第05講整式方程分式方程（十大題型）

第05講整式方程分式方程（十大題型）1、知道一元整式方程與高次方程的有關(guān)概念，知道一元整式方程的一般形式.2、經(jīng)歷從具體問題中的數(shù)量相等關(guān)系引進(jìn)含字母系數(shù)的方程的過程,理解含字母系數(shù)的一元一次方程、一元二次方程的概念，掌握它們的基本解法.3、理解和掌握二項(xiàng)方程的意義以及二項(xiàng)方程的解法；4、了解分式方程的概念；5、經(jīng)歷探索可化為一元二次方程的分式方程求解方法的過程，知道求解分式方程的一般步驟，領(lǐng)會(huì)化歸思想.6、掌握“去分母”法解分式方程，知道可能產(chǎn)生增根，掌握驗(yàn)根的方法.知識(shí)點(diǎn)一、一元整式方程1.一元整式方程：如果方程中只有一個(gè)未知數(shù)且兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式,這個(gè)方程叫做一元整式方程;2.一元n次方程：一元整式方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是(是正整數(shù)),這個(gè)方程叫做一元次方程.3.一元高次方程概念：一元整式方程中含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是，若次數(shù)是大于2的正整數(shù)，這樣的方程統(tǒng)稱為一元高次方程。要點(diǎn)：一元高次方程應(yīng)具備：整式方程;只含一個(gè)未知數(shù);含未知數(shù)的項(xiàng)最高次數(shù)大于2次.知識(shí)點(diǎn)二、二項(xiàng)方程1.概念：如果一元n次方程的一邊只有含未知數(shù)的一項(xiàng)和非零的常數(shù)項(xiàng)，另一邊是零，那么這樣的方程就叫做二項(xiàng)方程.要點(diǎn)：注：①=0（a≠0）是非常特殊的n次方程，它的根是0.②這里所涉及的二項(xiàng)方程的次數(shù)不超過6次.2.一般形式：3.二項(xiàng)方程的基本方法:是（開方）4.解的情況：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，如果ab<0，那么方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且這兩個(gè)根互為相反數(shù)；如果ab>0，那么方程沒有實(shí)數(shù)根.知識(shí)點(diǎn)三、雙二次方程1.概念：只含有偶數(shù)次項(xiàng)的一元四次方程.要點(diǎn)：當(dāng)常數(shù)項(xiàng)不是0時(shí)，規(guī)定它的次數(shù)為0.2.一般形式：3.解題的一般步驟：換元——解一元二次方程——回代4.解雙二次方程的常用方法：因式分解法與換元法（目的是降次，使它轉(zhuǎn)化為一元一次方程或一元二次方程）通過換元，把雙二次方程轉(zhuǎn)化為一元方程體現(xiàn)了“降次”的策略。要點(diǎn)：解高于一次的方程，基本思想就是“降次”，對(duì)有些高次方程，可以用因式分解的方法降次。用因式分解的方法時(shí)要注意：一定要使方程的一邊為零，另一邊可以因式分解。知識(shí)點(diǎn)四、分式方程分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.要點(diǎn)：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知數(shù).（2）分式方程和整式方程的區(qū)別就在于分母中是否有未知數(shù)（不是一般的字母系數(shù)）.分母中含有未知數(shù)的方程是分式方程，分母中不含有未知數(shù)的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程看聯(lián)系：分式方程可以轉(zhuǎn)化為整式方程.知識(shí)點(diǎn)五、求解可化為一元二次方程的分式方程的步驟.可以用下面的圖表示：分式方程去分母分式方程去分母解整式方程檢驗(yàn)增根舍去是原方程的根寫出分式方程的根知識(shí)點(diǎn)六、分式方程的解法1、解分式的基本思想：將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.轉(zhuǎn)化方法是方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母.在去分母這一步變形時(shí)，有時(shí)可能產(chǎn)生使最簡公分母為零的根，這種根叫做原方程的增根.因?yàn)榻夥质椒匠虝r(shí)可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程時(shí)必須驗(yàn)根.2、解分式方程的一般步驟：（1）方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，先分解因式，再找出最簡公分母）；（2）解這個(gè)整式方程，求出整式方程的解；（3）檢驗(yàn)：將求得的解代入最簡公分母，若最簡公分母不等于0，則這個(gè)解是原分式方程的解，若最簡公分母等于0，則這個(gè)解不是原分式方程的解，原分式方程無解.要點(diǎn)：1、熟練掌握用“去分母”法求解分式方程的方法.2、了解用“換元法”解特殊的分式方程（組）.3、領(lǐng)會(huì)分式方程“整式化”的化歸思想和方法.知識(shí)點(diǎn)七、解分式方程產(chǎn)生增根的原因方程變形時(shí)，可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做原方程的增根.產(chǎn)生增根的原因：去分母時(shí)，方程兩邊同乘最簡公分母是含有字母的式子，這個(gè)式子有可能為零，對(duì)于整式方程來說，求出的根成立，而對(duì)于原分式方程來說，分式無意義，所以這個(gè)根是原分式方程的增根.要點(diǎn)：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”時(shí)產(chǎn)生的.根據(jù)方程的同解原理，方程的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)不為0的數(shù)，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的兩邊都乘以的數(shù)是0，那么所得方程與原方程不是同解方程，這時(shí)求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要檢驗(yàn)根，這種檢驗(yàn)與整式方程不同，不是檢查解方程過程中是否有錯(cuò)誤，而是檢驗(yàn)是否出現(xiàn)增根，它是在解方程的過程中沒有錯(cuò)誤的前提下進(jìn)行的.題型1：整式方程的有關(guān)概念【典例1】．下列方程是一元高次方程的是（）A．x+3＝0 B．x2﹣3x﹣1＝0 C．x3+2x+＝0 D．x4+1＝0【答案】D【分析】根據(jù)一元高次方程的定義：只含一個(gè)未知數(shù)，未知項(xiàng)的最高次數(shù)大于等于3的整式方程，即可得出答案．【解析】解：這四個(gè)方程都只含一個(gè)未知數(shù)，∵A，B中未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)小于等于2，∴A，B選項(xiàng)不是一元高次方程，不符合題意，∵C中分母中含有未知數(shù)，∴是分式方程，∴C選項(xiàng)不符合題意，∵D符合一元高次方程定義：只含一個(gè)未知數(shù)，未知項(xiàng)的最高次數(shù)大于等于3的整式方程，∴D選項(xiàng)符合題意，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元高次方程的定義，注意幾元幾次方程都首先是整式方程．【典例2】．下面四個(gè)方程中是整式方程的是（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)整式方程與分式方程的定義解答．分式方程的定義：分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程進(jìn)行判斷．【解析】A.分母中含有求知數(shù)，是分式方程，不符合題意；B.即為，分母中含有求知數(shù)，是分式方程，不符合題意；C.兩邊都是含未知數(shù)的整式，是整式方程；D.分母中含有求知數(shù)，是分式方程，不符合題意.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了整式方程的定義．判斷一個(gè)方程是否為整式方程，主要是依據(jù)整式方程的定義，也就是看分母中是否含有未知數(shù)．題型2：二項(xiàng)方程【典例3】．下列方程中，是二項(xiàng)方程的是（

）A．； B．； C．； D．【答案】C【分析】二項(xiàng)方程的左邊只有兩項(xiàng)，其中一項(xiàng)含未知數(shù)x，這項(xiàng)的次數(shù)就是方程的次數(shù)；另一項(xiàng)是非0常數(shù)項(xiàng)；結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解析】A.中兩項(xiàng)都含未知數(shù)x，所以不是二項(xiàng)方程；B.中有三項(xiàng)，所以不是二項(xiàng)方程；

C.其中一項(xiàng)含未知數(shù)x，另一項(xiàng)是非0常數(shù)項(xiàng)，所以是二項(xiàng)方程；D.中有三項(xiàng)，所以不是二項(xiàng)方程.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)方程的定義，注意二項(xiàng)方程只有兩項(xiàng)，一項(xiàng)含未知數(shù)，一項(xiàng)是非0常數(shù)．【典例4】．下列方程中，是二項(xiàng)方程的為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】二項(xiàng)方程的左邊只有兩項(xiàng)，其中一項(xiàng)含未知數(shù)x，另一項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)；方程的右邊是0，結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解析】解：A．不是二項(xiàng)方程，方程右邊不等于0，不符合題意；B．不是二項(xiàng)方程，方程左邊沒有常數(shù)項(xiàng)，不符合題意；C．是二項(xiàng)方程，符合題意；D．不是二項(xiàng)方程，方程左邊只有一項(xiàng)，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)方程的定義，注意二項(xiàng)方程的左邊只有兩項(xiàng)，一項(xiàng)含未知數(shù)，一項(xiàng)是常數(shù)，右邊為0，熟練掌握二項(xiàng)方程的定義是解決問題的關(guān)鍵．【典例5】．下列方程中，是二項(xiàng)方程的是（

）A．； B．；C．； D．．【答案】D【分析】如果一元n次方程的一邊只有含未知數(shù)的一項(xiàng)和非零的常數(shù)項(xiàng)，另一邊是零，那么這樣的方程就叫做二項(xiàng)方程．據(jù)此可以判斷．【解析】解：，有2個(gè)未知數(shù)項(xiàng)，故A選項(xiàng)不合題意；，沒有非0常數(shù)項(xiàng)，故B選項(xiàng)不合題意；，有2個(gè)項(xiàng)，故C選項(xiàng)不合題意；，D選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)方程，解題關(guān)鍵點(diǎn)為理解二項(xiàng)方程的定義．【典例6】．在下列關(guān)于的方程中，不是二項(xiàng)方程的是()A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二項(xiàng)方程的定義逐個(gè)判斷得結(jié)論．【解析】解：把各方程移項(xiàng)，使等號(hào)右邊為，滿足二項(xiàng)方程的是A、B、C，由于方程D移項(xiàng)后左邊是三項(xiàng)，故選項(xiàng)D不是二項(xiàng)方程．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)方程的定義，二項(xiàng)方程的左邊只有兩項(xiàng)，其中一項(xiàng)含未知數(shù)，這項(xiàng)的次數(shù)就是方程的次數(shù)；另一項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)；方程的右邊是．題型3：整式方程的解【典例7】．方程的解是．（保留三位小數(shù)）．【答案】【分析】先求出，再利用計(jì)算器求出即可．【解析】解：，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解高次方程和近似數(shù)和有效數(shù)字，能求出是解此題的關(guān)鍵．【典例8】．方程的根是．【答案】或/或【分析】將方程化為二項(xiàng)方程，因式分解法解方程即可求解．【解析】解：，即，∴，∵，∴，即，，或，經(jīng)檢驗(yàn)，或，是原方程的解，方程的根是或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了解二項(xiàng)方程，將方程因式分解是解題的關(guān)鍵．【典例9】．方程x3﹣x＝0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解是【答案】x1＝0，x2＝1，x3＝1．【分析】利用因式分解法解方程即可．【解析】解：x3﹣x＝0，x（x2﹣1）＝0，x（x+1）（x﹣1）＝0，x＝0或x+1＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣1，x3＝1，故答案為：x1＝0，x2＝1，x3＝1．【點(diǎn)睛】本題考查了解高次方程，能把解高次方程轉(zhuǎn)化成解低次方程是解此題的關(guān)鍵．題型4：分式方程的概念【典例10】．下列方程：①；②；③；④．其中，分式方程有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)分式方程的定義對(duì)各小題進(jìn)行逐一分析即可．【解析】①的分母中含有未知數(shù)，是分式方程；②是整式方程；③是整式方程；④的分母中含有未知數(shù)，是分式方程．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是分式方程的定義，熟知分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程是解答此題的關(guān)鍵．【典例11】．已知方程：①；②③；④．這四個(gè)方程中，分式方程的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程，根據(jù)定義判斷即可．【解析】解：根據(jù)定義可知，①②③為分式方程，④不是分式方程，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的定義，熟記定義是解題的關(guān)鍵．題型5：分式方程的解【典例12】．解方程：（m為常數(shù)）【答案】當(dāng)時(shí)，原方程無解，當(dāng)時(shí)，原方程的解為且且【分析】本題主要考查了解分式方程，先解分式方程得到，則當(dāng)時(shí)，原方程無解；當(dāng)時(shí)，，再求出分式方程有增根時(shí)m的值，以及求出對(duì)應(yīng)m值下方程的解即可得到答案．【解析】解：去分母得：，去括號(hào)得：，移項(xiàng)得：，合并同類項(xiàng)得：，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，原方程無解；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則，解得，當(dāng)時(shí)，解得或（增根舍去），當(dāng)時(shí)，則，解得，當(dāng)時(shí)，解得或（增根舍去）；綜上所述，當(dāng)時(shí)，原方程無解，當(dāng)時(shí)，原方程的解為且且．【典例13】．解方程：【答案】【分析】運(yùn)用乘法公式，分式的性質(zhì)解分式方程即可．【解析】解：方程兩邊同時(shí)乘以：，得：，整理得：，∴，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：是增根，故舍去，∴原方程的根是．【點(diǎn)睛】本題主要考查解分式方程，掌握乘法公式，解分式方程的方法是解題的關(guān)鍵．【典例14】．解方程組：【答案】【分析】設(shè)，，則原方程組可化為，解二元一次方程組得，得到，，進(jìn)而推出，，再次利用加減消元法解方程即可，注意最后需要檢驗(yàn)．【解析】設(shè)，，則原方程組可化為，得：，解得：，將代入②得，，∴，，∴，，∴，得：，解得：，將代入③得，，經(jīng)檢驗(yàn)：，，是原方程組的解，∴方程組的解為：【點(diǎn)睛】本題主要考查用換元法解分式方程組，加減消元法解二元一次方程組，理解并熟練掌握對(duì)應(yīng)方程的解法是解題的關(guān)鍵．【典例15】．解下列分式方程.(1).(2).【答案】(1)(2)，【分析】（1）將方程兩邊同乘，進(jìn)行計(jì)算，檢驗(yàn)即可得；（2）方程兩邊同時(shí)通分，得進(jìn)行計(jì)算，檢驗(yàn)即可得．【解析】（1）解：將方程兩邊同乘，得，整理，得，解得，，經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解；（2）解：方程兩邊同時(shí)通分，得整理，得或解得，，，經(jīng)檢驗(yàn)，，都是原分式方程的解．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，解題的關(guān)鍵是掌握解分式方程的方法．題型6：將分式方程化為整式方程【典例16】．解方程時(shí)，設(shè)，則原方程可化為關(guān)于的整式方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，設(shè)，代入得，再左右同乘化簡即可．【解析】，，，，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了換元法將分式方程化為整式方程，換元代入是解題的關(guān)鍵．【典例17】．用換元法解分式方程，如果設(shè)，那么原方程化為關(guān)于的整式方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由，原方程可化為，去分母把分式方程化成整式方程，即可得出答案．【解析】解：設(shè)，分式方程可化為，化為整式方程：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了換元法解分式方程，掌握換元法及正確把分式方程化成整式方程是解決問題的關(guān)鍵．【典例18】．用換元法解方程，設(shè)，則得到關(guān)于的整式方程為．【答案】【分析】設(shè)，則，轉(zhuǎn)化后再進(jìn)一步整理得到整式方程即可．【解析】解：設(shè)，∴，則原方程為：，整理得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了用換元法解分式方程，掌握換元法、變量代換法，通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來，或者變?yōu)槭煜さ男问剑褟?fù)雜的計(jì)算和推證簡化是解題的關(guān)鍵．【典例19】．用換元法解方程時(shí)，設(shè)則原方程可變形為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】已知方程變形后，將代入即可得到結(jié)果．【解析】解：根據(jù)題意得：，即，由，得到方程化為關(guān)于y的整式方程是，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了換元法解分式方程，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【典例20】．用換元法解方程時(shí)，下列換元方法中最合適的換元方法是（

）A．設(shè) B．設(shè) C． D．【答案】C【分析】設(shè)，則原方程化為，從而可得答案.【解析】解：，設(shè)，∴，整理得：，故選C【點(diǎn)睛】本題考查的是利用換元法解分式方程，熟練的換元是解本題的關(guān)鍵.題型7：增根問題【典例21】．已知關(guān)于x的方程有增根，那么．【答案】【分析】先去分母得，再把增根代入即可求得k值．【解析】解：，去分母得：，由分式方程有增根，得到，即，把代入整式方程，解得．把代入整式方程無解．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的解法及增根問題，解題的關(guān)鍵是熟知分式方程的解法．【典例22】．當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的方程會(huì)產(chǎn)生增根．【答案】【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有增根求出的值，代入整式方程計(jì)算即可求出的值．【解析】解：解：去分母得：，由分式方程有增根，得到，即，把代入整式方程得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．題型8：無解問題【典例23】．若關(guān)于x的分式方程無解，則k的值為（

）A． B．－1 C．1 D．【答案】D【分析】先令分母為零求增根，在把分式方程化為整式方程，最后把增根代入整式方程即可求出答案．【解析】解：分式方程無解解得原方程化為：把代入得解得故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的增根，掌握增根產(chǎn)生的原因并求出增根，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程是解題的關(guān)鍵．【典例24】．若關(guān)于的分式方程無解，則的值為．【答案】或1【分析】本題考查了分式方程無解，理解分式方程無解的含義是解題的關(guān)鍵．去分母，整理得，根據(jù)分式方程無解可知增根分別為或，分別求解即可．【解析】分式方程兩邊都乘以最簡公分母，得：，整理得：，關(guān)于的分式方程無解，當(dāng)時(shí)，得，解得，當(dāng)時(shí)，得，解得．∴的值為或1．故答案為：或1．題型9：根據(jù)分式方程的解求參數(shù)范圍【典例25】．如果關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù)，那么a的取值范圍是．【答案】且【分析】根據(jù)解分式方程的一般步驟，可得分式方程的解，根據(jù)解為正數(shù)，可得不等式，根據(jù)解不等式，可得答案．【解析】解：，，解得：，，，即，解得，因?yàn)榻鉃檎龜?shù)，，即，解得，故答案為：且．【點(diǎn)睛】此題考查分式方程的解；解題關(guān)鍵在于根據(jù)解為正數(shù)，可得不等式再求出解集.【典例26】．若關(guān)于x的方程的解是正數(shù)，則m的取值范圍為．【答案】且【分析】本題考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，求出方程的解是解題的關(guān)鍵．先用含m的代數(shù)式表示x，再根據(jù)解為正數(shù)，列出關(guān)于m的不等式，求解即可．【解析】解：由，得：且，∵關(guān)于的方程的解是正數(shù)，∴且，解得：且，故答案是：且．題型10：分式方程與一元一次不等式組【典例27】．關(guān)于的分式方程的解是非負(fù)數(shù)，且使得關(guān)于的不等式組．有且僅有4個(gè)整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和是．【答案】【分析】本題考查了分式方程的解及根據(jù)一元一次不等式組解集求參數(shù)，利用不等式的解集及方程的解得出m的取值范圍是解題關(guān)鍵．分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，表示出整式方程的解，不等式組整理后，由有且僅有4個(gè)整數(shù)解確定出m的范圍，再找出符合條件的整數(shù)求和即可得答案．【解析】解：∵，∴∴∴∴∴，∵關(guān)于x的分式方程的解是非負(fù)數(shù)，∴且，∴且．∵，∴．∴．∵∴∴∵關(guān)于y的不等式組有且僅有4個(gè)整數(shù)解，∴∴．又∵且，a為整數(shù)，∴．∴所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是．故答案為：．【典例28】．若關(guān)于x的不等式組至少有4個(gè)整數(shù)解，關(guān)于y的方程的解是非負(fù)數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)a的和為．【答案】【分析】此題主要考查了解一元一次不等式組，解分式方程，熟練掌握解解一元一次不等式組和解分式方程的方法，理解一元一次不等式組的解集和分式方程的增根是解答此題的關(guān)鍵．分別求出符合不等式組和分式方程解的條件的整數(shù)a，再計(jì)算出所有整數(shù)a的和．【解析】解：，解該不等式組得：∵關(guān)于x的不等式組至少有4個(gè)整數(shù)解，∴，解該分式方程得：，∵且，解得且，∴a?。蚀鸢笧椋海?、單選題1．下列方程中，是關(guān)于的一元三次方程的是（）A． B．C． D．（為非零常數(shù)）【答案】D【分析】根據(jù)一元三次方程的定義：一個(gè)未知數(shù)，含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)為3的整式方程，進(jìn)行判斷即可．【解析】解：A．，整理，得：，當(dāng)為負(fù)數(shù)時(shí)，不是一元三次方程，不符合題意；B．不是整式方程，不符合題意；C．，整理得：，沒有3次項(xiàng)，不符合題意；D．（為非零常數(shù)）整理，得：（為非零常數(shù)），是一元三次方程，符合題意；故選．【點(diǎn)睛】本題考查一元三次方程的識(shí)別．熟練掌握一元三次方程的定義，是解題的關(guān)鍵．2．下列方程中，二項(xiàng)方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】如果一元n（n是正整數(shù)）次方程的一邊只含有含未知數(shù)的一項(xiàng)和非零的常數(shù)項(xiàng)，另一邊是0，這樣的方程就叫做二項(xiàng)方程，根據(jù)定義判斷即可．【解析】解：A．有三項(xiàng)，不符合二項(xiàng)方程定義，故選項(xiàng)不合題意；B．不是二項(xiàng)方程，故選項(xiàng)不符合題意；C．可變?yōu)?，符合二?xiàng)方程定義．故選項(xiàng)符合題意；D．是分式方程，故選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)方程的定義，掌握二項(xiàng)方程的定義是求解本題的關(guān)鍵．3．下列方程是二項(xiàng)方程的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)二項(xiàng)方程的定義逐項(xiàng)判斷即可求解．【解析】解：A.，當(dāng)a=0時(shí)，不是二項(xiàng)方程，不合題意；B.，是二項(xiàng)方程，符合題意；C.，不含常數(shù)項(xiàng)，不是二項(xiàng)方程，不合題意；D.，不含常數(shù)項(xiàng)，不是二項(xiàng)方程，不合題意．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)方程的定義，二項(xiàng)方程需滿足以下條件：（1）整式方程；（2）方程共兩項(xiàng)；（3）兩項(xiàng)中一項(xiàng)含有未知數(shù)，另一項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)．4．下列方程中：（1）；（2）；（3）；（4）；是二項(xiàng)方程的有（

）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)兩項(xiàng)方程的定義直接判斷得結(jié)論．【解析】解：（1），符合二項(xiàng)方程的定義；（2），當(dāng)a=0時(shí)，不符合二項(xiàng)方程的定義；（3），兩項(xiàng)都含有未知數(shù)，不符合二項(xiàng)方程的定義；（4），有三項(xiàng)，不具備二項(xiàng)方程的定義，綜上，只有（1）符合二項(xiàng)方程的條件，共1個(gè)．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)方程的定義，二項(xiàng)方程需滿足以下幾個(gè)基本條件：（1）整式方程，（2）方程共兩項(xiàng)，（3）兩項(xiàng)中一項(xiàng)含有未知數(shù)，一項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)．5．如果關(guān)于的方程無解，那么的取值范圍是（

）A． B． C． D．任意實(shí)數(shù)【答案】B【分析】根據(jù)ax=b中當(dāng)a=0,b≠0方程無解可知當(dāng)m+2=0時(shí)關(guān)于的方程無解．【解析】解：由題意得當(dāng)m+2=0時(shí)關(guān)于的方程無解解得m=2，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程無解的情況，根據(jù)題意得出關(guān)于m+2=0是解題關(guān)鍵．6．關(guān)于分式方程的解，下列說法正確的是（）A．解是x＝2 B．解是x＝4 C．解是x＝﹣4 D．無解【答案】D【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【解析】解：去分母得：1﹣x＝﹣1，解得：x＝2，經(jīng)檢驗(yàn)x＝2是增根，分式方程無解．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，始終注意分母不為0這個(gè)條件．7．用換元法解分式方程+1＝0時(shí)，如果設(shè)＝y(tǒng)，那么原方程可以變形為整式方程（）A．y2﹣3y﹣1＝0 B．y2+3y﹣1＝0 C．y2﹣y﹣1＝0 D．y2+y﹣1＝0【答案】D【分析】根據(jù)換元法，把換成y，然后整理即可得解．【解析】解：∵＝y(tǒng)，∴原方程化為．整理得：y2+y﹣1＝0．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查的是換元法解分式方程，換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理．8．若關(guān)于x的分式方程=的根為正數(shù)，則k的取值范圍是()A．k<且k≠1 B．k≠1 C．<k<1 D．k<【答案】A【分析】先去分母求出分式方程的解，再根據(jù)此方程的解為正數(shù)，列出關(guān)于k的不等式，注意此方程有解，則x≠1，x≠﹣k，求出k的取值范圍即可．【解析】方程兩邊同時(shí)乘以（x+k）（x1）得：x﹣1=5x+5k解之：x=∵x＞0且x≠1，x≠﹣k∴＞0且≠1且≠﹣k，解得：k＜且k≠﹣1，∴k＜且k≠﹣1故答案為：A【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的解、解分式方程、解一元一次不等式，理解分式方程的解，熟練掌握分式方程的解法是解答的關(guān)鍵，注意使分式有意義的隱含條件．9．若關(guān)于的分式方程有增根，則的值是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，將x=1代入計(jì)算即可求出m的值．【解析】解：分式方程去分母得：，將x=1代入的：m=2，故選C.【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的增根，增根問題可按如下步驟進(jìn)行：①讓最簡公分母為0確定增根；②化分式方程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．10．若關(guān)于x的不等式組所有整數(shù)解的和為2，且關(guān)于y的分式方程＝1的解是正數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)k的和是（）A．10 B．13 C．15 D．17【答案】A【分析】將不等式組整理后，表示出不等式組的解集，根據(jù)整數(shù)解之和為2確定出k的值，分式方程去分母得到整式方程，表示出整式方程的解，根據(jù)解為正數(shù)確定出k的范圍，進(jìn)而確定出滿足題意整數(shù)k的值，求出之和即可．【解析】不等式組整理得：，解得：2﹤x≤，由整數(shù)解之和為2，得到整數(shù)解為﹣1，0，1，2，∴2≤＜3，解得：3≤k＜7，分式方程去分母得：2y+1﹣k＝y(tǒng)﹣2，解得：y＝k﹣3，由分式方程的解為正數(shù)，得到k﹣3＞0，且k﹣3≠2，解得：k＞3且k≠5，綜上，k的范圍是3＜k＜7，且k≠5，即整數(shù)k＝4，6，之和為4+6＝10．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了帶參數(shù)的一元一次不等式組的整數(shù)解，分式方程的解，解答的關(guān)鍵是正確解出不等式組的解集，掌握分式方程的解法，注意分式有意義的條件.二、填空題11．試寫出一個(gè)二項(xiàng)方程，使得它有一個(gè)解為x=1，這個(gè)二項(xiàng)方程可以是．【答案】x21=0（答案不唯一）【分析】按要求寫出二項(xiàng)、有一個(gè)解為1的方程即可．【解析】解：二項(xiàng)方程，使得它有一個(gè)解為x=1，這樣的方程不唯一，比如：x21=0，x1=0等，故答案為：x21=0（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查項(xiàng)及方程的解等概念的應(yīng)用，屬開放性題目，答案不唯一，解題的關(guān)鍵是理解項(xiàng)、方程的解等概念．12．有一個(gè)解為，那么這個(gè)方程的另一個(gè)解為．【答案】【分析】將代入原方程求出m的值，再把m的值代回原方程，通過直接開平方法解原方程，得到方程的兩個(gè)解，可得答案．【解析】將代入方程，得，即，故原方程為：，移項(xiàng)，得：，兩邊直接開4次方，得：或，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解二項(xiàng)方程，根據(jù)方程的解求得字母的值是解題的關(guān)鍵．13．已知關(guān)于x的方程是二項(xiàng)方程，則m=．【答案】1【分析】根據(jù)方程項(xiàng)數(shù)的概念得出，求出m即可．【解析】解：∵關(guān)于x的方程是二項(xiàng)方程，∴，即，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了高次方程，利用方程的項(xiàng)數(shù)得出關(guān)于m的方程是解題的關(guān)鍵．14．方程的解是．【答案】和【分析】方程兩邊同時(shí)乘以，把分式方程化成整式方程，解整式方程檢驗(yàn)后，即可得出分式方程的解．【解析】解：方程兩邊同時(shí)乘以得：，，解得：，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴分式方程的解為和．【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程，熟練掌握分式方程的解法是解題的關(guān)鍵，注意解分式方程要檢驗(yàn)根．15．方程的解是．【答案】【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【解析】解：去分母得：，移項(xiàng)合并得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，∴分式方程的解為．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．16．若關(guān)于x的方程無實(shí)根，則m取值范圍是．【答案】或【分析】將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，分兩種情況，整式方程無解和分式方程有增根，進(jìn)行求解即可．【解析】解：將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程為：，整理得：，∵分式方程無實(shí)數(shù)根，①整式方程無實(shí)數(shù)根，則：，解得：；②分式方程有增根，則：，∴，當(dāng)時(shí)：，解得：，當(dāng)時(shí)：，解得：，綜上：m取值范圍是或；故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程解的情況求參數(shù)的取值范圍．解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式方程無實(shí)數(shù)根的兩種情況，正確的計(jì)算．17．用換元法解方程，如果設(shè)，那么原方程可以化為關(guān)于y的整式方程為．【答案】【分析】利用換元法，進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程即可．【解析】解：設(shè)，則原方程化為：，去分母，得：，即：；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查換元法解分式方程．熟練掌握換元法，以及將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的方法，是解題的關(guān)鍵．18．方程的解為．【答案】【分析】先由，，，，將原方程化簡為，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【解析】解：，，，，，，即，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解分式方程，根據(jù)將式子化簡為，是解題的關(guān)鍵．三、解答題19．解關(guān)于x的方程：【答案】【分析】方程兩邊都除以b，再移項(xiàng)即可得出答案．【解析】解：去括號(hào)，得bx3b=4，移項(xiàng)，得bx=3b+4，由題意知b≠0，∴方程兩邊同除以b得，，方程的解為．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程，把b看作已知數(shù)是解題的關(guān)鍵．20．解下列關(guān)于x的方程【答案】（1）當(dāng)a≠0時(shí)，原方程的根是；當(dāng)a=0時(shí)，原方程無解；（2）當(dāng)b+1＞0時(shí)，原方程的根是，；當(dāng)b+1＜0時(shí)，原方程沒有實(shí)數(shù)根.【分析】（1）對(duì)原方程去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)后分情況進(jìn)行求解即可.（2）對(duì)原方程去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、化簡后分情況進(jìn)行求解即可.【解析】（1）去括號(hào)，得

3ax2x=62x移項(xiàng)，得

3ax2x+2x=6合并同類項(xiàng)，得

3ax=6

※當(dāng)a≠0時(shí)，方程※是一元一次方程，解得

；當(dāng)a=0時(shí)，方程※變成

0·x=6，這時(shí)不論x取什么值，等式0·x=6都不成立，因此方程無解.所以，當(dāng)a≠0時(shí)，原方程的根是；當(dāng)a=0時(shí)，原方程無解.（2）移項(xiàng)，得

bx2+x2=1+1合并同類項(xiàng)，得（b+1）x2=2因?yàn)閎≠1，所以b+1≠0兩邊同除以b+1，得

※當(dāng)b+1＞0時(shí)，由方程※解得

；當(dāng)b+1＜0時(shí)，方程※中，這時(shí)方程沒有實(shí)數(shù)根.所以，當(dāng)b+1＞0時(shí)，原方程的根是，；當(dāng)b+1＜0時(shí)，原方程沒有實(shí)數(shù)根.【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程與一元二次方程，關(guān)鍵是運(yùn)用合適的方法把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程，在求解過程中要注意分情況討論方程是否有實(shí)根.21．解方程：．【答案】【分析】方程兩邊同乘以，化成整式方程，再利用因式分解法解一元二次方程即可得．【解析】解：，方程兩邊同乘以，得，去括號(hào)，得，移項(xiàng)，得，因式分解，得，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)，不是原分式方程的解；是原分式方程的解，所以方程的解為．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，熟練掌握分式方程的解法是解題關(guān)鍵．需注意的是，分式方程的解一定要進(jìn)行檢驗(yàn)．22．解方程：．【答案】，．【分析】首先移項(xiàng)，再兩邊同時(shí)乘以4得到，開方得到，最后兩邊直接開平方即可得到兩個(gè)一元一次方程，再解一元一次方程即可．【解析】解：∵，∴，∴，或（舍去），則或，解得，．【點(diǎn)睛】此題主要考查了解高次方程，解這類問題要把所含未知數(shù)的項(xiàng)移到等號(hào)的左邊，把常數(shù)項(xiàng)移項(xiàng)等號(hào)的右邊，利用數(shù)的開方求解．23．解方程：．【答案】【分析】去分母，整理得，求出方程的根，最后檢驗(yàn)．【解析】解：整理得：

解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根，是原方程的增根，舍去．所以，原方程的根為【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，解題的關(guān)鍵是熟悉分式方程求解過程．24．解方程組：．【答案】【分析】設(shè)，，可解得，即得，可解得，再檢驗(yàn)，即可得答案．【解析】解：設(shè)，，則原方程組變形為：，解得，，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程組的解，原方程組的解為：．【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程，解題的關(guān)鍵是用換元法把方程組變形．25．用換元法解方程組：．【答案】【分析】設(shè)，，得出，進(jìn)而將原方程組化為關(guān)于a，b的二元一次方程組，解方程組求出a，b，可得，，進(jìn)而得出關(guān)于x，y的二元一次方程組進(jìn)行求解即可．【解析】解：設(shè)，，則原方程組可化為：，①－②得：，解得：，把代入②得：，∴，，∴，③＋④，得2x＝，解得x＝，把x＝代入①，得y＝，故原方程組的解為．【點(diǎn)睛】此題考查了換元法解分式方程以及解二元一次方程組，將方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃问墙獗绢}的關(guān)鍵．26．用換元法解方程：x2﹣x﹣=4．【答案】【分析】方程的兩個(gè)部分是倒數(shù)關(guān)系，所以可設(shè)，可用換元法轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的分式方程，先求y，再求x，最后檢驗(yàn)一下結(jié)果．【解析】設(shè)，則原方程變形為，即，解得，當(dāng)y=2時(shí)，，因?yàn)?，所以此方程無實(shí)數(shù)根，當(dāng)y=6時(shí)，，解方程得：，檢驗(yàn)：把分別代入原方程的分母，分母都不等于0，所以原方程的根是：．【點(diǎn)睛】換元法解分式方程時(shí)常用方法之一，它能夠把一些分式方程化繁為簡，化難為易，對(duì)此應(yīng)注意總結(jié)能用換元法解的分式方程的特點(diǎn)，尋找解題技巧．27．已知關(guān)于x的分式方程+＝．(1)若方程有增根，求k的值．(2)若方程的解為負(fù)數(shù)，求k的取值范圍．【答案】(1)k的值為6或﹣8(2)k＜﹣1，且k≠﹣8【分析】（1）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，根據(jù)分式方程有增根，得到最簡公分母為0，代入整式方程計(jì)算即可求出k的值．（2）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x，根據(jù)解為負(fù)數(shù)求出k的范圍即可；【解析】（1）分式方程去分母得：4（x﹣1）+3（x+1）＝k，由這個(gè)方程有增根，得到x＝1或x＝﹣1，將x＝1代入整式方程得：k＝6，將x＝﹣1代入整式方程得：k＝﹣8，則k的值為6或﹣8．（2）分式方程去分母得：4（x﹣1）+3（x+1）＝k，去括號(hào)合并得：7x﹣1＝k，即x＝，根據(jù)題意得：＜0，且≠1且≠﹣1，解得：k＜﹣1，且k≠﹣8．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的解得情況，解分式方程的基本方法是一化二解三檢驗(yàn)，分式方程的增根