第三講特殊三角形及其性質(zhì)(含解直角三角形)（考點精析真題精講）

備戰(zhàn)2024中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)備戰(zhàn)2024中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第3講特殊三角形及其性質(zhì)№考向解讀第3講特殊三角形及其性質(zhì)№考向解讀?考點精析?真題精講?題型突破?專題精練第四章三角形第3講特殊三角形及其性質(zhì)→?考點精析←→?真題精講←考向一直角三角形考向二等腰三角形第3講特殊三角形及其性質(zhì)→?考點精析←一、等腰三角形1．等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）．推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊，即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合．推論2：等邊三角形的各個角都相等，并且每個角都等于60°．2．等腰三角形的判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）．這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等．推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形．推論2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．推論3：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．1．等腰三角形是軸對稱圖形，它有1條或3條對稱軸．2．等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°．3．等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）．4．等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長為a，底邊長為b，則<a．5．等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為頂角為∠A，底角為∠B、∠C，則∠A=180°2∠B，∠B=∠C=．二、等邊三角形1．定義：三條邊都相等的三角形是等邊三角形．2．性質(zhì)：等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°．3．判定：三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形．4．等邊三角形具有等腰三角形的一切性質(zhì)．5．等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸．6．等邊三角形的內(nèi)心、外心、重心和垂心重合．三、直角三角形與勾股定理1．直角三角形定義：有一個角是直角的三角形叫做直角三角形．性質(zhì)：（1）直角三角形兩銳角互余；（2）在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；（3）在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．判定：（1）兩個內(nèi)角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形．2．勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形的兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即：a2+b2=c2．（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊a、b、c有關(guān)系：a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形．→?真題精講←題型一直角三角形1．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，為的中點．若點在邊上，且，則的長為（

）A．1 B．2 C．1或 D．1或2【答案】D【分析】根據(jù)題意易得，然后根據(jù)題意可進行求解．【詳解】解：∵，∴，∵點D為的中點，∴，∵，∴，①當(dāng)點E為的中點時，如圖，∴，②當(dāng)點E為的四等分點時，如圖所示：∴，綜上所述：或2；故選D．【點睛】本題主要考查含30度直角三角形的性質(zhì)及三角形中位線，熟練掌握含30度直角三角形的性質(zhì)及三角形中位線是解題的關(guān)鍵．2.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于點D，若∠B=30°，BD=6，則CD的長為__________．【答案】3【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°．又AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=30°，∴∠BAD=∠B=30°，∴AD=BD=6，∴CD=AD=3，故答案為：3．3.（2023·云南初二月考）直角三角形的兩條直角邊長分別為cm和cm，則這個直角三角形的周長為__________.【答案】cm【解析】∵直角邊長為:cm和cm，∴斜邊=（cm），∴周長=（cm）.故答案為:cm【名師點睛】本題考查了二次根式與三角形邊長，面積的綜合運用.熟練掌握勾股定理的計算解出斜邊是關(guān)鍵4．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）七巧板是我國民間廣為流傳的一種益智玩具，某同學(xué)用邊長為的正方形紙板制作了一副七巧板（如圖），由5個等腰直角三角形，1個正方形和1個平行四邊形組成．則圖中陰影部分的面積為__________．【答案】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，以及七巧板的特點，求得的長，即可求解．【詳解】解：如圖所示，依題意，，∴圖中陰影部分的面積為故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，七巧板，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．5．（2023·河南·統(tǒng)考中考真題）矩形中，M為對角線的中點，點N在邊上，且．當(dāng)以點D，M，N為頂點的三角形是直角三角形時，的長為______．【答案】2或【分析】分兩種情況：當(dāng)時和當(dāng)時，分別進行討論求解即可．【詳解】解：當(dāng)時，∵四邊形矩形，∴，則，由平行線分線段成比例可得：，又∵M為對角線的中點，∴，∴，即：，∴，當(dāng)時，∵M為對角線的中點，∴為的垂直平分線，∴，∵四邊形矩形，∴，則，∴∴，綜上，的長為2或，故答案為：2或．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，平行線分線段成比例，垂直平分線的判定及性質(zhì)等，畫出草圖進行分類討論是解決問題的關(guān)鍵．6．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）在某次數(shù)學(xué)探究活動中，小明將一張斜邊為4的等腰直角三角形硬紙片剪切成如圖所示的四塊（其中D，E，F(xiàn)分別為，，的中點，G，H分別為，的中點），小明將這四塊紙片重新組合拼成四邊形（相互不重疊，不留空隙），則所能拼成的四邊形中周長的最小值為____________，最大值為___________________．【答案】8【分析】根據(jù)題意，可固定四邊形，平移或旋轉(zhuǎn)其它圖形，組合成四邊形，求出周長，判斷最小值，最大值．【詳解】

如圖1，，，∴四邊形周長=；如圖2，∴四邊形周長為；故答案為：最小值為8，最大值.【點睛】本題考查圖形變換及勾股定理，通過平移、旋轉(zhuǎn)組成滿足要求的四邊形是解題的關(guān)鍵．7．（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）如圖①．在矩形．，點在邊上，且．動點從點出發(fā)，沿折線以每秒個單位長度的速度運動，作，交邊或邊于點，連續(xù)．當(dāng)點與點重合時，點停止運動．設(shè)點的運動時間為秒．（）(1)當(dāng)點和點重合時，線段的長為__________；(2)當(dāng)點和點重合時，求；(3)當(dāng)點在邊上運動時，的形狀始終是等腰直角三角形．如圖②．請說明理由；(4)作點關(guān)于直線的對稱點，連接、，當(dāng)四邊形和矩形重疊部分圖形為軸對稱四邊形時，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)見解析(4)或或【分析】（1）證明四邊形是矩形，進而在中，勾股定理即可求解．（2）證明，得出；（3）過點作于點，證明得出，即可得出結(jié)論（4）分三種情況討論，①如圖所示，當(dāng)點在上時，②當(dāng)點在上時，當(dāng)重合時符合題意，此時如圖，③當(dāng)點在上，當(dāng)重合時，此時與點重合，則是正方形，即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，連接，∵四邊形是矩形∴∵，∴四邊形是矩形，當(dāng)點和點重合時，∴，在中，，故答案為：．（2）如圖所示，∵，，∴，∴∴，∴，∵，，∴；（3）如圖所示，過點作于點，∵，，∴，則四邊形是矩形，∴又∵∴，∴∴∴是等腰直角三角形；（4）①如圖所示，當(dāng)點在上時，∵，在中，，則，∵，則，，在中，，∴解得：當(dāng)時，點在矩形內(nèi)部，符合題意，∴符合題意，②當(dāng)點在上時，當(dāng)重合時符合題意，此時如圖，則，，在中，，解得：，③當(dāng)點在上，當(dāng)重合時，此時與點重合，則是正方形，此時綜上所述，或或．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)與判定，勾股定理，求正切，軸對稱的性質(zhì)，分類討論，分別畫出圖形，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．題型二等腰三角形8.下列推理中，錯誤的是A．∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等邊三角形B．∵AB=AC，且∠B=∠C，∴△ABC是等邊三角形C．∵∠A=60°，∠B=60°，∴△ABC是等邊三角形D．∵AB=AC，∠B=60°，∴△ABC是等邊三角形【答案】B【解析】A，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等邊三角形，故正確；B，條件重復(fù)且條件不足，故不正確；C，∵∠A=60°，∠B=60°，∴∠C=60°，∴△ABC是等邊三角形60°，故正確；D，根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形可以得到，故正確．故選B．9.（2023·四川省武勝縣萬善初級中學(xué)初二月考）等腰三角形的一個內(nèi)角為40°，則其余兩個內(nèi)角的度數(shù)分別為A．40°，100° B．70°，70° C．60°，80° D．40°，100°或70°，70°【答案】D【解析】①若等腰三角形的頂角為40°時，另外兩個內(nèi)角=（180°–40°）÷2=70°；②若等腰三角形的底角為40°時，它的另外一個底角為40°，頂角為180°–40°–40°=100°．所以另外兩個內(nèi)角的度數(shù)分別為：40°、100°或70°、70°．故選D．【名師點睛】考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和為180o，解題關(guān)鍵是分情況進行討論①已知角為頂角時；②已知角為底角時．10.（2023·延安市實驗中學(xué)初二期末）如圖，在中，AB=AC，D是BC的中點，下列結(jié)論不正確的是A．ADBC B．∠B=∠CC．AB=2BD D．AD平分∠BAC【答案】C【解析】因為△ABC中，AB=AC，D是BC中點，根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得，A．AD⊥BC，故A選項正確；B．∠B=∠C，故B選項正確；C．無法得到AB=2BD，故C選項錯誤；D．AD平分∠BAC，故D選項正確．故選C．【名師點睛】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，本題關(guān)鍵熟練運用等腰三角形的三線合一性質(zhì).11．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點B的坐標(biāo)為，過點B分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為點C、點A，直線與交于點D．與y軸交于點E．動點M在線段上，動點N在直線上，若是以點N為直角頂點的等腰直角三角形，則點M的坐標(biāo)為________【答案】或【分析】如圖，由是以點N為直角頂點的等腰直角三角形，可得在以為直徑的圓上，，可得是圓與直線的交點，當(dāng)重合時，符合題意，可得，當(dāng)N在的上方時，如圖，過作軸于，延長交于，則，，證明，設(shè)，可得，，而，則，再解方程可得答案．【詳解】解：如圖，∵是以點N為直角頂點的等腰直角三角形，∴在以為直徑的圓上，，∴是圓與直線的交點，當(dāng)重合時，∵，則，∴，符合題意，∴，當(dāng)N在的上方時，如圖，過作軸于，延長交于，則，，∴，∵，，∴，∴，∴，設(shè)，∴，，而，∴，解得：，則，∴，∴；綜上：或．故答案為：或．【點睛】本題考查的是坐標(biāo)與圖形，一次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，本題屬于填空題里面的壓軸題，難度較大，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵．12.（2023·山東初二期末）如圖，在△ABC中，∠B=∠C=60°，點D為AB邊的中點，DE⊥BC于E，若BE=1，則AC的長為__________．【答案】4【解析】∵DE⊥BC，∠B=∠C=60°，∴∠BDE=30°，∴BD=2BE=2，∵點D為AB邊的中點，∴AB=2BD=4，∵∠B=∠C=60°，∴△ABC為等邊三角形，∴AC=AB=4，故答案為：4．【名師點睛】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，利用直角三角形的性質(zhì)求得AB=2BD是解題的關(guān)鍵.13．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，．過點作，延長到，使，連接．若，則________________．（結(jié)果保留根號）【答案】/【分析】如圖，過作于，設(shè)，可得，證明，，為等腰直角三角形，，，由勾股定理可得：，再解方程組可得答案．【詳解】解：如圖，過作于，設(shè)，∵，，∴，∵，∴，，為等腰直角三角形，∴，∴，由勾股定理可得：，整理得：，解得：，經(jīng)檢驗不符合題意；∴；故答案為：．【點睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法，作出合適的輔助線構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵．14．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）在中、，于點M，D是線段上的動點（不與點M，C重合），將線段繞點D順時針旋轉(zhuǎn)得到線段．(1)如圖1，當(dāng)點E在線段上時，求證：D是的中點；(2)如圖2，若在線段上存在點F（不與點B，M重合）滿足，連接，，直接寫出的大小，并證明．【答案】(1)見解析(2)，證明見解析【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，利用三角形外角的性質(zhì)求出，可得，等量代換得到即可；（2）延長到H使，連接，，可得是的中位線，然后求出，設(shè)，，求出，證明，得到，再根據(jù)等腰三角形三線合一證明即可．【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，∵，∴，∴，∴，∴，即D是的中點；（2）；證明：如圖2，延長到H使，連接，，∵，∴是的中位線，∴，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，∴，∵，∴，是等腰三角形，∴，，設(shè)，，則，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，即．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形中位線定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，作出合適的輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．15．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖①，和是等邊三角形，連接，點F，G，H分別是和的中點，連接．易證：．若和都是等腰直角三角形，且，如圖②：若和都是等腰三角形，且，如圖③：其他條件不變，判斷和之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想，并利用圖②或圖③進行證明．【答案】圖②中，圖③中，證明見解析【分析】圖②：如圖②所示，連接，先由三角形中位線定理得到，，再證明得到，則，進一步證明，即可證明是等腰直角三角形，則；圖③：仿照圖②證明是等邊三角形，則．【詳解】解：圖②中，圖③中，圖②證明如下：如圖②所示，連接，∵點F，G分別是的中點，∴是的中位線，∴，同理可得，∵和都是等腰直角三角形，且，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴；圖③證明如下：如圖③所示，連接，∵點F，G分別是的中點，∴是的中位線，∴，同理可得，∵和都是等腰三角形，且，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．16．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式，某興趣小組擬做以下探究．在中，，D是邊上一點，且（n為正整數(shù)），E是邊上的動點，過點D作的垂線交直線于點F．【初步感知】(1)如圖1，當(dāng)時，興趣小組探究得出結(jié)論：，請寫出證明過程．【深入探究】(2)①如圖2，當(dāng)，且點F在線段上時，試探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，請寫出結(jié)論并證明；②請通過類比、歸納、猜想，探究出線段之間數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論（直接寫出結(jié)論，不必證明）【拓展運用】(3)如圖3，連接，設(shè)的中點為M．若，求點E從點A運動到點C的過程中，點M運動的路徑長（用含n的代數(shù)式表示）．【答案】(1)見解析(2)①，證明過程略；②當(dāng)點F在射線上時，，當(dāng)點F在延長線上時，(3)【分析】（1）連接，當(dāng)時，，即，證明，從而得到即可解答；（2）①過的中點作的平行線，交于點，交于點，當(dāng)時，，根據(jù)，可得是等腰直角三角形，，根據(jù)（1）中結(jié)論可得，再根據(jù)，，即可得到；②分類討論，即當(dāng)點F在射線上時；當(dāng)點F在延長線上時，畫出圖形，根據(jù)①中的原理即可解答；（3）如圖，當(dāng)與重合時，取的中點，當(dāng)與重合時，取的中點，可得的軌跡長度即為的長度，可利用建系的方法表示出的坐標(biāo)，再利用中點公式求出，最后利用勾股定理即可求出的長度．【詳解】（1）證明：如圖，連接，當(dāng)時，，即，，，，,，，即，，，在與中，，，，；（2）①證明：如圖，過的中點作的平行線，交于點，交于點，當(dāng)時，，即，是的中點，，，，，，，是等腰直角三角形，且，，根據(jù)（1）中的結(jié)論可得，；故線段之間的數(shù)量關(guān)系為；②解：當(dāng)點F在射線上時，如圖，在上取一點使得，過作的平行線，交于點，交于點，同①，可得，，，，，同①可得，，即線段之間數(shù)量關(guān)系為；當(dāng)點F在延長線上時，如圖，在上取一點使得，過作的平行線，交于點，交于點，連接同（1）中原理，可證明，可得，，，，，同①可得，即線段之間數(shù)量關(guān)系為,綜上所述，當(dāng)點F在射線上時，；當(dāng)點F在延長線上時，；（3）解：如圖，當(dāng)與重合時，取的中點，當(dāng)與重合時，取的中點，可得的軌跡長度即為的長度，如圖，以點為原點，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，過點作的垂線段，交于點，過點作的垂線段，交于點，，，，，，，，是的中點，，，，，根據(jù)（2）中的結(jié)論，，，，，，．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正確地畫出圖形，作出輔助線，找對邊之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．17．（2023·重慶·統(tǒng)考中