廣東省廣州市七區(qū)2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題(學(xué)生版+解析)

2022學(xué)年第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)高一數(shù)學(xué)(試題)本試卷共4頁(yè)，22小題，滿(mǎn)分150分．考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校，班級(jí)、姓名、考生號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，用2B鉛筆將考生號(hào)和座位號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上．2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答案不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答無(wú)效．4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，()A. B. C. D.2.下列函數(shù)為增函數(shù)的是()A. B.C. D.3.設(shè)a，，則“”是()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知，，，則()A. B.C. D.5.已知是第四象限角，且，則()A. B. C. D.76.已知，則的最小值為()A. B.4C. D.7.已知，，則的值為()A. B. C. D.8.已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不同的根，則的取值范圍為()A. B.C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列函數(shù)為奇函數(shù)的是()A. B.C. D.10.下列命題為真命題的是()A.任意兩個(gè)等邊三角形都相似 B.所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)C.， D.，11.記函數(shù)，，其中．若，則()A. B.C.為奇函數(shù) D.為奇函數(shù)12.已知正實(shí)數(shù)x，y，z滿(mǎn)足，則()A. B.C. D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a值為_(kāi)____________．14.計(jì)算_____________．15.已知函數(shù)，分別由下表給出，x012121x012210則_____________；滿(mǎn)足的x的值是_____________．16.已知，(且)，若對(duì)任意的，都存在，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)．(1)求的值；(2)求的值．18已知函數(shù)，且，．(1)求函數(shù)的解析式；(2)根據(jù)定義證明函數(shù)在上單調(diào)遞增．19.已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)在中，若，求的最大值．20.某小區(qū)要在一塊扇形區(qū)域中修建一個(gè)矩形的游泳池．如圖，在扇形OPQ中，半徑，圓心角，C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，矩形ABCD內(nèi)接于扇形．記，矩形ABCD的面積為．(1)將面積S表示為角的函數(shù)；(2)當(dāng)角取何值時(shí)，S最大？并求出這個(gè)最大值．21.已知函數(shù)最大值為．(1)求a值：(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值以及取得最小值時(shí)x的集合．22.已知函數(shù)，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，記．(1)解不等式；(2)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．2022學(xué)年第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)高一數(shù)學(xué)(試題)本試卷共4頁(yè)，22小題，滿(mǎn)分150分．考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校，班級(jí)、姓名、考生號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，用2B鉛筆將考生號(hào)和座位號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上．2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答案不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答無(wú)效．4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用交集的定義直接求解作答.【詳解】因?yàn)榧?，，所?故選：D2.下列函數(shù)為增函數(shù)的是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】把函數(shù)化成分段函數(shù)由單調(diào)性判斷A；利用二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷CBD作答.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在定義域R上不單調(diào)，A不是；對(duì)于B，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，B是；對(duì)于C，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在定義域R上不單調(diào)，C不是；對(duì)于D，函數(shù)在上單調(diào)遞減，D不是.故選：B3.設(shè)a，，則“”是的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)，充分條件、必要條件的定義判斷作答.【詳解】因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，所以即，當(dāng)時(shí)，取，得不到，所以是充分不必要條件，故選:A.4.已知，，，則()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合“媒介數(shù)”比較大小作答.【詳解】，，，所以.故選：B5.已知是第四象限角，且，則()A. B. C. D.7【答案】A【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式結(jié)合同角公式求出，再利用和角的正切計(jì)算作答.【詳解】由得：，即，而是第四象限角，則有，，所以.故選：A6.已知，則的最小值為()A. B.4C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用配湊的方法，結(jié)合均值不等式求解作答.【詳解】因?yàn)?，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故選：D7.已知，，則的值為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將條件中兩式平方相加后整理即可得答案.【詳解】，，兩式相加得，.故選：C.8.已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不同的根，則的取值范圍為()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分析給定的函數(shù)性質(zhì)，畫(huà)出函數(shù)的部分圖象，確定a的取值范圍，進(jìn)而求出范圍作答.【詳解】函數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增，，作出函數(shù)的部分圖象，如圖，方程有四個(gè)不同根，不妨令，即直線(xiàn)與函數(shù)的圖象有4個(gè)公共點(diǎn)，觀察圖象知，，，顯然有，且，由得，即，則有，因此，所以的取值范圍為.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及用分段函數(shù)零點(diǎn)特性求參數(shù)范圍問(wèn)題，可以先獨(dú)立分析各段上的零點(diǎn)，再綜合考查所有零點(diǎn)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列函數(shù)為奇函數(shù)的是()A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】分析各選項(xiàng)中函數(shù)的定義域，再利用奇函數(shù)的定義判斷作答.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)?，，是偶函?shù)，A不是；對(duì)于B，函數(shù)的定義域?yàn)镽，是奇函數(shù)，B是；對(duì)于C，函數(shù)中，，解得，即的定義域?yàn)?，，是奇函?shù)，C是；對(duì)于D，函數(shù)的定義域?yàn)?，，是奇函?shù)，D是.故選：BCD10.下列命題為真命題的是()A.任意兩個(gè)等邊三角形都相似 B.所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)C.， D.，【答案】AC【解析】【分析】利用判定全稱(chēng)量詞命題、存在量詞命題真假的方法，逐項(xiàng)判斷作答.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)樗械牡冗吶切蔚拿總€(gè)內(nèi)角都為，因此任意兩個(gè)等邊三角形都相似，A正確；對(duì)于B，2是素?cái)?shù)，而2是偶數(shù)，即“所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)”是假命題，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，，即，C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，，D錯(cuò)誤.故選：AC11.記函數(shù)，，其中．若，則()A. B.C.為奇函數(shù) D.為奇函數(shù)【答案】BD【解析】【分析】由對(duì)稱(chēng)性得到為對(duì)稱(chēng)軸，故，代入解析式得到或，求出函數(shù)解析式或，分兩種情況計(jì)算出，及判斷和的奇偶性，推斷出四個(gè)選項(xiàng)的正誤.【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以為的?duì)稱(chēng)軸，故，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，解得：，因?yàn)?，所以，解得：，因?yàn)?，所以?，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，B正確；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不滿(mǎn)足，不奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，不滿(mǎn)足，不是奇函數(shù)，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的定義域?yàn)镽，且，為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的定義域?yàn)镽，且，即，為奇函數(shù)，D正確.故選：BD12.已知正實(shí)數(shù)x，y，z滿(mǎn)足，則()A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】令，利用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化表示出，再逐項(xiàng)計(jì)算、判斷作答.【詳解】是正實(shí)數(shù)，令，則，，對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椋瑒t，B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，則，即，因此，即有，C正確；對(duì)于D，，因此，D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：某些數(shù)或式大小關(guān)系問(wèn)題，看似與函數(shù)的單調(diào)性無(wú)關(guān)，細(xì)心挖掘問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)，分析并運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，它能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)____________．【答案】1【解析】【分析】利用判別式等于零求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，所以解得.故答案為:1.14.計(jì)算_____________．【答案】【解析】【分析】直接利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及指數(shù)冪的運(yùn)算可得答案.【詳解】.故答案為：.15.已知函數(shù)，分別由下表給出，x012121x012210則_____________；滿(mǎn)足的x的值是_____________．【答案】①.2②.1【解析】【分析】根據(jù)列表法給定的函數(shù)，x分別取0，1，2依次計(jì)算、即可作答.【詳解】依題意，；，，，，，，因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，成立，所以滿(mǎn)足的x的值是1.故答案為：2；116.已知，(且)，若對(duì)任意的，都存在，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____________．【答案】【解析】【分析】求出函數(shù)在上最大值，再根據(jù)給定條件列出不等式求解作答.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)閷?duì)任意的，都存在，使得成立，因此函數(shù)在上的最大值小于函數(shù)在上的最大值，而當(dāng)時(shí)，，，不符合題意，于是，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：一般地，已知函數(shù)，(1)若，，總有成立，故；(2)若，，有成立，故；(3)若，，有成立，故.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用三角函數(shù)定義計(jì)算作答.(2)利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，結(jié)合(1)的結(jié)論，用齊次式法計(jì)算作答.【小問(wèn)1詳解】角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)，所以.【小問(wèn)2詳解】由(1)知，，所以.18.已知函數(shù)，且，．(1)求函數(shù)解析式；(2)根據(jù)定義證明函數(shù)在上單調(diào)遞增．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】(1)直接根據(jù)條件列方程組求解即可；(2)任取，計(jì)算判斷的符號(hào)即可證明單調(diào)性.【小問(wèn)1詳解】由已知，解得，；【小問(wèn)2詳解】任取，則，，，，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增.19.已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)在中，若，求的最大值．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)，再利用正弦函數(shù)性質(zhì)求出周期作答.(2)由(1)中函數(shù)式求出A，再利用差角的正弦公式、輔助角公式結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求解作答.【小問(wèn)1詳解】依題意，，所以函數(shù)的周期為.【小問(wèn)2詳解】由(1)知，，在中，，有，于是，解得，則，，顯然，，因此當(dāng)，即時(shí)，，所以的最大值為.20.某小區(qū)要在一塊扇形區(qū)域中修建一個(gè)矩形的游泳池．如圖，在扇形OPQ中，半徑，圓心角，C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，矩形ABCD內(nèi)接于扇形．記，矩形ABCD的面積為．(1)將面積S表示為角的函數(shù)；(2)當(dāng)角取何值時(shí)，S最大？并求出這個(gè)最大值．【答案】(1)；(2)，.【解析】【分析】(1)根據(jù)給定的圖形，用的正余弦函數(shù)表示矩形的一組鄰邊即可列式作答.(2)利用(1)中函數(shù)，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求解作答.【小問(wèn)1詳解】依題意，在中，，則，，在中，，則，因此，，所以面積S表示為角的函數(shù)是.【小問(wèn)2詳解】由(1)知，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)，即時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，.21.已知函數(shù)的最大值為．(1)求a的值：(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值以及取得最小值時(shí)x的集合．【答案】(1)(2)最小值為-5，的取值構(gòu)成的集合為【解析】【分析】(1)換元法，分類(lèi)討論二次函數(shù)在給定區(qū)間的單調(diào)性和最值；(2)利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值以及三角函數(shù)的性質(zhì)求時(shí)x的集合．【小問(wèn)1詳解】，令，則，對(duì)稱(chēng)軸，當(dāng)即時(shí)，在單調(diào)遞減，所以不滿(mǎn)足題意；當(dāng)即時(shí)，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以，即解得或(舍)；當(dāng)即時(shí)，在單調(diào)遞增，所以，解得不滿(mǎn)足題意，綜上.【小問(wèn)2詳解】由(1)可得在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)函數(shù)有最小值為，此時(shí)，則的