小學(xué)數(shù)學(xué)工程問題及答案

工程問題工程問題基本數(shù)量關(guān)系式：（1）一般公式：工作效率×工作時間＝工作總量工作總量÷工作效率＝工作時間工作總量÷工作時間＝工作效率（2）用假設(shè)工作總量為“1”的方法解工程問題的公式：1÷工作時間=單位時間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾；一般給出工作時間，就可以知道工作效率為,1÷單位時間能完成的幾分之幾=工作時間。假如可以給出工作效率是，就可以知道工作時間為a.一、兩個人的問題

標題上說的“兩個人”，也可以是兩個組、兩個隊等等的兩個集體.

例1一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.現(xiàn)在甲先做了3天，余下的工作由乙接著完成.乙須要做幾天可以完成全部工作？

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例2一件工作，甲、乙兩人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲離開了，由乙接著做了40天才完成.假如這件工作由甲或乙單獨完成各須要多少天？

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例3某工程先由甲獨做63天，再由乙單獨做28天即可完成；假如由甲、乙兩人合作，需48天完成.現(xiàn)在甲先單獨做42天，然后再由乙來單獨完成，那么乙還須要做多少天？

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例4一件工程，甲隊單獨做10天完成，乙隊單獨做30天完成.現(xiàn)在兩隊合作，其間甲隊休息了2天，乙隊休息了8天（不存在兩隊同一天休息）.問起先到完工共用了多少天時間？

例5一項工程，甲隊單獨做20天完成，乙隊單獨做30天完成.現(xiàn)在他們兩隊一起做，其間甲隊休息了3天，乙隊休息了若干天.從起先到完成共用了16天.問乙隊休息了多少天？

例6有甲、乙兩項工作，張單獨完成甲工作要10天，單獨完成乙工作要15天；李單獨完成甲工作要8天，單獨完成乙工作要20天.假如每項工作都可以由兩人合作，那么這兩項工作都完成最少須要多少天？

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例7一項工程，甲獨做需10天，乙獨做需15天，假如兩人合作，他

要8天完成這項工程，兩人合作天數(shù)盡可能少，那么兩人要合作多少天？

例8甲、乙合作一件工作，由于協(xié)作得好，甲的工作效率比單獨做時快

假如這件工作始終由甲一人單獨來做，須要多少小時？

二、多人的工程問題

我們說的多人，至少有3個人，當(dāng)然多人問題要比2人問題困難一些，但是解題的基本思路還是差不多.

例9一件工作，甲、乙兩人合作36天完成，乙、丙兩人合作45天完成，甲、丙兩人合作要60天完成.問甲一人獨做須要多少天完成？

例10一件工作，甲獨做要12天，乙獨做要18天，丙獨做要24天.這件工作由甲先做了若干天，然后由乙接著做，乙做的天數(shù)是甲做的天數(shù)的3倍，再由丙接著做，丙做的天數(shù)是乙做的天數(shù)的2倍，最終做完了這件工作.問總共用了多少天？

例11一項工程，甲、乙、丙三人合作須要13天完成.假如丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙兩人合作1天.問這項工程由甲獨做須要多少天？

例12某項工作，甲組3人8天能完成工作，乙組4人7天也能完成工作.問甲組2人和乙組7人合作多少時間能完成這項工作？

例13制作一批零件，甲車間要10天完成，假如甲車間及乙車間一起做只要6天就能完成.乙車間及丙車間一起做，須要8天才能完成.現(xiàn)在三個車間一起做，完成后發(fā)覺甲車間比乙車間多制作零件2400個.問丙車間制作了多少個零件？

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例14搬運一個倉庫的貨物，甲須要10小時，乙須要12小時，丙須要15小時.有同樣的倉庫A和B，甲在A倉庫、乙在B倉庫同時起先搬運貨物，丙起先幫助甲搬運，中途又轉(zhuǎn)向幫助乙搬運.最終兩個倉庫貨物同時搬完.問丙幫助甲、乙各多少時間？

水管問題

從數(shù)學(xué)的內(nèi)容來看，水管問題及工程問題是一樣的.水池的注水或排水相當(dāng)于一項工程，注水量或排水量就是工作量.單位時間里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的問題，不過是工作量有加有減罷了.因此，水管問題及工程問題的解題思路基本相同.

例15甲、乙兩管同時打開，9分鐘能注滿水池.現(xiàn)在，先打開甲管，10分鐘后打開乙管，經(jīng)過3分鐘就注滿了水池.已知甲管比乙管每分鐘多注入0.6立方米水，這個水池的容積是多少立方米？

例16有一些水管，它們每分鐘注水量都相等.現(xiàn)在打開其中若干根水管，經(jīng)過預(yù)定的時間的1/3，再把打開的水管增加一倍，就能按預(yù)定時間注滿水池，假如起先時就打開10根水管，中途不增開水管，也能按預(yù)定時間注滿水池.問起先時打開了幾根水管？

例17蓄水池有甲、丙兩條進水管，和乙、丁兩條排水管.要灌滿一池水，單開甲管需3小時，單開丙管須要5小時.要排光一池水，單開乙管須要4小，丁管須要6小時，現(xiàn)在水池內(nèi)有六分之一的水，如按甲、乙、丙、丁、甲、乙……的依次輪番打開1小時，問多少時間后水起先溢出水池？

例18一個蓄水池，每分鐘流入4立方米水.假如打開5個水龍頭，2小時半就把水池水放空，假如打開8個水龍頭，1小時半就把水池水放空.現(xiàn)在打開13個水龍頭，問要多少時間才能把水放空？

例19一個水池，地下水從四壁滲入池中，每小時滲入水量是固定的.打開A管，8小時可將滿池水排空，打開C管，12小時可將滿池水排空.假如打開A，B兩管，4小時可將水排空.問打開B，C兩管，要幾小時才能將滿池水排空？

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例20有三片牧場，場上草長得一樣密，而且長得一

草；21頭牛9星期吃完其次片牧場的草.問多少頭牛18星期才能吃完第三片牧場的草？

“牛吃草”這一類型問題可以以各種各樣的面目出現(xiàn).限于篇幅，我們只再舉一個例子.

例21畫展9點開門，但早有人排隊等候入場.從第一個觀眾來到時起，每分鐘來的觀眾人數(shù)一樣多.假如開3個入場口，9點9分就不再有人排隊，假如開5個入場口，9點5分就沒有人排隊.問第一個觀眾到達時間是8點幾分？

例22.一件工作，假如甲單獨做，那么甲按規(guī)定時間可提前2天完成，乙則要超過規(guī)定時間3天才完成。現(xiàn)在甲乙二人合作二天后，剩下的乙單獨做，剛好在規(guī)定日期內(nèi)完成。若甲乙二人合作，完成工作需多長時間？

例1答：乙須要做4天可完成全部工作.

解二：9及6的最小公倍數(shù)是18.設(shè)全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需時間是

（18-2×3）÷3=4（天）.

解三：甲及乙的工作效率之比是

6∶9=2∶3.

甲做了3天，相當(dāng)于乙做了2天.乙完成余下工作所需時間是6-2=4（天）例2解：共做了6天后，

原來，甲做24天，乙做24天，

現(xiàn)在，甲做0天，乙做40=（24+16）天.

這說明原來甲24天做的工作，可由乙做16天來代替.因此甲的工作效率

假如乙獨做，所需時間是

假如甲獨做，所需時間是

答：甲或乙獨做所需時間分別是75天和50天例3解：先對比如下：

甲做63天，乙做28天；

甲做48天，乙做48天.

就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出甲的

甲先單獨做42天，比63天少做了63-42=21（天），相當(dāng)于乙要做

因此，乙還要做

28+28=56（天）.

答：乙還須要做56天例4解一：甲隊單獨做8天，乙隊單獨做2天，共完成工作量

余下的工作量是兩隊共同合作的，須要的天數(shù)是

2+8+1=11（天）.

答：從起先到完工共用了11天.

解二：設(shè)全部工作量為30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲隊單獨做8天，乙隊單獨做2天之后，還需兩隊合作

（30-3×8-1×2）÷（3+1）=1（天）.

解三：甲隊做1天相當(dāng)于乙隊做3天.

在甲隊單獨做8天后，還余下（甲隊）10-8=2（天）工作量.相當(dāng)于乙隊要做2×3=6（天）.乙隊單獨做2天后，還余下（乙隊）6-2=4（天）工作量.

4=3+1，

其中3天可由甲隊1天完成，因此兩隊只需再合作1天.例5解一：假如16天兩隊都不休息，可以完成的工作量是

由于兩隊休息期間未做的工作量是

乙隊休息期間未做的工作量是

乙隊休息的天數(shù)是

答：乙隊休息了5天半.

解二：設(shè)全部工作量為60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份.

兩隊休息期間未做的工作量是

（3+2）×16-60=20（份）.

因此乙休息天數(shù)是

（20-3×3）÷2=5.5（天）.

解三：甲隊做2天，相當(dāng)于乙隊做3天.

甲隊休息3天，相當(dāng)于乙隊休息4.5天.

假如甲隊16天都不休息，只余下甲隊4天工作量，相當(dāng)于乙隊6天工作量，乙休息天數(shù)是

16-6-4.5=5.5（天）.

例6解：很明顯，李做甲工作的工作效率高，張做乙工作的工作效率高.因此讓李先做甲，張先做乙.

設(shè)乙的工作量為60份（15及20的最小公倍數(shù)），張每天完成4份，李每天完成3份.

8天，李就能完成甲工作.此時張還余下乙工作（60-4×8）份.由張、李合作須要

（60-4×8）÷（4+3）=4（天）.

8+4=12（天）.

答：這兩項工作都完成最少須要12天解：設(shè)這項工程的工作量為30份，甲每天完成3份，乙每天完成2份.

兩人合作，共完成

3×0.8+2×0.9=4.2（份）.

因為兩人合作天數(shù)要盡可能少，獨做的應(yīng)是工作效率較高的甲.因為要在8天內(nèi)完成，所以兩人合作的天數(shù)是

（30-3×8）÷（4.2-3）=5（天）.

很明顯，最終轉(zhuǎn)化成“雞兔同籠”型問題.解：乙6小時單獨工作完成的工作量是

乙每小時完成的工作量是

兩人合作6小時，甲完成的工作量是

甲單獨做時每小時完成的工作量

甲單獨做這件工作須要的時間是

答：甲單獨完成這件工作須要33小時.

這一節(jié)的多數(shù)例題都進行了“整數(shù)化”的處理.但是，“整數(shù)化”并不能使全部工程問題的計算簡便.例8就是如此.例8也可以整數(shù)化，當(dāng)求出乙每

有一點便利，但好處不大.不必多此一舉.解：設(shè)這件工作的工作量是1.

甲、乙、丙三人合作每天完成

減去乙、丙兩人每天完成的工作量，甲每天完成

答：甲一人獨做須要90天完成.例9也可以整數(shù)化，設(shè)全部工作量為180份，甲、乙合作每天完成5份，乙、丙合作每天完成4份，甲、丙合作每天完成3份.請試一試，計算是否會便利些？解：甲做1天，乙就做3天，丙就做3×2=6（天）.

說明甲做了2天，乙做了2×3=6（天），丙做2×6=12(天），三人一共做了

2+6+12=20（天）.

答：完成這項工作用了20天.

本題整數(shù)化會帶來計算上的便利.12，18，24這三數(shù)有一個易求出的最小公倍數(shù)72.可設(shè)全部工作量為72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.總共用了解：丙2天的工作量，相當(dāng)乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍），甲、乙合作1天，及乙做4天一樣.也就是甲做1天，相當(dāng)于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.

他們共同做13天的工作量，由甲單獨完成，甲須要

答：甲獨做須要26天.

事實上，當(dāng)我們算出甲、乙、丙三人工作效率之比是3∶2∶1，就知甲做1天，相當(dāng)于乙、丙合作1天.三人合作需13天，其中乙、丙兩人完成的工作量，可轉(zhuǎn)化為甲再做13天來完成.

解一：設(shè)這項工作的工作量是1.

甲組每人每天能完成

乙組每人每天能完成

甲組2人和乙組7人每天能完成

答：合作3天能完成這項工作.

解二：甲組3人8天能完成，因此2人12天能完成；乙組4人7天能完成，因此7人4天能完成.

現(xiàn)在已不需顧及人數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為：

甲組獨做12天，乙組獨做4天，問合作幾天完成？

小學(xué)算術(shù)要充分利用給出數(shù)據(jù)的特別性.解二是比例敏捷運用的典型，假如你心算較好，很快就能得出答數(shù).

解一：仍設(shè)總工作量為1.

甲每天比乙多完成

因此這批零件的總數(shù)是

丙車間制作的零件數(shù)目是

答：丙車間制作了4200個零件.

解二：10及6最小公倍數(shù)是30.設(shè)制作零件全部工作量為30份.甲每天完成3份，甲、乙一起每天完成5份，由此得出乙每天完成2份.

乙、丙一起，8天完成.乙完成8×2=16（份），丙完成30-16=14（份），就知

乙、丙工作效率之比是16∶14=8∶7.

已知

甲、乙工作效率之比是3∶2=12∶8.

綜合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是

12∶8∶7.

當(dāng)三個車間一起做時，丙制作的零件個數(shù)是

2400÷（12-8）×7=4200（個）解：設(shè)搬運一個倉庫的貨物的工作量是1.現(xiàn)在相當(dāng)于三人共同完成工作量2，所需時間是

答：丙幫助甲搬運3小時，幫助乙搬運5小時.

解本題的關(guān)鍵，是先算出三人共同搬運兩個倉庫的時間.本題計算當(dāng)然也可以整數(shù)化，設(shè)搬運一個倉庫全部工作量為60.甲每小時搬運6，乙每小時搬運5，丙每小時搬運4.

三人共同搬完，須要

60×2÷（6+5+4）=8（小時）.

甲需丙幫助搬運

（60-6×8）÷4=3（小時）.

乙需丙幫助搬運

（60-5×8）÷4=5（小時）.

解：甲每分鐘注入水量是：（1-1/9×3）÷10=1/15

乙每分鐘注入水量是：1/9-1/15=2/45

因此水池容積是：0.6÷（1/15-2/45）=27（立方米）

答：水池容積是27立方米.分析：增開水管后，有原來2倍的水管，注水時間是預(yù)定時間的1-1/3=2/3，2/3是1/3的2倍，因此增開水管后的這段時間的注水量，是前一段時間注水量的4倍。設(shè)水池容量是1，前后兩段時間的注水量之比為：1：4，

那么預(yù)定時間的1/3（即前一段時間）的注水量是1/（1+4）=1/5。

10根水管同時打開，能按預(yù)定時間注滿水，每根水管的注水量是1/10，預(yù)定時間的1/3，每根水官的注水量是1/10×1/3=1/30

要注滿水池的1/5，須要水管1/5÷1/30=6（根）

解：前后兩段時間的注水量之比為：1：[（1-1/3）÷1/3×2]=1：4

前段時間注水量是：1÷（1+4）=1/5

每根水管在預(yù)定1/3的時間注水量為：1÷10×1/3=1/30

起先時打開水管根數(shù)：1/5÷1/30=6（根）

答：起先時打開6根水管。分析：

，否則開甲管的過程中水池里的水就會溢出.

以后（20小時），池中的水已有

此題及廣為流傳的“青蛙爬井”是相仿的：一只掉進了枯井的青蛙，它要往上爬30尺才能到達井口，每小時它總是爬3尺，又滑下2尺.問這只青蛙須要多少小時才能爬到井口？

看起來它每小時只往上爬3-2=1（尺），但爬了27小時后，它再爬1小時，往上爬了3尺已到達井口.

因此，答案是28小時，而不是30小時.解：先計算1個水龍頭每分鐘放出水量.

2小時半比1小時半多60分鐘，多流入水

4×60=240（立方米）.

時間都用分鐘作單位，1個水龍頭每分鐘放水量是

240÷（5×150-8×90）=8（立方米），

8個水龍頭1個半小時放出的水量是

8×8×90，

其中90分鐘內(nèi)流入水量是4×90，因此原來水池中存有水8×8×90-4×90=5400（立方米）.

打開13個水龍頭每分鐘可以放出水8×13，除去每分鐘流入4，其余將放出原存的水，放空原存的5400，須要

5400÷（8×13-4）=54（分鐘）.

答：打開13個龍頭，放空水池要54分鐘.

水池中的水，有兩部分，原存有水及新流入的水，就須要分開考慮，解本題的關(guān)鍵是先求出池中原存有的水.這在題目中卻是隱含著的.解：設(shè)滿水池的水量為1.

A管每小時排出A管4小時排出

因此，B，C兩管齊開，每小時排水量是

B，C兩管齊開，排光滿水池的水，所需時間是

答：B，C兩管齊開要4小時48分才將滿池水排完.

本題也要分開考慮，水池原有水（滿池）和滲入水量.由于不知詳細數(shù)量，像工程問題不知工作量的詳細數(shù)量一樣.這里把兩種水量分別設(shè)成“1”.但這兩種量要避開混淆.事實上，也可以整數(shù)化，把原有水設(shè)為8及12的最小公倍數(shù)24.解：吃草總量=一頭牛每星期吃草量×牛頭數(shù)×星期數(shù).依據(jù)這一計算公式，可以設(shè)定“一頭牛每星期吃草量”作為草的計量單位.

原有草+4星期新長的草=12×4.

原有草+9星期新長的草=7×9.

由此可得出，每星期新長的草是

（7×9-12×4）÷（9-4）=3.

那么原有草是

7×9-3×9=36（或者12×4-3×4）.

對第三片牧場來說，原有草和18星期新長出草的總量是

這些草能讓

90×7.2÷18=36（頭）

牛吃18個星期.

答：36頭牛18個星期能吃完第三片牧場的草.例20及例19的解法稍有一點不一樣.例20把“新長的”詳細地求出來，把“原有的”