專題2-3 焦點弦和焦半徑公式在高考中的應(yīng)用（解析版）

專題2-3焦點弦和焦半徑公式在高考中的應(yīng)用每當(dāng)談到高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，我們總是避不開這樣一個話題，教材上沒有、高考要考，而且是有效的解題利器，那就是——二級結(jié)論。比如說2022年全國一卷第16題，硬做當(dāng)然可以做出來，但是不僅容易翻車而且很耗時間，就算真算對了，在考場上又有幾人有魄力相信的答案呢？不過，必須指出的是二級結(jié)論要想在考場上玩的轉(zhuǎn)，必須熟練掌握，注意是必須，光知道是不夠的。

有人認(rèn)為只要知道它在那里，可以考場上推一次再用，然而以某人某段時間的悲慘經(jīng)歷可以告訴大家：“你，想多了”。因為現(xiàn)推耗時耗力不說，在考場上大部分人是推不出的。其實以上想依靠現(xiàn)推來解題的想法不過是在偷懶，很多非常實用的二級結(jié)論的推導(dǎo)需要極其巧妙的手法，在高度緊張的環(huán)境中，著實很難想到，不如就先記住并熟練掌握。再者，高考題越來越新、越來越活，很多題放在那里你都不一定知道該用什么結(jié)論，更何況你如果不熟練呢？怎么會用？從實際操作的角度來講，我們必須記憶。記得我們高中數(shù)學(xué)老師第一節(jié)課就曾說過：“數(shù)學(xué)好的第一個必要條件就是記憶力好”。當(dāng)然，不是指死記硬背，更不是指不要死記硬背。某些同學(xué)曾經(jīng)陷入過一個誤區(qū)，認(rèn)為只要理解就可以記住或者只要在刷題中鞏固就可以熟練掌握。這其實是矯枉過正，我們過度重視了理解與實踐，而在最基本的層面上一些機械性的成分其實必不可少，因為機械記憶是所謂一切種種的根基所在。真的，各位千萬不要忽略記憶的重要性，某些同學(xué)深受其害，到高三才意識到事情的嚴(yán)重性。因為，如果你不先記住，怎么在刷題中想到去應(yīng)用去實踐？而且理解了也不代表掌握，功利地講，在考場上如果不能直接運用結(jié)論，理解其實也沒什么用。不過話說回來，我并不是說記憶就夠了，也并不是在抹黑理解與應(yīng)用，我只想說死記硬背其實是第一步，千萬不要忽視。目錄題型一橢圓焦半徑最值 62023·深圳市一模 62023屆·溫州市第一次適應(yīng)性考試（11月） 6題型二拋物線焦點弦與焦半徑公式 72023屆·湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期第一次月考 72023屆·佛山二模第11題—無坐標(biāo)系，焦半徑公式與交點弦公式 8題型三橢圓焦點弦公式與焦半徑公式 112023浙江紹興二模T16——橢圓的中的對稱 112023·浙江嘉興二模 12題型四雙曲線焦點弦與焦半徑公式 152023屆·湖南雅禮中學(xué)高三月考T16 152023屆·山東省新高考3月聯(lián)合質(zhì)量測評 162023屆·青島三模T8——2個二級結(jié)論 16題型五焦點弦被焦點分成定比 172024屆·浙江省Z20名校聯(lián)盟高三上學(xué)期第一次聯(lián)考T16 172024屆·長郡中學(xué)月考（三）T15 18橢圓焦半徑與焦點弦夾角公式焦半徑長公式：（長），（短），證明：在中，由余弦定理得，將代入得：，移項合并得：，同理，在中，由余弦定理得，將代入化簡得：則焦點弦被焦點分成定比：若，則 （注：拋物線默認(rèn)e=1）簡證：交叉相乘得：雙曲線焦半徑與焦點弦夾角公式已知雙曲線，求出2種情況下的焦半徑,以及焦點弦情況1：：AB兩點同一支上，直線AB與x軸夾角為α【答案】情況1：在中，由余弦定理得，將代入得：，移項合并得：，同理可得：，則.情況2：AB兩點不在同一支上，直線AB與x軸夾角為β【答案】情況2：在中，由余弦定理得，將代入得：，移項合并得：，同理可得：，則.拋物線焦半徑公式：拋物線焦半徑與焦點弦公式相信同學(xué)們都比較熟悉，這里就不證明了記拋物線，過焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，直線AB與x軸夾角為焦半徑（短）：；焦半徑（長）：；，2022年新高考I卷第16題已知橢圓，C的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，，則的周長是________________．【答案】13【解析】易知為等邊三角形，的周長為【法一】：焦點弦公式【法二】：通性通法【分析】利用離心率得到橢圓的方程為，根據(jù)離心率得到直線的斜率，進(jìn)而利用直線的垂直關(guān)系得到直線的斜率，寫出直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，利用弦長公式求得，得，根據(jù)對稱性將的周長轉(zhuǎn)化為的周長，利用橢圓的定義得到周長為.【詳解】∵橢圓的離心率為，∴，∴，∴橢圓的方程為，不妨設(shè)左焦點為，右焦點為，如圖所示，∵，∴，∴為正三角形，∵過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，為線段的垂直平分線，∴直線的斜率為，斜率倒數(shù)為，直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，判別式，∴，∴，得，∵為線段的垂直平分線，根據(jù)對稱性，，∴的周長等于的周長，利用橢圓的定義得到周長為.重點題型·歸類精講重點題型·歸類精講題型一橢圓焦半徑最值2023·深圳市一模若橢圓上的點到焦點距離的最大值是最小值的2倍，則該橢圓的離心率為．【答案】【詳解】依題意，由圖象的性質(zhì)可知，點到焦點距離的最大值為，最小值為，所以，化簡得，即離心率2023屆·溫州市第一次適應(yīng)性考試（11月）已知，是橢圓C的兩個焦點，點M在C上，且的最大值是它的最小值的2倍，則橢圓的離心率為．【答案】【分析】先結(jié)合橢圓的定義表示出，化簡后結(jié)合的范圍可求出的最值，然后列方程可表示出的關(guān)系，從而可求出橢圓的離心率.【詳解】因為，所以，所以當(dāng)時，取得最大值，因為，所以的最小值為，因為的最大值是它的最小值的2倍，所以，所以，所以，所以橢圓的離心率為題型二拋物線焦點弦與焦半徑公式已知拋物線EQy\S\UP6(2)＝16x的焦點為F，過點F作直線l交拋物線于M，N兩點，則__________；的最小值為__________.【答案】，【解析】（1）（2）由，則2023屆·湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期第一次月考(多選)已知是拋物線上兩動點，為拋物線的焦點，則（）A.直線過焦點時，最小值為4B.直線過焦點且傾斜角為時（點在第一象限），C.若中點的橫坐標(biāo)為3，則最大值為8D.點坐標(biāo)，且直線斜率之和為與拋物線的另一交點為，則直線，方程為：提示：C選項用D選項可不聯(lián)立，設(shè)D點坐標(biāo)，用AD斜率求D點坐標(biāo)（斜率公式中消x）【答案】ACD【解析】直線過焦點，當(dāng)垂直于軸時，取最小值正確；對于選項，由題可知：，故B錯誤；由于為兩動點，所以，當(dāng)且僅當(dāng)直線過焦點時等號成立，故正確；對于選項，依題意，，故，即，同理可得，故直線方程為正確.2023屆·佛山二模第11題—無坐標(biāo)系，焦半徑公式與交點弦公式(多選)如圖拋物線的頂點為，焦點為，準(zhǔn)線為，焦準(zhǔn)距為4；拋物線的頂點為，焦點也為，準(zhǔn)線為，焦準(zhǔn)距為6．和交于、兩點，分別過、作直線與兩準(zhǔn)線垂直，垂足分別為M、N、S、T，過的直線與封閉曲線交于、兩點，則（）A. B.四邊形的面積為100C. D.的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義可得判斷A，以為原點建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件可得拋物線的方程為，可得，進(jìn)而判斷B，利用拋物線的定義結(jié)合條件可得可判斷C，利用拋物線的性質(zhì)結(jié)合焦點弦的性質(zhì)可判斷D.【詳解】設(shè)直線與直線分別交于，由題可知，所以，，故A正確；如圖以為原點建立平面直角坐標(biāo)系，則，，所以拋物線的方程為，連接，由拋物線的定義可知，又，所以，代入，可得，所以，又，故四邊形的面積為，故B錯誤；連接，因為，所以，所以，故，故C正確；根據(jù)拋物線的對稱性不妨設(shè)點在封閉曲線的上部分，設(shè)在直線上的射影分別為，當(dāng)點在拋物線，點在拋物線上時，，當(dāng)與重合時，最小，最小值為，當(dāng)與重合，點在拋物線上時，因為，直線，與拋物線的方程為聯(lián)立，可得，設(shè)，則，，所以；當(dāng)點在拋物線，點在拋物線上時，設(shè)，與拋物線的方程為聯(lián)立，可得，設(shè)，則，，當(dāng)，即時取等號，故此時；當(dāng)點在拋物線，點在拋物線上時，根據(jù)拋物線的對稱性可知，；綜上，，故D正確.已知F為拋物線的焦點，過F作兩條互相垂直的直線，直線與C交A，B兩點，直線與C交于D，E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為.【答案】16【詳解】思路一：設(shè)，則則，而，乘“1”即可思路二：由題意拋物線焦點為，顯然直線的斜率都存在且都不為0，設(shè)直線方程為，，由，得，所以，，，同理可得．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．故答案為：16．題型三橢圓焦點弦公式與焦半徑公式2023浙江紹興二模T16——橢圓的中的對稱已知橢圓的左、右焦點分別為.若關(guān)于直線的對稱點恰好在上，且直線與的另一個交點為，則__________.【答案】【詳解】思路一：設(shè)的中點為M，易知OM⊥,故，故，，，，則，，故思路二：設(shè)關(guān)于直線的對稱點，由，得，可知，，又知，所以，則為直角，由題意，點恰好在上，根據(jù)橢圓定義，得，，設(shè)，則，在直角三角形中，，解得，從而，，所以.2023·浙江嘉興二模已知橢圓的左?右焦點分別為，離心率為，點在橢圓上，連接并延長交于點，連接，若存在點使成立，則的取值范圍為.【答案】【分析】設(shè)，所以存在點使等價于由可求的最小值，求得的范圍，從而得到的取值范圍.【詳解】設(shè)，則.顯然當(dāng)靠近右頂點時，，所以存在點使等價于，在中由余弦定理得，即，解得，同理可得，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.由得，所以.故答案為：關(guān)鍵點：求離心率范圍關(guān)鍵是建立的不等式，此時將問題轉(zhuǎn)化為，從而只需求的最小值，求最小值的方法是結(jié)合焦半徑性質(zhì)使用基本不等式求解.如圖F是橢圓的右焦點，過點F作條與坐標(biāo)軸不垂直的直線l交橢圓于點A，B，線段AB的中垂線l交x軸于點M，證明：【答案】題型四雙曲線焦點弦與焦半徑公式2023屆·湖南雅禮中學(xué)高三月考T16過雙曲線的右焦點作其中一條漸近線的垂線，垂足為，直線與雙曲線的左?右兩支分別交于點，若，則雙曲線的離心率是___________.【答案】【分析】設(shè)雙曲線的左焦點為，連接設(shè)，分別求得，同理，結(jié)合，求得，進(jìn)而求得離心率.【詳解】如圖所示，根據(jù)點到直線的距離公式可得點到直線的距離為，設(shè)雙曲線的左焦點為，連接，則，設(shè)，則，，，因為，則有，所以，故離心率為.2023屆·山東省新高考3月聯(lián)合質(zhì)量測評過雙曲線的左、右焦點作兩條相互平行的弦，其中在雙曲線的左支上，在軸上方，則的最小值為．當(dāng)?shù)膬A斜角為時，四邊形的面積為．（提示：參考焦半徑公式與焦點弦公式）【答案】解析：方法1：設(shè)，聯(lián)立得．所以．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．．方法2：，（提示：是焦準(zhǔn)距．2023屆·青島三模T8——2個二級結(jié)論已知O為坐標(biāo)原點，雙曲線的左，右焦點分別為，過C的右焦點且傾斜角為的直線交C于A，B兩點，AB中點為W，，則離心率e＝________；的周長等于12，則a＝________．【答案】，1（1）易知，又，則（2）易知，，則的周長為由焦點弦長公式可知，故題型五焦點弦被焦點分成定比若AB是過焦點的弦，且，則2024屆·浙江省Z20名校聯(lián)盟高三上學(xué)期第一次聯(lián)考T16已知橢圓：的右焦點為，過點作傾斜角為的直線交橢圓于、兩點，弦的垂直平分線交軸于點P，若，則橢圓的離心率．【答案】【思路一詳解】因為傾斜角為的直線過點，設(shè)直線的方程為:,,線段的中點,聯(lián)立，化為，，，的垂直平分線為