2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸類與強(qiáng)化測(cè)試（新高考專用）函數(shù)與方程 含解析

專題13函數(shù)與方程

知考綱要求

識(shí)考點(diǎn)預(yù)測(cè)

梳常用結(jié)論

理方法技巧

題題型一：函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判定

型題型二：函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定

歸題型三：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)

類題型四：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的范圍求參數(shù)

訓(xùn)練一：

培訓(xùn)練二：

優(yōu)訓(xùn)練三：

訓(xùn)訓(xùn)練四：

練訓(xùn)練五：

訓(xùn)練六：

強(qiáng)單選題：共8題

化多選題：共4題

測(cè)填空題：共4題

試解答題：共6題

一、【知識(shí)梳理】

【考綱要求】

1.理解函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的聯(lián)系.

2.理解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.

3.了解用二分法求方程的近似解.

【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】

1.函數(shù)的零點(diǎn)

(1)概念：對(duì)于一般函數(shù)y=/(x),我們把使.3三色的實(shí)數(shù)X叫做函數(shù)N=/(x)的零點(diǎn).

(2)函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)、對(duì)應(yīng)方程的根的關(guān)系：

2.函數(shù)零點(diǎn)存在定理

(1)條件：①函數(shù)y=/(x)在區(qū)間⑷切上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線；②33<0.

(2)結(jié)論：函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,6)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在c￡(a,b),使得Rc)=O,這個(gè)

c也就是方程/(x)=0的解.

【常用結(jié)論】

1.若連續(xù)不斷的函數(shù)兀0在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則段)至多有一個(gè)零點(diǎn).函數(shù)的零點(diǎn)不是一個(gè)

“點(diǎn)”,而是方程貝x)=o的實(shí)根.

2.由函數(shù)y=/(x)(圖象是連續(xù)不斷的)在閉區(qū)間口，切上有零點(diǎn)不一定能推出，弗x)

如圖所示，所以人。)大6)<0是歹=/)在閉區(qū)間口，切上有零點(diǎn)的充o|?</i

分不必要條件.

3.周期函數(shù)如果有零點(diǎn)，則必有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn).

【方法技巧】

1.確定函數(shù),/(%)的零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法：

(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：首先看函數(shù)歹=危)在區(qū)間口，切上的圖象是否連續(xù)，再看是否有

/(a)：/(b)<0.若有，則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)必有零點(diǎn).

(2)數(shù)形結(jié)合法：若一個(gè)函數(shù)(或方程)由兩個(gè)初等函數(shù)的和(或差)構(gòu)成，則可考慮用圖象法求解，

如/(x)=g(x)—4(x),作出y=g(x)和y=//(x)的圖象，其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)人x)的零點(diǎn).

2.函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定有下列幾種方法

(1)直接求零點(diǎn)：令/(x)=0,如果能求出解，那么有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).

(2)零點(diǎn)存在定理：利用該定理不僅要求函數(shù)在口，句上是連續(xù)不斷的曲線，且次0)負(fù)6)<0,還

必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)(如單調(diào)性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).

(3)畫(huà)兩個(gè)函數(shù)圖象，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)有幾個(gè)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)

不同的零點(diǎn).

3.已知函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)，主要方法有：

①直接求方程的根，構(gòu)建方程(不等式)求參數(shù)；

②數(shù)形結(jié)合；

③分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.

4.已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，常利用數(shù)形結(jié)合法將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題,

需準(zhǔn)確畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用圖象寫(xiě)出滿足條件的參數(shù)范圍.

5,函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題一般可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，通過(guò)畫(huà)圖分析圖象的特征、圖象間

的關(guān)系解決問(wèn)題，提升直觀想象核心素養(yǎng).

二、【題型歸類】

【題型一】函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判定

【典例1】已知函數(shù)_/(x)=6—log加.在下列區(qū)間中，包含火x)零點(diǎn)的區(qū)間是()

X

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,4)D.(4,+8)

【解析】_/(x)在(0,+8)為減函數(shù)，又大1)=6>0,{2)=2>0,H4)=；3-2=一；1<0.故選C.

【典例2】函數(shù)/(x)=lnx—2的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是()

x

A.(1,2)B.(2,3)

C.(1,e)和(3,4)D.(e,+~)

【解析】???/'(x)="L+W>0(x>0),."(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，又/(3)=ln3—(>0,/(2)=ln2

xxl3

-IVO,.；/(2)：/(3)V0,.?.火x)唯一的零點(diǎn)在區(qū)間(2,3)內(nèi).故選B.

【典例3】(多選)函數(shù)/(x)=e、-x—2在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)必有零點(diǎn)()

A.(-2,-1)B.(-1,0)

C.(0,1)D.(1,2)

【解析】八一2)=4>0,八-1)=1-1<0,

ee

X0)=-l<0,y(l)=e-3<0,

,/(2)=e2-4>0,

因?yàn)?(一2)：/(—1)<0,./(l)：/(2)<0,

所以次x)在(一2,—1)和(1,2)內(nèi)存在零點(diǎn).

故選AD.

【題型二】函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定

0,OVxWl,

【典例1】已知函數(shù)/(x)=|lnx|,g(x)=，,則方程|/(x)+g(x)|=l實(shí)根

|x2-4|—2,x>L

的個(gè)數(shù)為.

【解析】由題意知，方程|/(x)+g(x)|=l實(shí)根的個(gè)數(shù)即為函數(shù)y=/(x)與y=l—g(x)交點(diǎn)個(gè)數(shù)及函

1,OVxWl,

數(shù)丁=?0與y=—l—g(x)交點(diǎn)個(gè)數(shù)之和，而歹=1—g(x)=,7—x2,x22,作圖易知函

x2—1,1VXV2,

-1,0<x<l,

數(shù)V=/(x)與y=l—g(x)有兩個(gè)交點(diǎn)，又y=-1—g(x)=，5—爐，x》2,作圖易知函

x2-3,1VXV2,

數(shù)y=Wx)與y=-i—g(x)有兩個(gè)交點(diǎn)，因此共有4個(gè)交點(diǎn)?故填4.

x2—2xV0

【典例2】函數(shù)/(》)=?'''的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________.

.2r—6+lnx,x>0

2

【解析】當(dāng)xWO時(shí),J(X)=X—29

令X2—2=0,得工=啦(舍)或x=一/，

即在區(qū)間(一8,0]±,函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)x>0時(shí)，y(x)=2x—6+lnx,

解法一：令2x—6+lnx=0,得lnx=6—2x.

作出函數(shù)y=lnx與y=6—2x在區(qū)間(0,+8)上的圖象，易得兩函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即函

數(shù)/(x)=2x—6+lnx(x>0)只有一個(gè)零點(diǎn).

解法二：/(%)=2+-,由x>0知/(x)>0,

X

.?.凡。在(0,+8)上單調(diào)遞增，

而y(l)=14V0,/e)=2e-5>0,

Xl)/(e)<0,從而/(x)在(0,+8)上只有一個(gè)零點(diǎn).

綜上可知，函數(shù)人x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2.故填2.

【典例3】函數(shù)/(x)=|x-2]一lnx在定義域內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【解析】由題意可知人x)的定義域?yàn)?0,+°°),在同一直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y=k—2|(x>0),

y=lnx(x>0)的圖象，如圖所示.

-vty=lx-2|（x>0）

x（x>0）

0/12x

由圖可知函數(shù)y（x）在定義域內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.

【題型三】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)

|x2+2x|,xWO,

【典例1】已知函數(shù)｛x）=」,工>0,若關(guān)于x的方程"）一。。+3）=0有四個(gè)不同的

x

實(shí)根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.（一8,4-2氈）B.（4+2收+8）

C.[0,4-2近D.（0,4-2峋

【解析】畫(huà)出/（X）的函數(shù)圖象，

設(shè)y=a（x+3）,該直線恒過(guò)點(diǎn)（一3,0）,

結(jié)合函數(shù)圖象，

若y=a（x+3）與y=—》2—2r相切，

聯(lián)立得N+（a+2）x+3a=0,

/=3+2）2—⑵=0,

得a=4—2g（a=4+23舍），

若./（x）=a（x+3）有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,

則0<tz<4—2^/3.

故選D.

【典例2]若函數(shù),危）=》2一巾+1在區(qū)間g'3）上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.（2,+8）B.[2,+~）C.2'JD.2,y]

【解析】由題意知方程ax=f+l在上有實(shí)數(shù)解，

即a=x+，在0上有解，設(shè)/=x+L,xeg，3],則/的取值范圍是3.所以實(shí)數(shù)a的

XX

取值范圍是日.

故選D.

x2—1,x<l,

【典例3】已知函數(shù)/(x)=logjxNi,若關(guān)于x的方程大》)=人有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)

人的取值范圍是.

【解析】關(guān)于x的方程逃刈=左有三個(gè)不同的實(shí)根，等價(jià)于函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=上的圖象有三

個(gè)不同的交點(diǎn)，作出函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知實(shí)數(shù)％的取值范圍是(一1,0).

【題型四】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的范圍求參數(shù)

【典例1】已知函數(shù)人》)=3、一上匕之若存在x°e(—8,-1),使得｛xo)=O,則實(shí)數(shù)。的取值

X

范圍是()

A.卜8,號(hào)B(0,3]

C.(一8,0)D.bJ

【解析】由/(x)=3f-1±^=0,

X

可得a=3”——,

x

令g(x)=3x—L其中x￡(—8,—1),

X

由于存在xoW(—8,—1),使得人xo)=o,

則實(shí)數(shù)a的取值范圍即為函數(shù)g(x)在(一8,—1)上的值域.

由于函數(shù)歹=3。歹=—,在區(qū)間(-8,—1)上均單調(diào)遞增，所以函數(shù)g(x)在(一8,—1)上單調(diào)

X

遞增.

當(dāng)x￡(—8,—1)時(shí)，

14

#)=3、<3〔+1=’，

x3

又g(x)=3?—，>0,

x

所以函數(shù)g(x)在(一8,—1)上的值域?yàn)镮'

因此實(shí)數(shù)a的取值范圍是,T

故選B.

【典例2]若函數(shù)4)=(加-21+加x+2m+1的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間(一1,0)和區(qū)間(1,2)內(nèi)，則

m的取值范圍是.

加W2,

【解析】依題意，結(jié)合函數(shù)/(X)的圖象分析可知，加需滿足1)負(fù)0)<0,

/(1)：/(2)<0,

加W2,

即,(加一2—zn+2"?+l)(2w+1)<0,

(jn-2+/M+2/W+l)-[4(/n-2)+2m+2m+1]<0,

解得！<加<1.

42

【典例3】若函數(shù)4幻=3辦+1—2a在區(qū)間(一1,1)上存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

()

A.aJB.或〃v-1

5

C.—1<a<-D.a<—1

5

【解析】由題可知函數(shù)次幻的圖象是一條直線，所以｛x)在區(qū)間(-1,1)上存在一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于

即(1-5a)(a+l)V0.解得或aV-l.故選B.

三、【培優(yōu)訓(xùn)練】

【訓(xùn)練一】若關(guān)于x的方程耳=去2有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則％的取值范圍為()

x+4

fl+ool

Cl4JD.(1,+8)

【解析】因?yàn)楹?后2有四個(gè)實(shí)數(shù)解，

x+4

顯然，x=0是方程的一個(gè)解，

下面只考慮xWO時(shí)有三個(gè)實(shí)數(shù)解即可.

若x>0,原方程等價(jià)于l=bc(x+4),

顯然左W0,則l=x(x+4).

k

要使該方程有解，必須上>0,

則;+4=(x+2)2,此時(shí)x>0,方程有且必有一解；

K

所以當(dāng)x<0時(shí)必須有兩解，當(dāng)x<0時(shí)，

原方程等價(jià)于-1=Ax(x+4),

即一J=x(x+4)(x<0且xW—4),要使該方程有兩解，

k

必須一4<一上0,

K

所以上」

4

所以實(shí)數(shù)上的取值范圍為I，+°°1

故選C.

【訓(xùn)練二】已知M={a|/(a)=0},N={%的)=0},若存在夕WN,使得|a一川<〃，則稱

函數(shù)_/(x)與g(x)互為“〃度零點(diǎn)函數(shù)".若段)=32r—l與g(x)=x2—aet互為“1度零點(diǎn)函數(shù)”，

則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

【解析】由題意可知人2)=0,且./(X)在R上單調(diào)遞減，所以函數(shù)Hx)只有一個(gè)零點(diǎn)2,由|2一

p\<\,得1干<3,所以函數(shù)g(x)=X2—ae，在區(qū)間(1,3)上存在零點(diǎn).

,x2

由g(x)=x2-4^=0,得〃=一,

ev

令/2(x)=V,則%'(幻=生"=這二"，所以〃(x)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(2,3)上單調(diào)

eAevcx

n4

遞減，且/?(1)=1,/z(2)=—,//(3)=4>~,要使函數(shù)g(x)在區(qū)間(1,3)上存在零點(diǎn)，只需ae〔e'e2_.

ee，e’e

【訓(xùn)練三】設(shè)函數(shù)./(x)(x￡R)滿足/(—x)=/(x),/(x)=/(2-x),且當(dāng)x￡[0,1]時(shí)，/(x)=X3.又函

一_11

數(shù)g(x)=|xcos(nx)I,則函數(shù)6(x)=g(x)—/(x)在一2,1上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.5B.6C.7D.8

【解析】原問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)/⑴與g⑴的圖象在T，|］上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.由題意知函

2I1

數(shù)危)為偶函數(shù)，且周期為2.當(dāng)0,一/，g(x)=0,當(dāng)x=l時(shí)，g(x)=l,且式x)是

偶函數(shù)，g(x)20,由此可畫(huà)出函數(shù)y=g(x)和函數(shù)y=/(x)的大致圖象如圖所示，由圖可知在

_13

2'2上兩函數(shù)圖象有6個(gè)交點(diǎn)，故選B

4°li'i

【訓(xùn)練四】已知函數(shù)/(x)是偶函數(shù)，/(0)=0,且x>0時(shí)，/(x)是增函數(shù)，/(3)=0,則函數(shù)g(x)=

/(x)+lg|x+1|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.

【解析】畫(huà)出函數(shù)y=/(x)和夕=-lg|x+l|的大致圖象，如圖所示.

:.由圖象知，函數(shù)g(x)=/(x)+lg|x+l|的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3.

2|log2x|,0<x^2,

【訓(xùn)練五】已知函數(shù)若_Ax)="有四個(gè)零點(diǎn)a,b,c,d,求abed

(x—3)(x—4),x>2,

的取值范圍.

【解析】作出函數(shù)/(X)的圖象，不妨設(shè)a<b<c<d,

則一Iog2a=log2。，ab=\.

又根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，可知c+d=7,

.,.cd=c(l—c)=7c—c2(2<c<3),

：.}0<cd<\2,

，abed的取值范圍是(10,12).

xd—,x>0,

【訓(xùn)練六】已知函數(shù)./(x)=—N—2x,g(x)='4x若方程g(/U))—。=0有4個(gè)不同的

x+1,xWO,

實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【解析】令.危)="<1),則原方程化為g(f)=a有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

易知方程/(》)=/在(一8,])內(nèi)有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

則原方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于函數(shù)y=g⑺(/VI)與>=a的圖象有2個(gè)不同的交點(diǎn),

如圖，畫(huà)出函數(shù)g(。的圖象，

結(jié)合圖象可知，

即a的取值范圍是J'3

四、【強(qiáng)化測(cè)試】

【單選題】

1.函數(shù)/(x)=lnx——4一的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()

x—1

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)

【解析】函數(shù)/(x)=lnx------；在(1,+8)上單調(diào)遞增，且在(1,+8)上連續(xù).因?yàn)?(2)=hi2

x—1

-2<0,,/(3)=ln3-l>0,所以/(2)/(3)<0,所以函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(2,3).

故選B.

2.已知x=a是函數(shù)/(x)=2"-bg]x的零點(diǎn)，若O<xo<a,則兀⑹的值滿足()

2

A.y(xo)=OB.y(xo)>O

C.加：o)<OD./o)的符號(hào)不確定

【解析】f(x)=2*-logix在(0,+8)上單調(diào)遞增，且/(a)=o,

2

又O<xo<a,.../■))勺5)=0,即y(xo)<O.

故選C.

3.函數(shù)/(x)=x-cos2x在區(qū)間[0,2用上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

【解析】借助余弦函數(shù)的圖象求解./(x)=x?cos2x=0=>x=0或cos2x=0,又cos2x=0在［0,2兀］

上有當(dāng)當(dāng)產(chǎn)，子，共4個(gè)根，故原函數(shù)有5個(gè)零點(diǎn).故選D.

4444

4.若函數(shù)/(x)=2，-2一a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

x

A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)

【解析】由條件可知人1)/2)<0,

即(2—2—4)(4一1一4<0,即a(a-3)<0,

解得0<a<3,

故選C.

5.已知函數(shù)/(》)=/一2惘一加的零點(diǎn)有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為()

A.(-1,0)B.{-1}U(O,+8)

C.[-1,0)U(0,+0°)D.(0,1)

【解析】在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)_y=x2—2|x|的圖象和直線可知當(dāng)">0或"?

=—1時(shí)，直線y="?與函數(shù)y=/—2忖的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù),/(x)=x2—2|x|一有兩個(gè)零

點(diǎn)、.故選B.

6.已知函數(shù)/(x)=2'+x,g(x)=log3%+x,h(x)=x—~%的零點(diǎn)依次為b,c,則()

\jx

A.a<b<cB.c<b<a

C.c<a<hD.b<a<c

【解析】在同一直角坐標(biāo)系下分別畫(huà)出函數(shù)y=23y=logu，y=一丁的圖象，如圖，觀察它

們與y=~x的交點(diǎn)可知a<b<c9故選A.

7.函數(shù)/(工)=/一QX+1在區(qū)間匕’號(hào)上有零點(diǎn),

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(2,+oo)B.[2,+8)

c.,DD12,3

【解析】由題意知方程ax=x2+1在L，'J上有解，即q=x+，在[上有解，設(shè)/=》+1,x

XX

ri3]「2叫「2叫

￡匕'J,則r的取值范圍是1'34所以實(shí)數(shù)”的取值范圍是_'3」故選D.

8.若a<b<c,則函數(shù)7(x)=(x—a)(x—b)+(x—b)(x—c)+(x—c)(x—4)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)

間()

A.(a,b)和(b,c)內(nèi)

B.(—00,a)和(a,b)內(nèi)

C.(b,c)和(c,+8)內(nèi)

D.(—8,a)和(c,+8)內(nèi)

【解析】因?yàn)閍VbVc,所以,/(a)=(4—b)(“一c)>0,/(b)=3—c)(。-a)VO,./(c)=(c—a)(c—b)

>0,由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知，在區(qū)間(a,b),(h,c)內(nèi)分別存在零點(diǎn)，又函數(shù)./(X)是二次

函數(shù)，最多有兩個(gè)零點(diǎn).因此函數(shù)y(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間(a，b),(b,c)內(nèi)，故選A.

【多選題】

9.若函數(shù)/a)=,'、'有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值可能為()

1nx,x>0

A.-1B.-C.1D.2

2

【解析】當(dāng)x>0時(shí)，由./(x)=lnx=0,得x=L

因?yàn)楹瘮?shù)7U)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，

則當(dāng)x〈0時(shí)，函數(shù)/(x)=2*—a有一個(gè)零點(diǎn).

令於)=0,得。=”

因?yàn)?<2*忘2。=1,

所以0V/W1,所以BC正確.

故選BC.

10.已知函數(shù)危)=,'、'若X1<X2<X3<X4,且/1)=/2)=/3)=於4)=左，則下

|10g2X|,X>0,

列結(jié)論正確的是()

A.Xl+x2=-1B.X3X4=1

C.1<X4<2D.O<A<1

y2-x0

【解析】由函數(shù)次》)=,'、'作出其函數(shù)圖象如圖所示:

]10g2X|,X>0,

由圖可知，xi+x2=—2,—2<xi<—1；

當(dāng)產(chǎn)1時(shí)，|log2x|=l,有x=1,2,

所以不V3<1<X4<2；

2

由於3)=y(X4),#|10g2X3|=|10g2X4|,

即log2%3+log2X4=0,

所以X3X4=1,

由圖可知0<左<1,故選BCD.

11.已知函數(shù)/(x)=H—2ax+b|(xCR),給出下列命題，其中是真命題的是()

A.若，-6W0,則大x)在區(qū)間口，+8)上是增函數(shù)

B.存在adR,使得/(X)為偶函數(shù)

C.若/(0)=/(2),則/(x)的圖象關(guān)于x=l對(duì)稱

D.若層一6—2>0,則函數(shù)〃(》)=〃)-2有2個(gè)零點(diǎn)

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A,若解一6W0,則危)=|(%—“A+b—“y+b—42在區(qū)間+8)

上是增函數(shù)，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B,當(dāng)。=0時(shí)，/(x)=|/+b|顯然是偶函數(shù)，故B正確；對(duì)

于選項(xiàng)C,取"=0,b=~2,函數(shù)人》)=歸一2"+句化為人*)=|(一2],滿足大0)=/(2),但

的圖象關(guān)于x=l不對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D,如圖，a2-b-2>0,即為2V-2,即

a2~b>2,則力(x)=|(x—ap+b—/|—2有4個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選AB.

12.下列說(shuō)法中正確的是()

A.函數(shù)危)=x+l的零點(diǎn)為(一1,0)

B.函數(shù)"x)=x+l的零點(diǎn)為一1

C.函數(shù)7(x)的零點(diǎn)，即函數(shù)7U)的圖象與x軸的交點(diǎn)

D.函數(shù)/(x)的零點(diǎn)，即函數(shù)/(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

【解析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義，可知./(x)=x+l的零點(diǎn)為一1.

函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)，即函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因此B,D正確，A,C錯(cuò)

、口

沃.

故選BD.

【填空題】

lnx-x2+2x5x>0,

13.函數(shù)/(%)=,的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是.

敘+1，xWO

【解析】當(dāng)x>0時(shí)，作出函數(shù)y=lnx和y=N—2x的圖象，由圖知，當(dāng)x>0時(shí)，/(x)有2個(gè)零

，占、、、9?

當(dāng)啟。時(shí)，由危)=0,得x=一：.

綜上，Wx)有3個(gè)零點(diǎn).

答案：3

2"—a，x(0，

14.若函數(shù)/(x)=\有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【解析】當(dāng)x>0時(shí)，由於)=lnx=O,得x=l.因?yàn)楹瘮?shù)人幻有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，

函數(shù)/(》)=2*—4有一個(gè)零點(diǎn).令｛x)=0,得4=2'.因?yàn)?<2*W20=l,所以0<aWl,所以實(shí)數(shù)

a的取值范圍是(0,1].

答案：(0，1]

15.已知函數(shù)/(x)=，g(x)=/(x)+x+a.若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是

Inx，x>0'

【解析】函數(shù)g(x)=/(x)+x+a存在2個(gè)零點(diǎn)，即關(guān)于x的方程/(x)=-x-a有2個(gè)不同的實(shí)

根，即函數(shù)./(X)的圖象與直線y=-x—a有2個(gè)交點(diǎn)，作出直線y=-x—a與函數(shù)./(x)的圖象，

如圖所示，由圖可知，一aWl,解得aN—1.

【答案】(1)D(2)[-1,+8)

In(—x-1)5x<—15

16.函數(shù)加)=，、若函數(shù)g(x)=/(/(x))—a有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的

2x+1，x^—1，

取值范圍是.

【解析】設(shè)f=/(x),令g(x)=/(/(x))—a=0,則a=/(/).在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作y=a,y=

/(/)的圖象(如圖).當(dāng)—1時(shí)，與y=&)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).

設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為力，勿(不妨設(shè)則力<—1,攵2—1.

當(dāng)九<一1時(shí)，九=危)有一解；當(dāng)/2》一1時(shí)，f2=/(x)有兩解.綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)g(x)

=加力)一。有三個(gè)不同的零點(diǎn)?

【答案】[-1，+8)

【解答題】

17.設(shè)函數(shù)y(x)=I1XI(x>0).

(1)作出函數(shù)/(X)的圖象；

⑵當(dāng)0<a<b,且/(a)=/P)時(shí)，求1+J的值；

ab

(3)若方程/(x)=m有兩個(gè)不相等的正根，求m的取值范圍.

【解析】(1)如圖所示.

(2)因?yàn)?/)=I1xI

n

—1,(0,1],

x

1—1,(1,+°°)>

x

故y(x)在(0,1]上是減函數(shù)，而在(1,+8)上是增函數(shù)，

由0<a<b且/(a)=/(b),得0<a<\<b,

且1-1=1-L所以1+1=2.

ahab

(3)由(1)中函數(shù)兀c)的圖象可知，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的正根.所以〃？的

取值范圍是(0,1).

x+—，x>0，

18.已知函數(shù)y(x)=一d―2x,g(x)=’以

x+1'xWO.

(1)求g[/⑴]的值;

(2)若方程g[/(x)]—a=O有4個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【解析】(1)利用解析式直接求解得g[/(l)]=g(—3)=-3+l=-2.

(2)令./(x)=3則原方程化為g(f)=a,易知方程/(x)」在小(-8,1)上有2個(gè)不同的解，

則原方程有4個(gè)解等價(jià)于函數(shù)y=g(f)(f<l)與y=a的圖象有2個(gè)不同的交點(diǎn)，作出函數(shù)了=

虱的圖象，