九年級政治造福人民的經(jīng)濟(jì)制度2課件

冪級數(shù)及其收斂性powerseries1冪級數(shù)及其收斂性powerseries1冪級數(shù)1.定義定義如下形式的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)??a(x?x)n0n?0n?a0?a1(x?x0)???an(x?x0)??n

an

為常數(shù).稱為(x?x0)的冪級數(shù),其中?an?0?nx稱為x的冪級數(shù).n2冪級數(shù)1.定義定義如下形式的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)??a(x?x)n0n冪級數(shù)2.收斂半徑和收斂域級數(shù)?x?1?x?x??n2n?0?前

n

項(xiàng)部分和Sn?1?x?x???x1當(dāng)

|x|?1

時(shí),原級數(shù)收斂于

;1?x當(dāng)

|x|?1

時(shí),原級數(shù)發(fā)散.2n?11?x?1?xn級數(shù)的收斂域(?1,1).3冪級數(shù)2.收斂半徑和收斂域級數(shù)?x?1?x?x??n2n?0阿貝爾(Abel)(挪威)1802–1829（阿貝爾第一定理）定理1如果級數(shù)?anx在

x?x0

(x0?0)收斂,nn?0?則它在滿足不等式|x|?|x0|的一切x處絕對收斂;如果級數(shù)?anx在

x?x0

處發(fā)散,則它在滿足nn?0?不等式|x|?|x0|的一切x處發(fā)散.anx0?0證(1)

?

?anx0收斂?

limn??nn?0?n從而數(shù)列{anx}有界,即有常數(shù)M>0,使得|anx0|?M

(n?0,

1,

2,

?)4n0n阿貝爾(Abel)(挪威)1802–1829（阿貝爾第一定冪級數(shù)|anx0|?M

(n?0,

1,

2,

?)nxnxnnnxn|anx|?|anx0?n|?|anx0|?||?M?||x0x0x0?xxn?

當(dāng)

||?1

時(shí),等比級數(shù)

?M||

收斂,x0x0n?0?nn|x|?|x0|?

?|anx|

收斂,即級數(shù)

?anx(|x|?|x0|)

絕對收斂;nn?0?n?0(2)

假設(shè)當(dāng)

x?x0

時(shí)發(fā)散,但有一點(diǎn)x1適合|x1|?|x0|使級數(shù)收斂,由(1)結(jié)論,則級數(shù)當(dāng)

x?x0時(shí)應(yīng)收斂,這與所設(shè)矛盾.|x|?|x0|5冪級數(shù)|anx0|?M(n?0,1,2,?)nxnx冪級數(shù)幾何說明發(fā)散區(qū)域?R?收斂區(qū)域On?R發(fā)散區(qū)域x推論如果冪級數(shù)?anx不是僅在x=0一點(diǎn)收斂,n?1也不是在整個數(shù)軸上都收斂,則必有一個完全確定的正數(shù)R存在,它具有下列性質(zhì):當(dāng)

|x|?R

時(shí),冪級數(shù)絕對收斂;當(dāng)

|x|?R

時(shí),冪級數(shù)發(fā)散.當(dāng)

x?R

與

x??R

時(shí),冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.6冪級數(shù)幾何說明發(fā)散區(qū)域?R?收斂區(qū)域On?R發(fā)散區(qū)域x推論如冪級數(shù)定義正數(shù)R稱為冪級數(shù)的收斂半徑.(?R,R)

稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間.收斂區(qū)間連同收斂端點(diǎn)稱為冪級數(shù)的收斂域.規(guī)定(1)冪級數(shù)只在x=0處收斂,R?0,收斂區(qū)間x?0;(2)冪級數(shù)對一切x都收斂,R???,收斂區(qū)間(??,??).問:如何求冪級數(shù)的收斂半徑?7冪級數(shù)定義正數(shù)R稱為冪級數(shù)的收斂半徑.(?R,R)稱為冪冪級數(shù)定理2設(shè)冪級數(shù)?anx的所有系數(shù)an?0nn?0?an?1??(或

limn|an|??）且limn??n??an1(1)當(dāng)

??0

時(shí),R?;(2)當(dāng)

??0

時(shí),R???;?(3)當(dāng)

????

時(shí),R?0.

?|anx|,由正項(xiàng)級數(shù)的比值判別法,證對級數(shù)nn?0?|an?1||an?1x|?lim|x|limn??|a|n??|axn|nn8n?1冪級數(shù)定理2設(shè)冪級數(shù)?anx的所有系數(shù)an?0nn?0?an|an?1x||an?1|lim?lim|x|n??|axn|n??|a|nnan?1(1)

如果

lim||??

(??0)

存在,則n??a比n?值當(dāng)

|x|?1

時(shí),級數(shù)

axn絕對收斂;?n判?n?0別?1法當(dāng)

|x|?

時(shí),級數(shù)?|anxn|發(fā)散,從而冪級數(shù)n?1??an?0?nx發(fā)散.nn?0收斂半徑R?1?.9|an?1x||an?1|lim?lim|x|n??|axn冪級數(shù)|an?1x||an?1|lim?lim|x|nn?1(2)

如果

??0,則n??|anx|n??|an|lim|an?1|?n?1xn??|an?0,級數(shù)

nx|?|annx|收斂,n?0?從而級數(shù)?annx絕對收斂.收斂半徑R???;n?0(3)

如果

????,則

?x?0,lim|an?1n?1x|n?????,?|anxn|級數(shù)

?annx發(fā)散.收斂半徑R?0.n?010冪級數(shù)|an?1x||an?1|lim?lim|x|nn?1冪級數(shù)例求下列冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域:(1)?n?1?R?1??xnn2?n2(2)?(?nx)n?1??n1n?1an?1n12(n?1)解(1)??lim||?lim?lim?n??an??2(n?1)n??12nn2?n收斂半徑

R?2.(n!)n(3)?xn?1(2n)!(4)?(?1)n?1n21n(x?)n2n11冪級數(shù)例求下列冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域:(1)?n?1?R?冪級數(shù)(?1)?n(1)??xnn當(dāng)

x??2

時(shí),級數(shù)為

?,收斂.?n?1n當(dāng)

x?2時(shí),級數(shù)為

?1,調(diào)和級數(shù),發(fā)散.n?1n收斂域?yàn)閇?2,2).?(2)

?(?nx)nn?1解??limnn??|an|?limn??n???,收斂半徑R?0,收斂域{0}n?12?n12冪級數(shù)(?1)?n(1)??xnn當(dāng)x??2時(shí),級數(shù)為冪級數(shù)(n!)n(3)?xn?1(2n)!n???2R?21??(n?1)!?an?1?2(n?1)?!|?lim解???lim|?limann??1?4?收斂半徑

R?4.(n!)(2n)!2(n?1)n??(2n?1)(2n?2)213冪級數(shù)(n!)n(3)?xn?1(2n)!n???2R?21冪級數(shù)(n!)n4當(dāng)x=4時(shí),級數(shù)為正項(xiàng)級數(shù)??2(n!)n(3)?xn?1(2n)!?2因?yàn)閡n?1(2n)!n?1u?2n?2?1,所以limun?0.n2n?1n???2故級數(shù)

?(n!)4n發(fā)散.n?1(2n)!當(dāng)

x??4

時(shí),對應(yīng)的數(shù)項(xiàng)級數(shù)也發(fā)散.故收斂域?yàn)??4,4).14冪級數(shù)(n!)n4當(dāng)x=4時(shí),級數(shù)為正項(xiàng)級數(shù)??2(n冪級數(shù)(4)?(?1)n?1?n21n(x?)n2nn1?n2n令t?x?,?(?1)t2n?1nn?11an?解R?lim||?limn??2nn??a2n?111即|t|?|x?|?,亦即x?(0,1)時(shí)原級數(shù)收斂.22?1當(dāng)

x?0

時(shí),級數(shù)為

?,發(fā)散;nn?1n?(?1)當(dāng)

x?1

時(shí),級數(shù)為

?,收斂.nn?1故收斂域?yàn)?0,1].還有別的方法嗎15冪級數(shù)(4)?(?1)n?1?n21n(x?)n2nn1?n冪級數(shù)x例求函數(shù)項(xiàng)級數(shù)lnx??(?1)的收斂域.(2n?1)!n?0解去掉第一項(xiàng),是缺偶次冪的冪級數(shù).n?2n?1|x|(2n?1)!u(x)比??limn?1?lim?2n?1n??n??(2n?3)!|x|值un(x)判2|x|別?0?limn??(2n?2)(2n?3)法所以,去掉第一項(xiàng),級數(shù)處處收斂.因?yàn)榈谝豁?xiàng)lnx的定義域?yàn)閤?0,所以,原級數(shù)的收斂域是(0,??).2n?316冪級數(shù)x例求函數(shù)項(xiàng)級數(shù)lnx??(?1)的收斂域.(2n?1冪級數(shù)討論冪級數(shù)?(?1)n?0?n?1x的收斂域.n3?12n解此級數(shù)是缺項(xiàng)的冪級數(shù),不滿足定理2的條件.n?y2n?1作變換,令y?x,級數(shù)變?yōu)?(?1)n3?1n?01(3?1)它的收斂半徑Ry?lim?3.n??1(3n?1?1)n?3n?1,發(fā)散.當(dāng)y=3時(shí),級數(shù)為?(?1)n3?1n?0n18冪級數(shù)討論冪級數(shù)?(?1)n?0?n?1x的收斂域.n3?1冪級數(shù)故y(≥0)的冪級數(shù)收斂域?yàn)??y?3.因此,原冪級數(shù)收斂域?yàn)??x?3,即2?3?x?3.收斂半徑R?3.19冪級數(shù)故y(≥0)的冪級數(shù)收斂域?yàn)??y?3.因此,原冪冪級數(shù)冪級數(shù)的性質(zhì)1.代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)?設(shè)?an?nnx和?bnx的收斂半徑各為R1和R2,n?0n?0R?min?R1,R2?(1)加減法??an?n?nx?bnx?)xn,x?(?R,R)n?0?n?0?(an?bnn?023冪級數(shù)冪級數(shù)的性質(zhì)1.代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)?設(shè)?an?nnx和?b冪級數(shù)(2)乘法(?anx)?(?bnx)??cnxnnn?0n?0n?0???nx?(?R,R)(其中cn?a0?bn?a1?bn?1???an?b0)(3)除法anx?n?0n?0?(收斂域內(nèi)?bnx?0)nn?n?n?0(相除后的收斂區(qū)間可能比原?cx?n?nn?0來兩級數(shù)的收斂區(qū)間小得多)?bnx24冪級數(shù)(2)乘法(?anx)?(?bnx)??cnxnnn冪級數(shù)2.和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì)定理3（阿貝爾第二定理）設(shè)冪級數(shù)

?anx

的收斂半徑為

R?0,則

?r?(0,R),nn?0?該冪級數(shù)在閉區(qū)間

[?r,r]

上一致收斂.內(nèi)閉一致收斂,即

?|an|r

收斂.證?r?(0,R),級數(shù)

?anr

絕對收斂nnn?0n?0??由于

?x?[?r,r],|anx|?|an|r,nn.從而由

M-判別法可知,?anx

在

[?r,r]

上一致收斂nn?0?25冪級數(shù)2.和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì)定理3（阿貝爾第二定理）設(shè)冪級冪級數(shù)(1)

設(shè)冪級數(shù)

?anx

的收斂半徑為

R?0,則其和函數(shù)n?s(x)

在區(qū)間

(?R,R)

內(nèi)連續(xù).如果冪級數(shù)在收斂區(qū)間n?0的端點(diǎn)處收斂,則其和函數(shù)在該端點(diǎn)單側(cè)連續(xù).證?x?(?R,R),取

r?(|x|,R),則

x?[?r,r]?(?R,R).由阿貝爾第二定理知,?anx

在

[?r,r]

上一致收斂nn?0?因而其和函數(shù)

s(x)

在

x?[?r,r]

處連續(xù).s(x)

在

(?R,R)

內(nèi)連續(xù).由

x?(?R,R)

的任意性即知26冪級數(shù)(1)設(shè)冪級數(shù)?anx的收斂半徑為R?0,則其冪級數(shù)(2)

設(shè)冪級數(shù)

?anx

的收斂半徑為

R?0,則其和函數(shù)n?n?0s(x)

在區(qū)間

(?R,R)

內(nèi)可導(dǎo),且

?x?(?R,R),?s?(x)?(?an??nx)???(ann?1nx)??n?0n?0?nanxn?1逐項(xiàng)求導(dǎo)所得冪級數(shù)收斂半徑仍為

R.27冪級數(shù)(2)設(shè)冪級數(shù)?anx的收斂半徑為R?0,則其冪級數(shù)(3)

設(shè)冪級數(shù)

?anx

的收斂半徑為

R?0,則其和函數(shù)n?s(x)

在區(qū)間

(?R,R)

內(nèi)可積,且

?x?(?R,R),n?0?x0s(x)dx??(?anx)dxn0n?0xx????n?0?0ann?1(anx)dx??xn?0n?1n?逐項(xiàng)求導(dǎo)所得冪級數(shù)收斂半徑仍為

R.28冪級數(shù)(3)設(shè)冪級數(shù)?anx的收斂半徑為R?0,則其冪級數(shù)?n例求冪級數(shù)

?x

的和函數(shù).n?1n解(1)求收斂域收斂半徑R?liman1/nn??|a|?lim?1n?1n??1/(n?1)當(dāng)

x?1

時(shí),級數(shù)為??

1,發(fā)散;n?1n?當(dāng)

x??1

時(shí),級數(shù)為

?(?1)n,n?1n收斂.故級數(shù)的求收斂域?yàn)閇?1,1).29冪級數(shù)?n例求冪級數(shù)?x的和函數(shù).n?1n解(1)求收冪級數(shù)x設(shè)冪級數(shù)

?

的和函數(shù)為

s(x),(2)求和函數(shù)n?1n

?1?x?1

時(shí),則

s(x)

在

[?1,1)

連續(xù),s(0)?0,且當(dāng)x1n?1s?(x)??()???x?1?xn?1n?1nxx1從而s(x)?s(0)??s?(x)dx??1?x),dx??ln(01?x0即

s(x)??ln(1?x)(?1?x?1).此外,s(?1)?lim??ln(1?x)??ln2.x??1?n?n?綜上,

s(x)??ln(1?x),

?1?x?1.30冪級數(shù)x設(shè)冪級數(shù)?的和函數(shù)為s(x),(2)求和函數(shù)冪級數(shù)x或者設(shè)冪級數(shù)

?

的和函數(shù)為

s(x),n?1n

?1?x?1

時(shí),則

s(x)

在

[?1,1)

連續(xù),s(0)?0,且當(dāng)?n?n?s(x)??x?n?1n?n?1?x0xn?1dx??x?n?1x10?xdx?dx??ln(1?x),n?1?01?x即

s(x)??ln(1?x)(?1?x?1).此外,s(?1)?xlim??1??ln(1?x)??ln2.綜上,

s(x)??ln(1?x),

?1?x?1.31冪級數(shù)x或者設(shè)冪級數(shù)?的和函數(shù)為s(x),n?1n?1n?1例求冪級數(shù)?nx的和函數(shù).n?1n2冪級數(shù)?解容易知道級數(shù)的收斂域[?2,2).設(shè)和函數(shù)為s(x),即?1n?1s(x)??nx,x?[?2,2)n?1n2???1n1xn1n?1??x??()則有xs(x)?x??nxnn?1n2n?1n2n?1n21xn?1111[xs(x)]???

()??x2?x2n?1221?2?321n?1例求冪級數(shù)?nx的和函數(shù).n?1n2冪級數(shù)?解容易知冪級數(shù)xs(x)?0?s(0)??[xs(x)]?dx??0xxx011?[xs(x)]?dx2?x2?x??ln(2?x)0??ln(2?x)?ln2x??ln(1?)21x1?),

x?[?2,0)?(0,2).因此,s(x)??ln(x21此外,顯然有s(0)?.綜上,21n?1x?nn?1n2?x?1?ln(1?),

x?[?2,0)?(0,2)??x2???1,

x?0

??233冪級數(shù)xs(x)?0?s(0)??[xs(x)]?dx??0冪級數(shù)n(n?1)例求

?

的和.n2n?1?n?x1??1?x?1?x1?x?2n(n?1)1解設(shè)

s(x)??n(n?1)x,則

??s().n22n?1n?1?n

?n(n?1