2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題專講：系數(shù)放縮

第42講系數(shù)放縮

若已知W(X)>g(x),其中a>0且a是/(x)的系數(shù),要證明/z(x)?/(x)>g(x)恒成立，

只需要證

明〃(x)Na即可，也就是把//(x)作為的系數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)放縮，這種放縮方式，稱之為系數(shù)放

縮.

【例1】證明：4sinx+2xlnx-3x2-l<0.

【解析】證明：所證不等式等價(jià)于《3x-21nx+：，4sinx.

由三角不等式可得x〉sinx>0,只需證明3x-21nx+^之4即可.

x

、幾ci11\n213%2―2%-1(3x+l)(x-1)

lxh(x)=3x-21nxH—?h(x)=3----..-=----------

XXXX

.?.〃(%)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+00)上單調(diào)遞增.

/.h{x}>〃(1)=4,BP3%-2Inx+—>4

x

由三角不等式可得x>sinx>0.

/.xf3x-21nx+—j>4sinx,原不等式得證.

［例2］已知函數(shù)/(幻=處三，設(shè)g(x)=12+“(%),其中廣⑴為/(%)的導(dǎo)函數(shù).證明:

對(duì)Vx>0,g(x)<1+e-2.

—ex-(Inx+l)exInx-1

【解析】證明：八幻=^-----3-----—--.

e*e

所證不等式等價(jià)于：

f---Inx—1j%

(x2+x)x----------<1+e-20l-x]nx-x<——[1+e-2

設(shè)j?(x)=\-x\nx-x,則"(x)=-l-lnx-l=-lnx-2.

令//(%)>0=-lnx-2〉0=x<e—2.

.?.〃(%)在(0,。一2)單調(diào)遞增，在2,+oo)單調(diào)遞減.

/.p{x)</2(e-2)=l+e-2.

一2),只需證—>1oe">x+1.

)x+1

設(shè),。)=e"—x—1,q'(x)=ex-1,令[(x)>0解得x>0.

.?.9(x)在(0,+8)單調(diào)遞增.

x

e

>9(°)=0.e>x+1---->1.

x+1

.?.l-xlnx-x<^(l+e-2),即原不等式得證.

x+P)

【例3】已知函數(shù)/(x)=---Inx-冽x(加￡R).若冽=1,求

x

證:(/(x)+x-tz)ln(x+lj-l<—

e"+

【解析】證明：要證(：-lnx-ajn(x+l)-1<3，

日口、/ln(x+1)ea+i+1

艮口證(1-xlnx-辦)義----<-.

t己A(x)=1-xlnx-ax,貝!Jh'(x)=-Inx-1-?.

令1(x)=0得x=e-(a+1).

當(dāng)XE(0,e—(-i))時(shí)，h\x)>0"(%)單調(diào)遞增.

當(dāng)了￡卜一("+1),+00)時(shí)，h\x)<0"(%)單調(diào)遞減.

二"(x)WMe—S+D)=1+擊=?

1—Y

令k(x)=ln(l+x)—x(x>0),貝！Jk\x)=-----1=-----<0，

1+x1+x

.?.左(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞減.

貝(I女(%)〈后(0)=0,

即ln(l+x)<x(x>0)恒成立.

八1、ln(x+1)ea+i+1后—一

/.(1-xlnx-ax)x-------<————怛成乂.

?二(/(%)+%-〃)ln(x+1)-1<

已證不等式放縮

這一類題目無(wú)法直接用常用的不等式進(jìn)行放縮，但其題目特征也比較明顯，通常第一小問(wèn)會(huì)

產(chǎn)生一個(gè)

不等式，它可用于后面小問(wèn)的放縮，而且最后一小問(wèn)的不等式證明一般會(huì)比較麻煩.

【例1】已知函數(shù)/(x)=xlnx+qx+l,(7eR.

(1)當(dāng)%>0時(shí)，若關(guān)于x的不等式“X)2(恒成立，求。的取值范圍.

(2)當(dāng)工￡(1,+oo)時(shí)，證明：――<Inx<x2-x

e

【解析】⑴由/(x)?0得-aVlnx+~l■恒成立.

X

令〃(x)=lnx+L貝!JM(x)=1-1=土二

xXXX

.?.〃(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+8)上單調(diào)遞增.

「?》(X)min=〃⑴=L

q?l,即a11,故a的取值范圍是[-1,+8).

⑵證明由(1)題知，。=一1時(shí)，Wxlnx>x-1,

①要證@二D<lnx,可證過(guò)二只需證e'-Gx.

exexx

易證e'2x+l(證明略)，e"-1>x.

②要證Inxvi—x,可證lnx<x-l.

易證Inx<x-1(證明略)，由于x〉1,/.x-1>0./.x-1<x(x-1)=x2-x

:.]nx<x2-x.

綜上所述，當(dāng)%￡(l,+oo)時(shí)，―—<lnx<x2-%.

【例2】已知函數(shù)/(X)=xlnx+e”.

(1)討論函數(shù)g(x)=/(x)-(e+l)x的單調(diào)性.

2

(2)證明：對(duì)任意X￡(0,+00),/(%)>Ty+X—l恒成立.

【解析】⑴g(x)=xlnx+-(e+l)x,定義域?yàn)?0,+8),

g'(x)=lnx+l+ex-e-l=lnx+ex-e.

,/g(x)=—+ex>0,

x

：.函數(shù)g<x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,且g⑴=0.

.?.在(0,1)上，g<x)<0.在(1,+8)上，g\x)>0.

函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增.

⑵證明由(1)題可知，g(x)1nhi=g(l)=—l｝，即/(x)2(e+l)x—1.

要證f(x)>+x-1,只需證(e+l)x—l2-^y+x—l,.

e“—ex~eex

y1—y

令h(x)=——,則〃(x)=——.當(dāng)xe(0,1)時(shí)，〃(x)>0/(x)單調(diào)遞增.

ex/

當(dāng)xe(1,+oo)時(shí)h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減.

11y

故人(X)max=硝)=一，即一2二.

eee

2一

，對(duì)任意X￡(0,+8)x+%—1恒成立.

【例3】已知〃x)=lnx+Qx2+(a+2)x+l(aeR).

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)設(shè)aeZ,對(duì)任意x>0,/(%)40恒成立，求整數(shù)a的最大值;

(3)求證：當(dāng)x>0時(shí)，ex-xlnx+2x3-x2+x-1>0.

【解析】⑴/(x)=Inx+ax2+(tz+2)x+1(tzGR),

1+2ax2+(a+2)x_(2x+1)(QX+1)

f(%)——F2dv+(a+2)—(x>0)

xxx

①若a20,則r(X)>0,函數(shù)在(0,+8)上為增函數(shù).

②若a<0,由廣(x)>0可得0<x<-■-.由f'{x)<0可得%>--

aa

因此〃x)在(0,-L1］上為增函數(shù)，在1-1

，+00上為減函數(shù).

aa

(2)若〃之0,則/⑴=2Q+3>0,不滿足題意.

0,則/(x)在(0,-J上為增函數(shù)，在1

若4V——,+00上為減函數(shù).

a

J/(\x)/max=f,In<0.

設(shè)g(x)=Inx+x,貝！Jg<0.

?.?g，(x)=L+l>0,;.g(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增.

且g(l)=l>0,gln-+-<0.

22

(g,1)使得g(x())=0.

故存在唯一￡

當(dāng)X￡(O,Xo)時(shí)，g(x)<0.當(dāng)XG(x0,+oo)時(shí)，g(x)>0.

0<—WXQ，角舉得QW---.---G(—2,—1)J1.q￡Z,QW—2.

a%而

綜上，a的最大值為-2.

⑶證明由(2)題可知，a=-2時(shí)，/(x)=lnx-2x2+1<0.

:.]nx<2x2-1,-xlnx>-2x3+x.

ex-xlnx+2x3-x1+x-\>ex-2x3+x+2x3-x2+x-1=ex-x2+2x-1.

t己〃(x)=ex-x2+2x-l(x>0),則u\x)=ex-2x+2.

記h(x)=ex-2x+2,貝！J〃(x)=ex-2.

由h，(x)=/一2=0可得％=1112.

xG(0,In2),hf(x)<0；x￡(ln2,+8),/(x)〉0.

函數(shù)〃(%)在(0,ln2)上單調(diào)遞減，在(ln2,+oo)上單調(diào)遞增.

〃('>皿詁="Qn2)=e1n2—21n2+2=4—21n2〉0.

/.h(x)>0.優(yōu)(x)>0,函數(shù)〃(x)>0.

.?.〃0)在(0,+oo)上單調(diào)遞增..?./%)>〃(0)=0.

BPex—x2+2x-1>0,ex—xlnx+2x3—x2+x—1>0.

凹凸性切線放縮

如果要證明的兩個(gè)函數(shù)一個(gè)是凹函數(shù)/(x)(向下凸出的函數(shù))，一個(gè)是凸函數(shù)g(x)(向上凸

出的函數(shù))，

則證明了(x)Wg(x)時(shí)，去找它們的共切線y=+6,只需要證明了(x)NyNg(x)即可，這

個(gè)證明過(guò)程稱為凹凸性切線放縮.

【例1】已知函數(shù)〃x)=lnx_L2,證明：/(x)w』ljx4+1_3.

444

【解析】證明：將原式變形為41nx-fw077工-3,兩個(gè)函數(shù)有公共點(diǎn)(1,-1),

函數(shù)e(x)=41n無(wú)一f在(1,一1)的切線為y=2x-3.g(x)=JiJZI-3在(1,-1)的切線

也是y=2x-3,兩個(gè)曲線一個(gè)上凸，?個(gè)下凸，41nx-尤2M2x-3W也《X，+1-3.

e(x)和g(x)圖像,如下圖所示.

【例2】已知函數(shù)〃x)=e，*.

(1)求曲線〃x)在x=l處的切線方程;

e<+2ex1

(2)求證：當(dāng)x>0時(shí)，(-)->inx+i.

X

【解析】(1)/(x)=ex-x2,f\x)=ex-2x,由題設(shè)得/'⑴=e-2,〃l)=e-l.

曲線f(x)在x=l處的切線方程為尸=(e-2)(x-1)+e-1,即y=(e-2)x+1.

(2)證明令g(x)=/，(x),則g<x)=e*-2,

當(dāng)x<In2時(shí)，g\x)<0.當(dāng)x>In2時(shí)，g〈x)>0.

函數(shù)g(x)=/，(x)在(-8,In2)上單調(diào)遞減，在(ln2,+oo)上單調(diào)遞增，

g(》心=g(ln2)=/,(In2)=2-21n2