2023年中考數(shù)學(xué)考前第8講：實(shí)踐操作性問(wèn)題（附答案解析）

2023年中考數(shù)學(xué)考前沖刺第8講：實(shí)踐操作性問(wèn)題

【難點(diǎn)突破】著眼思路，方法點(diǎn)撥，疑難突破；

實(shí)踐操作題以趣味性強(qiáng)、思維含量高為特點(diǎn)，讓學(xué)生在.實(shí)際操作的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)問(wèn)題，

主要有：（1）裁剪、折疊、拼圖等動(dòng)手操作問(wèn)題，往往與面積、對(duì)稱性相聯(lián)系；（2）與畫(huà)圖、

測(cè)量、猜想、證明等有關(guān)的探究性問(wèn)題.在動(dòng)手操作過(guò)程中或在給出的操作規(guī)則下，進(jìn)行探

索研究、大膽猜想、發(fā)現(xiàn)結(jié)論，不僅為解題者創(chuàng)造了動(dòng)手實(shí)踐操作與方案設(shè)計(jì)的平臺(tái)，而且

也借此考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力.

解答操作型題一般要經(jīng)歷觀察、操作、思考、想象、反思等實(shí)踐活動(dòng)，利用自己已有的

經(jīng)驗(yàn)，感知并發(fā)現(xiàn)結(jié)論，從而解決問(wèn)題.

方案設(shè)計(jì)問(wèn)題涉及面較廣，內(nèi)容比較豐富，題型變化較多，不僅有方程、不等式、函數(shù),

還有幾何圖形的設(shè)計(jì)等.方案設(shè)計(jì)題是通過(guò)設(shè)置一個(gè)實(shí)際問(wèn)題情景，給出若干信息，提出解

決問(wèn)題的要求，要求學(xué)生運(yùn)用學(xué)過(guò)的技能和方法，進(jìn)行設(shè)計(jì)和操作，尋求恰當(dāng)?shù)慕鉀Q方案.有

時(shí)也給出幾個(gè)不同的解決方案，要求判斷哪個(gè)方案較優(yōu).

解決與方程和不等式有關(guān)的方案設(shè)計(jì)題，通常利用方程或不等式求出符合題意的方案；

而與函數(shù)有關(guān)的方案設(shè)計(jì)題，一般有較多種供選擇的解決問(wèn)題的方案，但在實(shí)施中要考慮到

經(jīng)濟(jì)因素，此類問(wèn)題類似于求最大值或最小值的問(wèn)題，通常用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析；與幾何

圖形有關(guān)的方案設(shè)計(jì)題，一般是利用幾何圖形的性質(zhì)，設(shè)計(jì)出符合某種要求和特點(diǎn)的圖案

解答操作性試題，關(guān)鍵是審清題意，學(xué)會(huì)運(yùn)用圖形的平移變換、翻折變換和旋轉(zhuǎn)變換、

位似變換，注意運(yùn)用分類討論、類比猜想、驗(yàn)證歸納等數(shù)學(xué)思想方法，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，要

注重操作習(xí)題解題訓(xùn)練，提高思維的開(kāi)放性，培養(yǎng)創(chuàng)新能力，要學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去觀察、

分析、抽象、概括所給的實(shí)際問(wèn)題，揭示其數(shù)學(xué)本質(zhì)，并轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

【例題1】動(dòng)手操作型：

矩形紙片/況。中，4B=5,4.

（1）如圖1,四邊形網(wǎng)好'是在矩形紙片4時(shí)中裁剪出的一個(gè)正方形.你能否在該矩形中裁

剪出一個(gè)面積最大的正方形，最大面積是多少？說(shuō)明理由；

（2）請(qǐng)用矩形紙片/a?剪拼成一個(gè)面積最大的正方形.要求：在圖2的矩形中畫(huà)出裁

剪線，并在網(wǎng)格中畫(huà)出用裁剪出的紙片拼成的正方形示意圖（使正方形的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格的格

點(diǎn)上）.

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圖2

【例題2】方案設(shè)計(jì)型:

某商場(chǎng)籌集資金12.8萬(wàn)元，一次性購(gòu)進(jìn)空調(diào)、彩電共30臺(tái).根據(jù)市場(chǎng)需要，這些空調(diào)、彩

電可以全部銷售，全部銷售后利潤(rùn)不少于1.5萬(wàn)元，其中空調(diào)、彩電的進(jìn)價(jià)和售價(jià)見(jiàn)表格.

空調(diào)彩電

進(jìn)價(jià)(元/臺(tái))54003500

售價(jià)(元/臺(tái))61003900

設(shè)商場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)空調(diào)X臺(tái)，空調(diào)和彩電全部銷售后商場(chǎng)獲得的利潤(rùn)為y元.

(1)試寫(xiě)出y與X的函數(shù)關(guān)系式：

(2)商場(chǎng)有哪幾種進(jìn)貨方案可供選擇？

(3)選擇哪種進(jìn)貨方案，商場(chǎng)獲利最大？最大利潤(rùn)是多少元？

【例題3】猜想探究型操作題

如圖，在銳角三角形紙片ABC中，AC>BC,點(diǎn)D,E,F分別在邊AB,BC,CA±.

⑴已知DE〃AC,DFZ7BC.

①判斷

四邊形DECF一定是什么形狀？

②裁剪

當(dāng)AC=24*BC=20cm,NACB=45°時(shí)，請(qǐng)你探索：如何剪四邊形DECF,能使它的面積

最大，并證明你的結(jié)論；

(2)折疊

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請(qǐng)你只用兩次折疊，確定四邊形的頂點(diǎn)D,E,C,F,使它恰好為菱形，并說(shuō)明你的折法和

理由.

一、選擇題：

1.如圖，正方形硬紙片ABCD的邊長(zhǎng)是4,點(diǎn)E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，若沿左圖中的虛

線剪開(kāi)，拼成如圖的一座“小別墅”，則圖中陰影部分的面積是（）

≡拼

A.2B.4C.8D.10

2.將一張正方形紙片按如圖步驟①，②沿虛線對(duì)折兩次，然后沿③中平行于底邊的虛線剪

去一個(gè)角，展開(kāi)鋪平后的圖形是（）。

3.如圖，把一個(gè)長(zhǎng)方形的紙片按圖示對(duì)折兩次，然后剪下一部分，為了得到一個(gè)鈍角為

120°的菱形，剪口與第二次折痕所成角的度數(shù)應(yīng)為.

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A.—Λ?B.—,τC.1D.2

42

二、填空題：

5.如圖，量角器的O度刻度線為AB,將一矩形直尺與量角器部分重疊，使直尺一邊與量角

器相切于點(diǎn)C,直尺另一邊交量角器于點(diǎn)A,D,量得AD≈10cιn,點(diǎn)D在量角器上的讀數(shù)為60°,

6.如圖,將邊長(zhǎng)為12的正方形/以力沿其對(duì)角線ZIC剪開(kāi),再把△/回沿著方向平移,得到

∕?A,B,C,,當(dāng)兩個(gè)三角形重疊部分的面積為32時(shí),它移動(dòng)的距離ΛΓ等

于.

7.把標(biāo)準(zhǔn)紙一次又一次對(duì)開(kāi)，可以得到均相似的“開(kāi)紙”.現(xiàn)在我們?cè)陂L(zhǎng)為2也，寬為1

的矩形紙片中，畫(huà)兩個(gè)小矩形，使這兩個(gè)小矩形的每條邊都與原矩形的邊平行，或小矩形的

邊在原矩形紙的邊上，且每個(gè)小矩形均與原矩形紙相似，然后將它們剪下，則所剪得的兩個(gè)

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小矩形紙片周長(zhǎng)之和的最大值是.

三、解答題：

8.如圖，在菱形紙片ABCD中，ZA=60o,將紙片折疊，點(diǎn)A、D分別落在點(diǎn)A'、D'處，

EF為折痕，D'F與BC交于點(diǎn)G.試判斷NA'EB與NBGD'之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

9.如圖，矩形紙片46(力，將肥和△防0分別沿以和P0折疊(初＞4協(xié)，點(diǎn)4和點(diǎn)6都

與點(diǎn)E重合；再將△%小沿切折疊，點(diǎn)C落在線段￡0上點(diǎn)尸處.

(1)判斷44"XBPQ,ZXCQ〃和中有哪幾對(duì)相似三角形？(不需說(shuō)明理由)

3

(2)如果4Q1,SinNDMF=-,求/18的長(zhǎng).

5

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10.山地自行車越來(lái)越受到中學(xué)生的喜愛(ài)，各種品牌相繼投放市場(chǎng)，某車行經(jīng)營(yíng)的/型車去

年銷售總額為5萬(wàn)元，今年每輛銷售價(jià)比去年降低400元，若賣出的數(shù)量相同，銷售總額將

比去年減少20%.

（D今年A型車每輛售價(jià)多少元？（用列方程的方法解答）

（2）該車行計(jì)劃新進(jìn)一批A型車和新款8型車共60輛,且6型車的進(jìn)貨數(shù)量不超過(guò)A型車數(shù)

量的兩倍，應(yīng)如何進(jìn)貨才能使這批車獲利最多？

A,8兩種型號(hào)車的進(jìn)貨和銷售價(jià)格如下表：

1型車6型車

進(jìn)貨價(jià)格（元）11001400

銷售價(jià)格（元）今年的銷售價(jià)格2000

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11.如圖①，在a∕8C中，Z∕1CS=90o,AC=4cm,BC=icm,如果點(diǎn)尸由點(diǎn)8出發(fā)沿掰

的方向向點(diǎn)力勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)0由點(diǎn)｛出發(fā)沿方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng),它們速度均是1cm∕s,

連結(jié)圖，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為MS)((KK4),解答下列問(wèn)題

(1)設(shè)44P0的面積為S,當(dāng)t為何值時(shí)，S取得最大值？S的最大值是多少？

(2)如圖②，連結(jié)PG將△尸。C沿空翻折，得到四邊形旅'C,當(dāng)四邊形國(guó)"。為菱形時(shí),

求t的值；

(3)當(dāng)t為何值時(shí)，4400是等腰三角形？

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2023年中考數(shù)學(xué)考前沖刺第8講:實(shí)踐操作性問(wèn)題答案解析

【難點(diǎn)突破】著眼思路，方法點(diǎn)撥，疑難突破；

實(shí)踐操作題以趣味性強(qiáng)、思維含量高為特點(diǎn)，讓學(xué)生在實(shí)際操作的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)問(wèn)題，主

要有：（1）裁剪、折疊、拼圖等動(dòng)手操作問(wèn)題，往往與面積、對(duì)稱性相聯(lián)系；（2）與畫(huà)圖、測(cè)

量、猜想、證明等有關(guān)的探究性問(wèn)題.在動(dòng)手操作過(guò)程中或在給出的操作規(guī)則下，進(jìn)行探

索研究、大膽猜想、發(fā)現(xiàn)結(jié)論，不僅為解題者創(chuàng)造了動(dòng)手實(shí)踐操作與方案設(shè)計(jì)的平臺(tái)，而且

也借此考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力.

解答操作型題一般要經(jīng)歷觀察、操作、思考、想象、反思等實(shí)踐活動(dòng)，利用自己已有的

經(jīng)驗(yàn)，感知并發(fā)現(xiàn)結(jié)論，從而解決問(wèn)題.

方案設(shè)計(jì)問(wèn)題涉及面較廣，內(nèi)容比較豐富，題型變化較多，不僅有方程、不等式、函數(shù)，

還有幾何圖形的設(shè)計(jì)等.方案設(shè)計(jì)題是通過(guò)設(shè)置一個(gè)實(shí)際問(wèn)題情景，給出若干信息，提出解

決問(wèn)題的要求，要求學(xué)生運(yùn)用學(xué)過(guò)的技能和方法，進(jìn)行設(shè)計(jì)和操作，尋求恰當(dāng)?shù)慕鉀Q方案.有

時(shí)也給出幾個(gè)不同的解決方案，要求判斷哪個(gè)方案較優(yōu).

解決與方程和不等式有關(guān)的方案設(shè)計(jì)題，通常利用方程或不等式求出符合題意的方案；

而與函數(shù)有關(guān)的方案設(shè)計(jì)題，一般有較多種供選擇的解決問(wèn)題的方案，但在實(shí)施中要考慮到

經(jīng)濟(jì)因素，此類問(wèn)題類似于求最大值或最小值的問(wèn)題，通常用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析；與幾何

圖形有關(guān)的方案設(shè)計(jì)題，一般是利用幾何圖形的性質(zhì)，設(shè)計(jì)出符合某種要求和特點(diǎn)的圖案

解答操作性試題，關(guān)鍵是審清題意，學(xué)會(huì)運(yùn)用圖形的平移變換、翻折變換和旋轉(zhuǎn)變換、

位似變換，注意運(yùn)用分類討論、類比猜想、驗(yàn)證歸納等數(shù)學(xué)思想方法，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，

要注重操作習(xí)題解題訓(xùn)練，提高思維的開(kāi)放性，培養(yǎng)創(chuàng)新能力，要學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去觀察、

分析、抽象、概括所給的實(shí)際問(wèn)題，揭示其數(shù)學(xué)本質(zhì)，并轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

【例題1】動(dòng)手操作型：

矩形紙片/況。中，4B=5,4.

（1）如圖1,四邊形網(wǎng)好'是在矩形紙片4時(shí)中裁剪出的一個(gè)正方形.你能否在該矩形中裁

剪出一個(gè)面積最大的正方形，最大面積是多少？說(shuō)明理由；

（2）請(qǐng)用矩形紙片/a?剪拼成一個(gè)面積謖大的正方形.要求：在圖2的矩形/6⑦中畫(huà)出裁

剪線，并在網(wǎng)格中畫(huà)出用裁剪出的紙片拼成的正方形示意圖（使正方形的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格的格

點(diǎn)上）.

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I?<1

iL--+-+-+-

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MDI:1?

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1--.->-—-I-i—i---i-i—I

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ANB-i-+--i-i—I

圖1

解：(1)正方形的最大面積是16.設(shè)AM=x(0≤x≤4),則MD=4-χ.易推RtΔΛNM^RtΔDMF,

.?.DM=AN,,S正方彩MSEF=X?+(4—x)2=2(x—2尸+8.；此函數(shù)圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x=2,

又0WxW4,.?.當(dāng)x=0或x=4時(shí)，SiE方JBlm.最大，最大值是16(2)畫(huà)出分割線，拼出圖形,

如圖：

【點(diǎn)撥】(1)構(gòu)建函數(shù)模型，由自變量的取值范圍可求出最大面積:

(2)由矩形面積為20—f正方形邊長(zhǎng)為訴一一下十爐=(圾￥—畫(huà)出符合要求的正方形.

【例題2】方案設(shè)計(jì)型:

某商場(chǎng)籌集資金12.8萬(wàn)元，一次性購(gòu)進(jìn)空調(diào)、彩電共30臺(tái).根據(jù)市場(chǎng)需要，這些空調(diào)、彩

電可以全部銷售，全部銷售后利潤(rùn)不少于1.5萬(wàn)元，其中空調(diào)、彩電的進(jìn)價(jià)和售價(jià)見(jiàn)表格.

空調(diào)彩電

進(jìn)價(jià)(元/臺(tái))54003500

售價(jià)(元/臺(tái))61003900

設(shè)商場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)空調(diào)X臺(tái)，空調(diào)和彩電全部銷售后商場(chǎng)獲得的利潤(rùn)為y元.

(L)試寫(xiě)出y與X的函數(shù)關(guān)系式;

(2)商場(chǎng)有哪幾種進(jìn)貨方案可供選擇？

(3)選擇Iw種進(jìn)貨方案，商場(chǎng)獲利最大？最大利潤(rùn)是多少元?

第9頁(yè)共21頁(yè)

解：(l)y=300x+12000

(2)由題意

得PoOX+35。。(30-x)≤1280001

[300x+12000^15000,

9

解得10Wx≤12二，；x為整數(shù)，.?.x=10,11,12.即商場(chǎng)有三種方案可供選擇：①購(gòu)空調(diào)

19

10臺(tái)，購(gòu)彩電20臺(tái)：②購(gòu)空調(diào)11臺(tái)，購(gòu)彩電19臺(tái)：③購(gòu)空調(diào)12臺(tái)，購(gòu)彩電18臺(tái)

(3)?.?y=300x+12000,k=300>0,y隨X的增大而增大，即當(dāng)x=12時(shí)，y有最大值，y

皿=300X12+12000=15600(元).故購(gòu)空調(diào)12臺(tái)，購(gòu)彩電18臺(tái)時(shí)，商場(chǎng)獲利最大，最大

利潤(rùn)是15600元

【點(diǎn)撥】審題，確定函數(shù)關(guān)系和不等關(guān)系一f由整數(shù)解得出供選方案一一由最大利潤(rùn)確定

進(jìn)貨方案

【例題3】猜想探究型操作題

如圖，在銳角三角形紙片ABC中，AC>BC,點(diǎn)D,E,F分別在邊AB,BC,CA±,

(1)已知DE〃AC,DF√BC.

①判斷

四邊形DECF一定是什么形狀？

②裁剪

當(dāng)AC=24cm,BC=20cm,ZΛCB=45o時(shí)，請(qǐng)你探索：如何剪四邊形DECF,能使它的面積

最大，并證明你的結(jié)論；

(2)折疊

請(qǐng)你只用兩次折疊，確定四邊形的頂點(diǎn)D,E,C,F,使它恰好為菱形，并說(shuō)明你的折法和

理由.

AA

BECBC

備用圖

解：(1)平行四邊形(2)設(shè)FC=XCT(0<X<24),則AF=(24-χ)CW.過(guò)點(diǎn)F作FH_LBC于

npAr5

點(diǎn)H,貝!]FH=工X.；DF〃BC,ΛΔADF<×>ΔABC,二一=一,.?DF=-(24-χ),I)KF=DF?FH

2BCAC6

=與(24—x)?-^x——~~^?f2(x-⑵.,.當(dāng)X=12時(shí)，四邊形DECF面積取得最大值

6212

第10頁(yè)共21頁(yè)

60√2,此時(shí)FC=，C,即沿著三角形的中位線DF,DE剪四邊形DECF,能使它的面積最大（3）

先折NACB的平分線（使CB落在CA上），壓平，折線與AB的交點(diǎn)為點(diǎn)D；再折DC的垂直平

分線（使點(diǎn)C與點(diǎn)D重合），壓平，折線與BC,CA的交點(diǎn)分別為點(diǎn)E,F,展平后四邊形DECF

就是菱形.理由：對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形

一、選擇題：

1.如圖，正方形硬紙片ABCD的邊長(zhǎng)是4,點(diǎn)E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，若沿左圖中的虛

線剪開(kāi)，拼成如圖的一座“小別墅”，則圖中陰影部分的面積是（）

A.2B.4C.8D.10

【解答】解：陰影部分由一個(gè)等腰直角三角形和一個(gè)直角梯形組成，

由第一個(gè)圖形可知：陰影部分的兩部分可構(gòu)成正方形的四分之一，

正方形的面積=4X4=16,

圖中陰影部分的面積是16÷4=4.

故選:B.

2.將一張正方形紙片按如圖步驟①，②沿虛線對(duì)折兩次，然后沿③中平行于底邊的虛線剪

去一個(gè)角，展開(kāi)鋪平后的圖形是（）。

【解析】：沿虛線剪開(kāi)以后，剩下的圖形先向右上方展開(kāi)，缺失的部分是一個(gè)等腰直角三角

第11頁(yè)共21頁(yè)

形，用直角邊與正方形的邊是分別平行的，再沿著對(duì)角線展開(kāi)，得到圖形A。

故答案為A。

3.如圖，把一個(gè)長(zhǎng)方形的紙片按圖示對(duì)折兩次，然后剪下一部分，為了得到一個(gè)鈍角為

120°的菱形，剪口與第二次折痕所成角的度數(shù)應(yīng)為..

【解答】：如圖，根據(jù)剪紙的折疊對(duì)稱性質(zhì)可知，四邊形ABCD是菱形,

ΛZABD=1ZΛBC,ZBΛC='ZBAD,AD〃BC。

，2

VZBAD=120o,ΛZABC=180-ZBAD=180o-120°=60°

ΛZΛBD=30o,ZBΛC=60o。

???剪口與折痕所成的角a的度數(shù)應(yīng)為30°或60°。

4.如圖，等腰RtZXABC中，斜邊AB的長(zhǎng)為2,。為AB的中點(diǎn)，P為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，OQ±

OP交BC于點(diǎn)Q,M為PQ的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為（）

A.,,溝B.—JTC.1D.2

42

【分析】連接0C,作PELAB于E,MHJ_AB于H,QFJ_AB于F,如圖，利用等腰直角三角形

的性質(zhì)得AC=BC=力，ZA=ZB=45o,OC±ΛB,OC=OA=OB=I,Z0CB=45o,再證明RtZkAOP

第12頁(yè)共21頁(yè)

^4COQ得到AP=CQ,接著利用AAPE和aBFQ都為等腰直角三角形得到PE=二，AP=jCQ,

√2?/?1

QF=—BQ,所以PE+QF=-BC=L然后證明MH為梯形PEFQ的中位線得到MH=2，即可

222

判定點(diǎn)M到AB的距離為L(zhǎng),從而得到點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路線為AABC的中位線，最后利用三角形

2

中位線性質(zhì)得到點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng).

【解答】解：連接OC,作PELAB于E,MHLAB于H,QFLAB于F,如圖，

VAACB為到等腰直角三角形，

,AC二BoqAB=C，NA=NB=45°,

???0為AB的中點(diǎn)，

ΛOC±AB,OC平分NACB,OC=OA=OB=I,

ΛZ0CB=45o,

VZP0Q=90o,ZC0A=90o,

ΛZAOP=ZCOQ,

在RtaAOP和aCOQ中

'LA=ZoCQ

AO=CO，

.?AOP=LCOQ

ΛRtΔAOP^ΔCOQ,

ΛAP=CQ,

易得aAPE和aBFQ都為等腰直角三角形，

√2√2y∣r2

/.PE=-AP=-CQ,QF=-BQ,

222

√2√2√2r-

ΛPE+QF=-(CQ+BQ)=—BC=-×√2=b

4)M??——

YM點(diǎn)為PQ的中點(diǎn)，

.?.MH為梯形PEFQ的中位線，

,MH=，(PE+QF)=-,

22

即點(diǎn)M到AB的距離為1,

而CO=L

???點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路線為AABC的中位線,

第13頁(yè)共21頁(yè)

.??當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)=彳AB=L

二、填空題：

5.如圖，量角器的O度刻度線為AB,將一矩形直尺與量角器部分重疊，使直尺一邊與量角

器相切于點(diǎn)C,直尺另一邊交量角器于點(diǎn)A,D,量得AD=IOcm,點(diǎn)D在量角器上的讀數(shù)為60°,

則該直尺的寬度為cm。

【分析】因?yàn)橹背吡硪贿匛F與圓。相切于點(diǎn)C,連接0C,可知求直尺的寬度就是求CG=OC-0G,

而OC=OA；OG和OA都在RtaAOG中，即根據(jù)解直角三角形的思路去做：由垂定理可知

AG=DG=LAD=5cm,NAOG=LNAoD=60°,從而可求答案.

22

【解答】解：如圖，連結(jié)0D,0C,OC與AI）交于點(diǎn)G,設(shè)直尺另一邊為EF,

因?yàn)辄c(diǎn)D在量角器上的讀數(shù)為60°,

所以NAOD=I20°,

因?yàn)橹背咭贿匛F與量角器相切于點(diǎn)C,

第14頁(yè)共21頁(yè)

所以O(shè)C±EF,

因?yàn)镋F∕∕AD,

所以O(shè)CLAD,

由垂徑定理得AG=DGAD=5cm,ZAOG=?ZA0D=60o,

22

在RtZ?AOG中，AG=5cm,ZA0G=60o,

,AG5√5AG10√5

貝πOG=-----------=--------cm,OC=OΛ=----------=---------Cm

tan6003sin6003

rι,10√55√5

貝（JCG=zOC-OG=----------------cm.

33

6.如圖,將邊長(zhǎng)為12的正方形485沿其對(duì)角線4C剪開(kāi),再把△/!a'沿著Λ9方向平移,得到

∕?A,B,C,,當(dāng)兩個(gè)三角形重疊部分的面積為32時(shí),它移動(dòng)的距離4小等

于.

【解析】分析：本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)及平移的基本性質(zhì).

【解析】設(shè)CD與A，C'交于點(diǎn)H,AC與A，B，交于點(diǎn)G,

由平移的性質(zhì)知，A,B,與CD平行且相等，ZACB,=45o,ZDHA,=ZDA,H=45o,

,△DA'H是等腰直角三角形，Λ,D=DH,四邊形A'GCH是平行四邊形，

YSrWHOB'C=(CD-DH)?DH=1,

ΛDH=A,D=I,

.?.AA,=AD-A,D=I.

故答案為1.

點(diǎn)評(píng)：本題需要運(yùn)用等腰直角三角形的判定和性質(zhì)及平移的基本性質(zhì)結(jié)合求解.注意平移不

第15頁(yè)共21頁(yè)

改變圖形的形狀和大小；經(jīng)過(guò)平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等，對(duì)應(yīng)線段平行且相等，

對(duì)應(yīng)角相等.

7.把標(biāo)準(zhǔn)紙一次又一次對(duì)開(kāi)，可以得到均相似的“開(kāi)紙”.現(xiàn)在我們?cè)陂L(zhǎng)為2心，寬為1

的矩形紙片中，畫(huà)兩個(gè)小矩形，使這兩個(gè)小矩形的每條邊都與原矩形的邊平行，或小矩形的

邊在原矩形紙的邊上，且每個(gè)小矩形均與原矩形紙相似，然后將它們剪下，則所剪得的兩個(gè)

小矩形紙片周長(zhǎng)之和的最大值是一生+外揚(yáng)一.

4

【解析】在長(zhǎng)為2/，寬為1的矩形紙片中，畫(huà)兩個(gè)小矩形，使這兩個(gè)小矩形的每條邊

都與原矩形紙的邊平行，或小矩形的邊在原矩形的邊上，且每個(gè)小矩形均與原矩形紙相似，

二要使所剪得的兩個(gè)小矩形紙片周長(zhǎng)之和最大，則這兩個(gè)小矩形紙片長(zhǎng)與寬的和最大.

：矩形的長(zhǎng)與寬之比為2貶：1,

二剪得的兩個(gè)小矩形中，一個(gè)矩形的長(zhǎng)為1,寬為母=也，

2√24

?/o7λ∕?17

.?.另外一個(gè)矩形的長(zhǎng)為2/r一坐=",寬為/____=4

442忠8

f1+√l+Zλ?+z)

所剪得的兩個(gè)小矩形紙片周長(zhǎng)之和的最大值是448j=4√2+-.

4

三、解答題：

8.如圖，在菱形紙片ABCD中，ZA=60o,將紙片折疊，點(diǎn)A、D分別落在點(diǎn)A'、D'處，

EF為折痕，D'F與BC交于點(diǎn)G.試判斷NA'EB與NBGD'之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

【分析】：根據(jù)菱形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可知NEA'D'=60°,ZA,D,G=120o,Z

ABC=I20°,再根據(jù)周角的定義和多邊形內(nèi)角和定理即可求解.本題考查了翻折變換的性質(zhì),

菱形的性質(zhì)，周角的定義，熟記翻折前后的圖形能夠重合得出NEA'D'=60°,NA'D'

G=120°是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn).

【解答】：NA'EB+ZBGD,=120°,

證明：；在菱形紙片ABCD中，ZA=60o,

第16頁(yè)共21頁(yè)

ΛZD=120o,ZΛBC=120o,

由折疊的性質(zhì)可知NEA'D'=60o,NA'D'G=120o,

ΛZA,EB+ZBGDz=180,°×3-(360o-120o)-(120o+60°)=120°.

9.如圖，矩形紙片/比A將即和△鰭0分別沿和放折疊(">4妨，點(diǎn)/和點(diǎn)8都

與點(diǎn)后重合；再將4S“沿〃。折疊，點(diǎn)。落在線段園上點(diǎn)少處.

⑴判斷△4“，ABPQ,△。勿和附中有口那幾對(duì)相似三角形？(不需說(shuō)明理由)

3

(2)如果4Q1,WDMF=-,求力8的長(zhǎng).

【解析】(DAAMP^XBPQ^叢CQD,

???四邊形力靦是矩形，

：.ZA=ZB=ZC=^0o,

根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：

4APM=4EPM,4EPg4BPQ,

：.ZAPM+ABPQ=ΛEPM+ZEPQ=QOo,

?；NAPM+∕AMP=90°,

ΛBPQ=ZAMPf

同理：XBPgXCQD,

根據(jù)相似的傳遞性，XAMPSXCQD,?

(2)，：AD〃BC,

：.ZDQC=AMDQ,

根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：/DQC=/DQM,

：.AMDQ=ADQM,LMD=MQ,

TAM=ME,BQ=EQ,

：.BQ=MQ-ME=MD-力機(jī)

DF3

?WDMF=-=~,

MD5

第17頁(yè)共21頁(yè)

：.談DF=3x,MD=5x，

?V

：.BP=PA=PE=-,BQ=5X-If

2

Y△力2XBPQ,

.AM_AP

"'BP~~BQ

3x

2

解得X=-或x=2,

9

又?：AP>AM,

???x=2時(shí)，AP=-<AM9

93

2

.?.*=4時(shí)，不符合題意，

9

ΛAβ=6.

10.山地自行車越來(lái)越受到中學(xué)生的喜愛(ài)，各種品牌相繼投放市場(chǎng)，某車行經(jīng)營(yíng)的i型車去

年銷售總額為5萬(wàn)元，今年每輛銷售價(jià)比去年降低400元，若賣出的數(shù)量相同，銷售總額將

比去年減少20%.

(1)今年A型車每輛售價(jià)多少元？(用列方程的方法解答)

(2)該車行計(jì)劃新進(jìn)一批A型車和新款8型車共60輛,且8型車的進(jìn)貨數(shù)量不超過(guò)A型車數(shù)

量的兩倍，應(yīng)如何進(jìn)貨才能使這批車獲利最多？

A,8兩種型號(hào)車的進(jìn)貨和銷售價(jià)格如下表：

4型車8型車

進(jìn)貨價(jià)格(元)11001400

銷售價(jià)格(元)今年的銷售價(jià)格2000

【解析】：(1)設(shè)今年/型車每輛售價(jià)為X元，則去年每輛售價(jià)為(x+400)元，由題意得

5000050000(l-20?)

X+400X

解得X=1600,經(jīng)檢驗(yàn)，X=1600是方程的根，則今年｛型車每輛售價(jià)為1600元

(2)設(shè)今年新進(jìn)/1型車a輛，則8型車(60-x)輛，獲利y元，由題意得

y=(1600-1100)a+(2000-1400)(60~a),Λy=-100a+36000.

第18頁(yè)共21頁(yè)

?.?8型車的進(jìn)貨數(shù)量不超過(guò)/1型車數(shù)量的兩倍,

Λ60-a≤2a,Λa^20.

Vy=-IOOa+36000,Λk=-100<0,

；.y