xiàn)多步累積效應(yīng)定理1特征向量體現(xiàn)多步累積效應(yīng)當k足夠大,Ak第i行元素反映Ci的權(quán)重求Ak的行和第26頁,共67頁，2024年2月25日，星期天4.不完全層次結(jié)構(gòu)中組合權(quán)向量的計算完全層次結(jié)構(gòu)：上層每一元素與下層所有元素相關(guān)聯(lián)不完全層次結(jié)構(gòu)設(shè)第2層對第1層權(quán)向量w(2)=(w1(2),w2(2))T已定第3層對第2層權(quán)向量w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)Tw2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T已得討論由w(2),W(3)=(w1(3),

w2(3))計算第3層對第1層權(quán)向量w(3）的方法貢獻O教學(xué)C1科研C2P2P1P3P4例:評價教師貢獻的層次結(jié)構(gòu)P1,P2只作教學(xué),P4只作科研,P3兼作教學(xué)、科研。C1,C2支配元素的數(shù)目不等第27頁,共67頁，2024年2月25日，星期天

不考慮支配元素數(shù)目不等的影響

仍用計算

支配元素越多權(quán)重越大用支配元素數(shù)目n1,n2對w(2)加權(quán)修正

若C1,C2重要性相同,w(2)=(1/2,1/2)T,

P1~P4能力相同,w1(3)=(1/3,1/3,1/3,0)T,w2(3)=(0,0,1/2,1/2)T公正的評價應(yīng)為：P1:P2:P3:P4=1:1:2:1

再用計算w(3)=(1/6,1/6,5/12,1/4)Tw(3)=(1/5,1/5,2/5,1/5)T

支配元素越多權(quán)重越小教學(xué)、科研任務(wù)由上級安排教學(xué)、科研靠個人積極性考察一個特例：第28頁,共67頁，2024年2月25日，星期天5.

殘缺成對比較陣的處理mi~A第i行中

的個數(shù)

為殘缺元素輔助矩陣第29頁,共67頁，2024年2月25日，星期天6.

更復(fù)雜的層次結(jié)構(gòu)

遞階層次結(jié)構(gòu)：層內(nèi)各元素獨立，無相互影響和支配；層間自上而下、逐層傳遞，無反饋和循環(huán)。

更復(fù)雜的層次結(jié)構(gòu)：層內(nèi)各元素間存在相互影響或支配；層間存在反饋或循環(huán)。制動底盤車輪方向盤發(fā)動機減震裝置剎車轉(zhuǎn)向運行加速性能汽車行駛性能汽車1汽車2汽車n……例第30頁,共67頁，2024年2月25日，星期天

層次分析法的優(yōu)點

系統(tǒng)性——將對象視作系統(tǒng)，按照分解、比較、判斷、綜合的思維方式進行決策——系統(tǒng)分析（與機理分析、測試分析并列）；

實用性——定性與定量相結(jié)合，能處理傳統(tǒng)的優(yōu)化方法不能解決的問題；

簡潔性——計算簡便，結(jié)果明確，便于決策者直接了解和掌握。層次分析法的局限

囿舊——只能從原方案中選優(yōu)，不能產(chǎn)生新方案；

粗略——定性化為定量，結(jié)果粗糙；

主觀——主觀因素作用大，結(jié)果可能難以服人。第31頁,共67頁，2024年2月25日，星期天8.2循環(huán)比賽的名次

n支球隊循環(huán)賽，每場比賽只計勝負，沒有平局。

根據(jù)比賽結(jié)果排出各隊名次方法1：尋找按箭頭方向通過全部頂點的路徑。123456312456146325方法2：計算得分：1隊勝4場，2,3隊各勝3場，4,5隊各勝2場，6隊勝1場。無法排名2,3隊，4,5隊無法排名6支球隊比賽結(jié)果……第32頁,共67頁，2024年2月25日，星期天123(1)123(2)1234(1)1234(2)1234(3)1234(4)循環(huán)比賽的結(jié)果——競賽圖每對頂點間都有邊相連的有向圖3個頂點的競賽圖名次{1，2，3}{(1,2,3)}并列{1,2,3,4}{2,(1,3,4)}{(1,3,4),2}4個頂點的競賽圖名次{(1,2),(3,4)}{1,2,3,4}?第33頁,共67頁，2024年2月25日，星期天123412341234(1)(2)(3)1234(4)競賽圖的3種形式

具有唯一的完全路徑，如(1)；

雙向連通圖——任一對頂點存在兩條有向路徑相互連通，如(4)；

其他，如(2)，(3)。競賽圖的性質(zhì)

必存在完全路徑；

若存在唯一的完全路徑，則由它確定的頂點順序與按得分排列的順序一致，如(1)。第34頁,共67頁，2024年2月25日，星期天1234(4)雙向連通競賽圖G=(V,E)的名次排序鄰接矩陣得分向量第35頁,共67頁，2024年2月25日，星期天雙向連通競賽圖的名次排序

對于n(>3)個頂點的雙向連通競賽圖，存在正整數(shù)r，使鄰接矩陣A滿足Ar>0，A稱素陣

素陣A的最大特征根為正單根

，對應(yīng)正特征向量s，且排名為{1，2，4，3}用s排名1234(4){1,2,3,4}?第36頁,共67頁，2024年2月25日，星期天1234566支球隊比賽結(jié)果排名次序為{1，3，2，5，4，6}第37頁,共67頁，2024年2月25日，星期天v1—能源利用量；v2—能源價格；v3—能源生產(chǎn)率；v4—環(huán)境質(zhì)量；v5—工業(yè)產(chǎn)值；v6—就業(yè)機會；v7—人口總數(shù)。8.3社會經(jīng)濟系統(tǒng)的沖量過程系統(tǒng)的元素——圖的頂點元素間的影響——帶方向的弧影響的正反面——弧旁的+、–號帶符號的有向圖影響——直接影響符號——客觀規(guī)律；方針政策例能源利用系統(tǒng)的預(yù)測+-+-++++--+v2v1v3v4v6v7v5第38頁,共67頁，2024年2月25日，星期天帶符號有向圖G1=(V,E)的鄰接矩陣AV~頂點集E~弧集定性模型-vivj+某時段vi

增加導(dǎo)致下時段vj

增加減少帶符號的有向圖G1+-+-++++--+v2v1v3v4v6v7v5第39頁,共67頁，2024年2月25日，星期天加權(quán)有向圖G2及其鄰接矩陣W定量模型某時段vi

增加1單位導(dǎo)致下時段vj

增加wij單位v70.311.511.51.20.8-2-2-0.7-0.5v1v2v3v4v5v6加權(quán)有向圖G2第40頁,共67頁，2024年2月25日，星期天沖量過程（PulseProcess)研究由某元素vi變化引起的系統(tǒng)的演變過程vi(t)~vi在時段t的值；pi(t)~vi在時段t的改變量(沖量)沖量過程模型或第41頁,共67頁，2024年2月25日，星期天231-10010-12-21-110-11-11-10103-32-211-1能源利用系統(tǒng)的預(yù)測簡單沖量過程——初始沖量p(0)中某個分量為1，其余為0的沖量過程若開始時能源利用量有突然增加，預(yù)測系統(tǒng)的演變設(shè)能源利用系統(tǒng)的p(t)和v(t)-110-11-100011-100000100000010000000第42頁,共67頁，2024年2月25日，星期天簡單沖量過程S的穩(wěn)定性

任意時段S的各元素的值和沖量是否為有限(穩(wěn)定)S不穩(wěn)定時如何改變可以控制的關(guān)系使之變?yōu)榉€(wěn)定S沖量穩(wěn)定~對任意i,t,|pi(t)|有界S值穩(wěn)定~對任意i,t,|vi(t)|有界值穩(wěn)定沖量穩(wěn)定S的穩(wěn)定性取決于W的特征根記W的非零特征根為

第43頁,共67頁，2024年2月25日，星期天

S沖量穩(wěn)定

|

|1

S沖量穩(wěn)定

|

|1且均為單根

S值穩(wěn)定

S沖量穩(wěn)定且

不等于1對于能源利用系統(tǒng)的鄰接矩陣A特征多項式能源利用系統(tǒng)存在沖量不穩(wěn)定的簡單沖量過程簡單沖量過程S的穩(wěn)定性第44頁,共67頁，2024年2月25日，星期天簡單沖量過程的穩(wěn)定性改進的玫瑰形圖S*

~帶符號的有向圖雙向連通，且存在一個位于所有回路上的中心頂點?；芈烽L度~構(gòu)成回路的邊數(shù)回路符號~構(gòu)成回路的各有向邊符號+1或-1之乘積ak~長度為k的回路符號和r~使ak不等于0的最大整數(shù)S*沖量穩(wěn)定

若S*沖量穩(wěn)定，則S*值穩(wěn)定

+-+-++++--+v2v1v3v4v6v7v5第45頁,共67頁，2024年2月25日，星期天簡單沖量過程S*的穩(wěn)定性a1=0,

a2=(-1)v1v2

(-1)v2v1=1a3=(+1)v1v3v5v1+(-1)v1v4v7v1+(+1)v1v3v2v1=1,a4=0,a5=1,r=5S*沖量穩(wěn)定

(-1)v1v2

(+1)v1v2(由鼓勵利用變?yōu)橄拗评?

a2

=-1+S*沖量不穩(wěn)定A的特征多項式S*沖量穩(wěn)定S*沖量穩(wěn)定

|

|1且均為單根v1~利用量,v2~價格v7+-+-++++--+v2v1v3v4v6v5第46頁,共67頁，2024年2月25日，星期天

若S*沖量穩(wěn)定，則S*值穩(wěn)定

S*沖量穩(wěn)定

v3—能源生產(chǎn)率v5—工業(yè)產(chǎn)值(-1)v3v5違反客觀規(guī)律S*值不穩(wěn)定S*值穩(wěn)定(+1)v3v5

(-1)v3v5能源利用系統(tǒng)的值不應(yīng)穩(wěn)定？-+-+++++--+v2v1v3v4v6v7v5+第47頁,共67頁，2024年2月25日，星期天8.4

效益的合理分配例甲乙丙三人合作經(jīng)商，若甲乙合作獲利7元，甲丙合作獲利5元，乙丙合作獲利4元，三人合作獲利11元。又知每人單干獲利1元。問三人合作時如何分配獲利？記甲乙丙三人分配為解不唯一(5，3，3)(4，4，3)(5，4，2)……第48頁,共67頁，2024年2月25日，星期天(1)

Shapley合作對策[I,v]~n人合作對策，v~特征函數(shù)~n人從v(I)得到的分配，滿足v(s)~子集s的獲利第49頁,共67頁，2024年2月25日，星期天公理化方法

s

~子集s中的元素數(shù)目，

Si~包含i的所有子集~由

s

決定的“貢獻”的權(quán)重Shapley值~i對合作s的“貢獻”Shapley合作對策第50頁,共67頁，2024年2月25日，星期天三人(I={1,2,3})經(jīng)商中甲的分配x1的計算1/31/61/61/311213I17511011416471/312/37/3x1=13/3類似可得x2=23/6,x3=17/61223第51頁,共67頁，2024年2月25日，星期天合作對策的應(yīng)用例1污水處理費用的合理分擔20km38km河流三城鎮(zhèn)地理位置示意圖123

污水處理，排入河流三城鎮(zhèn)可單獨建處理廠，或聯(lián)合建廠(用管道將污水由上游城鎮(zhèn)送往下游城鎮(zhèn))Q1=5Q3=5Q2=3Q~污水量，L~管道長度建廠費用P1=73Q0.712管道費用P2=0.66Q0.51L第52頁,共67頁，2024年2月25日，星期天污水處理的5種方案1）單獨建廠總投資2）1,2合作3）2,3合作4）1,3合作總投資總投資合作不會實現(xiàn)第53頁,共67頁，2024年2月25日，星期天5）三城合作總投資D5最小,應(yīng)聯(lián)合建廠

建廠費：d1=73(5+3+5)0.712=45312管道費：d2=0.6650.5120=3023管道費：d3=0.66(5+3)0.5138=73D5城3建議：d1按5:3:5分擔,d2,d3由城1,2擔負城2建議：d3由城1,2按5:3分擔,d2由城1擔負城1計算：城3分擔d15/13=174<C(3),

城2分擔d13/13+d33/8

=132<C(2),

城1分擔d15/13+d35/8+d2

=250>C(1)不同意D5如何分擔？第54頁,共67頁，2024年2月25日，星期天特征函數(shù)v(s)~聯(lián)合(集s)建廠比單獨建廠節(jié)約的投資~三城從節(jié)約投資v(I)中得到的分配Shapley合作對策第55頁,共67頁，2024年2月25日，星期天計算城1從節(jié)約投資中得到的分配x111213I0400640002504003912231/31/61/61/3

06.7

013

x1=19.7,城1C(1)-x1=210.4,城2C(2)-x2=127.8,城3C(3)-x3=217.8三城在總投資556中的分擔x2=32.1,x3=12.2x2最大，如何解釋？第56頁,共67頁，2024年2月25日，星期天合作對策的應(yīng)用例2派別在團體中的權(quán)重90人的團體由3個派別組成，人數(shù)分別為