復數的概念教學設計 高一下學期數學人教A版（2019）必修第二冊

教學設計

課程基本信息學科數學年級高一學期春季課題《7.1復數的概念》教科書書名：普通高中教科書·數學（A版）必修第二冊出版社：人民教育出版社教學目標1.能夠通過方程的解，感受引入復數的必要性，體會實際需求與數學內部的矛盾(數的運算規(guī)則、方程求根)在數系擴充過程中的作用，并能夠從自然數系逐步擴充到實數系的過程中，歸納出數系擴充的一般“規(guī)則”，體會擴充的合理性及人類理性思維在數系擴充中的作用．2.能夠明晰復數代數表示式的基本結構，會對復數進行分類，會用Venn圖表示數集之間的關系，知道兩個復數相等的含義，能利用復數概念和復數相等的含義解決相關的簡單問題．3.理解可以用復平面內的點或以原點為起點的向量來表示復數及它們之間的一一對應關系.掌握復平面、復數的模及共軛復數．教學內容教學重點：1.數系擴充的過程和方法；對i的規(guī)定和理解復數的相關概念；2.復數的兩種幾何意義及復平面、復數的模及共軛復數等概念．教學難點：1.數系擴充的基本思想及虛數單位i的引入；2.理解可以用復平面內的點或以原點為起點的向量來表示復數及它們之間的一一對應關系．教學過程（一）復習回顧，再現思想思考：截至目前，我們都學習過哪些數集？這些數集之間有什么關系？預設回答：自然數集、整數集、有理數集、實數集。后面的數集包含前面的數集，即后一個數集是前一個數集的擴充。追問：為什么要擴充數系？從滿足社會發(fā)展需要的角度，以視頻的形式簡單回顧數系擴充的過程。從解決數學內部矛盾的角度，通過在特定數集中求解方程回顧數系的擴充過程。在自然數集中無解，引入負整數使其有解。在整數集中無解，引入分數使其有解。在有理數集中無解，引入無理數使其有解。【總結】數系擴充的原則（1）引入新數，即增加新元素；（2）加法與乘法滿足交換律、結合律及分配律均得到保留，即原數集中的運算性質仍然成立。（二）創(chuàng)設情境，引出新數問題：在實數集中有解嗎？為什么無實數解？預設回答：在實數集中無解，因為在實數集中對-1開平方沒有意義。追問：聯(lián)系從自然數集擴充到實數集的過程，你能給出一種方法，使該方程有解？預設回答：引入新數擴充實數集，使負數開方在新數集中有意義。師：引入新數i，并介紹相關數學史——數學家歐拉。規(guī)定，把新引進的數添加到實數集中，我們希望數i和實數之間仍然能像實數那樣進行加法和乘法運算，并希望加法和乘法都滿足交換律、結合律，以及乘法對加法滿足分配律（即保留原有的運算律及運算性質）。（三）建構新知，感知復數思考：數系擴充保留運算律，那么在實數集中引入新數i后，新的數集中包含哪些數?預設+引導：實數a實數b與i相乘，如：3i，-2i，，等，結果記作bi實數a與bi相加，如：2+3i，4-2i，等，結果記作a+bi實數a=a+0ibi=0+bi歸納復數的結構特征：所有實數以及i都可寫成a+bi(a,b∈R)的形式，從而這些數都在擴充后的新數集中。復數的概念：把形如a+bi(a,b∈R)的數叫做復數。i叫做虛數單位。復數集：全體復數所構成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做復數集。復數的代數形式：z=a+bi(a,b∈R)，其中a為實部，b為虛部。注意：復數z的實部和虛部都是實數。如：3+2i的實部是3，虛部是2的實部是，虛部是的實部是，虛部是1-0.2i的實部是0，虛部是-0.2思考：復數可以像實數那樣比較大小嗎？師：一般來說，兩個復數只能說相等或不相等，而不能比較大小。追問：如何判斷兩個復數相等呢？z1=a+bi,z2=c+di若z1=z2，則a=c且b=d.每個復數都可以由實部和虛部這兩個實數唯一確定，對復數進行分類。思考：用韋恩圖表示出復數集、實數集、虛數集、純虛數集之間的關系。（小組合作）（四）典例分析，理解概念例1當實數m取什么值時，復數z=m+1+(m?1)i是下列數？（1）實數；（2）虛數；（3）純虛數.分析：因為m∈R，所以m+1與m?1都是實數，由復數是實數，虛數和純虛數的條件可以確定m的取值。解：(1)當m?1=0，即m=1時，復數z是實數；(2)當m?1≠0，即m≠1時，復數z是虛數；(3)當m+1=0且m?1≠0時，即m=?1時，復數z是純虛數。（五）建構新知，幾何感知1.復數的兩種幾何意義思考：我們知道，實數與數軸上的點一一對應，因此實數可以用數軸上的點來表示。那么，復數有什么幾何意義呢？復數z=a+bi實部為a，虛部為b，可以確定唯一的有序數對（a,b），而有序數對（a,b）又可以確定實部為a，虛部為b的復數，因此復數z與有序數對就建立起了一一對應關系。那么有此關系，同學們思考一下，可以想到復數的幾何表示方法嗎？預設回答：想到點師：有序數對（a,b）可以確定橫坐標為a，縱坐標為b的點，而點（a,b）又可以確定有序數對（a,b），因此，有序數對與點就可以建立起一一對應的關系。引入復平面概念：建立了直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面。其中X軸叫做實軸，Y軸叫做虛軸，實軸的點代表實數，虛軸的點除了原點以外代表純虛數。比如：復平面內的點（-2,3）對應復數-2+3i點（-2,0）對應復數-2-5i對應點（0,-5）0對應點（0,0）復數z=a+bi可以唯一確定復平面上橫坐標為a，縱坐標為b的點Z，而點Z（a,b）又可以唯一確定實部為a，虛部為b的復數。因此復數可以與復平面的點建立起一一對應的關系，這個是復數的一種幾何意義。思考：平面向量可以用直角坐標系中有序數對來確定，復數與有序數對也是一一對應的，你能用平面向量來表示復數嗎？師：想用平面向量來表示復數，需要找到平面向量與復數之間的一一對應關系，復數與復平面的點是一一對應的，因此只要找到復平面上的點與向量之間的一一對應關系，便可以解決這個問題。思考：如何建立向量與點之間的一對應關系？由向量相等定義可知任何一個向量都可以通過平移變成以原點為起點的向量。向量的終點會唯一確定，而又會唯一的去確定終點Z，建立起點與向量之間的一一對應關系。復數與點是一一對應的，而點又與以原點為起點的向量是一一對應的，就可以建立起復數與原點為起點向量之間的一一對應關系，這是復數的另外一種幾何意義。注：為了方便起見，我們常把復數z=a+bi說成點Z或；相等的向量表示同一個復數。2.復數的模的模叫做復數z=a+bi的?；蚪^對值，記做或(即根號下實部的平方加上虛部的平方)。幾何意義：復數z=a+bi在復平面上對應的點Z(a,b)到原點O的距離.例2設復數z1=4＋3i，z2=4-3i(1)在復平面內畫出復數z1，z2對應的點和向量；(2)求復數z1，z2的模，并比較它們的模大小.解：(1)如圖所示(2)|z1|=|4+3i|=|z2|=|4?3i|=所以|z1|=|z2|.問：復數z1，z2所對應的點有什么樣的關系？由于復數z1，z2實部相同，虛部互為相反數，因此他們所對應的點應該是橫坐標相同，縱坐標相反，關于X軸對稱的。3.共軛復數一般地，當兩個復數的實部相等，虛部為相反數時，這兩個復數叫做互為共軛復數。虛部不等于零的兩個共軛復數，也叫做共軛虛數。共軛復數用表示，如果z=a+bi，則問：若z1