考點02二元一次方程組及其應(yīng)用

考點二二元一次方程組及其應(yīng)用知識點整合一、二元一次方程（組）及解的概念1．二元一次方程含有2個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的整式方程叫做二元一次方程．2．二元一次方程的解使二元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做二元一次方程的解．3．二元一次方程組由兩個二元一次方程組成的方程組叫二元一次方程組．方程組中同一個字母代表同一個量，其一般形式為．4．解二元一次方程組的基本思想解二元一次方程組的基本思想是消元，即將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程．5．二元一次方程組的解法（1）代入消元法：將方程中的一個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，并代入另一個方程中，消去一個未知數(shù)，化二元一次方程組為一元一次方程．（2）加減消元法：將方程組中兩個方程通過適當變形后相加（或相減）消去其中一個未知數(shù)，化二元一次方程組為一元一次方程．二、一次方程（組）的應(yīng)用1．列方程（組）解應(yīng)用題的一般步驟（1）審題；（2）設(shè)出未知數(shù)；（3）列出含未知數(shù)的等式——方程；（4）解方程（組）；（5）檢驗結(jié)果；（6）作答（不要忽略未知數(shù)的單位名稱）．考向一解二元一次方程組典例引領(lǐng)1．若二元一次方程組的的解也是二元一次方程的解，則k的值為【答案】2【分析】本題的實質(zhì)是解二元一次方程組，用加減法或代入法來解答．先用含k的代數(shù)式表示x，y，即解關(guān)于x，y的方程組，再代入中可得解出k的數(shù)值．【詳解】解：解方程組，得，∵二元一次方程組的的解也是二元一次方程的解，∴，解得．故答案為：2．2．關(guān)于，的方程組（其中，是常數(shù)）的解為，則關(guān)于，的方程組的解為．【答案】【分析】本題考查了二元一次方程組的解，根據(jù)已知得出關(guān)于，的方程組，進而得出答案，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵關(guān)于，的方程組（其中，是常數(shù)）的解為，∴方程組方程組的解為，∴，故答案為：．3．已知關(guān)于x、y的方程組的解x、y的值的和等于6，則k的值為．【答案】3.5【分析】本題考查了二元一次方程組的解，利用加減消元法得出的值，再根據(jù)x、y的值的和等于6，進而求解即可，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．【詳解】，②①，得，由題意得，，∴，解得，故答案為：3.5．4．甲、乙兩人同解方程組，由于甲看錯了方程①中的a，得到方程組的解為，甲看錯了方程②中的b，得到方程組的解為，則．【答案】4【分析】本題考查二元一次方程組的解，將錯解代入錯方程求解即可得到答案；【詳解】解：依題意，將代入②中，代入①得，∴，解得，∴，故答案為：4．5．己知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿足，則k的值為【答案】【分析】本題考查二元一次方程組的解，根據(jù)題意得出，再求解是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得：，解得：，∴，解得：，故答案為：．6．已知關(guān)于的二元一次方程組的解為，那么關(guān)于的二元一次方程組中的的值為．【答案】【分析】根據(jù)二元一次方程組解的定義求出的值，再代入方程組得到一個關(guān)于的二元一次方程組，求出的值，再代入計算即可．【詳解】解：關(guān)于的二元一次方程組的解為，，解得：，將代入得，解得，，故答案為：．【點睛】本題考查二元一次方程組的解以及解二元一次方程組，理解二元一次方程組解的定義，掌握解二元一次方程組的方法是正確解答的前提．7．若關(guān)于x，y的二元一次方程組的解是，則關(guān)于a，b的二元一次方程組的解是．【答案】【分析】先把代入，求出m和n的值，再將m和n的值代入即可求解．【詳解】解：把代入得，，解得：，把代入得：，整理得：，解得：，故答案為：．【點睛】本題主要考查了解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是掌握方程組解的定義，以及解二元一次方程組的方法和步驟．8．已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿足，求m的值．【答案】【分析】本題考查了解二元一次方程組以及二元一次方程的解，根據(jù)方程組的特征得到是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，，③，把③代入中，得，解得：．9．解方程組(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）本題考查解二元一次方程組，先用表示，然后代入消元法解方程組即可；（2）本題考查解二元一次方程組，利用加減消元法解方程組即可．【詳解】（1）解：由①得，③，把③代入②，得，解得，把代入③，得，所以原方程組的解為：；（2）解：原方程組可化為，得，③，②③得，，解得，把代入③，得，所以原方程組的解為：．10．已知是關(guān)于，的二元一次方程的一組解．(1)求的值(2)請用含有的代數(shù)式表示．【答案】(1)(2)【分析】（1）將二元一次方程的解代入得到關(guān)于a的方程，解關(guān)于a的方程即可；（2）將代入得到，將x看作已知數(shù)，y看作未知數(shù)，解關(guān)于y的方程即可．【詳解】（1）解：將代入，得：，解得；（2）解：∵，∴原方程可變?yōu)椋啵?1．解方程組：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了解一元一次方程，靈活選擇代入消元法、加減消元法解方程是解題的關(guān)鍵．（1）利用加減消元法求解即可；（2）利用代入消元法求解即可．【詳解】（1）解：，，得，∴解得，把代入①，得，∴，∴方程組的解為；（2）解∶，由②得，，把③代入①，得，解得，把代入③，得，解得，∴方程組的解為．12．已知方程組，由于甲看錯了方程①中的a，得到方程組的解為；乙看錯了②中的b，得到方程組的解為．(1)求a、b的值；(2)乙看錯了②中的b，他把b看成了哪個數(shù)？【答案】(1)(2)【分析】（1）將甲得到的方程組的解代入第二個方程，將乙得到方程組的解代入第一個方程，聯(lián)立兩個方程求出a，b；（2）設(shè)把b看成了m，代入②，求出方程的解即可得到b．【詳解】（1）解：將代入方程組中的第二個方程得：①，將代入方程組中的第一個方程得：②，聯(lián)立①②解得：；（2）設(shè)把b看成了m，把，代入方程，得【點睛】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值．13．已知關(guān)于x、y的方程組，甲由于看錯了方程①中的a，得到方程組的解為；乙由于看錯了方程②中的b，得到方程組的解為．求原方程組的正確解．【答案】【分析】首先根據(jù)甲看錯方程①中的說明甲所解出的結(jié)果滿足方程②，所以把代入方程②可得：即可求出；而乙看錯方程②中的說明乙所解出的結(jié)果滿足方程①，所以把代入方程①可得：即可求出；【詳解】由題意可得：把代入②得：解得：，把代入①得：解得：∴原方程組為，解這個方程組得：．【點睛】本題主要考查二元一次方程組的錯解問題，充分理解題意，將甲和乙得到的解代入正確的方程中是求解本題的關(guān)鍵．14．已知關(guān)于x，y的方程組．(1)方程中，用含y的式子表示x；(2)若方程組的解滿足③，求m的值．【答案】(1)，(2)的值為．【分析】（1）根據(jù)等式的性質(zhì)將變形，即可得出用含的式子表示；（2）根據(jù)條件可求出，，代入方程即可得出的值．【詳解】（1），，（2）根據(jù)題意得，，，代入得，，解得：，答：的值為．【點睛】考查二元一次方程（組的解法和應(yīng)用，代入法是常用的方法．15．已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿足，求m的值．【答案】【分析】將②①，得到，再代入即可得到m的值．【詳解】解：②①，③把③代入中，得．【點睛】本題考查了解二元一次方程組以及二元一次方程的解，根據(jù)方程組的特征得到是解題的關(guān)鍵．16．對于有理數(shù)x，y，定義新運算：，，其中a，b是常數(shù)．已知．(1)求a，b的值；(2)若關(guān)于x，y的方程組的解也滿足方程，求m的值；(3)若關(guān)于x，y的方程組的解為，求關(guān)于x，y的方程組的解．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)定義新運算得出關(guān)于a、b的二元一次方程組，再解方程組即可；（2）根據(jù)題意得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，求出方程組的解，再代入方程求解即可；（3）根據(jù)定義新運算得出相關(guān)方程組，根據(jù)方程組的解的定義，利用整體代入的方法解答即可．【詳解】（1）解：（1）由題意得，解得：；（2）解：依題意得，解得：，∵，∴，解得：；（3）解：由題意得：的解為，由方程組得：，∴，解得：．【點睛】本題考查了解二元一次方程組和二元一次方程組的解，根據(jù)新定義列出二元一次方程組，利用方程組的解列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．17．解下列方程組．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查解二元一次方程組，（1）利用代入消元法解方程組即可；（2）利用加減消元法解方程組即可．【詳解】（1）解：將①代入②得：，整理得：，解得：，將代入①得：，∴；（2）解：①②得：，解得：，將代入①得：，解得：∴18．解方程組：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了解二元一次方程組．（1）利用代入消元法即可求解；（2）先去分母，去括號，整理出方程組，再利用加法消元法即可求解．【詳解】（1）解：由①得：，將③代入②得：，即，解得：，將代入③得：，原方程組的解為：；（2）解：原方程組整理得：，得：，將代入①得：，解得：，原方程組的解為：．19．甲、乙兩人共同解方程組由于甲看錯了方程①中的，得到方程組的解為，乙看錯了方程②中的，得到方程組的解為，試計算的值．【答案】0【分析】將代入方程組的第二個方程，將代入方程組的第一個方程，聯(lián)立求出a與b的值，即可求出所求式子的值．【詳解】解：把代入，得，∴，把代入，得，，∴，∵．【點睛】此題考查了二元一次方程組的解，代數(shù)式求值，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值．求出a、b值是解題的關(guān)鍵．變式拓展1．一個自然數(shù)，把它各數(shù)位上的數(shù)字從最高位到個位依次排列得到一串數(shù)字，再把它各數(shù)位上的數(shù)字從個位到最高位依次排列，得到另一串數(shù)字，如果兩串數(shù)字完全相同，我們就把這樣的自然數(shù)稱為“回文數(shù)”．例如22，323，4664，567765等都是“回文數(shù)”．已知一個三位數(shù)是能被11整除的“回文數(shù)”，則符合條件的三位數(shù)的個數(shù)有（）A．8個 B．9個 C．24個 D．33個【答案】A【分析】本題考查一次方程的應(yīng)用，整式的加減．設(shè)這個三位數(shù)為，根據(jù)這個三位數(shù)是能被11整除的，得到的關(guān)系，即可．【詳解】解：設(shè)這個三位數(shù)為，∵能被11整除，∴能被11整除，∵，且均為整數(shù)，∴當時，，當時，，∴符合條件的回文數(shù)有121，242，363，484，616，737，858，979，共8個；故選A．2．已知關(guān)于，的方程組的解滿足，則．【答案】1【分析】本題主要考查了解二元一次方程組，根據(jù)得出，根據(jù)，得出，求出n的值即可．【詳解】解：，得：，即，∵，∴，解得：，故答案為：1．3．若關(guān)于，的二元一次方程組的解也是二元一次方程的解，則的值為．【答案】【分析】本題考查解二元一次方程組，將方程組中的兩個方程相加即可得到關(guān)于的方程，解方程即可．【詳解】解：①②得：則，解得：，故答案為：．4．若滿足則．【答案】1【詳解】由①+②得，解得，．易錯點分析:此題容易忽略簡單的方法，而采用一般的加減消元法或代入消元法算出x、y具體的值之后，再代入公式進行計算，比較麻煩．要養(yǎng)成先觀察分析再做題的習慣，整體相加便可得出答案．5．若關(guān)于，的方程的解滿足，則．【答案】2【分析】利用二元一次方程組，得到，的值，代入，即可得到答案．【詳解】解：∵∴∵∴∴∴故答案為：2．【點睛】本題考查二元一次方程求參數(shù)的問題，熟練掌握解二元一次方程的方法是解題的關(guān)鍵．6．已知是方程組的解，則．【答案】【分析】將代入方程組中的兩個方程，得到兩個一元一次方程，即可求解．【詳解】解：∵是方程組的解，∴將代入①，得，∴，將代入②，得，∴，∴，故答案為：．【點睛】此題考查了二元一次方程組的解，解題關(guān)鍵是把和的值代入方程，得到一元一次方程．7．若多項式的值與的取值無關(guān)，則的值是．【答案】11【分析】本題考查多項式不含某項的問題，涉及合并同類項，解二元一次方程組和代數(shù)式求值等知識，先合并同類項再令項的系數(shù)為零，解方程即可得到答案，根據(jù)題意列出關(guān)于的方程組求解是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：，多項式的值與的取值無關(guān)，，解得，，故答案為：．8．已知的算術(shù)平方根是3，的立方根是2，求的平方根．【答案】【分析】本題考查了立方根和平方根、算術(shù)平方根的綜合應(yīng)用，涉及了二元一次方程組的求解，熟記相關(guān)定義即可求解．【詳解】解：∵的平方根是3.∴，∵的立方根是2，∴，，解得：，∴，∴的平方根是．9．已知關(guān)于、的方程組和有相同的解，求的值．【答案】0【分析】此題考查了二元一次方程組的求解，代入求值，解題的關(guān)鍵是掌握加減消元法求解二元一次方程，正確求得a、b的值．【詳解】解：解方程組得：，把代入得：，解得：，當，時，．10．閱讀材料：善于思考的小軍在解方程組時，采用了一種“整體代換”的解法：解：將方程②變形，得，即．③把①代入③，得，解得y=1．把代入①，得，解得．所以方程組的解為：請你模仿小軍的“整體代換”法解方程組【答案】【分析】本題考查了解二元一次方程組，將方程②變形為，再將整體代入即可求方程組．熟練掌握加減消元法和代入消元法解二元一次方程組，體會整體思想解方程組的便捷是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：中，將②變形，得：即，將①代入③得，，∴，將代入①得，，∴方程組的解為．11．閱讀材料：善于思考的樂樂同學在解方程組時，采用了一種“整體換元”的解法，把，分別看成一個整體，設(shè)，，則原方程組可化為，解得，即，解得．請你模仿樂樂同學的“整體換元”的方法，解下列方程組：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)．【分析】本題考查了整體代換法解二元一次方程組的解法．（1）設(shè)，，利用加減消元法求得，即，再利用加減消元法即可求解；（2）設(shè)，，利用加減消元法求得，即，再利用加減消元法即可求解．【詳解】（1）解：，設(shè)，，則原方程組可化為，得，解得，將代入②，得，解得，解得，即，解得；（2）解：，設(shè)，，則原方程組可化為，得，解得，將代入②，得，解得，解得，即，解得．12．甲和乙兩人同解方程組，甲因抄錯了a，解得，乙因抄錯了b，解得，求的值．【答案】1【分析】本題考查了二元一次方程組的解，將甲、乙求得的解分別代入正確的方程，求出，的值即可求解，用代入法解方程是解本題關(guān)鍵．【詳解】解：由題意，是的解，，解得，又是的解，，解得，．13．方程組和同解，求a、b的值．【答案】【分析】本題主要考查了二元一次方程的解，熟練掌握解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．先求出方程組的解，將值代入得到關(guān)于a、b的二元一次方程組，計算即可．【詳解】解：解方程組，得，代入方程組，得，解得．14．方程組與有相同的解，求a、b的值．【答案】，【分析】本題考查的是同解方程組的含義，二元一次方程組的解法；本題根據(jù)同解方程組先組合可得，先求解，的值，由可得，再代入可得答案．【詳解】解：依題意，得，解得，，則由，得到，即，解得：，∴．15．綜合與實踐問題情境：小明同學在學習二元一次方程組時遇到了這樣一個問題：解方程組：．觀察發(fā)現(xiàn)：（1）如果用代入消元法或加減消元法求解，運算量比較大，容易出錯．如果把方程組中的看成一個整體，把看成一個整體，通過換元，可以解決問題．設(shè)，，則原方程組可化為，解關(guān)于m，n的方程組，得，所以，解方程組，得．探索猜想：（2）運用上述方法解下列方程組：．【答案】（1），；（2）【分析】（1）根據(jù)換元法和加減消元法可得答案；（2）利用換元法將原方程組變形，解關(guān)于m，n的方程組，然后得到關(guān)于x，y的新的二元一次方程組，再解方程組可得答案；【詳解】解：（1）設(shè)，，則原方程組可化為，解關(guān)于m，n的方程組，得，所以，解方程組，得，故答案為：，；（2）設(shè)，，則原方程組可化為，解關(guān)于m，n的方程組，得，所以，解方程組，得；【點睛】本題考查了解二元一次方程組，熟練掌握加減消元法以及換元法的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．考向二二元一次方程組的應(yīng)用典例引領(lǐng)1．隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車正逐漸成為人們喜愛的交通工具，某汽車銷售公司計劃購進一批新能源汽車進行銷售，據(jù)了解，輛型汽車、輛型汽車的進價共計萬元；輛型汽車、輛型汽車的進價共計萬元．(1)求兩種型號的汽車每輛進價分別為多少萬元？(2)若該公司計劃正好用萬元購進以上兩種型號的新能源汽車（兩種型號的汽車均購買），銷售輛型汽車可獲利元，銷售輛型汽車可獲利元，求該公司共有幾種購買方案？假如這些新能源汽車全部售出，最大利潤是多少元？【答案】(1)種型號的汽車每輛進價為25萬元，種型號的汽車每輛進價為元(2)該公司共有二種購買方案，最大利潤為元【分析】本題主要考查二元一次方程組的實際運用，理解題目中的數(shù)量關(guān)系，掌握解二元一次方程組的方法，方案選擇的方法是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)種型號的汽車每輛進價為萬元，種型號的汽車每輛進價為萬元，根據(jù)題意列方程組求解即可；（2）設(shè)購買型號的汽車輛，種型號的汽車輛，根據(jù)題意列方程求解，根據(jù)實際情況選擇方法即可．【詳解】（1）解：設(shè)種型號的汽車每輛進價為萬元，種型號的汽車每輛進價為萬元，由題意可得：，解得，，∴種型號的汽車每輛進價為萬元，種型號的汽車每輛進價為萬元．（2）解：設(shè)購買型號的汽車輛，種型號的汽車輛，由題意可得，，且，∴，∵為正整數(shù)，∴或，∴該公司共有二種購買方案，當購買型號的汽車輛，種型號的汽車輛時，獲得的利潤為：（元），當購買型號的汽車輛，種型號的汽車輛時，獲得的利潤為：（元），∴該公司共有二種購買方案，最大利潤為元．2．土耳其地震后，某華資集團為災(zāi)區(qū)購進A，B兩種救災(zāi)物資100噸，共用去300萬元，A種物資每噸萬元，B種物資每噸萬元．(1)求A，B兩種物資各購進了多少噸？(2)該集團租用了大、小兩種貨車若干輛正好將這些物資一次性運往災(zāi)區(qū)，每輛大貨車可運8噸A種物資和噸B種物資，每輛小貨車可運6噸A種物資和噸B種物資，問租用的大、小貨車各多少輛？【答案】(1)A，B兩種物資各購進了噸，噸；(2)租用的大、小貨車各輛，輛【分析】（1）設(shè)A，B兩種物資各購進了噸，噸，根據(jù)物資總量為100噸，共花費300萬元列出方程組求解即可；（2）設(shè)租用的大、小貨車各輛，輛，根據(jù)恰好把兩種物資一次性運完列出方程組求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)A，B兩種物資各購進了噸，噸，由題意得：，解得，答：A，B兩種物資各購進了噸，噸；（2）解：設(shè)租用的大、小貨車各輛，輛，由題意得：，解得，答：租用的大、小貨車各輛，輛．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的實際應(yīng)用，正確理解題意找到等量關(guān)系列出方程組是解題的關(guān)鍵．3．某高速公路準備新增一個出口，現(xiàn)有甲、乙兩個工程隊都可完成此項工程．若讓兩隊合作，12個月可以完工，需費用1200萬元；若讓兩隊合作10個月后，剩下工程由乙隊單獨做還需10個月才能完成，這樣只需費用1100萬元．問：(1)甲、乙兩隊單獨完成此項工程各需費用每月多少萬元？(2)甲、乙兩隊單獨完成此項工程各需幾個月？【答案】(1)甲、乙兩隊單獨完成此項工程各需費用每月90萬元，10萬元(2)甲、乙兩隊單獨完成此項工程各需15月，60月【分析】（1）設(shè)甲、乙兩隊單獨完成此項工程各需費用每月x萬元，y萬元，根據(jù)兩隊合作，12個月可以完工，需費用1200萬元；讓兩隊合作10個月后，剩下工程由乙隊單獨做還需10個月才能完成，這樣只需費用1100萬元列出方程組求解即可；（2）根據(jù)工作效率工作總量工作時間進行列式求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)甲、乙兩隊單獨完成此項工程各需費用每月x萬元，y萬元，由題意得：，解得，答：甲、乙兩隊單獨完成此項工程各需費用每月90萬元，10萬元；（2）解：，，∴乙單獨完成此項工程需要60個月；，∴乙單獨完成此項工程需要15個月；答：甲、乙兩隊單獨完成此項工程各需15個月，60個月．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的實際應(yīng)用，有理數(shù)四則混合計算的實際應(yīng)用，正確理解題意列出方程組求解是解題的關(guān)鍵．4．現(xiàn)欲將一批荔枝運往外地銷售，若用輛型車和輛型車載滿荔枝一次可運走噸；輛型車和輛型車載滿荔枝一次可運走噸．現(xiàn)有荔枝噸，計劃同時租用型車輛，型車輛，一次運完，且恰好每輛車都裝滿貨物．根據(jù)以上信息，解答下列問題：：(1)輛型車和輛型車都載滿荔枝一次可分別運送多少噸？(2)請你幫該物流公司設(shè)計租車方案．【答案】(1)輛型車載滿荔枝一次可運送噸，輛型車載滿荔枝一次可運送噸；(2)該物流公司共有種租車方案，方案：租用輛型車，輛型車；方案：租用輛型車，輛型車；方案：租用輛型車，輛型車．【分析】（1）設(shè)輛型車載滿荔枝一次可運送噸，輛型車載滿荔枝一次可運送噸，由“用輛型車和輛型車載滿荔枝一次可運走噸；輛型車和輛型車載滿荔枝一次可運走噸”，列出二元一次方程組，解方程組即可得出結(jié)論；（2）由“現(xiàn)有荔枝噸，計劃同時租用型車輛，型車輛，一次運完，且恰好每輛車都載滿荔枝”，列出二元一次方程，結(jié)合、均為非負整數(shù)，即可得出各租車方案．【詳解】（1）解：設(shè)輛型車載滿荔枝一次可運送噸，輛型車載滿荔枝一次可運送噸，由題意得：，解得：，答：輛型車載滿荔枝一次可運送噸，輛型車載滿荔枝一次可運送噸；（2）由題意得：，∴，又∵、均為非負整數(shù)，∴或或，∴該物流公司共有種租車方案，方案：租用輛型車，輛型車；方案：租用輛型車，輛型車；方案：租用輛型車，輛型車．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程．5．去年疫情期間某物流公司計劃用兩種車型運輸救災(zāi)物資，用2輛A型車和1輛B型車裝滿物資一次可運10噸；用1輛A型車和2輛B型車一次可運11噸．某物流公司現(xiàn)有31噸貨物資，計劃同時租用A型車a輛，B型車b輛，一次運完，且恰好每輛車都裝滿．(1)1輛A型車和1輛B型車都裝滿物資一次可分別運多少噸？(2)請你幫該物流公司設(shè)計租車方案，并把符合要求的租車方案都列出來；(3)若A型車每輛需租金每次100元，B型車每輛租金每次120元，請從（2）中的方案里選出最省錢的租車方案，并求出最少租車費．【答案】(1)1輛A型車裝滿物資一次可運3噸，1輛B型車裝滿物資一次可運4噸；(2)物流公司共有3種租車方案，方案1：租用9輛A型車，1輛B型車；方案2：租用5輛A型車，4輛B型車；方案3：租用1輛A型車，7輛B型車；(3)最省錢的租車方案為租用1輛A型車，7輛B型車，最少租車費為940元．【分析】(1)設(shè)1輛A型車裝滿物資一次可運x噸，1輛B型車裝滿物資一次可運y噸，根據(jù)“用2輛A型車和1輛B型車裝滿物資一次可運10噸；用1輛A型車和2輛B型車一次可運11噸”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；(2)據(jù)要一次運送31噸貨物，即可得出關(guān)于a，b的二元一次方程，結(jié)合a，b均為正整數(shù)即可得出各租車方程；(3)根據(jù)總租金=每輛車的租車費用×租車輛數(shù)，分別求出三種租車方案所需費用，比較后即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)1輛A型車裝滿物資一次可運x噸，1輛B型車裝滿物資一次可運y噸，依題意，得：，解得：；（2）依題意，得：，∴，又∵a，b均為正整數(shù)，∴，，，∴該物流公司共有3種租車方案，方案1：租用9輛A型車，1輛B型車；方案2：租用5輛A型車，4輛B型車；方案3：租用1輛A型車，7輛B型車．（3）方案1所需租金為(元)；方案2所需租金為(元)；方案3所需租金為(元)．∵，∴最省錢的租車方案為租用1輛A型車，7輛B型車，最少租車費為元．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：(1)找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；(2)找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程；(3)根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，分別求出三種租車方案所需費用．6．某廠接到任務(wù)需完成500臺空調(diào)的安裝．由于時間要求高，該廠沒有足夠的熟練工人，故決定招聘一批新工人，生產(chǎn)開始后發(fā)現(xiàn)：1名熟練工人和3名新工人每天共安裝11臺空調(diào)；2名熟練工人每天裝的空調(diào)數(shù)與5名新工人每天安裝空調(diào)數(shù)一樣多．(1)求1名熟練工人和1名新工人1天一共可以安裝多少臺空調(diào)；(2)若公司原有熟練工m人，現(xiàn)招聘n名新工人(m，n均不為0)，為了剛好20天完成安裝任務(wù)，你有哪幾種方案？【答案】(1)1名熟練工人和1名新工人1天一共可以安裝7臺空調(diào)(2)共有兩種方案：方案一：原有熟練工1人，現(xiàn)招聘10名新工人；方案二：原有熟練工3人，現(xiàn)招聘5名新工人【分析】（1）設(shè)1名熟練工人1天可以安裝x臺空調(diào)，1名新工人1天可以安裝y臺空調(diào)，由題意列出方程組即可解答；（2）由題意列出二元一次方程，再根據(jù)二元一次方程的解的情況求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)1名熟練工人1天可以安裝x臺空調(diào)，1名新工人1天可以安裝y臺空調(diào)，由題意可得：，解得：，∴1名熟練工人1天可以安裝5臺空調(diào)，1名新工人1天可以安裝2臺空調(diào)∴(臺)．答：1名熟練工人和1名新工人1天一共可以安裝7臺空調(diào)．（2）解：由題意可得：，∴，∵m，n為正整數(shù)，∴或，答：共有兩種方案：方案一：原有熟練工1人，現(xiàn)招聘10名新工人；方案二：原有熟練工3人，現(xiàn)招聘5名新工人．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組、二元一次方程的應(yīng)用等知識點，找到正確的數(shù)量關(guān)系、列出二元一次方程組和二元一次方程是解題的關(guān)鍵．7．一輛公交車從站出發(fā)勻速開往站，在行駛時間相同的前提下，如果車速是千米/小時，就會超過站千米；如果車速是千米/小時，就還需行駛千米才能到達站，求站和站相距多少千米？行駛時間是多少？【答案】；小時【分析】設(shè)行駛的時間是小時，站和站相距千米，根據(jù)題意列方程組解答即可．【詳解】解：設(shè)行駛的時間是小時，站和站相距千米，根據(jù)題意得：解之得：，答：站和站相距，行駛小時．【點睛】本題考查了方程組的應(yīng)用，正確列出方程組是解題的關(guān)鍵．8．問題：某校組織學生乘汽車去自然保護區(qū)野營，，學校距自然保護區(qū)有多遠？條件：①去野營時以60的速度走平路，以30的速度爬坡，共用了6.5h；②回學校時以40的速度下坡，以50的速度走平路，共用了6h；③行程中共分平路和坡路兩種路型，其中平路長與坡路長之比為．在上述三個條件中選擇兩個（僅填寫序號）補充在問題的橫線上，并完成解答．【答案】①②；270【分析】先選擇條件①②，然后設(shè)平路長x，坡路長y，列出方程組求解即可．【詳解】解：選擇①②；設(shè)平路長x，坡路長y，由題意得：，∴，∴，答：學校距離自然保護區(qū)270．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，正確理解題意，列出方程組是解題的關(guān)鍵．9．已知A，B兩地相距120千米，甲、乙兩車分別從A，B兩地同時出發(fā)，相向而行，其終點分別為B，A兩地．兩車均先以千米每小時的速度行駛，再以b千米每小時的速度行駛，且甲車以兩種速度行駛的路程相等，乙車以兩種速度行駛的時間相等．(1)若，且甲車行駛的總時間為小時，求和b的值；(2)若，且乙車行駛的總時間為小時．①求和b的值；②求兩車相遇時，離A地多少千米．【答案】(1)a的值為，b的值為120(2)①；②兩車相遇時，離A地千米【分析】（1）由甲車以兩種速度行駛的路程相等，可得，再結(jié)合即可求出a、b的值；（2）①由乙車以兩種速度行駛的時間相等，可得，即可求出a、b的值；②求出兩車相遇時所用的時間，再根據(jù)甲車所走的路程，即為相遇時離A的距離．【詳解】（1）由題意，得，解得：，答：a的值為，b的值為120；（2）①由題意，得，解得：；②由題意，得甲前一半路程的時間為：小時，乙一小時行駛的路程為：千米，∴相遇時甲還沒行駛到60千米處，∴相遇時甲行駛的時間為：小時；∴乙離A地距離，即為甲行駛的距離為：千米，答：兩車相遇時，離A地千米．【點睛】本題考查了行程問題的數(shù)量關(guān)系的運用，列二元一次方程解實際問題的運用，解答時分別運用路程相等和時間相等建立方程組是解答本題的關(guān)鍵．10．A、B兩地相距4千米，甲從A地出發(fā)步行到B地，乙從B地出發(fā)騎自行車到A地，兩人同時出發(fā)，30分鐘后兩人相遇，又經(jīng)過10分鐘，甲剩余路程為乙剩余路程的3倍．(1)求甲、乙每小時各行多少千米？(2)在他們出發(fā)后多長時間兩人相距1千米？【答案】(1)甲每小時行3千米，乙每小時行5千米(2)出發(fā)后小時或小時兩人相距1千米【分析】（1）這是行程問題中的相遇問題，三個基本量：路程、速度、時間．關(guān)系式為：路程=速度×時間．題中的兩個等量關(guān)系是：30分鐘×甲的速度+30分鐘×乙的速度=4千米，4千米40分鐘×甲的速度=（4千米40分鐘×乙的速度）×3，依此列出方程求解即可，注意單位換算；（2）先求出兩人一共行駛的路程，再除以速度和即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)甲每小時行千米，乙每小時行千米．依題意：解方程組得答：甲每小時行3千米，乙每小時行5千米．（2）相遇前：（小時），相遇后：（小時）．故在他們出發(fā)后小時或小時兩人相距1千米．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，本題是行程問題中的相遇問題，解題關(guān)鍵是如何建立二元一次方程組的模型．11．安居小區(qū)業(yè)主安先生準備裝修新居，裝修公司派來甲工程隊完成此項完程．由于工期過長，安先生要求裝修公司再派乙工程隊與甲隊共同工作．已知甲工程隊單獨完成此項工程需要天數(shù)恰好比乙工程隊單獨完成此項工程需要的天數(shù)的3倍少5天，并且甲工程隊單獨完成此項工程需要的天數(shù)與乙工程隊單獨完成此項工程需要的天數(shù)之和為55天．(1)求甲、乙兩隊單獨完成此項工程各需要多少天；(2)若甲工程隊工作10天后，與公司派來的乙工程隊再合作多少天可完成此項工程的；(3)甲、乙工程隊每天的施工費分別為800元和1000元，安先生裝修工程施工完成時費用正好為21800元，求甲工程隊參加工作多少天？【答案】(1)40，15(2)6(3)16【分析】（1）設(shè)乙隊單獨完成此項工程需要天，甲隊單獨完成此項工程需要天，依題意得，，解得，，則；（2）由（1）可知，甲的工作效率為，乙的工作效率為，設(shè)還需要再合作天可完成此項工程的，依題意得，，計算求解即可；（3）設(shè)甲單獨工作天，甲乙合作工作天，依題意得，，計算求出的值，然后根據(jù)，計算求解甲工程隊參加工作的天數(shù)．【詳解】（1）解：設(shè)乙隊單獨完成此項工程需要天，甲隊單獨完成此項工程需要天，依題意得，，解得，，∴，∴甲、乙兩隊單獨完成此項工程各需要40、15天；（2）解：由（1）可知，甲的工作效率為，乙的工作效率為，設(shè)還需要再合作天可完成此項工程的，依題意得，，解得，，∴還要再合作6天可完成此項工程；（3）解：設(shè)甲單獨工作天，甲乙合作工作天，依題意得，，解得，，∵，∴甲工程隊參加工作16天．【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意正確的列方程（組）．12．甲、乙兩個工程隊共同為某貧困村修建了米的村路，甲隊單獨修建一段時間后，乙隊再繼續(xù)單獨修建，共用天完成任務(wù)．已知甲隊每天修建米，乙隊每天修建米．求甲、乙兩個工程隊分別修建了多少天？(1)張紅同學根據(jù)題意，列出了二元一次方程組，那么這個方程組中未知數(shù)表示的是，未知數(shù)表示的是；(2)李芳同學設(shè)甲隊修建了天，乙隊修建了天，請你按照她的思路解答老師的問題．【答案】(1)甲工程隊共修建的米數(shù)，乙工程隊共修建的米數(shù)(2)甲工程隊修建了天，乙工程隊修建了天【分析】（1）根據(jù)方程組中的等量關(guān)系結(jié)合題意，即可求解；（2）設(shè)甲隊修建了天，乙隊修建了天，根據(jù)題意，建立方程組，解方程組即可求解．【詳解】（1）甲工程隊共修建的米數(shù)，乙工程隊共修建的米數(shù)（2）根據(jù)題意得：，解得，．答：甲工程隊修建了天，乙工程隊修建了天．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，理解題意找準等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．13．下面是學習二元一次方程組時，老師提出的問題和兩名同學所列的方程（組）．問題：某個工人一天工作8個小時，可以生產(chǎn)零件一整箱和不足一箱的30個；由于特殊情況，今天他只工作5個小時，生產(chǎn)零件一整箱和不足一箱的6個，問這一整箱零件和該工人每小時能生產(chǎn)的零件數(shù)分別是多少？小麗所列方程：，

小亮所列方程：．根據(jù)以上信息，解答下列問題．(1)以上兩個方程（組）中x的意義是否相同？______（填“是”或“否”）；(2)小亮列的方程所用的等量關(guān)系是______（填序號，“①每個小時生產(chǎn)的零件數(shù)”或“②5個小時生產(chǎn)的零件數(shù)相等”）；(3)請從以上兩個方程（組）中任選一個求解，完整解答老師提出的問題．【答案】(1)是(2)②(3)這一整箱零件數(shù)為34個，該工人每小時能生產(chǎn)的零件數(shù)是8個【分析】（1）由小麗所列的方程組和小亮所列的方程中x表示的意義，即可得出結(jié)論；（2）由小亮所列的方程可知，小亮的方程所用等量關(guān)系是4個小時生產(chǎn)的零件數(shù)相等，即可得出結(jié)論；（3）由加減消元法解方程組，再由去分母法解方程即可．【詳解】（1）解：由小麗所列的方程組可知，小麗所列的方程組中x表示的是一箱零件的個數(shù)，由小亮所列的方程可知，小亮所列的方程中x表示的是一箱零件的個數(shù)，∴以上兩個方程（組）中x意義相同，（2）解：由小亮所列的方程可知，小亮的方程所用等量關(guān)系是②5個小時生產(chǎn)的零件數(shù)相等．（3）解：選小麗的：設(shè)一箱零件的個數(shù)為x個，工人1小時生產(chǎn)零件y個，根據(jù)題意，得，解得：，答：這一整箱零件數(shù)為34個，該工人每小時能生產(chǎn)的零件數(shù)是8個．選小亮的：設(shè)一箱零件的個數(shù)為x個，則工人1小時生產(chǎn)零件為個，根據(jù)題意，得，解得：，∴答：這一整箱零件數(shù)為34個，該工人每小時能生產(chǎn)的零件數(shù)是8個．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次方程的應(yīng)用，理解方程組和方程中x的意義是解題的關(guān)鍵．14．某共享單車運營公司準備采購一批共享單車投入市場，而共享單車安裝公司由于抽調(diào)不出足夠熟練工人，準備招聘一批新工人．已知2名熟練工人和3名新工人每天共安裝44輛共享單車；4名熟練工人每天安裝的共享單車數(shù)與5名新工人每天安裝的共享單車數(shù)一樣多．(1)求每名熟練工人和新工人每天分別可以安裝多少輛共享單車；(2)共享單車安裝公司計劃抽調(diào)出熟練工人若干，并且招聘新工人共同安裝共享單車．如果25天后剛好交付運營公司3500輛合格品投入市場，求熟練工人和新工人各多少人．【答案】(1)每名熟練工人和新工人每天分別可以安裝輛和輛共享單車(2)熟練工人和新工人分別有10人、5人或6人、10人或2人、15人【分析】（1）設(shè)每名熟練工人每天可以安裝x輛共享單車，每名新工人每天可以安裝y輛共享單車，根據(jù)題意列方程組即可；（2）設(shè)熟練工人和新工人各m，n人，根據(jù)題意列出等式取值即可．【詳解】（1）解：設(shè)每名熟練工人每天可以安裝x輛共享單車，每名新工人每天可以安裝y輛共享單車，根據(jù)題意，得：，解得，答：每名熟練工人和新工人每天分別可以安裝輛和輛共享單車．（2）解：設(shè)熟練工人和新工人各m，n人，由題意得：，整理得：，當時，；當時，；當時，；答：熟練工人和新工人分別有10人、5人或6人、10人或2人、15人；【點睛】本題主要考查二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，找到題目蘊含的相等關(guān)系．15．已知：用2輛型車和1輛型車載滿貨物一次可運貨10噸；用1輛型車和2輛型車載滿貨物一次可運貨11噸．某物流公司現(xiàn)有34噸貨物，計劃同時租用型車輛，型車輛，一次運完，且恰好每輛車都載滿貨物．根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)1輛型車和1輛車型車都載滿貨物一次可分別運貨多少噸？(2)若型車每輛需租金100元/次，型車每輛需租金120元/次．請選出最省錢的租車方案，并求出最少租車費．【答案】(1)1輛型車載滿貨物一次可運貨3噸，1輛型車載滿貨物一次可運貨4噸．(2)租用型車2輛、型車7輛最省錢，最少租車費為1040元．【分析】（1）設(shè)1輛型車載滿貨物一次可運貨噸，1輛型車載滿貨物一次可運貨噸，根據(jù)“用2輛型車和1輛型車載滿貨物一次可運貨10噸；用1輛型車和2輛型車載滿貨物一次可運貨11噸”，即可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)租用的兩種車載滿貨物一次可運貨34噸，即可得出關(guān)于，的二元一次方程，結(jié)合，均為非負整數(shù)，即可得出各租車方案，再根據(jù)總租金每輛車的租金租車輛數(shù)，可分別求出三種租車方案所需租金，比較后即可得出結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)1輛型車載滿貨物一次可運貨噸，1輛型車載滿貨物一次可運貨噸，依題意，得：，解得：．答：1輛型車載滿貨物一次可運貨3噸，1輛型車載滿貨物一次可運貨4噸．（2）依題意，得：，．，均為非負整數(shù)，，，，該物流公司共有三種租車方案，方案1：租用型車10輛，型車1輛；方案2：租用型車6輛，型車4輛；方案3：租用型車2輛，型車7輛．方案1所需租金：（元，方案2所需租金：（元，方案3所需租金：（元．，方案3租用型車2輛、型車7輛最省錢，最少租車費為1040元．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程，并利用總租金每輛車的租金租車輛數(shù)，分別求出三種租車方案所需租金．16．接種新冠病毒疫苗，建立全民免疫屏障，是戰(zhàn)勝病毒的重要手段．北京科興中維需運輸一批疫苗到我市疾控中心，據(jù)調(diào)查得知，2輛A型冷鏈運輸與3輛B型冷鏈運輸車一次可以運輸600盒；5輛A型冷鏈運輸車與6輛B型冷鏈運輸車一次可以運輸1350盒．求每輛A型車和每輛B型車一次可以分別運輸多少盒疫苗？【答案】每輛A型車和每輛B型車一次可以分別運輸150盒疫苗、100盒疫苗【分析】根據(jù)2輛A型冷鏈運輸與3輛B型冷鏈運輸車一次可以運輸600盒；5輛A型冷鏈運輸車與6輛B型冷鏈運輸車一次可以運輸1350盒，可以列出相應(yīng)的二元一次方程組，然后求解即可；【詳解】解：設(shè)每輛A型車的每輛B型車一次可以分別運輸x盒疫苗、y盒疫苗，由題意可得，，解得，答：每輛A型車和每輛B型車一次可以分別運輸150盒疫苗、100盒疫苗．【點睛】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出等量關(guān)系，列出相應(yīng)的方程組．17．學校準備租用一批汽車，現(xiàn)有甲、乙兩種大客車，甲種客車每輛載客量人，乙種客車每輛載客量人，已知輛甲種客車和輛乙種客車共需租金元，輛甲種客車和輛乙種客車共需租金元．(1)求輛甲種客車和輛乙種客車的租金分別是多少元？(2)學校計劃租用甲、乙兩種客車共輛，送名師生集體外出活動，剛好全部坐滿，問租車費用是多少？【答案】(1)輛甲種客車的租金是元，輛乙種客車的租金是元(2)租車費用是元【分析】（1）可設(shè)輛甲種客車的租金是元，輛乙種客車的租金是元，根據(jù)等量關(guān)系：輛甲種客車和輛乙種客車共需租金元，輛甲種客車和輛乙種客車共需租金元，列出方程組求解即可；（2）根據(jù)題意，剛好全部坐滿，確定等量關(guān)系：甲客車人數(shù)+乙客車人數(shù)，建立一元一次方程求解，進而求出費用即可．【詳解】（1）解：設(shè)輛甲種客車的租金是元，輛乙種客車的租金是元，依題意有，解得，答：輛甲種客車的租金是元，輛乙種客車的租金是元．（2）解：設(shè)租用甲種客車輛，乙種客車輛，則，解得，元．答：剛好坐滿時，租車費用是元．【點睛】本題考查一元一次方程及二元一次方程組的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到符合題意的等量關(guān)系．18．宿鴨湖是亞洲面積最大平原人工水庫，位于河南省駐馬店市汝南縣羅店鎮(zhèn)東2公里處，為打造駐馬店宿鴨湖沿岸的風景帶，有一段長為720米的水庫清淤擴容工程由A、B兩個工程隊先后接力完成，A工程隊每天整治48米，B工程隊每天整治32米，共用20天．(1)根據(jù)題意，小華和小軍分別列出了尚不完整的方程組如下：根據(jù)小華、小軍所列的方程組，請你分別指出未知數(shù)x，y表示的意義，并在表格中補全兩人所列的方程組．小華：x表示_______________，y表示_____________；小軍：x表示_______________，y表示____________．(2)求出其中一個方程組的解，并回答A、B兩工程隊分別整治河道多少米？【答案】(1)見解析(2)甲方程的解為，乙方程的解為，A隊整治河道120米，B隊整治河道240米【分析】（1）根據(jù)甲、乙兩名同學所列的方程組可得，甲：x表示A隊的工作時間，y表示B隊的工作時間；乙：x表示A隊的工作量，y表示B隊的工作量，補全方程組即可；（2）根據(jù)二元一次方程組的解法求解方程組甲．【詳解】（1）解：由題意得，甲：x表示A隊的工作時間，y表示B隊的工作時間；乙：x表示A隊的工作量，y表示B隊的工作量；甲：，乙：；（2）解：得：，解得：，把代入①得：，解得：，∴方程組的解為，則，，∴A隊整治河道120米，B隊整治河道240米；，整理得，得：，把代入③得：，解得，∴方程組的解為，∴A隊整治河道120米，B隊整治河道240米．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，正確找出題目中的相等關(guān)系，列方程組求解．19．年我國多地道受連綿不斷的陰雨天襲擊，夏糧作為全年糧食生產(chǎn)的第一季，收割受到極大的影響．陜西省某縣政府為了幫助村民搶收小麥，租來了每天能收割小麥畝的型收割機和每天能收割小麥畝的型收割機共臺，全部型號的收割機一天能收割畝．(1)政府租來的型收割機和型收割機各有多少臺?(2)該縣某鄉(xiāng)鎮(zhèn)共有畝小麥，鎮(zhèn)長向政府申請了援助．因調(diào)配問題，政府只能每天向該鎮(zhèn)派遣同一型號的所有收割機進行援助．經(jīng)過天的努力，該鄉(xiāng)鎮(zhèn)恰好收割了全部小麥．已知每臺型收割機收費是元/天，每臺型收割機收費是元/天．請計算援助該鄉(xiāng)鎮(zhèn)共花費了多少元?【答案】(1)型有臺，型有臺(2)元【分析】本題考查了二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確尋找等量關(guān)系解決問題．（1）設(shè)型收割機有臺，型收割機有臺，再根據(jù)題意列方程即可求解；（2）由題意知，天收割了全部小麥，設(shè)型收割機收了天，型收割機收了天，根據(jù)天數(shù)和小麥總數(shù)列二元一次方程組解出、的值即可計算總費用．【詳解】（1）解：設(shè)政府租來的型收割機有臺，型收割機有臺，由題意可知：，解得：，，政府租來的型收割機有臺，型收割機有臺；（2）由題意知，天收割了全部小麥畝，設(shè)型收割機收了天，型收割機收了天，，解得：，總費用：(元)，援助該鄉(xiāng)鎮(zhèn)共花費了元．變式拓展1．某商場用2500元購進、兩種新型節(jié)能臺燈共50盞，這兩種臺燈的進價、標價如下表所示．類型價格型型進價（元/價）4065標價（元/盞）60100(1)這兩種臺燈各購進多少盞？（用二元一次方程組解決問題）(2)若型臺燈按標價的9折出售，型臺燈按標價的8折出售，那么這批臺燈全部售出后，商場共獲利多少元？【答案】(1)購進A型臺燈30盞，B型臺燈20盞；(2)720元．【分析】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意，設(shè)出未知數(shù)，找出等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系列出合適的方程，進而解答即可．（1）設(shè)購進A型臺燈x盞，購進B型臺燈y盞，根據(jù)題意列出方程組即可；（2）根據(jù)利潤=售價進價，可得商場獲利=A型臺燈利潤+B型臺燈利潤．【詳解】（1）解：設(shè)購進A型臺燈x盞，購進B型臺燈y盞，根據(jù)題意得：，解得：，答：購進A型臺燈30盞，B型臺燈20盞．（2）解：（元），答：這批臺燈全部售出后，商場共獲利720元．2．北京時間2023年10月26日，神舟十七號載人飛船發(fā)射取得了圓滿成功！神舟十七號發(fā)射成功并對接中國空間站，標志著中國載人航天走過空間站關(guān)鍵技術(shù)驗證階段和建造階段．某超市為了滿足廣大航天愛好者的需求，計劃購進、兩種航天載人飛船模型進行銷售，據(jù)了解，2件種航天載人飛船模型和3件種航天載人飛船模型的進價共計95元；3件種航天載人飛船模型和2件種航天載人飛船模型的進價共計105元．(1)求，兩種航天載人飛船模型每件的進價分別為多少元？(2)若該超市計劃正好用250元購進以上兩種航天載人飛船模型（兩種航天載人飛船模型均有購買），請你寫出所有購買方案．【答案】(1)A種飛船模型每件進價25元，B種飛船模型每件進價15元(2)購買方案：①購進7件A型飛船模型和5件B型飛船模型；②購進4件A型飛船模型和10件B型飛船模型；③購進1件A型飛船模型和15件B型飛船模型．【分析】本題考查了二元一次方程組的實際應(yīng)用及二元一次方程的正整數(shù)解的應(yīng)用，找準等量關(guān)系列出二元一次方程（組）是解題關(guān)鍵．（1）設(shè)A種飛船模型每件進價x元，B種飛船模型每件進價y元，根據(jù)“2種A型飛船模型和3種B型飛船模型的進價共計95元；3種A飛船模型和2種B型飛船模型的進價共計105元”，即可得關(guān)于x、y的一元二次方程組，解之即可；（2）設(shè)購進a件A型飛船模型和b件B型飛船模型，根據(jù)總價=單價×數(shù)量，得到關(guān)于a、b的二元一次方程，結(jié)合a、b是正整數(shù)即可得所有購買方案．【詳解】（1）解：設(shè)A種飛船模型每件進價x元，B種飛船模型每件進價y元，根據(jù)題意，得，解得，答：A種飛船模型每件進價25元，B種飛船模型每件進價15元；（2）解：設(shè)購進a件A型飛船模型和b件B型飛船模型，根據(jù)題意，得，∴，∵a，b均為正整數(shù)，∴當時，；當時，；當時，，∴所有購買方案如下：①購進7件A型飛船模型和5件B型飛船模型；②購進4件A型飛船模型和10件B型飛船模型；③購進1件A型飛船模型和15件B型飛船模型．3．列方程解應(yīng)用題：7月，某水果店用370元購進葡萄、西瓜，其中西瓜的重量比葡萄的2倍還多5千克，每千克葡萄、每千克西瓜的進價分別為5元、2元，售價分別為8元、5元．(1)求購進兩種水果各多少千克？(2)8月，水果店以7月的進價又購進葡萄、西瓜兩種水果，其中葡萄、西瓜的重量都不變，葡萄降價y元銷售，西瓜按原價銷售，8月份兩種水果售完后的總利潤是315元，求y的值．【答案】(1)購進40千克葡萄，85千克西瓜(2)【分析】（1）設(shè)購進m千克葡萄，n千克西瓜，根據(jù)“購進西瓜的重量比葡萄的2倍還多5千克，且購進兩種水果共花費370元”，可列出關(guān)于m，n的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）利用總利潤＝每千克的銷售利潤×銷售數(shù)量，可列出關(guān)于y的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)購進m千克葡萄，n千克西瓜，根據(jù)題意得：，解得：．答：購進40千克葡萄，85千克西瓜；（2）根據(jù)題意得：，解得：．答：y的值為．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程．4．某體育用品商場銷售A，B兩款足球，售價和進價如表：類型進價元/個售價元/個A款m120B款n90若該商場購進5個A款足球和12個B款足球需1120元；若該商場購進10個A款足球和15個B款足球需1700元．(1)求m和n的值；(2)某校在該商場一次性購買A款足球x個和B款足球y個，共消費3300元，那么該商場可獲利多少元？(3)為了提高銷量，商場實施：“買足球送跳繩”的促銷活動：“買1個A款足球送1根跳繩，買3個B款足球送2根跳繩”，每根跳繩的成本為10元，某日售賣出兩款足球總計盈利600元，那么該日商場銷售A、B兩款足球各多少個？每款都有銷售【答案】(1)m的值為80，n的值為60(2)1100(3)該日商場銷售13個A款足球、9個B款足球或6個A款足球、18個B款足球【分析】（1）根據(jù)“該商場購進5個A款足球和12個B款足球需1120元；購進10個A款足球和15個B款足球需1700元”，可得出關(guān)于m，n的二元一次方程組，解之即可得出m，n的值；（2）利用銷售總價等于銷售單價乘以銷售數(shù)量，可得出關(guān)于x，y的二元一次方程，再在方程的兩邊同時除以3，即可求出結(jié)論；（3）設(shè)該日商場銷售a個A款足球，個B款足球，利用總利潤等于每個的銷售利潤乘以銷售數(shù)量，可得出關(guān)于a，b的二元一次方程，結(jié)合a，b均為正整數(shù)，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：，解得：，∴m的值為80，n的值為60；（2）解：根據(jù)題意得：，∴，∴，答：該商場可獲利1100元；（3）解：設(shè)該日商場銷售a個A款足球，個B款足球，根據(jù)題意得：，∴，又∵a，b均為正整數(shù)，∴或，∴或，答：該日商場銷售13個A款足球、9個B款足球或6個A款足球、18個B款足球．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）（3）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程．5．西安的大唐不夜城，已成為游客們必去的打卡之地，在其商業(yè)街上，擺放著琳瑯滿目的具有古風特色的商品，其中做工精致的扇子深受大家的喜愛，某店鋪老板用元購進了折扇和團扇共把，這兩種扇子的進價、標價如表所示：種類價格折扇團扇進價（元/把）標價（元/把）(1)折扇和團扇各購進了多少把？(2)店鋪老板將這兩種扇子打折出售，全部售出后，該店鋪共獲利元，已知折扇按標價的九折出售，則團扇的折扣是多少？【答案】(1)折扇購進了把，團扇購進了把(2)團扇的折扣是七五折【分析】（1）設(shè)折扇購進了把，團扇購進了把，根據(jù)“店鋪老板用元購進了折扇和團扇共把”，和表格中折扇和團扇的進價，列出二元一次方程組，解二元一次方程組即可；（2）設(shè)團扇的折扣是折，根據(jù)“全部售出后，該店鋪共獲利元”，折扇購進了把，團扇購進了把，和表格中折扇和團扇的進價與標價，列出一元一次方程，解一元一次方程即可．【詳解】（1）解：設(shè)折扇購進了把，團扇購進了把，根據(jù)題意得：，解得：．答：折扇購進了把，團扇購進了把；（2）解：設(shè)團扇的折扣是折，根據(jù)題意得：，解得：．答：團扇的折扣是七五折．【點睛】本題考查了一元一次方程、二元一次方程組的應(yīng)用，讀懂題意、列方程是解題的關(guān)鍵．6．當下公園露營正成為人們一種新的周末休閑娛樂方式，經(jīng)營戶外用品店的小明決定采購一批帳篷進行銷售，已知A型天幕帳篷的進價比B型普通帳篷多80元，購買40頂A型帳篷和60頂B型帳篷的金額相同．(1)每頂A型帳篷和B型帳篷的進價分別是多少元？(2)7月份該小明以300元每頂售出A型帳篷120頂，以200元每頂售出B型帳篷150頂．8月份小明決定調(diào)整價格，每頂A型帳篷的售價不變，每頂B型帳篷的售價在7月的基礎(chǔ)上下降了m元，由于氣溫持續(xù)攀升，8月份A型帳篷的銷量比7月份增加了2m頂，B型帳篷的銷量比7月份增加了20%，小明在8月份獲利13200元，求m的值．【答案】(1)每頂A型帳篷是240元，B型帳篷的進你分別是160元(2)【分析】（1）設(shè)每頂A型帳篷是x元，B型帳篷的進價分別是y元，根據(jù)題意即可建立方程組求解；（2）根據(jù)題意，8月A型帳篷得單價為800元，銷量為頂，8月B型帳篷得單價為元，銷量為頂，即可建立方程求解．【詳解】（1）解：設(shè)每頂A型帳篷是x元，B型帳篷的進價分別是y元，根據(jù)題意得：，解得：，答：每頂A型帳篷是240元，B型帳篷的進你分別是160元．（2）解：根據(jù)題意，8月A型帳篷的單價為800元，銷量為頂，8月B型帳篷的單價為元，銷量為頂，根據(jù)題意得：，解得：．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，明確題意，準確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．7．某電器超市銷售每臺進價為200元，170元的A、B兩種型號的電風扇．如表所示是近2周的銷售情況：（進價、售價均保持不變，利潤＝銷售收入－進貨成本）銷售時段銷售數(shù)量銷售收入A種型號B種型號第一周351750元第二周4103000元(1)求A、B兩種型號電風扇的銷售單價；(2)超市銷售完A、B兩種型號的電風扇共25臺，能否實現(xiàn)利潤為1200元的目標？請說明理由．(3)一家公司打算花費4000元同時購買A、B兩種型號的電風扇若干臺，請你為該公司設(shè)計不同的購買方案．【答案】(1)種型號電風扇的銷售單價為250元，種型號電風扇的銷售單價為200元(2)不能，理由見解析(3)見解析【分析】（1）設(shè)種型號電風扇的銷售單價為元，種型號電風扇的銷售單價為元，根據(jù)近2周的銷售情況表格中的數(shù)據(jù)，即可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）不能實現(xiàn)利潤為1200元的目標，設(shè)銷售臺種型號電風扇，臺種型號電風扇，利用總利潤每臺的銷售利潤銷售數(shù)量，結(jié)合銷售完、兩種型號的電風扇共25臺且共獲得1200元利潤，即可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出，的值，結(jié)合，需為正整數(shù)，即可得出不能實現(xiàn)利潤為1200元的目標；（3）設(shè)購買臺種型號電風扇，臺種型號電風扇，利用總價單價數(shù)量，即可得出關(guān)于，的二元一次方程，結(jié)合，均為正整數(shù)，即可得出各購買方案．【詳解】（1）解：設(shè)種型號電風扇的銷售單價為元，種型號電風扇的銷售單價為元，依題意得：，解得：．答：種型號電風扇的銷售單價為250元，種型號電風扇的銷售單價為200元．（2）不能實現(xiàn)利潤為1200元的目標，理由如下：設(shè)銷售臺種型號電風扇，臺種型號電風扇，依題意得：，解得：，又，均為正整數(shù)，不符合題意，舍去，即不能實現(xiàn)利潤為1200元的目標．（3）設(shè)購買臺種型號電風扇，臺種型號電風扇，依題意得：，，又，均為正整數(shù)，或或，該公司共有3種購買方案，方案1：購買4臺種型號電風扇，15臺種型號電風扇；方案2：購買8臺種型號電風扇，10臺種型號電風扇；方案3：購買12臺種型號電風扇，5臺種型號電風扇．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組（或二元一次方程）是解題的關(guān)鍵．8．小明作業(yè)本中有一頁被墨水污染了，已知他所列的方程組是正確的，寫出題中被墨水污染的條件和被墨水污染的第一個方程，并求解這道應(yīng)用題．應(yīng)用題：小東在某商場看中的一臺電視和一臺空調(diào)在“五一”前共需要5500元，由于該商場開展“五一”促銷活動，同樣的電視打八折銷售，，于是小東在促銷期間購買了同樣的電視一臺，同樣的空調(diào)兩臺，共花費7200元，求“五一”前同樣的電視和同樣的空調(diào)每臺各多少元？解：設(shè)“五一”前同樣的電視每臺x元，同樣的空調(diào)每臺y元，根據(jù)題意，得解決問題：(1)被墨水污染的第一個方程是：________；被墨水污染的條件是：________；(2)求“五一”前同樣的電視和空調(diào)每臺各多少元？【答案】(1)；同樣的空調(diào)每臺降價400元．(2)“五一”前同樣的電視每臺2500元，同樣的空調(diào)每臺3000元【分析】（1）根據(jù)方程②可找出表示每臺空調(diào)在“五一”促銷活動中的售價，進而可得出被墨水污染的條件為同樣的空調(diào)每臺降價400元，根據(jù)小東在某商場看中的一臺電視和一臺空調(diào)在“五一”前共需要5500元，可得出；（2）根據(jù)題意解方程組即可．【詳解】（1）解：設(shè)“五一”前同樣的電視每臺元，空調(diào)每臺元，方程②為，表示每臺空調(diào)在“五一”促銷活動中的售價，被墨水污染的條件是：同樣的空調(diào)每臺降價400元．小東在某商場看中的一臺電視和一臺空調(diào)在“五一”前共需要5500元，被墨水污染的第一個方程是：．故答案為：；同樣的空調(diào)每臺降價400元．（2）設(shè)“五一”前同樣的電視每臺x元，同樣的空調(diào)每臺y元，根據(jù)題意，列方程組得，解得，答：“五一”前同樣的電視每臺2500元，同樣的空調(diào)每臺3000元．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．9．如圖，王英家客廳的電視背景墻是由塊形狀大小相同的長方形墻磚砌成，已知電視背景墻的長度為，求每一塊長方形墻磚的面積．（列二元一次方程組解答）【答案】每一塊長方形墻磚的面積為．【分析】此題考查了二元一次方程組的實際應(yīng)用，長方形的性質(zhì)，設(shè)一塊長方形墻磚的長為，寬為，然后用的代數(shù)式分別表示出長方形的長為，兩條寬分別為，，進而根據(jù)長方形的性質(zhì)列出方程組，解方程組得到的值，再根據(jù)長方形面積計算公式即可求出面積，根據(jù)長方形的兩組對邊分別相等列出方程組是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)一塊長方形墻磚的長為，寬為，依題意得，，解得，∴每一塊長方形墻磚的面積為：答：每一塊長方形墻磚的面積為．10．某藥業(yè)集團生產(chǎn)的某種藥品包裝盒的側(cè)面展開圖如圖所示．如果長方體盒子的長比寬多，求這種藥品包裝盒的體積．【答案】【分析】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，要求長方體的體積，需知長方體的長，寬，高，故采用間接設(shè)元法．再結(jié)合圖形尋找以下相等關(guān)系：①2個寬+2個高=14；②1個長+2個高=13．【詳解】解：設(shè)這種藥品包裝盒的寬為，高為，則長為，根據(jù)題意，得：，解得，故長為，寬為，高為，所以體積．答：這種藥品包裝盒的體積為．11．分別用8個大小一樣的小長方形紙片拼圖．如圖①，小明拼成了一個大的長方形；如圖②，小紅拼成了一個大的正方形，但中間恰好空出一個邊長為1cm的小正方形，請你求出小長方形紙片的長和寬．【答案】小長方形的長為5cm，寬為3cm．【分析】設(shè)每個小長方形的長為xcm，寬為ycm，觀察圖形，根據(jù)各邊之間的關(guān)系，列出二元一次方程組，解方程組得出小長方形的長和寬．【詳解】解：設(shè)每個小長方形的長為xcm，寬為ycm，依題意得：，解得：，答：小長方形的長為5cm，寬為3cm．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．12．現(xiàn)有一輛卡車，要運輸若干套某種設(shè)備，每套設(shè)備由A部件和部件組成．已知3個A部件和2個部件的總質(zhì)量