等腰三角形-2023年中考數(shù)學一輪復習熱點題型與方法精準突破原

專題20等腰三角形

【考查題型】

等腰三角形性質與判定垂直平分線的性質

等邊三角形的性質等腰三角形等腰三角形的性質

等邊三角形的性質與判定等腰三角形的判定

【知識要點】

知識點一垂直平分線

垂直平分線的概念：經(jīng)過線段的中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（或線段的

中垂線）。

性質：線段的垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等；反過來，到一條線段兩個端點距離相等

的點在這條線段的垂直平分線上。

考查題型一垂直平分線的性質

典例1.（2022?山東淄博?中考真題）如圖，在△JBC中，AB=AC,ZA=120°.分別以點4和C為圓心，以

大于14c的長度為半徑作弧，兩弧相交于點P和點0,作直線分別交8C,4C于點。和點E.若

2

A.4B.5C.6D.7

變式1-1.（2022?湖北黃石?中考真題）如圖，在IU6C中，分別以/,C為圓心，大于L/C長為半徑作弧,

2

兩弧分別相交于"，N兩點，作直線MN,分別交線段8C,4。于點。，E,若4*=2cm,△4W）的周長

為licm,貝HUB。的周長為（）

M

E,

BD

N

A.13cmB.14cmC.15cmD.16cm

變式1-2.（2022?四川?巴中市教育科學研究所中考真題）如圖，在菱形48CD中，分別以C、。為圓心，大

于'co為半徑畫弧，兩弧分別交于點〃、N,連接若直線恰好過點A與邊⑺交于點后，連接

2

BE,則下列結論錯誤的是（）

A.ZBCD=\20PB,若/8=3,則84=4

C.CE=\BCD.=

變式1-3.（2022?山東濟南?中考真題）如圖，矩形中，分別以N,C為圓心，以大于的長為半

徑作弧，兩弧相交于M,N兩點，作直線分別交BC于點、E,F,連接/憶若BF=3,AE=5,以

下結論錯誤的是（）

A.AF=CFB.ZFAC=ZEACC.AB=4D.AC=2AB

變式1-4.（2022?山東聊城?中考真題）如圖，1148。中，若N/MC=80。，4c8=70°,根據(jù)圖中尺規(guī)作圖

的痕跡推斷，以下結論錯誤的是（）

A.4/0=40。B.DE=-BD

C.AF=ACD.AEQF=25°

變式1-5（2022?遼寧錦州?中考真題）如圖，線段是半圓O的直徑。分別以點”和點。為圓心，大于;彳。

的長為半徑作弧，兩弧交于N兩點，作直線MN,交半圓。于點C,交于點E,連接4C,BC,

若4E=1，則8C的長是（）

A.2百B.4C.6D.3c

變式1-6.（2022?遼寧錦州?中考真題）如圖，在矩形/6CD中,AB6,BC8,分別以點4和C為圓心,

以大于:/C'的長為半徑作弧，兩弧相交于點/和N,作直線MN分別交40,8（'于點￡,F,則/芥的長為

變式1-7.（2022?湖北恩施?中考真題）如圖，在矩形中，連接分別以8、。為圓心，大于!加

的長為半徑畫弧，兩弧交于「、。兩點，作直線P0,分別與8c交于點例、N,連接DN.若

4）=4,AB=2.則四邊形M8ND的周長為（）

2

變式1-8.（2021?浙江嘉興?中考真題）將一張三角形紙片按如圖步驟①至④折疊兩次得圖⑤，然后剪出圖⑤

中的陰影部分，則陰影部分展開鋪平后的圖形是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.矩形D.菱形

變式1-9.（2022?西藏?中考真題）如圖，依下列步驟尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡:

（1）分別以點48為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于E,尸兩點，作直線￡尸；

2

（2）以點/為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交力8,4C于點G,H,再分別以點G,，為圓心，大于、GH

2

的長為半徑畫弧，兩弧在NR4c的內部相交于點O,畫射線NO,交直線E尸于點己知線段/B=6,Z

BAC=60°,則點M到射線ZC的距離為.

變式1-10.（2022?山東棗莊?中考真題）如圖，在矩形中，按以下步驟作圖：①分別以點8和。為圓

心，以大于2.80的長為半徑作弧，兩弧相交于點E和尸；②作直線E尸分別與。C,DB,AB交于點M,

2

O,N.若?！?5,CM=3,則MV=

E

D

LAJ

BNy.A

變式1-11.（2022?遼寧盤錦?中考真題）如圖，四邊形/8CD為平行四邊形，AB=2,BC=3.按以下步驟作

圖：①分別以點C和點。為圓心，大于J.CD的長為半徑作弧，兩弧交于M,N兩點；②作直線MV.若直

2

線MN恰好經(jīng)過點4則平行四邊形月8co的面積是.

變式1-12.（2022?江蘇無錫?中考真題）如圖，正方形/8CD的邊長為8,點E是S的中點，HG垂直平分

AE且分別交AE、BC于點H、G,則BG=.

變式1-13.（2021?青海西寧?中考真題）如圖，在矩形48c7）中，E為4。的中點，連接CO,過點E作CK

的垂線交于點片交C。的延長線于點G,連接C凡己知⑷?一［,CF=5,則.

變式1-14.（2022?內蒙古赤峰?中考真題）如圖，已知RHI/8C中，ZACB90°,AB=S,BC-5.

（1）作8C的垂直平分線，分別交4B、8c于點。、”；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，連接CD，求△BCD的周長.

變式1-15.（2021?廣東?中考真題）如圖，在RW48C中，4=90。，作8C的垂直平分線交4C于點。，延

長4C至點E,使CE=48.

B

（1）若/〃=1，求△4W）的周長；

（2）若凰）-BD,求tan4“的值.

3

變式1-16.（2022?貴州貴陽?中考真題）如圖，在正方形48C。中，月為/。上一點，連接8K,8K的垂直

平分線交于點交CD于點N,垂足為。，點〃在OC上，且必'〃//）.

N

C

（1）求證：AABI運△卜'MN；

（2）若48一8,AE=6,求QV的長.

知識點二等腰三角形

等腰三角形概念：有兩邊相等的三角形角等腰三角形。等腰三角形中，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底

邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角。

等腰三角形性質：

1）等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角“）

2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合。（三線合一）

【補充】利用三角形的全等可證明上述定理：已知等腰4ABC

作頂角的平分線作底邊的垂線作底邊的中線

AB=ACAD±BCAD=ADAB=ACBD=DCAD=AD

.,.△ABC^AACD（SAS）;.△ABC^AACD（HL）.,.AABC^AACD（SSS）

AZB=ZCBD=DCAD±BCAZB=ZCBD=DCZ1=Z2.\Z1=Z2ZB=ZCAD1BC

等腰三角形的判定：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等

邊

考查題型二等腰三角形的性質

典例2.（2022?江蘇宿遷?中考真題）若等腰三角形的兩邊長分別是3cm和5c機，則這個等腰三角形的周長

是（）

A.8cmB.13cmC.或13c機D.lie“？或13。”

變式2-1.（2022?浙江嘉興?中考真題）如圖，在H46C中，/8=4C=8,點E,F,G分別在邊BC,

4c上，EF〃AC,GE//AB,則四邊形的周長是（）

A.32B.24C.16D.8

變式2-2.（2022?福建?中考真題）如圖所示的衣架可以近似看成一個等腰三角形/8C,其中

ZABC=21°,8c=44cm,則高/。約為（）（參考數(shù)據(jù)：sin27°?0.45,cos27°?0.89,tan27°?0.5l）

A.9.90cmB.11.22cmC.19.58cmD.22.44cm

變式2-3.（2022?海南?中考真題）如圖，在IL48C中，AB=AC,以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，交BA

于點交8c于點N,分別以點M、N為圓心，大于！乂”的長為半徑畫弧，兩弧在//8C的內部相交于

2

點尸，畫射線8尸，交XC于點。，若4D=BD，則//的度數(shù)是（）

A

A.36°B.54°C.72°D.108°

變式2-4.（2022?四川自貢?中考真題）等腰三角形頂角度數(shù)比一個底角度數(shù)的2倍多20。，則這個底角的度

數(shù)為（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

變式2-5.（2022?湖北鄂州?中考真題）如圖，直線//〃小點C、/分別在（、4上，以點C為圓心，。長

為半徑畫弧，交//于點8,連接48.若/BC4=150。，則N1的度數(shù)為（）

A.10°B.15°C.20°D.30°

變式2-6.（2022?黑龍江?中考真題）如圖，1148。中，AB^AC,平分/8/C與8c相交于點。，點￡

是48的中點，點F是。C的中點，連接EF交4）于點P.若IL48c的面積是24,PD=\.5,則總的長是

（）

B

A.25B.2C.35D.3

變式2-7.（2022?江蘇淮安?中考真題）如圖，在H48c中，AB=AC,的平分線交8C于點。，E為

4c的中點，若48=10,則的長是（）

A.8B.6C.5D.4

變式2-8.（2022?云南?中考真題）已知△NBC是等腰三角形.若NN=40。，則A48C的頂角度數(shù)是.

變式2-9.（2022?江蘇蘇州?中考真題）定義一個三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫做，倍

長三角形”.若等腰△/BC是“倍長三角形"，底邊8c的長為3,則腰的長為.

變式2-10.（2022?廣西貴港?中考真題）如圖，將38C繞點/逆時針旋轉角。（0°＜。＜180。）得到丫加龍,

點8的對應點。恰好落在邊上，^DELACM'AD25。，則旋轉角a的度數(shù)是

E

BDC

變式2-11.（2022?四川成都?中考真題）如圖，在［/8C中，按以下步驟作圖：①分別以點8和C為圓心，

以大于;8c的長為半徑作弧，兩弧相交于點”和N；②作直線交邊48于點E.若4C=5,BE=4,

々「45。，則的長為.

變式2-12.（2022?山東濱州?中考真題）如圖，屋頂鋼架外框是等腰三角形，其中48-4C,立柱

4O/8C,且頂角NB/C=12O°,則/C的大小為.

變式2-13.（2022?吉林?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（-2,0）,點〃在丁軸正半軸

上，以點8為圓心，出長為半徑作弧，交x軸正半軸于點。，則點C的坐標為.

變式1-14.（2022?四川廣安?中考真題）若Q-3）2+癡。=0,則以“、6為邊長的等腰三角形的周長為

變式2-15.（2022?上海?中考真題）如圖所示，在等腰三角形Z8C中，AB=AC,點、E,尸在線段8c上，點

0在線段上，且CF=8E,工廳〃?！╚求證：

⑴NC4E=NB4F；

Q）CFFQ=AFBQ

變式2-16.（2022?湖南衡陽?中考真題）如圖，在1148。中，AB=AC,/）、是8。邊上的點，且

BD二CE,求證：AD-AE.

變式2-17.（2022?湖北黃石?中考真題）如圖，在1148。和V//無中，AB=AC,AD=AE,

N1MC=4ME=9O°,且點。在線段8。上，連CE.

（1）求證：△ABgAACE；

（2）若N"C=60°,求NCED的度數(shù).

變式2-18.（2022?山東淄博?中考真題）如圖，A48C是等腰三角形，點。，E分別在腰ZC,4B上,且8E

=CD,連接8D,CE.求證：BD=CE.

考查題型三等腰三角形的判定

典例3.（2021?江蘇揚州?中考真題）如圖，在4x4的正方形網(wǎng)格中有兩個格點工、B,連接在網(wǎng)格中

再找一個格點C,使得1M8C是等腰直角三角形，滿足條件的格點。的個數(shù)是（）

變式3-1.（2021?貴州銅仁?中考真題）直線48、BC、CD、AG如圖所示，Zl=Z2-80°./3=40。，則

下列結論錯誤的是（）

A.ABIICDB.ZEBF=40°C.Z/CG+Z3=Z2D.EF>BE

變式3-2.（2022?四川雅安?中考真題）如圖，把一張矩形紙片沿對角線折疊，若BC=9,CD=3,那么陰影

部分的面積為.

變式3-3.（2021?江蘇揚州?中考真題）如圖，在Y48CD中，點E在/。上，且EC平分/月以），若

N￡8C=30。，8￡=10,則Y48Q）的面積為.

變式34.（2021?湖北黃岡?中考真題）在中，ZC-900,々=30°,以頂點工為圓心，適當長為

半徑畫弧，分別交XC,4B于點E,F；再分別以點E,尸為圈心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于

2

點尸，作射線交8C于點O.則CD與80的數(shù)量關系是—.

考查題型四等腰三角形的性質與判定

典例4.（2022?天津?中考真題）如圖，在A48C中，AB=AC,若加是8c邊上任意一點，招A4BM繞點,4

逆時針旋轉得到A4CM點M的對應點為點N,連接MN,則下列結論一定正確的是（）

B.AB//NCC.ZAMN=ZACND.MNLAC

變式4-1.（2022?浙江臺州?中考真題）如圖，點。在U48c的邊8c上，點P在射線力。上（不與點A,1）

重合），連接P8,PC.下列命題中，假命題是（）

A.若AB=4C,AD1BC,則/,8=PCB.若PB=PC,ADIBC,則W=

C.若AB=4C,/l=/2,則08=/'CD.若PB=PC,/l=/2,則48=AC

變式4-2.（2022?廣西桂林?中考真題）如圖,在U48C中,ZB=22.5°,NC=45。，若4C=2,則LU4c的

面積是（）

C.2^2D.2+72

變式4-3.（2022?山東煙臺?中考真題）如圖，某海域中有4B,C三個小島，其中Z在8的南偏西40。方

向，C在8的南偏東35。方向，且B,C到4的距離相等，則小島C相對于小島工的方向是（）

A.北偏東70。B.北偏東75。C.南偏西70。D.南偏西20。

變式4-4.（2022?廣西梧州?中考真題）如圖，在中，ABAC,是的角平分線，過點。分

別作。VAB,DIAC,垂足分別是點E,F,則下列結論錯誤的是（）

A.ZADC-90'B.DE=DFC.ADBCD.BD=CD

變式4-5.（2022?遼寧營口?中考真題）如圖,在ZU8C中，AB=AC,ZA=36°,由圖中的尺規(guī)作圖得到的射

線與/C交于點Q,則以下推斷錯誤的是（)

A.BD=BCB.AD-BDC.408=108°D.CD=-AD

2

變式4-6.（2022?貴州安順?中考真題）如圖，在1/8。中，ZABC<90°,AB,BC,82是/C邊上的中

線.按下列步驟作圖①分別以點8和點。為圓心，大于;8C的長為半徑作弧，兩弧相交于點M,N；②

作直線MN,分別交8C，助：于點/）,O-,③連接CO，DE.則下列結論錯誤的是（

A.()B=OCB.ZBOD^ZCOD

c.DE//ABD./\BOC建ABDE

變式4-7.（2022?湖北荊州?中考真題）如圖，直線t〃4,AB=AC,/B/C=40。，則NI+/2的度數(shù)是

C.80°D.90°

變式4-8.（2022?湖北荊門?中考真題）數(shù)學興趣小組為測量學校4與河對岸的科技館8之間的距離，在Z

的同岸選取點C,測得/C=30,N4=45。，ZC=90°,如圖，據(jù)此可求得4,8之間的距離為（）

4B

i

A.20。B.60C.30yliD.30

變式4-9.（2022?浙江紹興?中考真題）如圖，在1148。中，48C一40。，WC-80。，以點A為圓心，AC

長為半徑作弧，交射線于點/）,連接CO，則N8CD的度數(shù)是.

變式4-10.（2022?湖南邵陽?中考真題）如圖，在等腰H46c中，4T20。，頂點8在口。/）/少的邊上,

已知NI=40。，則/2=.

變式4-11.（2022?內蒙古鄂爾多斯?中考真題）如圖，在A4BC中，AB=AC=4,NCAB=30°,ADVBC,

垂足為。，尸為線段NO上的一動點，連接P2、PC.則P/+2P2的最小值為.

變式4-12.（2022?浙江溫州?中考真題）如圖，80是的角平分線，DE//BC,交于點E.

AF.B

⑴求證：ZEBI）=ZEDB-

（2）當48一4。時，請判斷與A7）的大小關系，并說明理由.

等邊三角形的概念：三條邊都相等的三角形叫等邊三角形，它是特殊的等腰三角形。

等邊三角形的性質：1）等邊三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性質；

2）有三條對稱軸；

3）每個內角都是60。

等邊三角形的判定：1）三邊相等或三個角都相等的三角形是等邊三角形。

2）有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形。

直角三角形的性質：在直角三角形中，如果一個銳角等于30。，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半

考查題型五等邊三角形的性質

典例5.（2022?海南?中考真題）如圖，直線加〃〃，是等邊三角形，頂點8在直線〃上，直線機交

于點、E,交4C于點凡若/1=140°,則/2的度數(shù)是（）

A.80°B.100°C.120°D.140°

變式5-1.（2022?四川南充?中考真題）如圖，在正五邊形/8CQK中，以為邊向內作正△481,則下列

結論錯誤的是（）

A.AE^AFB.ZEAF=NCBFC.ZF=ZEAFD.ZC=Z￡

變式52（2022?山東青島?中考真題）如圖，。為正方形48C/）對角線4。的中點，△/CK為等邊三角

形.若48=2，則的長度為（）

A.B.x/6c.2V2D.2月

2

變式5-3.（2022?湖北荊州?中考真題）如圖，以邊長為2的等邊A48C頂點力為圓心、一定的長為半徑畫弧,

恰好與8C邊相切，分別交/C于。，E,則圖中陰影部分的面積是（）

A.V3--B.23-RC.e”）、,D.73--

432

變式5-4.（2022?黑龍江牡丹江?中考真題）如圖，等邊三角形。48,點8在x軸正半軸上，S^-4^,

若反比例函數(shù)V/0）圖象的一支經(jīng)過點/,則k的值是（）

A.-LB.2月C.-LD.4百

變式5-5.（2022?四川綿陽?中考真題）下列關于等邊三角形的描述不正確的是（）

A.是軸對稱圖形B.對稱軸的交點是其重心

C.是中心對稱圖形D.繞重心順時針旋轉120。能與自身重合

變式5-6.（2022?青海?中考真題）兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底

角頂點連接起來，則形成一組全等的三角形，把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形.

（1）問題發(fā)現(xiàn)：

如圖1,若I1/8C和V/OA'是頂角相等的等腰三角形，BC,分別是底邊.求證：BDCE；

圖1

（2）解決問題：如圖2,若和△￡）（?￡均為等腰直角三角形，4C8=NZX7「二90。，點4D,E在同

一條直線上，CM為△￡＞（.力中。E邊上的高，連接8E,請判斷N/E8的度數(shù)及線段CA/,AE,8E之間的數(shù)

量關系并說明理由.

圖2

變式5-7.(2022?四川自貢?中考真題)如圖，△/8C是等邊三角形，D,E在直線8C上，DH^EC.求證:

ZD=Z￡.

變式5-8.(2022?貴州黔東南?中考真題)閱讀材料小明喜歡探究數(shù)學問題，一天楊老師給他這樣一個幾何

問題:

如圖，HRSC和△8/)〃都是等邊三角形，點A在/)〃上.

求證：以/￡、//)、4C為邊的三角形是鈍角三角形.

(1)【探究發(fā)現(xiàn)】小明通過探究發(fā)現(xiàn)：連接QC,根據(jù)已知條件，可以證明QC-4*,4DC—120。，從而

得出乙第。為鈍角三角形，故以/左、初＞、4C為邊的三角形是鈍角三角形.

請你根據(jù)小明的思路，寫出完整的證明過程.

(2)【拓展遷移】如圖，四邊形48CQ和四邊形8WE都是正方形，點A在AG上.

①試猜想：以4月、AG、4C為邊的三角形的形狀，并說明理由.

②若/爐+/行=10,試求出正方形48。）的面積.

考查題型六等邊三角形的性質與判定

典例6.（2022?湖南?中考真題）如圖，點0是等邊三角形/8C內一點，（）A=2,OB=1,（X：。，則A4O8

與MOC的面積之和為（）

A.也B.3C.也D.4

424

變式6-1.（2022?貴州銅仁?中考真題）如圖，等邊。4BC、等邊［/即的邊長分別為3和2.開始時點Z與

點。重合，0/;在上，?！霸?C上，ILD//沿/月向右平移，當點。到達點8時停止.在此過程中，

設