專題02 第一章 空間向量與立體幾何 典型例題講解（二）解析版

專題01第一章空間向量與立體幾何典型例題講解（二）目錄TOC\o"1-3"\h\u一、基本概念回歸 1二、重點(diǎn)例題（高頻考點(diǎn)） 3高頻考點(diǎn)一：精確計(jì)算 3角度1：基底法求線段長 3角度2：求法向量（不含參） 6高頻考點(diǎn)二：利用向量方法求角 9角度1：利用向量方法求兩異面直線所成角（定值） 9角度2：利用向量方法求線面角（定值） 14角度3：利用向量方法求二面角（定值） 23高頻考點(diǎn)三：利用向量方法求角 31角度1：利用向量方法求兩異面直線所成角（最值、范圍問題） 31角度2：利用向量方法求線面角（最值、范圍問題） 35角度3：利用向量方法求二面角（最值、范圍問題） 40高頻考點(diǎn)四：利用空間向量解決探索性問題 48角度1：直線與平面所成角探索性問題 48角度2：平面與平面所成角探索性問題 54一、基本概念回歸知識回顧7：用向量法求空間角7.1、用向量運(yùn)算求兩條直線所成角已知a，b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a，b上的任意兩點(diǎn)，a，b所成的角為，則①②.7.2、用向量運(yùn)算求直線與平面所成角設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有①②.（注意此公式中最后的形式是：）7.3、用向量運(yùn)算求平面與平面的夾角（）如圖，若于A，于B，平面PAB交于E，則∠AEB為二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.若分別為面，的法向量①②；7.4、用向量運(yùn)算求平面與平面的二面角如圖，若于A，于B，平面PAB交于E，則∠AEB為二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.若分別為面，的法向量①②根據(jù)圖形判斷二面角為銳二面角還是頓二面角；若二面角為銳二面角（取正），則；若二面角為頓二面角（取負(fù)），則；二、重點(diǎn)例題（高頻考點(diǎn)）高頻考點(diǎn)一：精確計(jì)算角度1：基底法求線段長1．（2023秋·山西·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，在三棱錐中，是邊長為3的正三角形，是上一點(diǎn)，，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)且，則（

）

A．5 B．3 C． D．【答案】D【詳解】解：以為一組基底，則，，，，，，，所以.故選：D2．（2022秋·海南省直轄縣級單位·高二校考階段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，D是棱的中點(diǎn)，，，，則.

【答案】【詳解】，所以，所以.故答案為：3．（2022秋·廣東佛山·高二校聯(lián)考期中）如圖，在平行六面體中，點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段上，且，．

(1)求滿足的實(shí)數(shù)x，y，z的值．(2)求MN的長．【答案】(1)(2)【詳解】（1），所以.（2）所以，所以，即的長為．4．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，，．求線段的長．

【答案】【詳解】設(shè)，，，則，，，，∵，∴．∴線段的長為．角度2：求法向量（不含參）1．（2023春·江西贛州·高二校考階段練習(xí)）已如點(diǎn)，，者在平面內(nèi)，則平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由，，，得，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則即,取，則，故，則與共線的向量也是法向量，經(jīng)驗(yàn)證，只有C正確..故選：C．2．（2023·全國·高二課堂例題）在正方體中，棱長為2，G，E，F(xiàn)分別為，AB，BC的中點(diǎn)，求平面GEF的一個(gè)法向量．【答案】一個(gè)法向量為【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，．由此可得，．

設(shè)平面GEF的法向量為，則，令，則，，即平面GEF的一個(gè)法向量為．3．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在四棱錐中，底面是直角梯形，，⊥底面，且，，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，分別求平面與平面的一個(gè)法向量．

【答案】答案見解析【詳解】∵⊥底面，底面是直角梯形且，∴兩兩垂直．以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，則，易知向量是平面的一個(gè)法向量．設(shè)為平面的法向量，則即，取，則，所以平面的一個(gè)法向量為.4．（2022秋·廣東佛山·高二佛山市高明區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，，.(1)求，；(2)求平面BCD的一個(gè)法向量；(3)求點(diǎn)到平面BCD的距離.【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）由題意可得，，；（2）設(shè)平面BCD的一個(gè)法向量，則，即，令，則，，即，即平面BCD的一個(gè)法向量為；（3）點(diǎn)到平面BCD的距離，點(diǎn)到平面BCD的距離為.高頻考點(diǎn)二：利用向量方法求角角度1：利用向量方法求兩異面直線所成角（定值）1．（2023春·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）如圖，在直三棱柱中，，，直線與平面所成角的正弦值為，則異面直線與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【詳解】取的中點(diǎn)，連接，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為，軸，過點(diǎn)且平行于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)，則，易知平面，則直線與平面所成的角為，所以，解得，則，．則，，，，所以，，則，故異面直線與所成角的余弦值為．故選：D．2．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體中，E，F(xiàn)分別為，BD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在CD上，且.(1)求證：；(2)求EF與CG所成角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)【詳解】（1）證明：以，，所在直線分別為軸，軸，軸，建系如圖，

則根據(jù)題意可得：，，，，，，，即，；（2）由（1）知，，，又與所成角的范圍為，EF與CG所成角的余弦值為．3．（2023秋·寧夏銀川·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，梯形ABCD中，，，，沿對角線AC將折起，使點(diǎn)B在平面ACD內(nèi)的投影O恰在AC上.

(1)求證：平面BCD；(2)求異面直線BC與AD所成的角；【答案】(1)證明見解析(2)60°【詳解】（1）解：因?yàn)?，，所以，又，，故，由余弦定理得，所以，∴，?由題意得平面ACD，平面ACD，∴，∵，BO，平面ABC，∴平面ABC，∵平面ABC，∴，∵，BC，平面BCD，∴平面BCD；（2）取AD的中點(diǎn)E，連接OE，則，故.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OE，OB所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

則，，，，，，設(shè)異面直線BC與AD所成的角為，∴，即異面直線BC與AD所成的角為60°.4．（2023秋·福建·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，在底面為菱形的四棱錐中，底面，為的中點(diǎn)，且，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

(1)寫出四點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求．【答案】(1)，，，(2)【詳解】（1）解：由題意，可得為正三角形，因?yàn)?，所以，以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為的方向?yàn)檩S、軸和軸建立的空間直角坐標(biāo)系，可得．（2）解：由（1）可得，所以.

5．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量是空間的一組單位正交基底向量，且，，求：(1)向量與的夾角；(2)向量與所在直線的夾角.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)椋?，則記向量在基底向量下的坐標(biāo)為，向量在基底向量下的坐標(biāo)為，所以又，所以，即向量與的夾角為.（2）由（1）可得，向量與所在直線的夾角的余弦值為，又，所以，所以向量與所在直線的夾角為.角度2：利用向量方法求線面角（定值）1．（2023秋·河北滄州·高二滄縣中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，己知在四棱錐中，平面，點(diǎn)在棱上，且，底面為直角梯形，，分別是的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）以為原點(diǎn)，以分別為建立空間直角坐標(biāo)系，由，分別是的中點(diǎn)，可得：，

∴，設(shè)平面的的法向量為，則有：，令，則，∴，又平面，∴平面.（2）設(shè)平面的的法向量為，又則有：，令，則，所以又，

設(shè)直線與平面所成角為，∴，∴求直線與平面所成的角的正弦值為.2．（2023春·四川綿陽·高二統(tǒng)考期中）如圖，在正方體中，與的交點(diǎn)為，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的大小.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以為的中點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)是棱的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面；（2）如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，所以，因?yàn)?，所以，所以平面，所以直線與平面所成角的大小為.

3．（2023秋·江西贛州·高三江西省全南中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，四邊形ABCD是圓柱OE的軸截面，點(diǎn)F在底面圓O上，，，點(diǎn)G是線段BF的中點(diǎn)．

(1)證明：平面DAF；(2)求直線EF與平面DAF所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證法一：連接OE，OG．

在圓柱OE中，四邊形ABCD是圓柱OE的軸截面，所以．又平面DAF，平面DAF，所以平面DAF．在中，點(diǎn)O，G分別是AB和BF的中點(diǎn)，所以．又平面DAF，平面DAF，所以平面DAF．又，OE，平面OEG，所以平面平面DAF．又平面OEG，所以平面DAF．證法二：取AF的中點(diǎn)M，連接MD，MG．

因?yàn)辄c(diǎn)M，G分別是FA和FB的中點(diǎn)，所以．在圓柱OE的軸截面四邊形ABCD中，，所以，因此四邊形DEGM是平行四邊形．因此．又平面DAF，平面DAF，所以平面DAF．證法三：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB的中垂線為x軸，OB為y軸，OE為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

則，．因?yàn)锳B為底面圓O的直徑，點(diǎn)F在圓O上，所以．又，所以，因此．因?yàn)辄c(diǎn)G是線段BF的中點(diǎn)，所以，因此．因?yàn)槠矫鍭BF，平面ABF，所以．又，，AF，平面DAF，所以平面DAF，因此是平面DAF的一個(gè)法向量．因?yàn)?，又平面DAF，所以平面DAF．（2）法一：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB的中垂線為x軸，OB為y軸，OE為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

則，．因?yàn)锳B為底面圓O的直徑，點(diǎn)F在圓O上，所以．又，所以，因此．因此，．因?yàn)槠矫鍭BF，平面ABF，所以．又，，AF，平面DAF，所以平面DAF，因此是平面DAF的一個(gè)法向量．設(shè)EF與平面DAF所成角為，，則，所以EF與平面DAF所成角的正弦值為．法二：由（1）得平面DAF，

所以點(diǎn)E到平面DAF的距離等于點(diǎn)G到平面DAF的距離．因?yàn)槠矫鍭BF，平面ABF，所以．因?yàn)锳B為底面圓O的直徑，點(diǎn)F在圓O上，所以．又，AF，平面DAF，所以平面DAF．所以點(diǎn)E到平面DAF的距離．連結(jié)OE，OF，則，所以．設(shè)EF與平面DAF所成角為，，則，所以EF與平面DAF所成角的正弦值為．法三：過F作AD的平行線交上底面于點(diǎn)H，連結(jié)DH，

則平面ADF即為平面AFHD．過E作，K為垂足，平面DHC，平面DHC，故，平面AFHD，則平面AFHD，則為EF與平面ADF所成的角．連接HC，則，則,而E為DC中點(diǎn)，故K為DH的中點(diǎn)，故，由于HCBF為平行四邊形，故，故，．設(shè)EF與平面DAF所成角為，，則，所以EF與平面DAF所成角的正弦值為．4．（2023秋·江蘇淮安·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，，將沿BD折起到的位置，使．

(1)求證：平面平面ABD；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）如圖，取中點(diǎn)，連接OA，OP．因?yàn)樗倪呅蜛BCD是邊長為2的菱形，，所以、是邊長為2的正三角形，因?yàn)镺是BD中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，同理可得，因?yàn)椋?，則，由二面角定義可得平面平面ABD．或：又因?yàn)?，平面ABD，平面，所以平面，因?yàn)?，所以平面平面．?）以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面PAD的一個(gè)法向量為，由得，令得，則，設(shè)直線AB與平面PAD所成的角為，則．所以直線AB與平面PAD所成角的正弦值為．

5．（2023春·海南?？凇じ呷y(tǒng)考期中）如圖，四棱錐的頂點(diǎn)P在底面ABCD上的射影為AB的中點(diǎn)H，為等邊三角形，，，棱BC的中點(diǎn)為E.

(1)證明：；(2)若，求直線PE與平面PBD所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)P在底面ABCD上的射影為AB的中點(diǎn)H，所以平面，平面，所以，因?yàn)?，，，所以，從而，連接，因?yàn)镠是AB的中點(diǎn)，E是BC的中點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，平面，所?（2）如圖：

以與的交點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，分別為x，y軸，過O且與底面垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，，，則，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令得，設(shè)直線PE與平面PBD所成角為，所以，故直線PE與平面PBD所成角的正弦值為.角度3：利用向量方法求二面角（定值）1．（2023春·四川綿陽·高二統(tǒng)考期中）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，是邊長為2的正三角形，.

(1)求證：；(2)若平面平面，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭沁呴L為2的正三角形，所以，在菱形中，，則為等邊三角形，所以，又平面，所以平面，又平面，所以；（2）由（1）得，，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，，則，因?yàn)檩S平面，所以可取平面的法向量為，，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，所以，則，由圖可知，二面角為鈍二面角，所以二面角的余弦值為.

2．（2023秋·四川成都·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，在圓錐中，為圓錐頂點(diǎn)，為圓錐底面的直徑，為底面圓的圓心，為底面圓周上一點(diǎn)，四邊形為矩形，且，．

(1)若為的中點(diǎn)，求證：平面；(2)若與平面所成角為，求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接，在中，分別為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?，在矩形中，，同理可得平面，又，平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面；?）過點(diǎn)做交于點(diǎn)，連接由題可知平面，且，所以平面則，又，平面，所以平面，∴在平面內(nèi)射影為，則即為與平面所成的角，所以在中，由可知?jiǎng)t，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，過點(diǎn)垂直于平面為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，

設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，所以，所以，因?yàn)槎娼菫殇J二面角，所以二面角的余弦值為.3．（2023·海南省直轄縣級單位·嘉積中學(xué)校考三模）如圖所示，為等邊三角形，平面，，，，為線段上一動(dòng)點(diǎn)．

(1)若為線段的中點(diǎn)，證明：．(2)若，求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，且為等邊三角形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)椋?，，，四點(diǎn)共面，因?yàn)槠矫?，平面，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以；?）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，在平面內(nèi)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，由（1）可得兩兩垂直，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)椋?，，所以，，，，所以，，．，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，，所以平面的一個(gè)法向量為，所以，所以二面角的余弦值為．

4．（2023秋·廣東珠海·高三珠海市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，是等腰直角三角形，是頂角.

(1)求證：平面平面；(2)若，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，，又平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)槭堑妊苯侨切?，是頂角，所?又，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）

取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)槭堑妊苯侨切危琼斀?，所以，又平面平面，平面，所以平面，在四邊形中，，，又，所以，故如圖以為中心，分別以，，為方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，則，，，分別設(shè)平面和平面的法向量為，，則，，即，令得，，故令得，，故設(shè)二面角的一個(gè)平面角為，則，所以二面角的余弦值為.5．（2023·云南大理·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，，為的中點(diǎn)．

(1)證明：；(2)求二面角的平面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）在四邊形中，，取中點(diǎn)，連接，由，得，則四邊形是平行四邊形，又，因此是矩形，即有，有，，從而，即，而平面，平面，則，又平面，于是平面，而平面，所以.

（2）由（1）知兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，依題意，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，得，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，得，因此，顯然二面角的平面角為鈍角，所以二面角的平面角的余弦值為.高頻考點(diǎn)三：利用向量方法求角角度1：利用向量方法求兩異面直線所成角（最值、范圍問題）1．（2023春·河北廊坊·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）已知在正方體中，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)，若異面直線，所成的角為，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】以D為原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，設(shè)，則，所以．令，則，因?yàn)?，所以．?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋援?dāng)，即時(shí)，取得最大值，最大值為．故選：B2．（2023秋·河南·高二長葛市第二高級中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）在三棱錐中，底面為正三角形，平面，，G為的外心，D為直線上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線與所成的角為，則的取值范圍為．【答案】【詳解】不妨設(shè)，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，由題意得G為的中點(diǎn)，所以．設(shè)，，得，則，因?yàn)?，所以．?dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，得．綜上，，由得．故答案為：3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）三棱錐中，，，記二面角的大小為，當(dāng)時(shí)，直線與所成角的余弦值的取值范圍是.【答案】【詳解】取中點(diǎn)，連接，，．，，，且，，是二面角的平面角，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過點(diǎn)作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，0，，，1，，設(shè)二面角的平面角為，則，連、，則，，，，設(shè)、的夾角為，則，，，,,,則．故答案為：

4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，四邊形和均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)在線段上，，分別為，的中點(diǎn)．設(shè)異面直線與所成的角為，則的最大值為．

【答案】/0.4【詳解】建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

設(shè)，則，，設(shè)則，，∴．令，則，∵，∴．當(dāng)時(shí)，，．當(dāng)時(shí)，有最大值，的最大值為．當(dāng)時(shí)，．故答案為：．角度2：利用向量方法求線面角（最值、范圍問題）1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體中，為面對角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），直線與平面所成角為，則的最大值為【答案】【詳解】如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)，所以，故由條件可知平面的法向量為設(shè)直線與平面所成角為，，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以當(dāng)取得最大值時(shí)，取得最大值，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以.故答案為：2．（2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期末）如圖，三棱臺中，，D是AC的中點(diǎn)，E是棱BC上的動(dòng)點(diǎn)．

(1)若平面，確定的位置.(2)已知平面ABC，且．設(shè)直線與平面所成的角為，試在（1）的條件下，求的最大值．【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）連接,

由三棱臺中，是的中點(diǎn)可得,所以四邊形為平行四邊形，故,平面,平面,故平面,又平面，且平面，，所以平面平面，又平面平面,平面平面,故,由于是的中點(diǎn),故是的中點(diǎn)，故點(diǎn)在邊的中點(diǎn)處，平面;（2）因?yàn)槠矫?，平?所以,又平面,故平面,由于平面,所以,由（1）知：在邊的中點(diǎn)，是的中點(diǎn),所以,進(jìn)而，連接,由所以四邊形為平行四邊形，故,由于平面，因此平面，故兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系；設(shè)，

則，故，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，又，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以的最大值為.3．（2023春·黑龍江齊齊哈爾·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，在梯形ABCD中，，點(diǎn)M在邊AD上，，，以CM為折痕將翻折到的位置，使得點(diǎn)S在平面ABCD內(nèi)的射影恰為線段CD的中點(diǎn)．

(1)求四棱錐體積：(2)若點(diǎn)P為線段SB上的動(dòng)點(diǎn)，求直線CP與平面MBS所成角的正弦值的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）取CD的中點(diǎn)O，連接SD、SO，取MD的中點(diǎn)F，連接CF．∵，∴，∵，∴∴，，．由題意知平面ABCD，平面ABCD，∴∵O為CD中點(diǎn)，且，∴，∴∴；（2）延長DC到點(diǎn)E，以C為原點(diǎn)，、的方程分別為x軸、y軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，∵，且，∴四邊形BCDM為平行四邊形，∴，∴，∴，．

設(shè)，則．設(shè)平面MBS的一個(gè)法向量，直線CP與平面MBS所成的解得為．由得，令，則，故可?。唷喈?dāng)時(shí)，取得最大值．所以直線CP與平面MBS所成角的正弦值的最大值．4．（2023·海南?？凇そy(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，四棱錐中，，，平面平面.

(1)證明：平面平面；(2)若，，，與平面所成的角為，求的最大值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：過點(diǎn)A作于，

因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，又平面，所以，由，，可知，而，平面所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）法1：由（1）知平面，平面，所以，又，所以，所以，，所以，由平面ABCD，所以平面．如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，平面的一個(gè)法向量為，，，所以，，即，得令，得，，所以，顯然，當(dāng)時(shí)，取最小值，綜上，當(dāng)時(shí)，的最大值為．法2：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)?，平面，所以平面，所以點(diǎn)A到平面的距離也為，由（1），平面，所以，又，所以，所以，所以，所以，由（1），平面，所以，由，在四邊形中，當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)四邊形顯然為矩形，，所以的最大值為．角度3：利用向量方法求二面角（最值、范圍問題）1．（2023秋·廣西玉林·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，在正四棱柱中，，.點(diǎn)、、、分別在棱、、、上，，，.(1)求多面體的體積；(2)當(dāng)點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)時(shí)（包括端點(diǎn)），求二面角的余弦值的絕對值的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則、、、、,所以，，，則，又因?yàn)椤⒉辉谕粭l直線上，故四邊形為平行四邊形，因?yàn)椋瑒t，又，故四邊形為菱形，多面體是以為頂點(diǎn)的四棱錐，又，，，所以，.（2）解：設(shè)，則，，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則。令，得，，則，，因?yàn)?，則，所以，.因此，二面角的余弦值的絕對值的取值范圍是.2．（2023秋·遼寧沈陽·高二沈陽市第一二〇中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，，D，E分別是線段AC，的中點(diǎn)，在平面ABC內(nèi)的射影為D．

(1)求證：平面BDE；(2)若點(diǎn)F為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），求銳二面角的余弦值的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接,因?yàn)闉榈冗吶切?，D是線段AC的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所?,平面,所以平面,平面,所以，由題設(shè)可知，四邊形為菱形，所以,因?yàn)镈，E分別是線段AC，的中點(diǎn)，所以,所以，又因?yàn)槠矫鍮DE,所以平面BDE.（2）

以為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則,設(shè)，則所以平面的一個(gè)法向量,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,所以，設(shè)，則，所以，設(shè)，所以，因?yàn)?，所以二次函?shù)在單調(diào)遞增，所以，所以，所以銳二面角的余弦值的取值范圍．3．（2023秋·湖北孝感·高二孝昌縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，在菱形中，，，平面平面，，分別是線段、的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)若點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離；(3)若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），求銳二面角的余弦值的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）連接，因?yàn)闉榈冗吶切?，為中點(diǎn)，則，又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，則平面，可得，由題設(shè)知四邊形為菱形，則，因?yàn)?，分別為，中點(diǎn)，則，可得，且，，平面，所以平面.（2）由題設(shè)知四邊形為菱形，且，所以為正三角形，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，則，且平面平面，平面平面，平面，所以平面，由平面，平面，可得，，又因?yàn)闉榈冗吶切?，為中點(diǎn)，所以，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線為，，軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，可得，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，可得，所以點(diǎn)到平面的距離為.

（3）因?yàn)?，設(shè)，，則，可得，，，即，可得，由（2）知：平面，即平面的一個(gè)法向量設(shè)平面的法向量，則，令，則，，可得；則，令，則，可得，因?yàn)?，則，可得，所以銳二面角的余弦值的取值范圍為4．（2023秋·山西·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，菱形和正方形所在平面互相垂直，，.

(1)求證：平面；(2)若是線段上的動(dòng)點(diǎn)，求平面與平面夾角的余弦值的取值范圍.【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以，平面，平面，所以平面，因?yàn)樗倪呅问钦叫危?，平面，平面，所以平面，，平面，所以平面平面，又因?yàn)槠矫?，所以平?（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，平面，所以平面，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以，連接交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)椋?，所以，所以是等邊三角形，，所以，，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，所以，，所以，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，所以，令，因?yàn)?，所以，即所以因?yàn)椋?，所以?dāng)，即時(shí)，取得最小值為，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值為，故平面與平面夾角的余弦值的取值范圍.高頻考點(diǎn)四：利用空間向量解決探索性問題角度1：直線與平面所成角探索性問題1．（2023·全國·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知四棱錐中，底面是矩形，，，是的中點(diǎn)．

(1)證明：；(2)若，，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，直線與平面所成角的正弦值為，求．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以，，設(shè)直線與直線交于點(diǎn)，因?yàn)椋瑒t，，所以，，所以，，故，設(shè)，則，，所以，，且，，所以，，所以，，又因?yàn)?，、平面，則平面，因?yàn)槠矫?，?（2）因?yàn)椋?，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?，則、、、、，設(shè)平面的法向量為，則，，則，取，則，設(shè)，其中，，因?yàn)橹本€與平面所成角的正弦值為，則，解得，即.2．（2023秋·山西·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在正三棱柱中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn).

(1)若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，證明：平面；(2)若，直線與平面所成角的正弦值為，求的值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：連接，，如圖，若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則為與的交點(diǎn).在中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以.又平面，平面，所以平面；（2）不妨設(shè).以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在的直線分別為軸，軸，平行于所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

所以，，，，.所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以即令，解得，，所以平面的一個(gè)法向量為.設(shè).所以，所以，解得或（舍）.所以，可得.3．（2023秋·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）如圖，在多面體中，四邊形為正方形，平面，，，是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)和直線的平面與，分別交于，兩點(diǎn).

(1)若為的中點(diǎn)，請?jiān)趫D中作出線段，并說明，的位置及作法理由；(2)線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.【答案】(1)作圖見解析，為的中點(diǎn)，為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，理由見解析(2)存在，【詳解】（1）如圖，取為的中點(diǎn)，為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).理由如下：由四邊形為正方形得，，，又平面，平面，所以平面.又平面平面，為的中點(diǎn)，得，且為的中點(diǎn).因?yàn)?，，平面，平面，所以∥平面，又，平面，所以平面平面，平面平面，平分，得平分，又，得到為的三等分點(diǎn)，且，從而作出線段.（2）由題意，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，于是，，，設(shè)，則的坐標(biāo)為.設(shè)平面的法向量為，則由得令，得平面的一個(gè)法向量為.設(shè)直線與平面所成角為，則，假設(shè)存在點(diǎn)使得直線與平面所成角的正弦值為，則有，解得，.所以線段上存在點(diǎn)，位于靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)處，使得直線與平面所成角的正弦值為.4．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）在四棱錐S﹣ABCD中，已知底面ABCD為菱形，若.

(1)求證：SE⊥平面ABCD；(2)若，設(shè)點(diǎn)H滿足，當(dāng)直線與平面所成角的正弦值為時(shí)，求μ的值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由底面ABCD為菱形，得，又平面，∴平面，∵平面，∴，又平面，∴平面，∵平面，∴，又平面，∴平面；（2）由（1）結(jié)論，可以以點(diǎn)E坐標(biāo)原點(diǎn)，以向量的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，取，則，由，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為則由，取，則，所以平面的一個(gè)法向量為，直線的方向向量為，記直線與平面所成角為θ，則，解得或μ＝3(舍)，∴.

角度2：平面與平面所成角探索性問題1．（2023春·河南信陽·高三信陽高中?？茧A段練習(xí)）如圖，在等腰梯形中，，四邊形為矩形，且平面