遼寧省錦州市2023-2024學(xué)年高一年級(jí)上冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023?2024學(xué)年度第一學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.已知集合4=卜，'屋3},5={-1,0,1,3,5}則AB=（）

A.{1,3}B.{0,1,3}C.{-1,0,1,3}D.{x|x<3}

【答案】B

【詳解】A={xeN|x<3}={0,l,2,3},3={-1,0,1,3,5},

A3={0,1,3}.

故選：B.

2.命題“Vx>l,無(wú)—l>lnx”的否定為（）

A.V%<l,x-l<lnxB.Vx>l,x-l<lnx

C.3x<l,x-l<\nxD.3x>l,x-l<h\x

【答案】D

【詳解】全稱量詞命題否定是存在量詞命題，

因?yàn)槊}“Vx>1,x—1>Inx”是全稱量詞的命題，

則“\/%>1,%—1>111%”的否定為“3x>l,x-l<lnx,,,

故選：D.

3.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件A="第一枚硬幣正面朝上"，事件8="第二枚硬幣反面朝上”，則下

列對(duì)事件A,3的表述正確的是（）

A.A與8互為對(duì)立事件B.A與8互斥

C.A與2相互獨(dú)立D.P（AB）=1

【答案】C

【詳解】拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的所有結(jié)果是：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），

事件A包含的結(jié)果有：（正，正），（正，反），

事件3包含的結(jié)果有：（正，反），（反，反），事件A3包含的結(jié)果有：（正，反）,

所以A與8不互斥，且不對(duì)立，故A、B錯(cuò)誤;

又尸（A）=；,P（3）=g,P（AB）=：,所以P（A3）=P（3）P（A）,所以A與B相互獨(dú)立，故C正確，D

錯(cuò)誤.

故選：C.

4.已知己>5>0,下列不等式中正確的是（）

A.ab<b2B.—a2<—ab

cc11

C.->—D.--------<-------

aba-1b-1

【答案】B

【詳解】因a>b>0,可得〃2，〃人〉/>o，則_/<_"人，故A錯(cuò)誤，B正確;

例如c=o,可得￡=f=o,故c錯(cuò)誤；

ab

例如。=2力=工，可得二一=L，=—2,即‘〉'，故D錯(cuò)誤；

2a-1b-1a-1b-1

故選：B.

5.青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測(cè)量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視

力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足L=5+lgV.已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)

為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（）（啊m1.259）

A.0.8B.0.9C.1.2D.1.3

【答案】A

【詳解】因?yàn)長(zhǎng)=5+lgV,

所以V=1055,

代入數(shù)據(jù)可得1-=右=擊=+。。.8，

故選：A.

6.已知函數(shù)/（九）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在（-。,0）單調(diào)遞增，則（）

(1、

>f3-5

\7

【答案】D

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/（%）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，則

/卜g21^=/(log23),

又因?yàn)?％）在（-。,0）內(nèi)單調(diào)遞增，則〃可在（0,+8）內(nèi)單調(diào)遞減,

由y=3"在R內(nèi)單調(diào)遞增,則3一：<34；

-

由y=%3在（0,+8）內(nèi)單調(diào)遞減，則2-3<2~3<「§=］；

由y=log2x在（0,+oo）內(nèi)單調(diào)遞增，貝ij1=10g22<log,3；

C2A(_1A

綜上所述:--所以/>f2^>

32<23<log23)

k7k7

故選：D.

7.如圖，在梯形ABCD中AB=2DC,直線AC交5。于點(diǎn)P,Q為3c中點(diǎn)，設(shè)A3=&,A。b則尸Q=

()

A.—aB.—ciH—bC.-abD.—ab

43234126

【答案】D

DCDP1

【詳解】因?yàn)殁}=2DC,所以一=——=一，

ABBP2

111m111ratlm

uunuun22uunxiuun2

所以AP=AB+—3。=AB+—AD—AB=—AB+—AD,

33、'33

又因?yàn)?。?C中點(diǎn)，所以

uumiuunuumiuuniuumuuuiuuni<uumiuunA3uun1uum

AQ=-{zAB+AC\x^-AB+-z\AD+DC\x=-AB+-\AD+-ABU-A5+-AD,

2\>22\>22(2J42

uuuuuiuuuu3uun1uumAf1uun7皿吟5uun1uum5r1r

所以PQ=AQ—AP=-AB+-AD--AB+-AD\=-AB--AD^—a--b.

42J133J126126

故選：D.

8.設(shè)xeR,用國(guó)表示不超過x的最大整數(shù)，例如：[—2.1]=—3,[2』=2,,則＞=國(guó)稱為高斯函數(shù).

己知函數(shù)〃x)=g—上三，則函數(shù)》=[/(4)]+[/(—X)]的值域是()

A.{-1,0}B.{0}C.{0,1}D.{-1,0,1}

【答案】A

【詳解】由題意可知xeR,且〃x)」」+e'T二」+

')2l+eA2l+ex

〃一上「±7"=-〃力

所以/(%)為奇函數(shù)，

—e(O,l),」＜」+」--,

又因?yàn)閑*e(0,+oo),所以〃%)的值域?yàn)?/p>

l+erv7221+e*2(I

根據(jù)國(guó)表示不超過X的最大整數(shù)可知當(dāng)；,o]時(shí)，”f)《0,3

[/(x)]+[/(-x)]=-l+0=-l.

當(dāng)0，；時(shí)，/H)4-pOL[/(x)]+[/(-x)]=0-l=-l,

當(dāng)〃x)=0時(shí)，/(-x)=0,[/(x)]+[/(-x)]=0+0=0,

綜上)=[/(尤)]+[/(-％)]的值域?yàn)閧-1,0}.

故選：A

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.某公司為了解用戶對(duì)其一款產(chǎn)品的滿意度，隨機(jī)調(diào)查了10名用戶的滿意度評(píng)分，滿意度最低為。分，最

高為10分，分?jǐn)?shù)越高表示滿意度越高.這10名用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分如下：5,7,8,9,7,5,10,8,4,7.則下

列說法正確的是()

A.這組數(shù)據(jù)眾數(shù)為7

B.這組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為8

C.這組數(shù)據(jù)的極差為6

D.這組數(shù)據(jù)的方差為3.2

【答案】ACD

【詳解】這組數(shù)從小到大排列為4,5,5,7,7,7,8,8,9,10.

對(duì)于A,眾數(shù)為7,故A正確;

8+9

對(duì)于B,因?yàn)?0x80%=8,所以80%分位數(shù)為第8個(gè)數(shù)據(jù)和第9個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即——=8.5,故B

2

錯(cuò)誤;

對(duì)于C,極差為10—4=6,故C正確;

這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為&(4+5+5+7+7+7+8+8+9+10)=7,

對(duì)于D,

則方差S2=![(4—7)2+(5—7)2義2+0+(8—7)2義2+(9—7)2+00—7)2]=3.2,故口正確.

故選：ACD.

10.若函數(shù)/（%）=%3+依2+公+。有三個(gè)零點(diǎn)一1」,朝，且不式2,3）,則下列說法正確的有（）

A.b—\B.〃+c=0C.ce(2,3)D.4Q+2Z?+C<—8

【答案】BCD

【詳解】T和1是函數(shù)/（%）=爐+依2+樂+。的零點(diǎn),

/(-l)=-l+a-Z?+c=0

，解得6=-l,a+c=0,故A錯(cuò)誤，B正確;

/(l)=l+a+Z?+c=0

/(x)=-ex2—X+C=J3(X-C)-(X-C)=(X+1)(X-1)(X-C),

令/'（尤）=0，得X=_］或兀=1或兀=0,

由題知，Xo=c,即cw（2,3）,故C正確；

/（2）=8-4c-2+c=6-3c<0,

即/（2）=8+4a+2Zj+c<0,4a+2b+c<-S,故D正確.

故選：BCD.

11.已知函數(shù)/（尤）=111卜2_陵_0+1）,則下列說法正確的有（）

A.當(dāng)人=0時(shí)，函數(shù)/（%）的定義域?yàn)镽

B.當(dāng)人=0時(shí)，函數(shù)〃無(wú))的值域?yàn)镽

C.函數(shù)有最小值的充要條件為02+助—4<0

D.若/(%)在區(qū)間［1,+8)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)力的取值范圍是(-8,2］

【答案】AC

【詳解】當(dāng)6=0時(shí)，/(x)=ln(x2+l),

%2+1>0對(duì)任意xeR恒成立，所以/(%)的定義域?yàn)镽,

又因?yàn)閂+/1，所以ln(%2+i"lnl=0,〃％)的值域?yàn)椋?,+。)，故A正確，B錯(cuò)誤.

2

“工「人2,7.(沙丫b+4b-4mil/+46—4

對(duì)于C,=X2-bx-b+l=\X——-------------------，貝hmin=-----------------------------，

I2J44

A2+4A-4/\

當(dāng):〉0時(shí),“%)有最小值，反之也成立，故C正確；

對(duì)于D,令/=工2—Z?x—Z?+l=(x—~->貝ijy=lnf，

紇1

當(dāng)4X)在區(qū)間［1,收)上單調(diào)遞增時(shí)，\2,解得b<l,故D錯(cuò)誤.

^(l)=l-Z?-Z?+l>0

故選：AC.

12.數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離

是重心到垂心距離的一半.這條直線被后人稱為三角形的歐拉線，該定理則被稱為歐拉線定理.設(shè)點(diǎn)O,G,H

分別為三角形ABC的外心、重心、垂心，且取為3c的中點(diǎn)，則()

A.AH=3OMB.GA+GB+GC=0

C.|OA|=|OB|=|OC|D.AG^-AO+-AH

33

【答案】BCD

【詳解】

因?yàn)镚是A3C的重心，。是A3C的外心，H是A3C的垂心，

且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，所以GO=!"G,

2

對(duì)于選項(xiàng)A：AH=AG-HG=2GM-2GO=2OM>故選項(xiàng)A不正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)镚是A3C的重心，M為的中點(diǎn)，所以AG=2GM，

又因?yàn)镚8+GC=2GM，則G3+GC=AG，

即GA+GB+GC=O，故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：設(shè)點(diǎn)0是一A3C的外心，所以點(diǎn)0到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等，

即網(wǎng)=|詞=|砌,故選項(xiàng)C正確;

2uum1uuir2z100uumiuur711111121111m]iw

對(duì)于選項(xiàng)D：-AO+-AH=-（AG+GO]x+-AH=-AG+-GO+-AH

333、>3333

2uum1uuir1umr9u?1uumuum

=-AG+-HG+-AH=-AG+-AG=AG,故選項(xiàng)D正確；

故選：BCD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.幕函數(shù)〃%）="-1卜"小在（0,+8）上單調(diào)遞減，則加=.

【答案】一歷

m2—1=1—

【詳解】由題意可得<,解得m=—后,

m+1<0

故答案為：7〃=-J5

14.已知甲、乙、丙三人投籃的命中率分別為0.7,0.5,0.4,若甲、乙、丙各投籃一次（三人投籃互不影響）,

則至少有一人命中的概率為.

91

【答案】0.91##—

100

【詳解】甲、乙、丙三人投籃的命中率分別為0.7,0.5，0.4,

甲、乙、丙各投籃一次，則他們都沒有命中的概率為(1—0.7)0—0.5)0—04)=0.09,

則至少有一人命中的概率為1-0.09=0.91.

故答案為：0.91.

15.已知實(shí)數(shù)a為w(0,+8),2aZ?+3=Z?,則，+2b的最小值為.

【答案】8+46

【詳解】因?yàn)椤Ａ(0,+8),2。匕+3=5,

3

所以2。H—=1,

b

所以(工+2點(diǎn)2。+3］=2+』+4必+628+2/工4必=8+4百，

yaJvb)abvab

當(dāng)且僅當(dāng)4他=上時(shí)即6=3+百,。=避」時(shí)，取等號(hào).

ab4

故答案為：8+46.

-X?-2x,x<0

16.已知函數(shù)/'(%)=<1，若方程/(X)-Z=O有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根%,%2，%3，%4且

-|log3x|,x)0

再<尤2<%3<%4，則上的取值范圍為；玉+%+%3+%4的取值范圍為.

64

【答案】?.(0,1)②.(0,—)

【詳解】函數(shù)丁=一九2一2%的圖象對(duì)稱軸是x=—1,當(dāng)尤40時(shí)，函數(shù)/(元)=-尤2-2尤在(F,—l］上單調(diào)

遞增，

函數(shù)值集合為(-8,1］,在上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為［0,1］,

當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)/'(x)=；|log3x|在(0/］上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為［0,+8),

在口依)上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為［0,+8),

由了(%)—左=0,得/(%)=k,因此方程/(%)—左=0的根即為直線y=左與函數(shù)y=/(%)圖象交點(diǎn)的橫坐

標(biāo)，

在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線)=左與函數(shù)y=f(尤)的圖象，如圖,

觀察圖象知，當(dāng)0<左<1時(shí)，直線丫=左與函數(shù)y=/(x)的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，

因此方程，(x)-左=0有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，化的取值范圍是(0,1)；

顯然%+%2=-2,當(dāng);|1083工|=1時(shí)，X=1■或無(wú)=9,于是g<%3<1<》4<9，

11,11

由-|log3A：31=-Ilog3x4I,得X3X4=1,即X3=—,則+%4=—+%,

22%4%4

1c18282

顯然函數(shù)一+%4在(1,9)上單調(diào)遞增，從而2<一+X<—,即2<七+%4<一，

%X449349

6464

貝!]0<X]+%+演+/<W>所以X]+%2+%3+%4的取值范圍是(0,W).

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.平面內(nèi)給定兩個(gè)向量a=(1,2),0=(—3,2).

(1)若(@+2可//(22-4孫求實(shí)數(shù)左；

(2)若向量c為單位向量，且卜一可=2通，求c的坐標(biāo).

【答案】⑴k=-l

⑵口1,0)或TW)

(1)

妨+2。=(左一6,2左+4),2a—4b=(14,"),

因?yàn)?版+2人)//(2a-4b),

所以(左一6)x(T)—(2左+4)x14=。，解得上=—1；

(2)

設(shè)向量C=(x,y),因?yàn)橄蛄緾為單位向量，所以問=+y2=]①,

又因?yàn)閏-0=(x+3,y-2),

所以卜J(x+3)2+(y_2『=2^/5②,

X=1

由①②解得1八或〈5

y=012，

13

所以c=(L。)或

rsr\(.

18.在①A=<x———<1>,@A=^||x-l|<21<③A={x卜=log2(—x2+2x+3)}這三個(gè)條件中任選

一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并回答下列問題.

設(shè)全集U=R，,3=+x+a—a?<0].

(1)若a=l,求

(2)若“xeA”是“尤的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)Bo(8bA)={x|x<0^cc>3}

(2)(-<?,-3]U[4,+3O)

(1)

什一2x_22x—2

右選①：------<1,-*--------1<0,

x+1x+1

即一<0,等價(jià)于(％—3)(x+l)v0,解得—

/.A=|x|-l<x<3},

因?yàn)閍=l,所以3=卜產(chǎn)+九vo}=同一1<x<01,

"A=1x|x<_國(guó)&>3},

/.5u(gA)={X%vO^x>3}；

若選②：|x-l|<2,A-2<x-l<2,解得一1<%<3,A={H-lvxv3},

因?yàn)閍=l,所以3={犬,2+%vo}={引一1<0},

gA=1x|x<>3},

/.5①曲4)=何％<0或x23}；

若選③：—/+21+3>0，解得一1<%<3,A={x|—lvxv3},

因?yàn)閍=l,所以3=—+%vo}=同一1<x<01,

gA=1x|x<>3},

/.@A)={x|xvO或x23}；

(2)

由(1)知A={x|—lvx<3},

B={x,2+%+〃_〃2<0}=卜卜+〃)[%+(1_〃)]<o],

因?yàn)椤皒eA”是“xeB”的充分不必要條件，所以A是3的真子集.

⑴若一4〈一(1一〃)，即此時(shí)6={尤卜1〈尤V—(1一叫，

—1>—(2

所以八等號(hào)不同時(shí)取得，解得?

[3K-(1-a)Va?4

3)若—a=—(1—a),即a=g,則3=0,不合題意舍去；

(iii)若一a>-(l-a),即a<；,此時(shí)3={%卜(1-“)<%<-。},

所以〈I),等號(hào)不同時(shí)取得，解得“V—3.

3<-a

綜上所述，。的取值范圍是(-8,-3]u[4，a).

19.已知/(2x+l)=3ax+i—4(a>0且aw1).

(1)求函數(shù)y=/(x)的解析式，并寫出函數(shù)y=/(x)圖象恒過的定點(diǎn);

(2)若。>1,求證：—4.

a2

x+1

【答案】⑴=3?2-4,(T—1)

(2)證明見解析

(1)

Z+1

令2x+l=f,得x=—,則/⑺=3々3+1—4=3,

k-4，

X+1

所以〃x)=3a〒—4

11

令r受=0,得無(wú)=—1,且/(—l)=3a°—4=—1,

因此，函數(shù)y=/(x)圖象恒過的定點(diǎn)坐標(biāo)為(—L—1)

(2)

/x(1a(1\

%+4?

「3、3」3

證明：因?yàn)?［彳―％)-—^--4=3a2—4—+4=3a2-a2

2J2

a\J

121L+1Y

又因?yàn)樯蟐_(_不］=*+"+4=12)〉。,當(dāng)且僅當(dāng)％=-工時(shí)等號(hào)成立,

2<2J-222

2

所以3X+2］_Y二

22

1

又由。>1,可得邙-《，

a2>a2

2

'X+lx)o

所以3a2-a2>0,即/(x)----4>0

3J

即/(%"三一4

a2

20.某高中為了解本校高一年級(jí)學(xué)塵的綜合素養(yǎng)情況，從高年級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了〃名學(xué)生作為樣本，進(jìn)

行了“綜合素養(yǎng)測(cè)評(píng)”，根據(jù)測(cè)評(píng)結(jié)果繪制了測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖和頻數(shù)分布表，如下圖.

[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

X4101284

(1)求〃M，x的值;

(2)由頻率分布直方圖分別估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生綜合素養(yǎng)成績(jī)的中位數(shù)(精確到0.01)、平均數(shù)(同一

組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)；

(3)在選取的樣本中，從低于60分的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩人，求抽取的兩名學(xué)生成績(jī)屬于同一組的概率.

【答案】(1)“=40,x=2,a=0.010

(2)平均數(shù)73,中位數(shù)為73.33

(3)—

15

(1)

由圖知第三組的頻率為0.25,又由第三組的頻數(shù)為10,所以“=至=40,

0.25

所以x=40x0.05=2,a=4+40+10=0.010.

(2)

由(1)可知：每組的頻率依次為0.05,0.1,0.25,0.3,0.2,0.1,

平均數(shù)元=45x0.05+55x0.1+65x0.25+75x0.3+85x0.2+95x0.1=73,

設(shè)中位數(shù)為b,且0。5+0.1+0.25=0.4,0.05+0.1+0.25+0.3=0.7,可知be[70,80),

所以0.05+0.1+0.25+{b—70)x0.030=0.5,解的Z?a73.33.

(3)

記事件E：從低于60分的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩人成績(jī)屬于同一組,

由（1）知樣本中位于［40,50）內(nèi)的有兩人，分別記為A5；

位于［50,60）內(nèi)的有四人，分別記為仇c,d；

從低于60分的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩人的樣本空間

Q={AB,Aa.Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Be,Bd,ab,ac.ad.be,bd,cd},

共包含15個(gè)樣本點(diǎn)，

所以￡=［AB,ab.ac,ad.bc.bd.cd］共包含7個(gè)樣本點(diǎn)，

77

所以P（E）=百，即從低于60分的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩人成績(jī)屬于同一組的概率為百.

21.某高校為舉辦百年校慶，需要40L氨氣用于制作氣球裝飾校園，化學(xué)實(shí)驗(yàn)社團(tuán)主動(dòng)承擔(dān)了這一任務(wù).社

團(tuán)已有的設(shè)備每天最多可制備氯氣8L,按計(jì)劃社團(tuán)必須在30天內(nèi)制備完畢.社團(tuán)成員接到任務(wù)后，立即

以每天xL的速度制備氮?dú)?已知每制備1L氨氣所需的原料成本為1百元.若氯氣日產(chǎn)量不足4L,日均額

外成本為叱=4^+16（百元）；若氫氣日產(chǎn)量大于等于4L,日均額外成本為暝=17x+-—3（百元）.制

備成本由原料成本和額外成本兩部分組成.

（1）寫出總成本W(wǎng)（百元）關(guān)于日產(chǎn)量x（L）的關(guān)系式

（2）當(dāng)社團(tuán)每天制備多少升氫氣時(shí)，總成本最少？并求出最低成本.

4x+一+1,-<x<4

【答案】（1）W

40|-^--+18,4<x<8

XX

（2）當(dāng)社團(tuán)每天制備2L氮?dú)鈺r(shí)，總成本最少，最低成本為680百元

40404

若每天生產(chǎn)也氮?dú)?，則需生產(chǎn)一天，.?.一《30,則；

若氧氣日產(chǎn)量不足4L,貝也L氫氣的平均成本為小+l=4x+電+1百元;

若氨氣日產(chǎn)量大于等于4L,貝U1L氨氣的平均成本為翌+1=斗-』+18百元;

XXX

43

40|4x+—+1,-<x<4

：.w=\!,>3

4of-^--+U

,4<x<8

(2)

當(dāng)&Wx<4時(shí)，4x+—>2J4x--=16(當(dāng)且僅當(dāng)4x=",即x=2時(shí)取等號(hào)),

3xvxx

???當(dāng)