二面角、判定、性質(zhì)二面角

二面角二面角1精品PPT|借鑒參考第一頁，共三十五頁。一、二面角及二面角的平面角平面的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做一個半平面。1、半平面——αl二面角2精品PPT|借鑒參考第二頁，共三十五頁。PPT內(nèi)容概述二面角。精品PPT|借鑒參考。一、二面角及二面角的平面角。平面的一條直線把平面分為兩部分，。1、半平面——。∠A`P`B`與∠APB是否相等。二面角的平面角的特點：。3）角的邊都要垂直于二面角的棱。二.作二面角的平面角的常用方法。1、如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上任一點，則二面角P-BC-A的平面角為:。例2.如圖，已知P是二面角α-AB-β棱上一點，過P分別在α、β內(nèi)引射線PM、PN，且∠MPN=60o∠BPM=∠BPN=45o，求此二面角的度數(shù)?！螩OD是二面角α-AB-β的平面角。設(shè)PO=a，∵∠BPM=∠BPN=45o?！郈D=PCa。取AB的中點為E，連PE，OE?！逴為AC中點，∠ABC=90o?！郞E∥BC且OEBC。在Rt△POE中，OE，PO?！嗨蟮亩娼荘-AB-C的正切值為。34第三頁，共三十五頁。

從空間一直線出發(fā)的兩個半2、二面角的定義3、二面角的平面角ABPβαιαβι平面所組成的圖形叫做二面角記作：二面角二面角4精品PPT|借鑒參考第四頁，共三十五頁。

一個平面垂直于二面角的棱，并與兩半平面分別相交于射線PA、PB垂足為P，則∠APB是二面注：二面角的平面角取值范圍是:[00,1800]βαιγγ`A`B`P`ABP思考:∠A`P`B`與∠APB是否相等?相等(利用等角定理)思考:5精品PPT|借鑒參考第五頁，共三十五頁。注：二面角的平面角的特點：3）角的邊都要垂直于二面角的棱1）角的頂點在棱上2）角的兩邊分別在兩個面內(nèi)10

lOAB

AOB(1)(2)6精品PPT|借鑒參考第六頁，共三十五頁。二.作二面角的平面角的常用方法①、點P在棱上②、點P在一個半平面上③、點P在二面角內(nèi)ιpαβABABpαβιABOαβιp—定義法—三垂線定理法—垂面法二面角④⑤7精品PPT|借鑒參考第七頁，共三十五頁。1、如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上任一點，則二面角P-BC-A的平面角為:∠ACP

基礎(chǔ)練習(xí)2、已知P為二面角內(nèi)一點，且P到兩個半平面的距離都等于P到棱的距離的一半，則這個二面角的度數(shù)是多少？pαβιABOABCP60o二面角8精品PPT|借鑒參考第八頁，共三十五頁。9精品PPT|借鑒參考第九頁，共三十五頁。例2.如圖，已知P是二面角α-AB-β棱上一點，過P分別在α、β內(nèi)引射線PM、PN，且∠MPN=60o

∠BPM=∠BPN=45o

，求此二面角的度數(shù)。βαABPMNCDO解：在PB上取不同于P的一點O，在α內(nèi)過O作OC⊥AB交PM于C，在β內(nèi)作OD⊥AB交PN于D，連CD，可得∠COD是二面角α-AB-β的平面角設(shè)PO=a

，∵∠BPM=∠BPN=45o∴CO=a，

DO=a，

PCa，

PDa又∵∠MPN=60o

∴CD=PCa∴∠COD=90o因此，二面角的度數(shù)為90oaOPC二面角10精品PPT|借鑒參考第十頁，共三十五頁。OABPC取AB的中點為E，連PE，OE∵O為AC中點，∠ABC=90o∴OE∥BC且

OEBC在Rt△POE中，OE

，PO∴∴所求的二面角P-AB-C的正切值為例3．如圖，三棱錐P-ABC的頂點P在底面ABC上的射影是底面Rt△ABC斜邊AC的中點O，若PB=AB=1，BC=，求二面角P-AB-C的正切值?！唷螾EO為二面角P-AB-C的平面角在Rt△PBE中，BE，PB=1，PEOE⊥AB,∵PO⊥平面ABC

∴PE⊥ABE解：EOP二面角11精品PPT|借鑒參考第十一頁，共三十五頁。二面角的計算：1、找到或作出二面角的平面角2、證明

1中的角就是所求的角3、計算出此角的大小一“作”二“證”三“計算”1612精品PPT|借鑒參考第十二頁，共三十五頁。練習(xí)1：已知Rt△ABC在平面α內(nèi)，斜邊AB在30o的二面角α-AB-β的棱上，若AC=5，BC=12，求點C到平面β的距離CO。βαACBOD練習(xí)2：已知棱長為1正方體ABCD-A1B1C1D1,求二面角C1-BD-B1的余弦值的大小。二面角O

13精品PPT|借鑒參考第十三頁，共三十五頁。二、二面角的平面角一、二面角的定義

從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角1、定義2、求二面角的平面角方法①點P在棱上②點P在一個半平面上③點P在二面角內(nèi)ABPγβαι小結(jié)二面角二面角αβιABαβιpιpαβABpαβιABO—定義法—三垂線定理法—垂面法二面角14精品PPT|借鑒參考第十四頁，共三十五頁。④⑤15精品PPT|借鑒參考第十五頁，共三十五頁。αβABCD作業(yè):A為二面角α–CD–β的棱CD上一點，AB在平面α內(nèi)且與棱CD成45o角，又AB與平面β成30o，求二面角α–CD–β的大小。二面角16精品PPT|借鑒參考第十六頁，共三十五頁。17精品PPT|借鑒參考第十七頁，共三十五頁。3.如圖:Rt△ABC中,∠C=Rt∠,PA⊥平面ABC,圖中有哪些平面互相垂直?ACBP(2)請找(作)出不互相垂直的平面的二面角的平面角.DE18精品PPT|借鑒參考第十八頁，共三十五頁。ABCEDFG如圖所示,△ABC為正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M為EA的中點,請作出平面EAD和平面BAC所成的二面角的平面角19精品PPT|借鑒參考第十九頁，共三十五頁。思考題如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S—ABCD中，∠ABC=900，SA⊥面ABCD，AD=SA=AB=BC=1，求：面SCD與面SBA所成二面角的正切值。SADCBE（2001年高考題）20精品PPT|借鑒參考第二十頁，共三十五頁。練習(xí)1如圖，四棱錐P—ABCD的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，2·PA=AB，求平面PAB與平面PCD所成的二面角的正切值的大小。PABCDl21精品PPT|借鑒參考第二十一頁，共三十五頁。解

∵P是面PAB與PCD的一個公共點，由公理2知這兩個平面有且僅有過點P的一條公共直線，記面PAB∩面PCD=l?！逤D∥BA，∴CD∥平面PAB，又平面PCD經(jīng)過直線CD且與平面PAB交于l，由直線與平面平行的性質(zhì)定理知l∥CD，易證得∠APD為平面PAB與平面PCD所成二面角，且tan∠APD=2，即為所求。PABCDl22精品PPT|借鑒參考第二十二頁，共三十五頁。思考題如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S—ABCD中，∠ABC=900，SA⊥面ABCD，AD=SA=AB=BC=1，求：面SCD與面SBA所成二面角的正切值。SADCBE（2001年高考題）23精品PPT|借鑒參考第二十三頁，共三十五頁。24精品PPT|借鑒參考第二十四頁，共三十五頁。25精品PPT|借鑒參考第二十五頁，共三十五頁。26精品PPT|借鑒參考第二十六頁，共三十五頁。27精品PPT|借鑒參考第二十七頁，共三十五頁。例2．如圖P為二面角α–ι–β內(nèi)一點，PA⊥α,PB⊥β,且PA=5，PB=8，AB=7，求這二面角的度數(shù)。

過PA、PB的平面PAB與棱ι

交于O點∵PA⊥α∴PA⊥ι

∵PB⊥β∴PB⊥ι

∴ι⊥平面PAB∴∠AOB為二面角α–ι–β的平面角又∵PA=5，PB=8，AB=7由余弦定理得∴∠P=60o∴∠AOB=120o

∴這二面角的度數(shù)為120o解：βαABPιO二面角28精品PPT|借鑒參考第二十八頁，共三十五頁。精品PPT·收集整理第二十九頁，共三十五頁。30精品PPT|借鑒參考第三十頁，共三十五頁。31精品PPT|借