專題19空間立體幾何（向量證明）-天津市2023年高三各區(qū)數(shù)學(xué)模擬考試題型分類匯編

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁專題19空間立體幾何（向量證明）——天津市2023年高三各區(qū)數(shù)學(xué)模擬考試題型分類匯編1．（2023·天津和平·耀華中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，三棱柱中，，，.(1)證明；(2)若平面平面，，求直線與平面所成角的正弦值；(3)在（2）的條件下，求平面與平面夾角的余弦值.2．（2023·天津河西·統(tǒng)考一模）已知四棱錐中，平面，，，，線段的中點(diǎn)．(1)求證：直線平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面夾角的余弦值．3．（2023·天津·校聯(lián)考一模）如圖，梯形所在的平面與等腰梯形所在的平面互相垂直，，，，．(1)求證：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值；(3)線段上是否存在點(diǎn)G，使得平面？請(qǐng)說明理由．4．（2023·天津·校聯(lián)考一模）如圖，在菱形中，，平面，平面，，.(1)若，求證：直線平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.5．（2023·天津河北·統(tǒng)考一模）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，，，點(diǎn)在線段上，且.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面的夾角的余弦值.6．（2023·天津·校聯(lián)考一模）已知底面是正方形，平面，，，點(diǎn)、分別為線段、的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，說明理由．7．（2023·天津南開·統(tǒng)考一模）如圖，四棱錐中，平面平面是中點(diǎn)，是上一點(diǎn).(1)當(dāng)時(shí)，（i）證明：平面；（ii）求直線與平面所成角的正弦值；(2)平面與平面夾角的余弦值為，求的值.8．（2023·天津·大港一中校聯(lián)考一模）如圖所示，在三棱錐中，平面，，，，，.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離.9．（2023·天津紅橋·統(tǒng)考一模）如圖，在長方體中，、F分別是棱,上的點(diǎn)，,（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）證明平面（3）求二面角的正弦值．10．（2023·天津河?xùn)|·一模）在蘇州博物館有一類典型建筑八角亭，既美觀又利于采光，其中一角如圖所示，為多面體，，，，底面，四邊形是邊長為2的正方形且平行于底面，，，的中點(diǎn)分別為，，，．(1)證明：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)一束光從玻璃窗面上點(diǎn)射入恰經(jīng)過點(diǎn)（假設(shè)此時(shí)光經(jīng)過玻璃為直射），求這束光在玻璃窗上的入射角的正切值．11．（2023·天津·統(tǒng)考一模）如圖，在四棱錐中，是的中點(diǎn)，平面，且，.(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面夾角的大小.12．（2023·天津和平·統(tǒng)考一模）在如圖所示的幾何體中，平面平面；是的中點(diǎn).(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面的夾角的余弦值.13．（2023·天津·統(tǒng)考一模）如圖，在多面體中，底面為菱形，平面，平面．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值：(3)求平面和平面的夾角的余弦值．14．（2023·天津和平·耀華中學(xué)?？级＃┤鐖D，四棱錐中，側(cè)面PAD為等邊三角形，線段AD的中點(diǎn)為O且底面ABCD，，，E是PD的中點(diǎn)．(1)證明：平面PAB；(2)點(diǎn)M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為，求平面MAB與平面ABD夾角的余弦值；(3)在（2）的條件下，求點(diǎn)D到平面MAB的距離．15．（2023·天津河北·統(tǒng)考二模）如圖，在直三棱柱中，是以BC為斜邊的等腰直角三角形，，D，E分別為BC，上的點(diǎn)，且.(1)若，求證：平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值；(3)若平面與平面ACD的夾角為，求實(shí)數(shù)t的值.16．（2023·天津南開·統(tǒng)考二模）如圖，在直三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，，垂足為.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面的夾角.17．（2023·天津紅橋·統(tǒng)考二模）如圖，在底面是矩形的四棱錐中，平面，，，是PD的中點(diǎn).(1)求證：平面平面PAD；(2)求平面EAC與平面ACD夾角的余弦值；(3)求B點(diǎn)到平面EAC的距離.18．（2023·天津·二模）如圖甲所示的平面五邊形中，，，，，，現(xiàn)將圖甲所示中的沿邊折起，使平面平面得如圖乙所示的四棱錐．在如圖乙所示中，（1）求證：平面；（2）求二面角的大小；（3）在棱上是否存在點(diǎn)使得與平面所成的角的正弦值為？并說明理由．19．（2023·天津·統(tǒng)考二模）如圖，在多面體中，四邊形為正方形，平面，，，.(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與所成角的余弦值為，若存在，求出點(diǎn)到平面的距離，若不存在，請(qǐng)說明理由.20．（2023·天津·校聯(lián)考二模）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，，平面ABCD，E為PD中點(diǎn).(1)若.（i）求證：平面PCD；（ii）求直線BE與平面PCD所成角的正弦值；(2)若平面BCE與平面CED夾角的正弦值為，求PA.21．（2023·天津和平·統(tǒng)考二模）如圖，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面．(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的余弦值；(3)求平面與平面的夾角的正弦值．22．（2023·天津河西·統(tǒng)考二模）如圖，在直三棱柱中，M為棱的中點(diǎn)，，．(1)求證：平面AMC；(2)求異面直線AM與所成角的余弦值；(3)求平面AMC與平面的夾角的余弦值．23．（2023·天津河?xùn)|·統(tǒng)考二模）如圖，且，，且，且．平面ABCD，．(1)若M為CF的中點(diǎn)，N為EG的中點(diǎn)，求證：平面CDE；(2)求平面EBC與平面BCF的夾角的正弦值；(3)若點(diǎn)P在線段DG上，且直線BP與平面ADGE所成的角為，求線段DP的長．24．（2023·天津?yàn)I海新·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)校考三模）如圖，AE⊥平面ABCD，，(1)求證：BF∥平面ADE；(2)求直線CE與平面BDE所成角的正弦值：(3)求平面BDE與平面BDF夾角的余弦值.25．（2023·天津河西·統(tǒng)考三模）已知直三棱柱中，，，，D,E分別為的中點(diǎn)，F(xiàn)為CD的中點(diǎn).(1)求證：//平面ABC；(2)求平面CED與平面夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．26．（2023·天津?yàn)I海新·統(tǒng)考三模）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為4的正方形，是等邊三角形，平面，E，F(xiàn)，G，O分別是PC，PD，BC，AD的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求平面與平面的夾角的大?。?3)線段PA上是否存在點(diǎn)M，使得直線GM與平面所成角為，若存在，求線段PM的長；若不存在，說明理由.27．（2023·天津北辰·統(tǒng)考三模）如圖，在三棱錐中，底面，．點(diǎn)，，分別為棱，，的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，，．(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到直線的距離；(3)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出線段的值，若不存在，說明理由．28．（2023·天津和平·統(tǒng)考三模）如圖，四棱臺(tái)中，上?下底面均是正方形，且側(cè)面是全等的等腰梯形，分別為的中點(diǎn)，上下底面中心的連線垂直于上下底面，且與側(cè)棱所在直線所成的角為.(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離；(3)邊上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角的正弦值為，若存在，求出線段的長；若不存在，請(qǐng)說明理由.29．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）三棱臺(tái)中，若面，分別是中點(diǎn).(1)求證：//平面；(2)求平面與平面所成夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．【詳解】（1）在三棱柱中，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，則，而，即為正三角形，則有，又平面，于是平面，而平面，所以.（2）由（1）知，，又平面平面，且交線為，則平面內(nèi)直線平面，則兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，令，則,，則，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，令，得，直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.（3）由（2）知，平面的法向量，，令為平面的一個(gè)法向量，則，令，得，所以平面與平面夾角的余弦值為.2．【詳解】（1）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB，AD所在直線分別為x，z軸，以與AB垂直的直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示，則，，，，，．所以，.因?yàn)槠矫妫?所以平面PAB的法向量為，所以，所以，由因?yàn)槠矫鍼AB，所以直線平面PAB．（2）由題意知，，，設(shè)為平面PCD的法向量,則，即，令，則，所以，因?yàn)椋O(shè)直線BE與平面PCD所成角為，則，所以直線BE與平面PCD所成角的正弦值為．（3）由題意知，，設(shè)平面PAD的法向量為，則，即，令，則，所以，又因?yàn)槠矫鍼CD的法向量，設(shè)平面PCD與平面PAD的夾角為，則．所以平面PCD與平面PAB夾角的余弦值為．3．【詳解】（1）∵，且，∴四邊形為平行四邊形，∴．∵平面，平面，∴平面．（2）在平面內(nèi)，過作．∵平面平面，平面平面，又平面，，∴平面，∴，，．如圖建立空間直角坐標(biāo)系：由題意得，∴設(shè)平面的法向量為，則令，則，，∴．平面的一個(gè)法向量為，則．∴平面與平面的夾角的余弦值．（3）線段上不存在點(diǎn)，使得平面，理由如下：設(shè)平面的法向量為，則令，則，，∴．∵，∴平面與平面不可能垂直，從而線段上不存在點(diǎn)，使得平面．4．【詳解】（1），平面，在直角三角形中，用勾股定理得到因?yàn)槠矫?，可得到三角形為直角三角形，用勾股定理得到，在直角梯形中，，，，如上圖：作交于點(diǎn)，則三角形為直角三角形，在三角形中，滿足同理可證，故得到直線平面（2），取和的交點(diǎn)為為，連接，因?yàn)楣实玫矫妫?，故得到面垂直于面，兩個(gè)面的交線為，做于點(diǎn)點(diǎn)，連接，為點(diǎn)到平面的距離，根據(jù)，根據(jù)條件得到三角形三角形可分別求得面積為：在長方形中，，三角形可求得，解得：，直線與平面所成角的正弦值為.5．【詳解】（1）證明：平面，平面，，，．，，，，所以，又，所以，，，，，平面，平面.（2）平面，平面，平面，，，為矩形，，，，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.（3）平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.6．【詳解】（1）證明：法一：分別取、的中點(diǎn)、，連接、、，由題意可知點(diǎn)、分別為線段、的中點(diǎn)．所以，，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)、、、四點(diǎn)共面，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，又因?yàn)?，平面，平面，所以平面，又因?yàn)椋?、平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫妫云矫?；法二：因?yàn)闉檎叫危移矫?，所以、、兩兩互相垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，所以，易知平面的一個(gè)法向量，所以，所以，又因?yàn)槠矫?，所以平面．?）解：設(shè)平面的法向量，，，則，取，可得，所以平面的一個(gè)法向量為，易知平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角余弦值為；（3）解：假設(shè)存在點(diǎn)，使得，其中，則，由（2）得平面的一個(gè)法向量為，由題意可得，整理可得．即，因?yàn)?，解得或，所以，或?.【詳解】（1）解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，過點(diǎn)作面的垂線為軸，則由題意可得，由，及即，可得.（i）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則解得令，得是平面的一個(gè)法向量.因?yàn)?，所?又平面，所以平面.（ii）由（i）可得，所以直線與平面所成角的正弦值為.（2）設(shè)，則，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，取，則是平面的一個(gè)法向量，則，解得或（舍去）.所以.8．【詳解】（1）證明：以為原點(diǎn)，??所在直線分別為??軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖則，，，，，∵，，，∴，，即，，∵，∴平面；（2）由（1）可知為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為，而，，則，令，可得，設(shè)二面角的平面角為，經(jīng)觀察為銳角，∴，即二面角的余弦值為；（3），平面的法向量為，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，∴，即點(diǎn)到平面的距離為.9．【詳解】方法一：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè),依題意得,,,（1）解：易得,于是所以異面直線與所成角的余弦值為（2）證明：已知,,于是·=0，·=0.因此，,,又所以平面(3)解：設(shè)平面的法向量，則,即不妨令X=1,可得．由（2）可知，為平面的一個(gè)法向量．于是，從而所以二面角的正弦值為方法二：（1）解：設(shè)AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=鏈接B1C,BC1，設(shè)B1C與BC1交于點(diǎn)M,易知A1D∥B1C，由,可知EF∥BC1.故是異面直線EF與A1D所成的角，易知BM=CM=,所以,所以異面直線FE與A1D所成角的余弦值為（2）證明：連接AC，設(shè)AC與DE交點(diǎn)N因?yàn)?，所以，從而，又由?所以，故AC⊥DE,又因?yàn)镃C1⊥DE且，所以DE⊥平面ACF，從而AF⊥DE.連接BF，同理可證B1C⊥平面ABF,從而AF⊥B1C,所以AF⊥A1D因?yàn)?，所以AF⊥平面A1ED(3)解：連接A1N.FN,由（2）可知DE⊥平面ACF,又NF平面ACF,A1N平面ACF，所以DE⊥NF,DE⊥A1N,故為二面角A1-ED-F的平面角易知，所以，又所以，在連接A1C1,A1F在．所以所以二面角A1-DE-F正弦值為10．【詳解】（1）過點(diǎn)作的平行線，由題意可知以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，．設(shè)平面的法向量為，，，，，令，則，∵，∴，平面.（2）根據(jù)圖形易知平面的法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則.所以平面與平面夾角的余弦值.（3），入射角為，，因?yàn)?，所以?故這束光在玻璃窗上的入射角的正切值為.11.【詳解】（1）證明：由題意平面，以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，則，所以，所以（2），設(shè)平面的法向量，則，即，令，則，,設(shè)直線與平面所成的角為，，則,所以與平面所成角的正弦值為.（3）,設(shè)平面的法向量，則，即，令，則，則.又平面的法向量，設(shè)平面與平面夾角為，則為銳角，，所以平面與平面夾角為.12．【詳解】（1）因?yàn)?，以為原點(diǎn)，分別以，所在直線為，軸，過點(diǎn)且與平面垂直的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，，所以，所以，即；（2）因?yàn)?，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，又，設(shè)與平面所成角為，則，直線與平面所成的角的正弦值為；（3）由題，，設(shè)平面的法向量，由，令，則，又平面的法向量，所以，所以平面與平面的夾角的余弦值為．13．【詳解】（1）取的中點(diǎn)M，連接．因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，，所以為等邊三角形，所以．因?yàn)椋裕驗(yàn)槠矫?，所以兩兩垂直．如圖，以D為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)?，所以，顯然平面的法向量為，因?yàn)椋?，又平面；所以平面．?）設(shè)平面的法向量為，由得可?。?，所以直線與平面所成角的正弦值為．（3）設(shè)平面的法向量為，由得可取．由（2）知平面的法向量．設(shè)平面和平面的夾角為，則．14．【詳解】（1）連接OC，因?yàn)?，所以四邊形OABC為平行四邊形，所以，所以，以O(shè)C，OD，OP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，．，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，則，令，，平面PAB的一個(gè)法向量，，則，又平面PAB，所以平面PAB．（2），設(shè)，則，因?yàn)辄c(diǎn)M在棱PC上，所以，，即，所以，所以，平面ABCD的法向量為，因?yàn)橹本€BM與底面ABCD所成角為，所以，，解得，所以，設(shè)平面MAB的法向量為，則，即，令，則，所以，所以平面MAB與平面ABD夾角的余弦值．（3），點(diǎn)D到平面MAB的距離．15．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)D，E分別為的中點(diǎn)，在直三棱柱中，，所以四邊形為平行四邊形，連接，則，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以．又因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫妫?）平面，又，以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)D，E分別為的中點(diǎn)，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即，令，則，所以平面的一個(gè)法向量，則，令直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.（3）由（2）可得，所以，所以．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即，取，又平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)槠矫媾c平面ACD的夾角為，所以，即，得，又因?yàn)?，所以?6．【詳解】（1）如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則解得，令，得.因?yàn)?，所?又平面，所以平面.（2）設(shè)，則.因?yàn)?，所?即，解得，所以.所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.（3）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則解得令，得.因?yàn)?，所?所以平面與平面夾角為.17．【詳解】（1）由題可知，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示則所以所以即,所以即,又,平面PAD,所以平面PAD,又平面，所以平面平面PAD.（2）設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以，由題意知，平面，平面ACD的法向量為,設(shè)平面EAC與平面ACD夾角的，則，所以平面EAC與平面ACD夾角的余弦值為.（3）由（2）知，平面的法向量為，設(shè)B點(diǎn)到平面EAC的距離為，則，所以B點(diǎn)到平面EAC的距離為.18．【詳解】（1）∵，，，∴，∴，∵平面平面，平面平面，∴平面，又∵平面，∴，又∵，，∴平面．（2）取的中點(diǎn)，連結(jié)，，由平面平面知平面，由知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則易得，，，，，設(shè)平面的法向量為，由，得，令得，，∴，設(shè)二面角大小為，則，∵，∴二面角的大?。?）假設(shè)點(diǎn)存在，其坐標(biāo)為，與平面所成的角為，則存在，有，即，，則，因?yàn)榛喌?，解得∵，∴∴在棱上滿足題意的點(diǎn)存在．19．【詳解】（1）依題意，以D為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，可得,,,,,.依題意，,,從而,所以，即（2）依題意，,,設(shè)為平面ACF的法向量，則，不妨設(shè)可得，因?yàn)?設(shè)直線EC與平面ACF所成角為，則，所以直線EC與平面ACF所成角的正弦值為.（3）假設(shè)線段DE上存在一點(diǎn)，使得直線BG與AD所成角的余弦值為，則.依題意則，，解得.所有存在點(diǎn)滿足條件，所以可得,由（2）可知平面ACF的一個(gè)法向量為，所以點(diǎn)G到平面ACF的距離為20．【詳解】（1）（i）方法一∵平面ABCD，平面ABCD，∴，∵四邊形ABCD為矩形，∴，又，PA，平面PAD，∴面PAD，∵面PAD，∴，在中，，E為PD中點(diǎn)，∴∵，面PCD，面PCD，∴平面PCD.方法二：以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，∴.在中，，E為PD中點(diǎn)，∴.∵，面PCD，面PCD.∴平面PCD；方法三：設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為，，，，則，∴.令，則，∴，∵，∴，∴平面PCD.（ii）由（i）得：平面PCD,平面PCD,，在中，，E為PD中點(diǎn)，∴，∵，面PCD，面PCD.∴平面PCD，∴為平面PCD的一個(gè)法向量，.記直線BE與平面PCD所成角為，∴，∴直線BE與平面PCD所成角的正弦值為；（2）設(shè)，∴，，設(shè)平面BCE的一個(gè)法向量為，則，∴，令，解得，∴，設(shè)平面CPD的法向量，又，，則，∴，令，解得，∴，設(shè)平面BCE與平面CED的夾角大小為，則.因?yàn)?，所以，即，解得，?21．【詳解】（1）證明：因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?；?）解：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫嫫矫?，所以平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量為，由，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，，則直線與平面所成角的余弦值為；（3）解：設(shè)平面的法向量為，由，令，則，設(shè)平面與平面的夾角為，，所以平面與平面的夾角的正弦值為．22.【詳解】（1）如圖所示：以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，則，，，則，；，.，平面，故平面.（2），，則.故異面直線AM與所成角的余弦值為.（3）設(shè)平面的法向量為，則，取得到；設(shè)平面的法向量為，則，取得到；平面AMC與平面的夾角的余弦值為.23．【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，因?yàn)?，所以兩兩垂直，所以以D為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系（如圖），則D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F(xiàn)（0，1，2），G（0，0，2），M（0，，1），N（1，0，2）．所以=（0，2，0），=（2，0，2）．設(shè)為平面CDE的法向量，則，令，則．因?yàn)?（1，，1），所以，因?yàn)橹本€MN平面CDE，所以MN∥平面CDE．（2）解：依題意，可得=（–1，0，0），，=（0，–1，2）．設(shè)為平面BCE的法向量，則，令，則，設(shè)為平面BCF的法向量，則，令，則，所以，所以平面EBC與平面BCF的夾角的正弦值為（3）解：設(shè)線段DP的長為h（），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0，h），可得．因?yàn)?，，所以平面所?（0，2，0）為平面ADGE的一個(gè)法向量，所以，由題意，可得，解得．所以線段的長為.24．【詳解】（1）∵，平面ADE，平面ADE∴平面ADE同理：平面ADE，則平面∥平面ADE平面，則BF∥平面ADE（2）如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)平面BDE的一個(gè)法向量為，則有令，則，即∴則直線CE與平面BDE所成角的正弦值為；（3）可設(shè)平面BDF的一個(gè)法向量為，則有令，則，即∴則平面BDE與平面BDF夾角的余弦值為．25．【詳解】（1）

在直三棱柱中，平面，且，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC，BA，所在直線分別為x，y，z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，，，，.易知平面ABC的一個(gè)法向量為，則，故