高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 函數(shù)的周期性

第2.6章函數(shù)的應(yīng)用

2.6.4函數(shù)的周期性

鱉課程要求了修?求心中有敷

1理解函數(shù)周期性的概念;

高中要求2掌握求函數(shù)的周期性;

3掌握函數(shù)的周期性的應(yīng)用.

3基礎(chǔ)知識(shí)夯實(shí)基?立完整如螭停系

1概念

對(duì)于函數(shù)y=/(x),如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)7,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，/(x+7)=/(久)都成

立，那么把函數(shù)y=/(x)叫做周期函數(shù)，常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期.

Eg：

A(—7T,0)

上圖是三角函數(shù)f(x)=S譏X的圖像

①函數(shù)圖像可看成由紅色那段圖像玩“分身術(shù)”的向兩邊延申；

②紅色圖像的水平長(zhǎng)度為48=2兀，它就是函數(shù)的最小正周期7,即7=2兀；

(思考：4兀是周期么)

③整個(gè)函數(shù)，對(duì)于任何工,都有/(久+2兀)=/Q).

(簡(jiǎn)單說(shuō)來(lái)，兩個(gè)自變量相差2兀，它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值均相等)

下面兩個(gè)圖像也是周期函數(shù)的圖像！他們的周期是什么？最小正周期呢？

①若f(x+a)=/(%+h),則y=f(%)的周期是T=a-b.

②若f(x+a)=-f(x),則y=f(%)的周期是T=2a；

證明f(x+2a)=-/(%+a)=-[-7(%)]=/(%),所以y=/(%)的周期是T=2a.

③若/(%+a)=六，則y=/(%)的周期是T=2a.

證明f(x+2a)=J]=±=f(x)，所以y=/(%)的周期是T=2a.

f(x)

經(jīng)典例題從典例中見(jiàn)IWIH8力

【題型1】求值問(wèn)題

【典題1】若函數(shù)/(X)的定義域?yàn)镽,且對(duì)一切實(shí)數(shù)X,都有f(一X)=f(X),且/'(2+x)=f(2-久)，試證明

為周期函數(shù).并求出它的一個(gè)周期.

證明：函數(shù)-x)的定義域?yàn)镽,且對(duì)一切實(shí)數(shù)”,都有f(-x)=f(x),且f(2+久)=/(2-x),

.??"4+%)=f[2+(2+%)]=f[2-(2+%)]=/(-%)=/(%),

即f(x)為周期函數(shù).

4即為函數(shù)的一個(gè)周期.

變式練習(xí)

1.已知函數(shù)人支)滿足-%+1)=--%)且f(l)=2.證明f(x)是周期函數(shù)并求出它的一個(gè)周期.

證明?；f(x+1)=-/(%),

?1?/(X+2)=-fix+1)=-[-/(切=f(x),

???/(X)是周期函數(shù),

???/(久)的一個(gè)周期是2.

2.對(duì)函數(shù)/(%),當(dāng)“€(-8,+8)時(shí),f(2-x)=/(2+x),f(7—x)—f(7+x),證明：函數(shù)y=/(久)為

周期函數(shù).

證明：1?1f(2-x)-f(2+x),—x)-/(4+x),

又/(7-x)=f(7+x),/(-x)=f(14+%)；

故/(4+%)=f(14+%)；

故/(%)=/(IO+x)；

故10是函數(shù)f(%)的周期；

故函數(shù)y=/(%)為周期函數(shù).

3.定義：對(duì)任意實(shí)數(shù)居國(guó)表示不超過(guò)久的最大整數(shù)，稱因?yàn)椋サ恼麛?shù)部分，{行為其相應(yīng)的小數(shù)部分，{%}=%-

[x],函數(shù)g(%)={%}.

(1)求方程/-[%]-1=0的解；

(2)用周期函數(shù)定義證明g(%)是周期函數(shù)；

答案(1)V2(2)略

解析(1)解：①當(dāng)2)時(shí)，=由/一[%]—1=0,得/=2,得久=&E[1,2)；

②當(dāng)％C[0,1)時(shí)，[%]=0,由/一-1=0,得第2=1,得％=1￡[0,1)；

③當(dāng)?shù)?[—1/0)時(shí)，[%]——1,由/—[%]—1=0,得X=02[—1/0)；

以此類推，當(dāng)T<一1時(shí)，由/一=得%2<0,無(wú)解；

當(dāng)％之2時(shí)，方程/-[%]-1=0仍然無(wú)解.

綜上宛=V2；

(2)證明：xER,必存在kEZ,有％fc+1)=>[%]=fc,

則％+16[fc+1//c+2)=[%+1]=k+1,從而可得[%+1]=[x]+1,

故+1)={%+1}=%+1—[%+1]=%-[%]={久}=g(%),

??.g(%)為周期函數(shù),且7=1；

【題型2】應(yīng)用

【典題1】已知奇函數(shù)/(%)對(duì)任意實(shí)數(shù)%滿足f(x+2)=-/(%),當(dāng)％E[0,2],/(%)=2X-1,則

/。臉9)=()

7799

A.-B.-gC.-D.-y

解析根據(jù)題意，函數(shù)/(%)對(duì)任意實(shí)數(shù)久滿足f(%+2)=-/(%),

則函數(shù)/(%)是周期為4的周期函數(shù)，

/(log29)=/(log29-4)=/(log2=-f(log2y).

10g2

又由0<log2y<1,W(log2y)=2v-1=^-1=Z,

則/(log29)=-/

故選：B.

【典題2】定義在R上的奇函數(shù)/(久)滿足f(l-x)=/(I+x),且在(0,1)上單調(diào)遞減.若方程f(x)=-1在

(0,1)上有實(shí)數(shù)根，則方程/(x)=l在區(qū)間(-1,7)上的所有實(shí)數(shù)根之和是()

A.12B.14C.6D.7

答案A

解析由-x)=/(I+x),所以f(2-x)=f(x),

由/'(?是R上的奇函數(shù)知/(x)

所以/"(2—%)=-/1(-x),

所以f(2+x)=-f(x),/(4+x)=-f(2+x)=/(x),

所以打K)是以4為周期的周期函數(shù).

考慮“X)的一個(gè)周期，例如［-1,3］,

由/(x)在［0,1)上是減函數(shù)知〃>)在(1,2］上是增函數(shù)，

/(%)在(一1,0］上是減函數(shù)，/CO在［2,3)上是增函數(shù).

對(duì)于奇函數(shù)/(x)有f(0)=0,/(2)=f(2-2)=/(0)=0,

故當(dāng)xW(0,1)時(shí)，/(%)<f(0)=0,當(dāng)x€(l,2)時(shí)，/(x)</(2)=0,

當(dāng)xe(—l,0)時(shí),/(%)>/(0)=0,當(dāng)xe(2,3)時(shí)，/(久)>/(2)=0,

方程/'(>)=-1在［0，1)上有實(shí)數(shù)根，

則這實(shí)數(shù)根是唯一的，因?yàn)?(%)在(0,1)上是單調(diào)函數(shù)，

則由于f(2-x)=f(x),故方程f(x)=-1在(1,2)上有唯一實(shí)數(shù).

在(一L0)和(2,3)±/(x)>0,

則方程f(x)=-l在(-1,0)和(2,3)上沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

從而方程久%)=-1在一個(gè)周期內(nèi)有且僅有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

當(dāng)久6［-1,3］,方程/(久)=一1的兩實(shí)數(shù)根之和為x+2—x=2,

當(dāng)7］,方程/'(>)=—1的所有四個(gè)實(shí)數(shù)根之和為x+2—x+4+x+4+2—x=2+8+2=

12.

故選：A.

變式練習(xí)

1.若函數(shù)/(久)是周期為4的奇函數(shù)，且"1)=3,則"3)=()

A.-2B.2C.-3D.3

答案c

解析依題意，/(3)=/(-1)=-/(1)=-3.故選：C.

設(shè)函數(shù)/(久)對(duì)任意久6R都有“久+2)=—/(%)且f(2)=2,則f(2020)=()

A.2B.-2C.2020D.-2020

答案B

解析由/(x+2)=-f(x),可得/'(x+4)=/(x),故函數(shù)的周期為4.

則f(2020)=/(0)=-/(2)=-2,

故選：B.

3.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x),滿足/'。+4)=-7'(%),且在［0,2］上單調(diào)遞減，貝！|()

4./(8)</(II)<f(15)B./(II)</(8)<"15)

C./(15)</(II)</(8)D./(15)</(8)</(II)

答案B

解析:y(x)為R上的奇函數(shù)，且滿足/■(%+4)=-/'(X),

???/(%)是以8為周期的函數(shù)，

7(8)=7(0),/(H)=/(3)=-/(-1)=/(I)，f(15)=/⑺=/(—1)，

又/(x)在區(qū)間［0,2］上單調(diào)遞減，

???/(-1)>/(0)>/⑴,BP/C15)>/(8)>/(II).

故選：B.

4.若定義在實(shí)數(shù)集R上的/(X)滿足：久€(-3,-1)時(shí)，+=ex,對(duì)任意xdR,都有/(%+2)=

成立./(2019)等于()

A.e2B.e~2C.eD.1

答案B

解析根據(jù)題意，對(duì)任意XCR,都有f(久+2)=心1成立，則有f0+4)=1=f(x)，

即函數(shù)/(久)是周期為4的周期函數(shù)，

則f(2019)=/(-1+2020)=/(-1),

xe(-3,-1)時(shí)，f(x+1)=ex,當(dāng)x=-2時(shí)，有/1(-l)=e-2,

則f(2019)=e-2,

故選：B.

5.函數(shù)/(%)的定義域?yàn)镽,且/(久)=f(x-3),當(dāng)一2W久<0時(shí)，/(x)=(x+I)2；當(dāng)0W尤<1時(shí)，/(%)=-

2%+1,財(cái)晨1)+/(2)+“3)+...+“2018)=()

A.671B.673C.1343D.1345

答案D

解析函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且/(x)=/(x-3),得函數(shù)周期為3,

所以/(I)+-2)+/(3)+...+/(2018)=672X[/?⑴+f(2)+/(3))]+/(I)+”2)

/(I)=f(-2)=1,/(2)=/(-1)=0,/(3)=/(0)=1,帶入上式,得

/(I)+f(2)+/(3)+...+f(2018)=672X[/(I)+/(2)+/(3))]+/(I)+f(2)=1345.

故選：D.

Q

1.設(shè)/(久)是周期為4的奇函數(shù)，當(dāng)OWxWl時(shí)，/Q)=久(1+久)，則/(—?!)=()

3113

A--4B.一4C.D.

答案A

解析,?1/(尤)是周期為4的奇函數(shù)，當(dāng)0WxW1時(shí)，f(x)=x(l+x),

故選：A.

2.已知函數(shù)/(%)滿足f(0)=2,且對(duì)任意久6R都滿足/(x+3)=—/(%)，則/(2019)的值為()

A.2019B.2C.0D.-2

答案D

解析f(x+3)=-f(x)，：.f(x+6)=-/(%+3)=f(x),

??.f(x)的周期為6,???f(2019)=f(3),

X/(3)=-/(0)=-2,.-./(2019)=-2.

故選：D.

1

3,設(shè)偶函數(shù)/(尤)對(duì)任意xGR,都有/(%+3)，且當(dāng)xG[-3,-2]時(shí),/(x)=4x,則/(107.5)=

7W

答案卷

解析fix+3)=-fix+6)=一；=/(%),

A

J1J八%十”一7函

???函數(shù)/(%)是以6為周期的函數(shù).

,??當(dāng)％G[-3,-2]時(shí)，/(%)=4%,

1111

,?山07.5)=/(6X17+5.5)=/(5.5)=-=-7(=25)-47(=Z5)=10-

,心》,1

故答案為：—.

4.已知定義在R上的函數(shù)/(久)滿足f(%+5)=-/(%)+2,且當(dāng)xe(0,5)時(shí)，“久)=x,貝!Jf(2018)的值為

答案-1

解析,??定義在R上的函數(shù)｛x)滿足f(x+5)=-f(x)+2,

當(dāng)xe(0,5)時(shí),/(X)=X,

f(x+10)=—f(x+5)+2=—[—/(x)+2]+2=f(x),

：./(2018)=f(201x10+8)=f(8)=-f⑶+2=-3+2=-1.

故答案為：一L

5.設(shè)函數(shù)/(久)是定義在R上的奇函數(shù)，滿足f(x+l)=-f(x—1),若f(-1)>1,"5)=。2一2a—4,則

實(shí)數(shù)a的取值范圍是—.

答案(一1,3)

解析由+l)=-/(x-l),可得f(久+2)=-/(x),

則/叫+4)=-/(%+2)=/(%),故函數(shù)/(%)的周期為4,

貝好⑸=/(I)=a2-2a-4,

又?.?函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，/(-1)>1,

?1?a2-2a-4<-1,解得一1<a<3.

二實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-1,3).

6.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足/(X)+f(2—x)=0,且當(dāng)x￡[0,1]時(shí),/(x)=2x-2.

(1)證明/(久)是周期函數(shù)，并求/(2022)的值;

(2)求函數(shù)/(嗎在區(qū)間[1,3]上的解析式.

答案(1)證明略，/(2022)=1⑵/G)=f—

(2-2X-Z,xe(2,3]

解析(1)證明：因?yàn)槎x在R上的偶函數(shù)fCr)滿足/'(久)+/(2一比)=0,

BP/(x)=-f(2-x)=-/[-(x-2)]=-f(x-2),

所以f(x+2)=-/(%),

所以/(久+2+2)=-/(%+2)=-[-/(%)]=/(x)，

即f(x+4)=f(x),

所以函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，周期為4,

又f(x)+1(2-x)=0,

所以/'(())+f(2)=0,

所以f(2022)=/(4x505