（課標專用 5年高考3年模擬A版）高考數(shù)學 專題六 數(shù)列 3 等比數(shù)列及其前n項和試題 理-人教版高三數(shù)學試題

等比數(shù)列及其前n項和挖命題【考情探究】考點內(nèi)容解讀5年考情預測熱度考題示例考向關聯(lián)考點1.等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式①理解等比數(shù)列的概念.②掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式.③能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關系,并能用有關知識解決相應的問題.④了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系.2018課標Ⅲ,17,12分等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式指數(shù)的運算★★★2017課標Ⅱ,3,5分等比數(shù)列的前n項和公式數(shù)學文化為背景的應用問題2016課標Ⅰ,15,5分等比數(shù)列的通項公式最值問題2.等比數(shù)列的性質(zhì)2016課標Ⅲ,17,12分等比數(shù)列的判定由an與Sn的關系求數(shù)列的通項公式2015課標Ⅱ,4,5分等比數(shù)列的通項公式數(shù)列的概念及其表示分析解讀本節(jié)是高考的考查熱點,主要考查等比數(shù)列的基本運算和性質(zhì),等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式,尤其要注意以數(shù)學文化為背景的數(shù)列題,題型既有選擇題、填空題,也有解答題.考查學生的數(shù)學運算和邏輯推理能力以及學生對函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸和分類討論思想的應用.破考點【考點集訓】考點一等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式1.(2018河南開封一模,5)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且9S3=S6,a2=1,則a1=()A.12B.22C.答案A2.(2018陜西延安黃陵中學(重點班)第一次大檢測,10)已知公比不為1的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足a2,2a5,3a8成等差數(shù)列,則3SA.134B.1312C.9答案C3(2018天津濱海新區(qū)七所重點學校聯(lián)考,11)等比數(shù)列{an}中,各項都是正數(shù),且a1,12a3,2a2成等差數(shù)列,則a13+答案2-1考點二等比數(shù)列的性質(zhì)1.(2018安徽馬鞍山第二次教學質(zhì)量監(jiān)測,5)已知等比數(shù)列{an}滿足a1=1,a3·a5=4(a4-1),則a7的值為()A.2B.4C.92答案B2.(2017福建4月模擬,6)已知遞增的等比數(shù)列{an}的公比為q,其前n項和Sn<0,則()A.a1<0,0<q<1B.a1<0,q>1C.a1>0,0<q<1D.a1>0,q>1答案A3.設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S6S3A.2B.73C.8答案B 煉技法【方法集訓】方法等比數(shù)列的判定與證明1.下列結(jié)論正確的是()A.若數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2+n+1,則{an}為等差數(shù)列B.若數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n-2,則{an}為等比數(shù)列C.非零實數(shù)a,b,c不全相等,若a,b,c成等差數(shù)列,則1a,1b,D.非零實數(shù)a,b,c不全相等,若a,b,c成等比數(shù)列,則1a,1b,答案D2.(2018河南信陽模擬,17)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=2an+λ(λ為常數(shù)).(1)試探究數(shù)列{an+λ}是不是等比數(shù)列,并求an;(2)當λ=1時,求數(shù)列{n(an+λ)}的前n項和Tn.解析(1)因為an+1=2an+λ,所以an+1+λ=2(an+λ).又a1=1,所以當λ=-1時,a1+λ=0,數(shù)列{an+λ}不是等比數(shù)列,此時an+λ=an-1=0,即an=1;當λ≠-1時,a1+λ≠0,所以an+λ≠0,所以數(shù)列{an+λ}是以1+λ為首項,2為公比的等比數(shù)列,此時an+λ=(1+λ)2n-1,即an=(1+λ)2n-1-λ.(2)由(1)知an=2n-1,所以n(an+1)=n×2n,Tn=2+2×22+3×23+…+n×2n①,2Tn=22+2×23+3×24+…+n×2n+1②,①-②得:-Tn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=2(1-2n)1-2所以Tn=(n-1)2n+1+2.過專題【五年高考】A組統(tǒng)一命題·課標卷題組考點一等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式1.(2017課標Ⅱ,3,5分)我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠望巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈()A.1盞B.3盞C.5盞D.9盞答案B2.(2015課標Ⅱ,4,5分)已知等比數(shù)列{an}滿足a1=3,a1+a3+a5=21,則a3+a5+a7=()A.21B.42C.63D.84答案B3.(2018課標Ⅲ,17,12分)等比數(shù)列{an}中,a1=1,a5=4a3.(1)求{an}的通項公式;(2)記Sn為{an}的前n項和.若Sm=63,求m.解析(1)設{an}的公比為q,由題設得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2.故an=(-2)n-1或an=2n-1.(2)若an=(-2)n-1,則Sn=1-(-由Sm=63得(-2)m=-188.此方程沒有正整數(shù)解.若an=2n-1,則Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.綜上,m=6.考點二等比數(shù)列的性質(zhì)(2016課標Ⅰ,15,5分)設等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2…an的最大值為.

答案64B組自主命題·省(區(qū)、市)卷題組考點一等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式1.(2018北京,4,5分)“十二平均律”是通用的音律體系,明代朱載堉最早用數(shù)學方法計算出半音比例,為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻.十二平均律將一個純八度音程分成十二份,依次得到十三個單音,從第二個單音起,每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于122A.32fB.322fC.12答案D2.(2017江蘇,9,5分)等比數(shù)列{an}的各項均為實數(shù),其前n項和為Sn.已知S3=74,S6=634,則a8=答案32考點二等比數(shù)列的性質(zhì)1.(2016天津,5,5分)設{an}是首項為正數(shù)的等比數(shù)列,公比為q,則“q<0”是“對任意的正整數(shù)n,a2n-1+a2n<0”的()A.充要條件B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件答案C2.(2014廣東,13,5分)若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),且a10a11+a9a12=2e5,則lna1+lna2+…+lna20=.

答案50C組教師專用題組考點一等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式1.(2014重慶,2,5分)對任意等比數(shù)列{an},下列說法一定正確的是()A.a1,a3,a9成等比數(shù)列B.a2,a3,a6成等比數(shù)列C.a2,a4,a8成等比數(shù)列D.a3,a6,a9成等比數(shù)列答案D2.(2013課標Ⅱ,3,5分,0.859)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,則a1=()A.13B.-13C.1答案C3.(2012課標Ⅰ,5,5分)已知{an}為等比數(shù)列,a4+a7=2,a5a6=-8,則a1+a10=()A.7B.5C.-5D.-7答案D4.(2017北京,10,5分)若等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1=b1=-1,a4=b4=8,則a2b2答案15.(2015湖南,14,5分)設Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和.若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差數(shù)列,則an=.

答案3n-16.(2014天津,11,5分)設{an}是首項為a1,公差為-1的等差數(shù)列,Sn為其前n項和.若S1,S2,S4成等比數(shù)列,則a1的值為.

答案-17.(2014安徽,12,5分)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,若a1+1,a3+3,a5+5構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列,則q=.

答案18.(2016四川,19,12分)已知數(shù)列{an}的首項為1,Sn為數(shù)列{an}的前n項和,Sn+1=qSn+1,其中q>0,n∈N*.(1)若2a2,a3,a2+2成等差數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項公式;(2)設雙曲線x2-y2an2=1的離心率為en,且e2=53,證明:e1+e2解析(1)由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1,兩式相減得到an+2=qan+1,n≥1.又由S2=qS1+1得到a2=qa1,故an+1=qan對所有n≥1都成立.所以,數(shù)列{an}是首項為1,公比為q的等比數(shù)列.從而an=qn-1.由2a2,a3,a2+2成等差數(shù)列,可得2a3=3a2+2,即2q2=3q+2,則(2q+1)(q-2)=0,由已知,q>0,故q=2.所以an=2n-1(n∈N*).(2)證明:由(1)可知,an=qn-1.所以雙曲線x2-y2an2=1的離心率en=由e2=1+q2=53因為1+q2(k-1)>q2(k-1),所以1+q2(k-于是e1+e2+…+en>1+q+…+qn-1=qn故e1+e2+…+en>4n9.(2015江蘇,20,16分)設a1,a2,a3,a4是各項為正數(shù)且公差為d(d≠0)的等差數(shù)列.(1)證明:2a1,2a2,(2)是否存在a1,d,使得a1,a22,a3(3)是否存在a1,d及正整數(shù)n,k,使得a1n,a2n+解析(1)證明:因為2an+12an=2an+1-a(2)令a1+d=a,則a1,a2,a3,a4分別為a-d,a,a+d,a+2d(a>d,a>-2d,d≠0).假設存在a1,d,使得a1,a22,a3則a4=(a-d)(a+d)3,且(a+d)6=a2(a+2d)4.令t=da,則1=(1-t)(1+t)3且(1+t)6=(1+2t)4-1化簡得t3+2t2-2=0(*),且t2=t+1.將t2=t+1代入(*)式,得t(t+1)+2(t+1)-2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0,則t=-14顯然t=-14不是方程t2因此不存在a1,d,使得a1,a22,a3(3)假設存在a1,d及正整數(shù)n,k,使得a1n,a2n+k,a3n+2k,a4n+3k依次構(gòu)成等比數(shù)列,則a1n(a1+2d)n+2k=(a分別在兩個等式的兩邊同除以a12(并令t=da則(1+2t)n+2k=(1+t)2(n+k),且(1+t)n+k(1+3t)n+3k=(1+2t)2(n+2k).將上述兩個等式兩邊取對數(shù),得(n+2k)ln(1+2t)=2(n+k)·ln(1+t),且(n+k)ln(1+t)+(n+3k)ln(1+3t)=2(n+2k)ln(1+2t).化簡得2k[ln(1+2t)-ln(1+t)]=n[2ln(1+t)-ln(1+2t)],且3k[ln(1+3t)-ln(1+t)]=n[3ln(1+t)-ln(1+3t)].再將這兩式相除,化簡得ln(1+3t)ln(1+2t)+3ln(1+2t)ln(1+t)=4ln(1+3t)ln(1+t)(**).令g(t)=4ln(1+3t)ln(1+t)-ln(1+3t)ln(1+2t)-3ln(1+2t)·ln(1+t),則g'(t)=2[(令φ(t)=(1+3t)2ln(1+3t)-3(1+2t)2ln(1+2t)+3(1+t)2·ln(1+t),則φ'(t)=6[(1+3t)ln(1+3t)-2(1+2t)ln(1+2t)+(1+t)·ln(1+t)].令φ1(t)=φ'(t),則φ'1(t)=6[3ln(1+3t)-4ln(1+2t)+ln(1+t)].令φ2(t)=φ'1(t),則φ'2(t)=12(由g(0)=φ(0)=φ1(0)=φ2(0)=0,φ'2(t)>0,知φ2(t),φ1(t),φ(t),g(t)在-1故g(t)只有唯一零點t=0,即方程(**)只有唯一解t=0,故假設不成立.所以不存在a1,d及正整數(shù)n,k,使得a1n,a2n+評析本題考查等差數(shù)列的定義、等比數(shù)列的運算和綜合應用,考查演繹推理、直接證明、間接證明等邏輯思維能力.10.(2015山東,18,12分)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知2Sn=3n+3.(1)求{an}的通項公式;(2)若數(shù)列{bn}滿足anbn=log3an,求{bn}的前n項和Tn.解析(1)因為2Sn=3n+3,所以2a1=3+3,故a1=3,當n>1時,2Sn-1=3n-1+3,此時2an=2Sn-2Sn-1=3n-3n-1=2×3n-1,即an=3n-1,所以an=3(2)因為anbn=log3an,所以b1=13當n>1時,bn=31-nlog33n-1=(n-1)·31-n.所以T1=b1=13當n>1時,Tn=b1+b2+b3+…+bn=13+[1×3-1+2×3-2+…+(n-1)×31-n所以3Tn=1+[1×30+2×3-1+…+(n-1)×32-n],兩式相減,得2Tn=23+(30+3-1+3-2+…+32-n)-(n-1)×3=23+1-31-n1所以Tn=1312-6經(jīng)檢驗,n=1時也適合.綜上可得Tn=1312-6n+311.(2014課標Ⅱ,17,12分,0.299)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=3an+1.(1)證明an+1(2)證明1a1+1a2+…+解析(1)由an+1=3an+1得an+1+12=3a又a1+12=3所以an+1an+12=3n2,因此{an}的通項公式為an(2)由(1)知1an=因為當n≥1時,3n-1≥2×3n-1,所以13n-于是1a1+1a2+…+1an≤1+13所以1a1+1a2+…+評析本題考查了等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等問題,放縮法求和是本題的難點.考點二等比數(shù)列的性質(zhì)1.(2018浙江,10,4分)已知a1,a2,a3,a4成等比數(shù)列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1,則()A.a1<a3,a2<a4B.a1>a3,a2<a4C.a1<a3,a2>a4D.a1>a3,a2>a4答案B2.(2014大綱全國,10,5分)等比數(shù)列{an}中,a4=2,a5=5,則數(shù)列{lgan}的前8項和等于()A.6B.5C.4D.3答案C3.(2015安徽,14,5分)已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列,a1+a4=9,a2a3=8,則數(shù)列{an}的前n項和等于.

答案2n-14.(2014江蘇,7,5分)在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,則a6的值是.

答案4【三年模擬】一、選擇題(每小題5分,共35分)1.(2019屆山東濟南第一中學高三期中考試,7)在等比數(shù)列{an}中,若a3,a7是方程x2+4x+2=0的兩根,則a5的值是()A.-2B.-2C.±2D.2答案B2.(2019屆安徽黃山11月“八校聯(lián)考”,7)設Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和,S4=5S2,則a5A.±12B.±2C.±2或-1D.±1答案D3.(2018河南新鄉(xiāng)二模,6)在公比為q的正項等比數(shù)列{an}中,a4=4,則當2a2+a6取得最小值時,log2q=()A.14B.-14C.1答案A4.(2018福建廈門模擬,8)設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若Sn=2n+1+λ,則λ=()A.-2B.-1C.1D.2答案A5.(2018山東實驗中學診斷測試,7)中國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中有這樣一個問題:今有牛、馬、羊食人苗,苗主責之粟五斗,羊主曰:“我羊食半馬.”馬主曰:“我馬食半牛.”今欲衰償之,問各出幾何?此問題的譯文是:今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗,禾苗主人要求賠償5斗粟.羊主人說:“我的羊所吃的禾苗只有馬的一半.”馬主人說:“我的馬所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例償還,他們各應償還多少?已知牛、馬、羊的主人應償還a升,b升,c升,1斗為10升,則下列判斷正確的是()A.a,b,c依次成公比為2的等比數(shù)列,且a=50B.a,b,c依次成公比為2的等比數(shù)列,且c=50C.a,b,c依次成公比為12的等比數(shù)列,且a=D.a,b,c依次成公比為12的等比數(shù)列,且c=答案D6.(2017湖北六校聯(lián)合體4月模擬,10)在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2an,則Sn=a12-a22+a32-A.13(2n-1)B.15(1-2C.13(4n-1)D.13(1-2答案B7.(2018湖南湘潭三模,9)已知等比數(shù)列{an}的前n項積為Tn,若a1=-24,a4=-89,則當TnA.2B.3C.4D.6答案C二、填空題(每小題5分,共15分)8.(2019屆河北衡水中學高三第一次摸底考試,14)已知數(shù)列{an},若數(shù)列{3n-1an}的前n項和Tn=15×6n-15,則a5的值為答案169.(2019屆廣東化州高三第一次模擬考試,16)已知函數(shù)f(x)=exex+1,數(shù)列{an}為等比數(shù)列,an>0,a1010=1,則f(lna1)+f(lna3)+…+f(lna答案201910.(2017江西仿真模擬,16)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足:a1=1,a2=2,Sn+1=an+2-an+1(n∈N*),若不等式λSn>an恒成立,則實數(shù)λ的取值范圍是.

答案(1,+∞)三、解答題(共25分)11.(2019屆江西九江高三第一次十校聯(lián)考,20)已知數(shù)列{an}滿足an+1-an-1=2(an+an-1)(n≥2),a1=1,a2=7,令bn=an+1+an.(1)求證數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,并求{bn}的通項公式;(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.解析(1)∵a