專題08 點、線、面位置關系(向量法)-2024屆高考數學二輪專題復習考點分層與專項檢測(新高考專用)原卷版_第1頁
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文檔簡介

2/2專題08點、線、面位置關系向量法(新高考)目錄目錄【備考指南】 2 【真題在線】 3【基礎考點】 8【基礎考點一】空間直角坐標系 8【基礎考點二】空間向量及運算 9【基礎考點三】求平面法向量 10【基礎考點四】用空間向量求線面角 12【基礎考點五】用空間向量求二面角 14【綜合考點】 15【綜合考點一】點到線(面)距離 15【綜合考點二】已知線面角求參數 17【綜合考點三】已知二面角求參數 19【培優(yōu)考點】 20【培優(yōu)考點一】探索性問題 20【培優(yōu)考點二】最值與范圍問題 22【總結提升】 24【專項檢測】 26備考指南備考指南考點考情分析考頻空間幾何體的表面積、體積2023年新高考Ⅰ卷T142023年新高考Ⅱ卷T92023年新高考Ⅱ卷T142023年全國乙卷T32023年全國乙卷T82022年新高考Ⅰ卷T42022年新高考Ⅱ卷T112022年全國甲卷T42022年全國甲卷T92021年新高考Ⅰ卷T32021年新高考Ⅱ卷T42021年新高考Ⅱ卷T53年12考球與多面體的切接2023年全國乙卷T162022年新高考Ⅰ卷T82022年新高考Ⅱ卷T72022年全國乙卷T92021年全國甲卷T113年5考線面位置關系2023年全國乙卷T92022年新高考Ⅰ卷T92022年全國甲卷T72022年全國乙卷T72021年新高考Ⅱ卷T102021年全國乙卷T53年6考空間角與線面位置關系綜合2023年新高考Ⅰ卷T182023年新高考Ⅱ卷T202023年全國甲卷T182023年全國乙卷T192022年新高考Ⅰ卷T192022年新高考Ⅱ卷T202022年全國甲卷T182022年全國乙卷T182021年新高考Ⅱ卷T192021年全國甲卷T192021年全國乙卷T183年11考立體幾何綜合2023年新高考Ⅰ卷T122021年新高考Ⅰ卷T122021年新高考Ⅰ卷T202年3考最短距離、截面、截線2023年新高考Ⅱ卷T142023年全國甲卷T151年2考預測:以空間幾何體為載體考查空間角(以線面角為主)是高考命題的重點,常與空間線面位置關系的證明相結合,熱點為空間角的求解,常以解答題的形式進行考查.高考注重利用向量方法解決空間角問題,但也可利用幾何法來求解;空間距離(特別是點到面的距離)也是高考題中的常見題型,多以解答題的形式出現,難度中等.以空間向量為工具,探究空間幾何體中線面關系或空間角存在的條件,計算量較大,一般以解答題的形式考查,難度中等偏上.近幾年在立體幾何客觀的考察中,第2問用空間向量來處理對學生更加有利.在二輪復習時建議加強對基礎性的考點訓練,同時也要強化計算量.能夠解決探索性的基本問題與最值和范圍與其他知識點的聯(lián)系.真題在線真題在線一、解答題1.(2023·全國·統(tǒng)考高考真題)如圖,在三棱錐中,,,,,的中點分別為,點在上,.(1)求證://平面;(2)若,求三棱錐的體積.2.(2023·北京·統(tǒng)考高考真題)如圖,在三棱錐中,平面,.

(1)求證:平面PAB;(2)求二面角的大?。?.(2023·全國·統(tǒng)考高考真題)如圖,在正四棱柱中,.點分別在棱,上,.

(1)證明:;(2)點在棱上,當二面角為時,求.4.(2023·全國·統(tǒng)考高考真題)如圖,三棱錐中,,,,E為BC的中點.(1)證明:;(2)點F滿足,求二面角的正弦值.5.(2022·天津·統(tǒng)考高考真題)直三棱柱中,,D為的中點,E為的中點,F為的中點.(1)求證:平面;(2)求直線與平面所成角的正弦值;(3)求平面與平面夾角的余弦值.6.(2022·浙江·統(tǒng)考高考真題)如圖,已知和都是直角梯形,,,,,,,二面角的平面角為.設M,N分別為的中點.(1)證明:;(2)求直線與平面所成角的正弦值.7.(2022·全國·統(tǒng)考高考真題)如圖,是三棱錐的高,,,E是的中點.

(1)證明:平面;(2)若,,,求二面角的正弦值.8.(2022·全國·統(tǒng)考高考真題)在四棱錐中,底面.(1)證明:;(2)求PD與平面所成的角的正弦值.9.(2022·全國·統(tǒng)考高考真題)如圖,四面體中,,E為的中點.(1)證明:平面平面;(2)設,點F在上,當的面積最小時,求與平面所成的角的正弦值.10.(2022·北京·統(tǒng)考高考真題)如圖,在三棱柱中,側面為正方形,平面平面,,M,N分別為,AC的中點.(1)求證:平面;(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知,求直線AB與平面BMN所成角的正弦值.條件①:;條件②:.注:如果選擇條件①和條件②分別解答,按第一個解答計分.11.(2022·全國·統(tǒng)考高考真題)如圖,直三棱柱的體積為4,的面積為.(1)求A到平面的距離;(2)設D為的中點,,平面平面,求二面角的正弦值.12.(2021·天津·統(tǒng)考高考真題)如圖,在棱長為2的正方體中,E為棱BC的中點,F為棱CD的中點.(I)求證:平面;(II)求直線與平面所成角的正弦值.(III)求二面角的正弦值.13.(2021·全國·統(tǒng)考高考真題)在四棱錐中,底面是正方形,若.(1)證明:平面平面;(2)求二面角的平面角的余弦值.14.(2021·全國·統(tǒng)考高考真題)如圖,四棱錐的底面是矩形,底面,,為的中點,且.(1)求;(2)求二面角的正弦值.基礎基礎考點【考點一】空間直角坐標系【典例精講】(多選)(2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考模擬預測)直角中是斜邊上的一動點,沿將翻折到,使二面角為直二面角,當線段的長度最小時(

)A.B.C.直線與的夾角余弦值為D.四面體的外接球的表面積為【變式訓練】一、單選題1.(2022·河南·校聯(lián)考模擬預測)在正方體中,為正方形ABCD的中心,則直線與直線所成角的余弦值為(

)A. B. C. D.2.(2023·全國·校聯(lián)考三模)在平面直角坐標系中,為圓上的動點,定點.現將軸左側半圓所在坐標平面沿軸翻折,與軸右側半圓所在平面成的二面角,使點翻折至,仍在右側半圓和折起的左側半圓上運動,則,兩點間距離的取值范圍是(

)A. B. C. D.二、多選題3.(2023·湖南·校聯(lián)考模擬預測)故宮太和殿是中國形制最高的宮殿,其建筑采用了重檐廡殿頂的屋頂樣式,廡殿頂是“四出水”的五脊四坡式,由一條正脊和四條垂脊組成,因此又稱五脊殿.由于屋頂有四面斜坡,故又稱四阿頂.如圖,某幾何體有五個面,其形狀與四阿頂相類似.已知底面為矩形,,,且,、分別為、的中點,與底面所成的角為,過點作,垂足為.下列說法正確的有(

A.平面B.C.異面直線與所成角的余弦值為D.點到平面的距離為三、填空題4.(2023·江蘇淮安·江蘇省鄭梁梅高級中學??寄M預測)某同學參加課外航模興趣小組活動,學習模型制作.將一張菱形鐵片進行翻折,菱形的邊長為1,,E是邊上一點,將沿著DE翻折到位置,使平面面,則點A與之間距離最小值是.【考點二】空間向量及運算【典例精講】(多選)(2023·海南海口·??寄M預測)在長方體,,是線段上(含端點)的一動點,則下列說法正確的是(

)A.該長方體外接球表面積為 B.三棱錐的體積為定值C.當時, D.的最大值為1【變式訓練】一、單選題1.(2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預測)如圖,在正三棱錐D-ABC中,,,O為底面ABC的中心,點P在線段DO上,且,若平面PBC,則實數(

)A. B. C. D.2.(2023·黑龍江佳木斯·佳木斯一中??寄M預測)給出下列命題,其中錯誤的命題是(

)A.向量,,共面,即它們所在的直線共面B.若對空間中任意一點,有,則,,,四點共面C.兩個非零向量與任何一個向最都不能構成空間的一個基底,則這兩個向量共線D.已知向量,,則在上的投影向量為二、多選題3.(2023·浙江寧波·鎮(zhèn)海中學??寄M預測)在空間直角坐標系中,有以下兩條公認事實:(1)過點,且以為方向向量的空間直線l的方程為;(2)過點,且為法向量的平面的方程為.現已知平面,,,(

)A. B. C. D.三、填空題4.(2023·河南鄭州·模擬預測)在長方體中中,,AD=2,M是棱的中點,過點B,M,的平面交棱AD于點N,點P為線段上一動點,則三棱錐外接球表面積的最小值為.【考點三】求平面法向量【典例精講】(多選)(2023·江蘇南京·南京師大附中??寄M預測)如圖,由正四棱錐和正方體組成的多面體的所有棱長均為2.則(

A.平面 B.平面平面C.與平面所成角的余弦值為 D.點到平面的距離為【變式訓練】一、單選題1.(2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預測)如圖,在正三棱錐D-ABC中,,,O為底面ABC的中心,點P在線段DO上,且,若平面PBC,則實數(

)A. B. C. D.2.(2022·北京昌平·統(tǒng)考二模)如圖,在正四棱柱中,是底面的中心,分別是的中點,則下列結論正確的是(

)A.//B.C.//平面D.平面二、多選題3.(2023·福建福州·福建省福州第一中學??寄M預測)如圖,在各棱長均為2的正三棱柱中,分別是的中點,設,,則(

A.當時,B.,使得平面C.,使得平面D.當時,與平面所成角為三、填空題4.(2021上·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市第八中學校校考期中)在棱長為1的正方體中,E為線段的中點,F為線段AB的中點,則直線FC到平面的距離為.【考點四】用空間向量求線面角【典例精講】(2023上·廣西·高二桂林中學校聯(lián)考階段練習)如圖,已知直圓柱的上、下底面圓心分別為,是圓柱的軸截面,正方形內接于下底面圓,點是中點,.

(1)求證:平面平面;(2)若點為線段上的動點,求直線與平面所成角的余弦值的最小值.【變式訓練】1.(2023·浙江·統(tǒng)考一模)如圖,多面體中,四邊形為正方形,平面平面,,,,,與交于點.

(1)若是中點,求證:;(2)求直線和平面所成角的正弦值.2.(2023·貴州六盤水·統(tǒng)考模擬預測)如圖,在三棱錐中,平面,,,分別為,的中點,且,,.(1)證明:平面平面;(2)求直線與平面所成角的正弦值.3.(2023·全國·模擬預測)如圖,在體積為的四棱柱中,底面ABCD是正方形,是邊長為2的正三角形.(1)求證:平面平面.(2)求與平面所成角的正弦值.4.(2023·河南·校聯(lián)考模擬預測)如圖,在四棱錐中,,,,,,點為棱的中點,點在棱上,且.

(1)證明:平面;(2)求直線與平面所成角的正弦值.【考點五】用空間向量求二面角【典例精講】(2023·云南昆明·昆明一中校考模擬預測)如圖,三棱柱的底面是等邊三角形,,,D,E,F分別為,,的中點.(1)在線段上找一點,使平面,并說明理由;(2)若平面平面,求平面與平面所成二面角的正弦值.【變式訓練】1.(2023·全國·模擬預測)如圖,已知四邊形與均為直角梯形,平面平面EFAD,,,為的中點,.

(1)證明:,,,四點共面;(2)求平面與平面夾角的余弦值.2.(2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考一模)如圖,三棱錐中,與均為等邊三角形,,M為的中點.(1)求證:;(2),求二面角的余弦值.3.(2023·海南·校聯(lián)考模擬預測)如圖,在直三棱柱中,M,N分別為棱,的中點,,,,.

(1)求證:平面;(2)求二面角的正弦值.4.(2023·全國·模擬預測)如圖1所示,四邊形ABCD中,,,,,M為AD的中點,N為BC上一點,且.現將四邊形ABNM沿MN翻折,使得AB與EF重合,得到如圖2所示的幾何體MDCNFE,其中.

(1)證明:平面FND;(2)若P為FC的中點,求二面角的正弦值.綜合考點綜合考點【考點一】點到線(面)距離【典例精講】(2023·海南省直轄縣級單位·??寄M預測)如圖,在直三棱柱中,,,D為的中點.(1)證明:;(2)若點到平面的距離為,求平面與平面的夾角的正弦值.【變式訓練】1.(2023·廣東東莞·校聯(lián)考模擬預測)如圖,在長方體中,和交于點為的中點.(1)求證:平面;(2)求點A到平面的距離.2.(2022上·安徽合肥·高二合肥一六八中學校考期末)如圖,四棱錐中,底面為梯形,底面,,過A作一個平面使得平面.(1)求平面將四棱錐分成兩部分幾何體的體積之比;(2)若平面與平面之間的距離為,求直線與平面所成角的正弦值.3.(2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中校考模擬預測)三棱臺中,平面,,且,,是的中點.

(1)求三角形重心到直線的距離;(2)求二面角的余弦值.4.(2017·貴州貴陽·統(tǒng)考一模)底面為菱形的直棱柱中,分別為棱的中點.(1)在圖中作一個平面,使得,且平面.(不必給出證明過程,只要求作出與直棱柱的截面);(2)若,求平面與平面的距離.【考點二】已知線面角求參數【典例精講】(2023·江蘇·統(tǒng)考一模)在三棱柱中,平面平面,側面為菱形,,,,是的中點.

(1)求證:平面;(2)點在線段上(異于點,),與平面所成角為,求的值.【變式訓練】1.(2023上·北京海淀·高二北京交通大學附屬中學??计谥校┰谔菪沃?,,,,P為的中點,線段與交于O點(如圖1).將沿折起到位置,使得平面平面(如圖2).

(1)求二面角的余弦值;(2)線段上是否存在點Q,使得與平面所成角的正弦值為?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.2.(2023·遼寧撫順·??寄M預測)如圖,在幾何體ABCDEF中,平面ABC,,側面ABFE為正方形,,M為AB的中點,.

(1)證明:;(2)若直線MF與平面DME所成角的正弦值為,求實數λ的值.3.(2023·福建龍巖·統(tǒng)考二模)三棱柱中,,,側面為矩形,,三棱錐的體積為.

(1)求側棱的長;(2)側棱上是否存在點,使得直線與平面所成角的正弦值為?若存在,求出線段的長;若不存在,請說明理由.4.(2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學??寄M預測)如圖,在多面體ABCDEF中,四邊形與均為直角梯形,平面,.

(1)已知點G為AF上一點,且,求證:BG與平面DCE不平行;(2)已知直線BF與平面DCE所成角的正弦值為,求AF的長及四棱錐D-ABEF的體積.【考點三】已知二面角求參數【典例精講】(2023·四川成都·模擬預測)如圖,四棱錐中,底面是矩形,,,側面底面,側面底面,點F是PB的中點,動點E在邊BC上移動,且.

(1)證明:垂直于底面.(2)當點E在BC邊上移動,使二面角為時,求二面角的余弦值.【變式訓練】1.(2017·安徽黃山·校聯(lián)考二模)如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,平面PAD⊥底面ABCD,且△PAD是邊長為2的等邊三角形,,M在PC上,且PA∥平面MBD.

(1)求證:M是PC的中點.(2)在PA上是否存在點F,使二面角F-BD-M為直角?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.2.(2023·四川南充·四川省南充高級中學??既#┤鐖D,在四棱臺中,底面是菱形,,,平面.

(1)證明:BDCC1;(2)棱上是否存在一點,使得二面角的余弦值為若存在,求線段的長;若不存在,請說明理由.3.(2023·吉林長春·東北師大附中??家荒#╅L方形中,,點為中點(如圖1),將點繞旋轉至點處,使平面平面(如圖2).

(1)求證:;(2)點在線段上,當二面角大小為時,求四棱錐的體積.4.(2023·福建寧德·福建省寧德第一中學??家荒#┤鐖D①在平行四邊形中,,,,,將沿折起,使平面平面,得到圖②所示幾何體.(1)若為的中點,求四棱錐的體積;(2)在線段上,是否存在一點,使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為,如果存在,求出的值,如果不存在,說明理由.培優(yōu)考點培優(yōu)考點【考點一】探索性問題【典例精講】(2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學??既#┮阎谥比庵?,其中為的中點,點是上靠近的四等分點,與底面所成角的余弦值為.

(1)求證:平面平面;(2)在線段上是否存在一點,使得平面與平面所成的銳二面角的余弦值為,若存在,確定點的位置,若不存在,請說明理由.【變式訓練】1.(2023·浙江·模擬預測)如圖,在四面體中,分別是線段的中點,.

(1)證明:平面;(2)是否存在,使得平面與平面的夾角的余弦值為?若存在,求出此時的長度;若不存在,請說明理由.2.(2023·上海虹口·統(tǒng)考一模)如圖,在三棱柱中,底面是以為斜邊的等腰直角三角形,側面為菱形,點在底面上的投影為的中點,且.

(1)求證:;(2)求點到側面的距離;(3)在線段上是否存在點,使得直線與側面所成角的余弦值為?若存在,請求出的長;若不存在,請說明理由.3.(2023·新疆·統(tǒng)考三模)如圖,在圓柱體中,,,劣弧的長為,AB為圓O的直徑.

(1)在弧上是否存在點C(C,在平面同側),使,若存在,確定其位置,若不存在,說明理由;(2)求二面角的余弦值.4.(2023·福建福州·福建省福州第一中學??级#┤鐖D1,在中,為的中點,為上一點,且.將沿翻折到的位置,如圖2.

(1)當時,證明:平面平面;(2)已知二面角的大小為,棱上是否存在點,使得直線與平面所成角的正弦值為?若存在,確定的位置;若不存在,請說明理由.【考點二】最值與范圍問題【典例精講】(2023·新疆·校聯(lián)考二模)如圖,在直四棱柱中,,,為等邊三角形.(1)證明:;(2)設側棱,點E在上,當的面積最小時,求AE與平面所成的角的大?。咀兪接柧殹?.(2023·河南·校聯(lián)考模擬預測)已知三棱柱中,是的中點,是線段上一點.

(1)求證:;(2)設是棱上的動點(不包括邊界),當的面積最小時,求直線與平面所成角的正弦值.2.(2023·四川樂山·統(tǒng)考三模)如圖,正方形ABCD的邊長為4,PA⊥平面ABCD,CQ⊥平面ABCD,,M為棱PD上一點.(1)是否存在點M,使得直線平面BPQ?若存在,請指出點M的位置并說明理由;若不存在,請說明理由;(2)當的面積最小時,求二面角的余弦值.3.(2023·全國·校聯(lián)考模擬預測)在中,對應的邊分別為,且.且(1)求;(2)若,上有一動點(異于B、C),將沿AP折起使BP與CP夾角為,求與平面所成角正弦值的范圍.4.(2022·江西萍鄉(xiāng)·統(tǒng)考三模)如圖,在水平放置的直角梯形中,.以所在直線為軸,將向上旋轉角得到,其中.(1)證明:平面平面;(2)若平面與平面的夾角余弦值不超過,求的范圍.總結提升總結提升1.利用幾何法求異面直線所成的角時,通過平移直線所得的角不一定就是兩異面直線所成的角,也可能是其補角.2.用向量法時,要注意向量夾角與異面直線所成角的范圍不同.3.求直線與平面所成角的方法方法一:幾何法.步驟為:①找出直線l在平面α上的射影;②證明所找的角就是所求的角;③把這個角置于一個三角形中,通過解三角形來求角.方法二:空間向量法.步驟為:①求出平面α的法向量n與直線AB的方向向量eq\o(AB,\s\up6(→));②計算cos〈eq\o(AB,\s\up6(→)),n〉=eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·n,|\o(AB,\s\up6(→))||n|);③利用sinθ=|cos〈eq\o(AB,\s\up6(→)),n〉|,以及θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))),求出角θ.4.幾何法求線面角的關鍵是找出線面角(重點是找垂線與射影),然后在三角形中應用余弦定理(勾股定理)求解;5.向量法求線面角時要注意:線面角θ與直線的方向向量a和平面的法向量n所成的角〈a,n〉的關系是〈a,n〉+θ=eq\f(π,2)或〈a,n〉-θ=eq\f(π,2),所以應用向量法求的是線面角的正弦值,而不是余弦值.6.求平面與平面的夾角方法方法一:幾何法.步驟為:①找出二面角的平面角(以二面角的棱上任意一點為端點,在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線,這兩條射線所成的角就是二面角的平面角);②證明所找的角就是要求的角;③把這個平面角置于一個三角形中,通過解三角形來求角.求二面角的平面角的口訣:點在棱上,邊在面內,垂直于棱,大小確定.方法二:空間向量法.步驟為:①求兩個平面α,β的法向量m,n;②計算cos〈m,n〉=eq\f(m·n,|m|·|n|);③設兩個平面的夾角為θ,則cosθ=|cos〈m,n〉|.7.用幾何法求解二面角的關鍵是:先找(或作)出二面角的平面角,再在三角形中求解此角.8.利用法向量的依據是兩個半平面的法向量所成的角和二面角的平面角相等或互補,在求二面角的大小時,一定要判斷出二面角的平面角是銳角還是鈍角,否則解法是不嚴謹的.9.空間中點、線、面距離的相互轉化關系10.空間距離的求解方法有:(1)作垂線段;(2)等體積法;(3)等價轉化;(4)空間向量法.11.探究問題與空間向量有關的探究性問題主要有兩類:一類是探究線面的位置關系;另一類是探究線面角或平面與平面的夾角滿足特定要求時的存在性問題.解題思路:先建立空間直角坐標系,引入參數(有些是題中已給出),設出關鍵點的坐標,然后探究這樣的點是否存在,或參數是否滿足要求,從而作出判斷.12.解決立體幾何中探索性問題的基本方法(1)通常假設問題中的數學對象存在或結論成立,再在這個前提下進行推理,如果能推出與條件吻合的數據或事實,說明假設成立,并可進一步證明,否則假設不成立.(2)探索線段上是否存在滿足條件的點時,一定注意三點共線的應用.專項專項檢測一、單選題1.(2023·山東聊城·統(tǒng)考模擬預測)在三棱錐中,,,,二面角的大小為.若三棱錐的所有頂點都在球O的球面上,則當三棱錐的體積最大時,球O的體積為(

)A. B. C. D.2.(2023·黑龍江佳木斯·佳木斯一中??寄M預測)給出下列命題,其中錯誤的命題是(

)A.向量,,共面,即它們所在的直線共面B.若對空間中任意一點,有,則,,,四點共面C.兩個非零向量與任何一個向最都不能構成空間的一個基底,則這兩個向量共線D.已知向量,,則在上的投影向量為3.(2021·浙江·校聯(lián)考二模)如圖,在正方體中,在棱上,,平行于的直線在正方形內,點到直線的距離記為,記二面角為為,已知初始狀態(tài)下,,則(

)A.當增大時,先增大后減小 B.當增大時,先減小后增大C.當增大時,先增大后減小 D.當增大時,先減小后增大4.(2023·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學??寄M預測)如圖,在正方體中,P為棱AD上的動點.給出以下四個命題:①;②異面直線與所成角的取值范圍為;③有且僅有一個點P,使得平面;④三棱錐的體積是定值.其中真命題的個數為(

A.1 B.2 C.3 D.45.(2023·全國·模擬預測)如圖,已知正方體的棱長為2,棱的中點分別是,點是底面內任意一點(包括邊界),則三棱錐的體積的取值范圍是(

A. B. C. D.6.(2022·云南昆明·昆明一中模擬預測)在棱長為2的正方體中,M,N兩點在線段上運動,且,給出下列結論:①在M,N兩點的運動過程中,⊥平面;②在平面上存在一點P,使得平面;③三棱錐的體積為定值;④以點D為球心作半徑為的球面,則球面被正方體表面所截得的所有弧長和為.其中正確結論的序號是(

)A.①②③ B.①③④ C.②④ D.②③④7.(2023·黑龍江大慶·大慶實驗中學??寄M預測)北京大興國際機場的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用,在數學上用曲率刻畫空間彎曲性.規(guī)定:多面體的頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差(多面體的面的內角叫做多面體的面角,角度用弧度制),多面體面上非頂點的曲率均為零,多面體的總曲率等于該多面體各項點的曲率之和.例如:正四面體在每個頂點有3個面角,每個面角是,所以正四面體在每個頂點的曲率為,故其總曲率為.已知多面體的頂點數V,棱數E,面數F滿足,則八面體的總曲率為(

A. B. C. D.8.(2021·上海浦東新·華師大二附中??寄M預測)已知梯形如圖(1)所示,其中,為線段的中點,四邊形為正方形,現沿進行折疊,使得平面平面,得到如圖(2)所示的幾何體.已知當上一點滿足時,平面平面,則的值為(

)A. B. C. D.二、多選題9.(2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考模擬預測)直角中是斜邊上的一動點,沿將翻折到,使二面角為直二面角,當線段的長度最小時(

)A.B.C.直線與的夾角余弦值為D.四面體的外接球的表面積為10.(2023·河北秦皇島·統(tǒng)考模擬預測)在長方體中,,點在底面的邊界及其內部運動,且滿足,則下列結論正確的是(

)A.若點滿足,則B.點到平面的距離范圍為C.若點滿足,則不存在點使得D.當時,四面體的外接球體積為11.(2023·全國·模擬預測)已知正方體的棱長為1,建立如圖所示的空間直角坐標系,則(

)A.點A到直線的距離為B.點B到平面的距離為C.若點在直線上,則D.若點在平面內,則12.(2022上·江蘇淮安·高三校考階段練習)在正方體中,,點P滿足,其中,則下列結論正確的是(

)A.當平面時,與所成夾角可能為B.當時,的最小值為C.若與平面所成角為,則點P的軌跡長度為D.當時,正方體經過點的截面面積的取值范圍為三、填空題13.(2023·

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