（課標(biāo)專(zhuān)用 5年高考3年模擬A版）高考數(shù)學(xué) 專(zhuān)題十六 不等式選講試題 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

專(zhuān)題十六不等式選講探考情悟真題【真題探秘】【考情探究】考點(diǎn)內(nèi)容解讀5年考情預(yù)測(cè)熱度考題示例考向關(guān)聯(lián)考點(diǎn)1.絕對(duì)值不等式(1)理解絕對(duì)值的幾何意義,并能利用含絕對(duì)值不等式幾何意義證明以下不等式:|a+b|≤|a|+|b|.|a-b|≤|a-c|+|c-b|.(2)會(huì)利用絕對(duì)值的幾何意求解以下類(lèi)型的不等式:|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-a|+|x-b|≥c.(3)了解證明不等式的基本法:比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法2019課標(biāo)Ⅱ,23,10分2018課標(biāo)Ⅰ,23,10分解絕對(duì)值不等式,含有絕對(duì)值的恒成立、參數(shù)取值范圍的問(wèn)題不等式的性質(zhì)和解法★★★2017課標(biāo)Ⅰ,23,10分2017課標(biāo)Ⅲ,23,10分解絕對(duì)值不等式,含有絕對(duì)值的存在性、參數(shù)取值范圍的問(wèn)題不等式的性質(zhì)和解法2016課標(biāo)Ⅰ,24,10分畫(huà)絕對(duì)值函數(shù)的圖象,解絕對(duì)值不等式不等式的性質(zhì)和解法2.不等式的證明2019課標(biāo)Ⅰ,23,10分2019課標(biāo)Ⅲ,23,10分2017課標(biāo)Ⅱ,23,10分不等式的證明基本不等式分析解讀從近五年的考查情況來(lái)看,本專(zhuān)題內(nèi)容是高考的考查熱點(diǎn),主要考查絕對(duì)值不等式的求解、恒成立問(wèn)題、存在性問(wèn)題以及不等式的證明,多以解答題的形式呈現(xiàn),難度中等,分值為10分.主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、分類(lèi)討論思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.破考點(diǎn)練考向【考點(diǎn)集訓(xùn)】考點(diǎn)一絕對(duì)值不等式1.(2020屆云南昆明第二次月考,23)已知函數(shù)f(x)=|ax-1|(a>0).(1)設(shè)不等式f(x)≤2的解集為A,集合B={x|-2<x<2},若A?B,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若不等式f(x)+f1ax+2解析(1)由|ax-1|≤2,得-2≤ax-1≤2,又∵a>0,∴-1a≤x≤3a,得A=∵B={x|-2<x<2},且A?B,∴-1a>-2∴a的取值范圍是32(2)由題意,得|ax-1|+|x+1|>32所以h(x)=-(a所以h(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞減,在1a①當(dāng)0<a≤1時(shí),h(x)在-1,1a上單調(diào)遞增,h(x)min=h(-1)=a+1>②當(dāng)a>1時(shí),h(x)在-1,1a上單調(diào)遞減,h(x)min=h1a綜上所述,a的取值范圍是122.(2018豫南九校5月聯(lián)考,23)已知函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-3|.(1)若關(guān)于x的不等式f(x)<a有解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若關(guān)于x的不等式f(x)<a的解集為b,解析(1)不等式等價(jià)于a>f(x)min,f(x)=2x(2)由題意可得x=72是方程|x+1|+|x-3|=a的解,所以a=72+1+72-故b=-32,a+b=5-32=考點(diǎn)二不等式的證明1.(2020屆山西太原五中10月月考,23)設(shè)函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-1|,已知不等式f(x)≤23的解集為M.(1)求M;(2)當(dāng)a,b∈M時(shí),證明:3|a+b|≤|ab+3|.解析(1)f(x)=|x+1|+|x-1|=-當(dāng)x<-1時(shí),由-2x≤23,得x≥-3;當(dāng)-1≤x≤1時(shí),f(x)=2≤23;當(dāng)x>1時(shí),由2x≤23,得x≤3.所以M=[-3,3].(2)證明:當(dāng)a,b∈M,即-3≤a,b≤3時(shí),∵3(a+b)2-(3+ab)2=3(a2+2ab+b2)-(9+6ab+a2b2)=(a2-3)(3-b2)≤0,∴3(a+b)2≤(3+ab)2,∴3|a+b|≤|3+ab|.2.(2019河南鄭州二模,23)關(guān)于x的不等式|x-2|<m(m∈N*)的解集為A,且32∈A,1(1)求m的值;(2)若a,b,c均為正實(shí)數(shù),且ab+bc+ca=mabc,求證:a+4b+9c≥36.解析(1)∵32∈A,1∴32-2∴12<m≤3∵m∈N*,∴m=1.(2)證明:由(1)及已知得1a+1b+又a,b,c均為正實(shí)數(shù),∴a+4b+9c=(a+4b+9c)1a+1b+1c=14+4ba+ab+9ca+當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=3c時(shí)等號(hào)成立,故a+4b+9c≥36.思路分析(1)根據(jù)題意可得32-2<m,12-2≥m,即可求出m的值;(2)由(1)及已知條件得1煉技法提能力【方法集訓(xùn)】方法1含絕對(duì)值不等式的解法1.(2020屆武漢第十六中學(xué)開(kāi)學(xué)考試,23)已知函數(shù)f(x)=|x-a|+|x+1|.(1)若a=2,求不等式f(x)>x+2的解集;(2)如果關(guān)于x的不等式f(x)<2的解集不是空集,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解析(1)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=-2x+1(x<-故原不等式的解集為{x|x<1或x>3}.(2)∵f(x)=|x-a|+|x+1|≥|(x-a)-(x+1)|=|a+1|,當(dāng)(x-a)(x+1)≤0時(shí)取等號(hào),∴若關(guān)于x的不等式f(x)<2的解集不是空集,只需|a+1|<2,解得-3<a<1,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-3,1).2.(2019安徽合肥第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè),23)設(shè)函數(shù)f(x)=|x+1|.(1)若f(x)+2x>2,求實(shí)數(shù)x的取值范圍;(2)設(shè)g(x)=f(x)+f(ax)(a>1),若g(x)的最小值為12解析(1)f(x)+2x>2即|x+1|>2-2x?x+1≥0,x+1>2∴實(shí)數(shù)x的取值范圍是13(2)∵a>1,∴-1<-1a∴g(x)=-(易知函數(shù)g(x)在-∞,-1a上單調(diào)遞減,在∴g(x)min=g-1a=1-∴1-1a=1方法2與絕對(duì)值不等式有關(guān)的最值問(wèn)題1.(2020屆甘肅頂級(jí)名校階段測(cè)試一,23)已知a>0,b>0,c>0,函數(shù)f(x)=|a-x|+|x+b|+c.(1)當(dāng)a=b=c=1時(shí),求不等式f(x)>3的解集;(2)當(dāng)f(x)的最小值為3時(shí),求1a+1b+解析(1)f(x)=|x-1|+|x+1|+1,∴x≤-1,解得x<-1或x>1,故原不等式的解集為{x|x<-1或x>1}.(2)f(x)=|x-a|+|x+b|+c≥|a-x+x+b|+c=|a+b|+c=a+b+c=3,∴1a+1b+1c=13(a+b+c)1a+1b+1c2.(2019安徽黃山第二次質(zhì)量檢測(cè),12)已知f(x)=|2-x|-|4-x|.(1)關(guān)于x的不等式f(x)≥a2-3a恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若f(m)+f(n)=4,且m<n,求m+n的取值范圍.解析(1)f(x)=2∴f(x)min=-2,(3分)∵f(x)≥a2-3a恒成立,∴a2-3a≤f(x)min=-2,解得1≤a≤2.(5分)(2)由(1)知f(x)max=2,∴f(m)≤2,f(n)≤2,則f(m)+f(n)≤4,(8分)又f(m)+f(n)=4,所以f(m)=f(n)=2,于是n>m≥4,故m+n>8.(10分)【五年高考】A組統(tǒng)一命題·課標(biāo)卷題組考點(diǎn)一絕對(duì)值不等式1.(2019課標(biāo)Ⅱ,23,10分)已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)<0的解集;(2)若x∈(-∞,1)時(shí),f(x)<0,求a的取值范圍.解析本題考查不等式的基本性質(zhì),絕對(duì)值不等式的求解,以及含有參數(shù)的絕對(duì)值不等式恒成立問(wèn)題.通過(guò)對(duì)絕對(duì)值不等式的分類(lèi)討論考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化的能力,體現(xiàn)了邏輯推理的核心素養(yǎng).(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1).當(dāng)x<1時(shí),f(x)=-2(x-1)2<0;當(dāng)x≥1時(shí),f(x)≥0.所以,不等式f(x)<0的解集為(-∞,1).(2)因?yàn)閒(a)=0,所以a≥1,當(dāng)a≥1,x∈(-∞,1)時(shí),f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)<0,所以,a的取值范圍是[1,+∞).思路分析(1)當(dāng)a=1時(shí),求解絕對(duì)值不等式只需分類(lèi)討論去掉絕對(duì)值.(2)首先關(guān)注f(a)=0,求得a≥1,這樣不需要分類(lèi)討論就可以去掉絕對(duì)值,得到f(x)=2(a-x)(x-1)<0,求解即可.2.(2018課標(biāo)Ⅰ,23,10分)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)>1的解集;(2)若x∈(0,1)時(shí)不等式f(x)>x成立,求a的取值范圍.解析(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=-故不等式f(x)>1的解集為xx(2)當(dāng)x∈(0,1)時(shí)|x+1|-|ax-1|>x成立等價(jià)于當(dāng)x∈(0,1)時(shí)|ax-1|<1成立.若a≤0,則當(dāng)x∈(0,1)時(shí)|ax-1|≥1;若a>0,則|ax-1|<1的解集為x|0所以2a綜上,a的取值范圍為(0,2].方法技巧1.研究含有絕對(duì)值的函數(shù)問(wèn)題時(shí),常根據(jù)絕對(duì)值的定義,分類(lèi)討論去掉絕對(duì)值符號(hào),從而轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來(lái)解決.2.對(duì)于求y=|x-a|+|x-b|或y=|x-a|-|x-b|型函數(shù)的最值問(wèn)題,常利用絕對(duì)值三角不等式解決.3.不等式的恒成立問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.注意在x∈D上,當(dāng)f(x)存在最小值時(shí),f(x)>a恒成立?a<f(x)min,當(dāng)f(x)存在最大值時(shí),f(x)<a恒成立?a>f(x)max.3.(2018課標(biāo)Ⅲ,23,10分)設(shè)函數(shù)f(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)畫(huà)出y=f(x)的圖象;(2)當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.解析本題考查函數(shù)的圖象與絕對(duì)值不等式恒成立問(wèn)題.(1)f(x)=-y=f(x)的圖象如圖所示.(2)由(1)知,y=f(x)的圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,且各部分所在直線斜率的最大值為3,故當(dāng)且僅當(dāng)a≥3且b≥2時(shí),f(x)≤ax+b在[0,+∞)成立,因此a+b的最小值為5.易錯(cuò)警示對(duì)“零點(diǎn)分段法”的理解不到位若不等式含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的絕對(duì)值并含有未知數(shù),通常先把每個(gè)絕對(duì)值內(nèi)代數(shù)式等于零時(shí)的未知數(shù)的值求出(即零點(diǎn)),然后將這些零點(diǎn)標(biāo)在數(shù)軸上,此時(shí)數(shù)軸被零點(diǎn)分成了若干段(區(qū)間),在每一區(qū)間里,每一個(gè)絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的代數(shù)式的符號(hào)確定,此時(shí)利用絕對(duì)值的定義可以去掉絕對(duì)值符號(hào).解后反思絕對(duì)值不等式問(wèn)題常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略(1)直接求解不等式,主要利用絕對(duì)值的意義、不等式的性質(zhì)想辦法去掉絕對(duì)值符號(hào)求解.(2)已知不等式的解集求參數(shù)值,利用絕對(duì)值三角不等式或函數(shù)求相應(yīng)最值,再求參數(shù)的取值范圍.4.(2017課標(biāo)Ⅰ,23,10分)已知函數(shù)f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范圍.解析本題考查含絕對(duì)值的不等式的解法,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力以及對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用能力.(1)解法一(零點(diǎn)分段法):當(dāng)a=1時(shí),不等式f(x)≥g(x)等價(jià)于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.①當(dāng)x<-1時(shí),①式化為x2-3x-4≤0,無(wú)解;當(dāng)-1≤x≤1時(shí),①式化為x2-x-2≤0,從而-1≤x≤1;當(dāng)x>1時(shí),①式化為x2+x-4≤0,從而1<x≤-1+所以f(x)≥g(x)的解集為x|解法二(圖象法):由已知可得g(x)=2當(dāng)a=1時(shí),f(x)=-x2+x+4,兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示.易得圖中兩條曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,2)和-1+172,-1+17,所以f(x)≥g(x)的解集為x(2)解法一(等價(jià)轉(zhuǎn)化法):當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),g(x)=2.所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1]等價(jià)于當(dāng)x∈[-1,1]時(shí)f(x)≥2.又f(x)在[-1,1]內(nèi)的最小值必為f(-1)與f(1)之一,所以f(-1)≥2且f(1)≥2,得-1≤a≤1.所以a的取值范圍為[-1,1].解法二(分類(lèi)討論法):當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),g(x)=2,所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1]等價(jià)于x∈[-1,1]時(shí)f(x)≥2,即-x2+ax+4≥2,當(dāng)x=0時(shí),-x2+ax+4≥2成立;當(dāng)x∈(0,1]時(shí),-x2+ax+4≥2可化為a≥x-2x,而y=x-2當(dāng)x∈[-1,0)時(shí),-x2+ax+4≥2可化為a≤x-2x,而y=x-2綜上,a的取值范圍為[-1,1].思路分析(1)利用零點(diǎn)分段法或圖象法解含絕對(duì)值的不等式;(2)根據(jù)題設(shè)可去掉絕對(duì)值,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題進(jìn)行求解.方法總結(jié)含絕對(duì)值不等式問(wèn)題的常見(jiàn)解法:(1)含絕對(duì)值的不等式求解問(wèn)題,常利用零點(diǎn)分段討論法或數(shù)形結(jié)合法求解.(2)與恒成立相關(guān)的求參問(wèn)題,常構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題.5.(2016課標(biāo)Ⅲ,24,10分)已知函數(shù)f(x)=|2x-a|+a.(1)當(dāng)a=2時(shí),求不等式f(x)≤6的解集;(2)設(shè)函數(shù)g(x)=|2x-1|.當(dāng)x∈R時(shí),f(x)+g(x)≥3,求a的取值范圍.解析(1)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=|2x-2|+2.解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集為{x|-1≤x≤3}.(5分)(2)當(dāng)x∈R時(shí),f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,當(dāng)x=12當(dāng)a≤1時(shí),①等價(jià)于1-a+a≥3,無(wú)解.當(dāng)a>1時(shí),①等價(jià)于a-1+a≥3,解得a≥2.所以a的取值范圍是[2,+∞).(10分)方法指導(dǎo)(1)將a=2代入不等式,化簡(jiǎn)后去絕對(duì)值求解;(2)要使f(x)+g(x)≥3恒成立,只需f(x)+g(x)的最小值≥3即可,利用|a|+|b|≥|a±b|可求最值.考點(diǎn)二不等式的證明1.(2019課標(biāo)Ⅲ,23,10分)設(shè)x,y,z∈R,且x+y+z=1.(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥13解析本題主要考查不等式的證明以及基本不等式的應(yīng)用,考查學(xué)生推理論證的能力,考查了邏輯推理的核心素養(yǎng).(1)由于[(x-1)+(y+1)+(z+1)]2=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2[(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1)]≤3[(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2],故由已知得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2≥43當(dāng)且僅當(dāng)x=53,y=-13,z=-所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值為43(2)證明:由于[(x-2)+(y-1)+(z-a)]2=(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2+2[(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a)+(z-a)(x-2)]≤3[(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2],故由已知得(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥(2+a)23,當(dāng)且僅當(dāng)x=4因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2的最小值為(2+由題設(shè)知(2+a)難點(diǎn)突破(1)考慮到x+y+z=1,(x-1)+(y+1)+(z+1)=(x+y+z)+1=2,將x-1,y+1,z+1分別看作一個(gè)整體,轉(zhuǎn)化為已知三數(shù)之和為定值,求它們平方和最小值的問(wèn)題.和的平方與平方和之間存在等量關(guān)系(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,借助基本不等式可消去乘積,得到(a+b+c)2≤3(a2+b2+c2).(2)只需證明[(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2]min≥13求[(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2]min的方法同第(1)問(wèn).2.(2017課標(biāo)Ⅱ,23,10分)已知a>0,b>0,a3+b3=2.證明:(1)(a+b)(a5+b5)≥4;(2)a+b≤2.證明本題考查不等式的證明.(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4.(2)因?yàn)?a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)≤2+3(=2+3(所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.失分警示運(yùn)用直接法證明不等式時(shí),可以通過(guò)分析和應(yīng)用條件逐步逼近結(jié)論,在證明過(guò)程中易因邏輯混亂而失分.B組自主命題·省(區(qū)、市)卷題組考點(diǎn)一絕對(duì)值不等式1.(2015重慶,16,5分)若函數(shù)f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值為5,則實(shí)數(shù)a=.

答案-6或42.(2019江蘇,21C,10分)設(shè)x∈R,解不等式|x|+|2x-1|>2.解析本題主要考查解不等式等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解和推理論證能力.當(dāng)x<0時(shí),原不等式可化為-x+1-2x>2,解得x<-13當(dāng)0≤x≤12當(dāng)x>12綜上,原不等式的解集為x|x<考點(diǎn)二不等式的證明1.(2016江蘇,21D,10分)設(shè)a>0,|x-1|<a3,|y-2|<a證明因?yàn)閨x-1|<a3,|y-2|<a所以|2x+y-4|=|2(x-1)+(y-2)|≤2|x-1|+|y-2|<2×a3+a2.(2015湖南,16(3),6分)設(shè)a>0,b>0,且a+b=1a+1(1)a+b≥2;(2)a2+a<2與b2+b<2不可能同時(shí)成立.證明由a+b=1a+1b=(1)由基本不等式及ab=1,有a+b≥2ab=2,即a+b≥2.(2)假設(shè)a2+a<2與b2+b<2同時(shí)成立,則由a2+a<2及a>0得0<a<1;同理,0<b<1,從而ab<1,這與ab=1矛盾.故a2+a<2與b2+b<2不可能同時(shí)成立.C組教師專(zhuān)用題組考點(diǎn)一絕對(duì)值不等式1.(2015山東,5,5分)不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是()A.(-∞,4) B.(-∞,1) C.(1,4) D.(1,5)答案A2.(2018課標(biāo)Ⅱ,23,10分)設(shè)函數(shù)f(x)=5-|x+a|-|x-2|.(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)≥0的解集;(2)若f(x)≤1,求a的取值范圍.解析(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=2可得f(x)≥0的解集為{x|-2≤x≤3}.(2)f(x)≤1等價(jià)于|x+a|+|x-2|≥4.而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且當(dāng)x=2時(shí)等號(hào)成立.故f(x)≤1等價(jià)于|a+2|≥4.由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2.所以a的取值范圍是(-∞,-6]∪[2,+∞).方法總結(jié)解含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值的不等式,常用零點(diǎn)分段法或數(shù)形結(jié)合法求解;求含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值的函數(shù)的最值,常用絕對(duì)值三角不等式或數(shù)形結(jié)合法求解.3.(2016課標(biāo)Ⅰ,24,10分)已知函數(shù)f(x)=|x+1|-|2x-3|.(1)畫(huà)出y=f(x)的圖象;(2)求不等式|f(x)|>1的解集.解析(1)f(x)=x-y=f(x)的圖象如圖所示.(5分)(2)由f(x)的表達(dá)式及圖象,當(dāng)f(x)=1時(shí),可得x=1或x=3;(6分)當(dāng)f(x)=-1時(shí),可得x=13故f(x)>1的解集為{x|1<x<3};f(x)<-1的解集為x|x<所以|f(x)|>1的解集為x|x<4.(2016課標(biāo)Ⅱ,24,10分)已知函數(shù)f(x)=x-12(1)求M;(2)證明:當(dāng)a,b∈M時(shí),|a+b|<|1+ab|.解析(1)f(x)=-2當(dāng)x≤-12當(dāng)-12<x<1當(dāng)x≥12所以f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}.(6分)(2)證明:由(1)知,當(dāng)a,b∈M時(shí),-1<a<1,-1<b<1,從而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<0.因此|a+b|<|1+ab|.(10分)5.(2015課標(biāo)Ⅰ,24,10分)已知函數(shù)f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)>1的解集;(2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6,求a的取值范圍.解析(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)>1化為|x+1|-2|x-1|-1>0.當(dāng)x≤-1時(shí),不等式化為x-4>0,無(wú)解;當(dāng)-1<x<1時(shí),不等式化為3x-2>0,解得23當(dāng)x≥1時(shí),不等式化為-x+2>0,解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集為x2(2)由題設(shè)可得,f(x)=x所以函數(shù)f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A2a-13,0,B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC的面積為23所以a的取值范圍為(2,+∞).(10分)解后反思分類(lèi)討論解不等式應(yīng)做到不重不漏,在某個(gè)區(qū)間上解不等式時(shí)一定要注意區(qū)間的限制性.6.(2015江蘇,21D,10分)解不等式x+|2x+3|≥2.解析原不等式可化為x<-解得x≤-5或x≥-13綜上,原不等式的解集是x|x≤7.(2013課標(biāo)Ⅰ,24,10分)已知函數(shù)f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)當(dāng)a=-2時(shí),求不等式f(x)<g(x)的解集;(2)設(shè)a>-1,且當(dāng)x∈-a解析(1)當(dāng)a=-2時(shí),不等式f(x)<g(x)化為|2x-1|+|2x-2|-x-3<0.設(shè)函數(shù)y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,則y=-其圖象如圖所示.從圖象可知,當(dāng)且僅當(dāng)x∈(0,2)時(shí),y<0.所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.(2)當(dāng)x∈-a不等式f(x)≤g(x)化為1+a≤x+3.所以x≥a-2對(duì)x∈-a故-a2≥a-2,即a≤4從而a的取值范圍是-1方法總結(jié)(1)解含有絕對(duì)值符號(hào)的不等式的關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值符號(hào),可利用零點(diǎn)分段討論法把絕對(duì)值不等式轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元一次不等式或一元二次不等式,也可設(shè)出函數(shù),利用函數(shù)圖象解決.(2)對(duì)于不等式恒成立求參數(shù)問(wèn)題,常分離參數(shù),進(jìn)而構(gòu)造函數(shù),轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題.考點(diǎn)二不等式的證明1.(2017江蘇,21D,10分)已知a,b,c,d為實(shí)數(shù),且a2+b2=4,c2+d2=16,證明:ac+bd≤8.證明本小題主要考查不等式的證明,考查推理論證能力.由柯西不等式可得:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).因?yàn)閍2+b2=4,c2+d2=16,所以(ac+bd)2≤64,因此ac+bd≤8.2.(2015課標(biāo)Ⅱ,24,10分)設(shè)a,b,c,d均為正數(shù),且a+b=c+d,證明:(1)若ab>cd,則a+b>c+d;(2)a+b>c+d是|a-b|<|c-d|的充要條件.證明(1)因?yàn)?a+b)2=a+b+2ab,(c+d)2=c+d+2cd,由題設(shè)a+b=c+d,ab>cd得(a+b)2>(c+d)2.因此a+b>c+d.(2)(i)若|a-b|<|c-d|,則(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因?yàn)閍+b=c+d,所以ab>cd.由(1)得a+b>c+d.(ii)若a+b>c+d,則(a+b)2>(c+d)2,即a+b+2ab>c+d+2cd.因?yàn)閍+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.綜上,a+b>c+d是|a-b|<|c-d|的充要條件.思路分析(1)證明(a+b)2>(c+d)2即可.(2)兩不等式的兩邊都為非負(fù)數(shù),可通過(guò)兩邊平方來(lái)證明.易錯(cuò)警示在證明充要條件時(shí),既要證明充分性,也要證明必要性,否則會(huì)扣分.3.(2014課標(biāo)Ⅱ,24,10分)設(shè)函數(shù)f(x)=x+(1)證明:f(x)≥2;(2)若f(3)<5,求a的取值范圍.解析(1)證明:由a>0,得f(x)=x+1a+|x-a|≥x所以f(x)≥2.(2)f(3)=3+1當(dāng)a>3時(shí),f(3)=a+1a,由f(3)<5得3<a<5+當(dāng)0<a≤3時(shí),f(3)=6-a+1a,由f(3)<5得1+綜上,a的取值范圍是1+5本題考查了含絕對(duì)值不等式的解法,考查了分類(lèi)討論思想.4.(2013課標(biāo)Ⅱ,24,10分)設(shè)a,b,c均為正數(shù),且a+b+c=1,證明:(1)ab+bc+ca≤13(2)a2b+b2證明(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由題設(shè)得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤13(2)因?yàn)閍2b+b≥2a,b2故a2b+b2即a2b+b2所以a2b+b2思路分析(1)利用a2+b2≥2ab及(a+b+c)2=1證明不等式.(2)a+b+c=1,原不等式可轉(zhuǎn)化為a2b+b2【三年模擬】解答題(共80分)1.(2020屆四川天府名校第一輪聯(lián)考,23)關(guān)于x的不等式|x+m|≤n的解集為[-6,2].(1)求實(shí)數(shù)m,n的值;(2)若實(shí)數(shù)y,z滿足|my+z|<13,|y-nz|<13,求證:|z|<解析(1)由|x+m|≤n,得-n≤x+m≤n,即-n-m≤x≤n-m,則-n-(2)證明:由(1)可知|2y+z|<13,|y-4z|<1所以9|z|=|(2y+z)-2(y-4z)|≤|2y+z|+2|y-4z|<13+2×1所以|z|<192.(2020屆四川成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校10月階段性檢測(cè),23)已知a≥0,b≥0,f(x)=|x+a|+|2x-b|.(1)若a=0,b=2,求f(x)≤2的解集;(2)若f(x)的最小值為1,求a+b的最大值.解析(1)f(x)=|x|+|2x-2|=3∴x≥1,3x-2≤2或故f(x)≤2的解集為0,(2)易知f(x)min=fb2=a+b∴(a+b)2=2a·22+b·∴a+b的最大值為3.3.(2020屆遼寧沈陽(yáng)鐵路實(shí)驗(yàn)中學(xué)10月月考,23)已知函數(shù)f(x)=|x-a|.(1)若不等式f(x)≤3的解集為{x|-1≤x≤5},求實(shí)數(shù)a的值;(2)在(1)的條件下,若存在x∈R使得f(x)+f(x+5)≤m成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解析本題考查根據(jù)絕對(duì)值不等式的解集求解參數(shù)值,存在性問(wèn)題,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.(1)由f(x)≤3得|x-a|≤3,即-3≤x-a≤3,解得a-3≤x≤a+3,又f(x)≤3的解集為{x|-1≤x≤5},∴a-(2)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=|x-2|,∴f(x)+f(x+5)=|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5(當(dāng)且僅當(dāng)-3≤x≤2時(shí)取等號(hào)),∴m≥5時(shí),存在x∈R,使得f(x)+f(x+5)≤m,∴m的取值范圍為[5,+∞).4.(2020屆云南名校適應(yīng)性統(tǒng)考,23)已知a,b,c,d為正數(shù),且滿足abcd=1,證明:(1)(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≥16;(2)1ab+1bc+1cd+1ad≤a2+b2+c證明本題考查了不等式的證明,重點(diǎn)考查了基本不等式的應(yīng)用,意在考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和邏輯推理能力.(1)因?yàn)閍,b,c,d為正數(shù),所以a+b≥2ab,b+c≥2bc,c+d≥2cd,d+a≥2ad(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=d時(shí)等號(hào)同時(shí)成立),所以(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≥2ab×2bc×2cd×2ad=16abcd.又abcd=1,所以(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≥16(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=d時(shí)等號(hào)成立).(2)因?yàn)閍bcd=1,所以1ab+1bc+1cd+1又2(a2+b2+c2+d2)=(a2+b2)+(b2+c2)+(c2+d2)+(d2+a2)≥2ab+2bc+2cd+2da(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=d時(shí)等號(hào)成立),所以2(a2+b2+c2+d2)≥21ab即1ab+1bc+1cd+1ad≤a2+b2+c5.(2020屆河南洛陽(yáng)尖子生第一次聯(lián)考,23)設(shè)函數(shù)f(x)=x-|x+2|-|x-3|-m,若?x∈R,1m(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)求證:log(m+1)(m+2)>log(m+2)(m+3).解析(1)∵