專題02 巧解平行線中的折線問題（解析版）

人教版七年級數(shù)學(xué)下冊《第五章相交線》復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練專題訓(xùn)練二：巧解平行線中的折線問題專題概述★★專題概述★★當(dāng)兩條平行線不是被第三條直線所截,而是被一條折線所截時，平行線的性質(zhì)則不能直接應(yīng)用，因此需過折線的“轉(zhuǎn)折點”作一條平行線,利用平行公理的推論得出三條直線互相平行，從而多次利用平行線的性質(zhì)解決問題.靈活利用相交線、平行線中的基本圖形和結(jié)論解決平行線中的折線問題，培養(yǎng)學(xué)生作平行線的思想.類型類型一：過拐點作平行線求角度◎【典例一】◎如圖，AB∥DE，∠1＝25°，∠2＝110°，求∠BCD的度數(shù)．【考點】平行線的性質(zhì)；【分析】過點C作CF∥AB，由平行公理的推論得出CF∥DE，再由平行線的性質(zhì)求得∠4的度數(shù)為70°，再根據(jù)CF∥AB得∠3=∠1=25°，最后由角的和差求出∠BCD的度數(shù)即可．【解答】解：如圖：過點C作CF∥AB，∵CF∥AB∴∠3＝∠1＝25°∵AB∥DE，∴DF∥CE，∵∠4+∠2=180°，又∵∠2＝110°，∴∠4＝180°﹣∠2＝180°﹣110°＝70°，∴∠BCD＝∠3+∠4＝25°+70°＝95°．■【變式1】如圖，a∥b，M、N分別在a，b上，P為兩平行線間一點，那么∠1+∠2+∠3＝（）A．180° B．360° C．270° D．540°【考點】平行線的性質(zhì)；【分析】首先作出PA∥a，根據(jù)平行線性質(zhì)，兩直線平行同旁內(nèi)角互補，可以得出∠1+∠2+∠3的值．【解答】解：過點P作PA∥a，∵a∥b，PA∥a，∴a∥b∥PA，∴∠1+∠MPA＝180°，∠3+∠APN＝180°，∴∠1+∠MPA+∠3+∠APN＝180°+180°＝360°，∴∠1+∠2+∠3＝360°．故選：B．■【變式2】如圖，直線l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，則∠1+∠2＝（）A．30° B．35° C．36° D．40°【考點】平行線的性質(zhì)；【分析】過點A作l1的平行線，過點B作l2的平行線，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠3＝∠1，∠4＝∠2，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補求出∠CAB+∠ABD＝180°，然后計算即可得解．【解答】解：如圖，過點A作l1的平行線，過點B作l2的平行線，∴∠3＝∠1，∠4＝∠2，∵l1∥l2，∴AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD＝180°，∴∠3+∠4＝125°+85°﹣180°＝30°，∴∠1+∠2＝30°．故選：A．■【變式3】如圖，已知AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BED＝115°．求∠BFD的度數(shù)．【考點】平行線的性質(zhì)；【分析】過E作EG∥AB，過F作FH∥AB，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠ABE+∠CDE=115°，再根據(jù)角平分線的定義以及平行線的性質(zhì)，即可得出∠BFD的度數(shù).【解答】解:如圖，過E作EG∥AB，過F作FH∥AB，∵AB∥CD,∴EG∥CD，F(xiàn)H∥CD∴∠ABE=∠GEB，∠CDE∠GED∴∠BED=∠ABE+∠CDE=115°又∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE,∴∠ABF+∠CDF=(∠ABE+∠CDE)=57.5°，∵AB∥FH∥CD∴∠ABF=∠BFH，∠CDF=∠DFH,∴∠BFD=∠BFH+∠DFH=∠ABF+∠CDF=57.5°.故選C.●●方法歸納●以上的題中平行線間有個一折點，只需過折點處作一條輔助平行線即可，若有個多個折點，則需要過每一個折點作輔助平行線.類型二：過拐點作平行線證明題類型二：過拐點作平行線證明題◎【典例二】◎如圖，AB∥CD，分別探討下面四個圖形中∠APC與∠A，∠C的關(guān)系，請你從所得的關(guān)系中任意選取一個加以說明．圖（1）結(jié)論：；圖（2）結(jié)論：；圖（3）結(jié)論：；圖（4）結(jié)論：；你準(zhǔn)備證明的是圖，請在下面寫出完整的證明過程．【分析】圖（1）首先過點P作PE∥AB，由AB∥CD，即可得AB∥PE∥CD，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，即可求得答案；圖（2）首先過點P作PE∥AB，由AB∥CD，即可得AB∥PE∥CD，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可求得答案；圖（3）由AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，同位角線相等，即可求得答案；圖（4）由AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，同位角線相等，即可求得答案．【解答】解：圖（1）∠APC+∠A+∠C=360°；圖（2）∠APC=∠A+∠C；圖（3）∠APC=∠A﹣∠C；圖（4）∠APC=∠C﹣∠A；圖（1）的證明：∠APC+∠A+∠C=360°．過點P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠A+∠1=180°，∠2+∠B=180°，∵∠A+∠1+∠2+∠C=360°，∴∠APC+∠A+∠C=360°；圖（2）的證明：∠APC=∠A+∠C．過點P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠1=∠A，∠2=∠C，∴∠APC=∠1+∠2=∠A+∠C；圖（3）的證明：∠APC=∠A﹣∠C．過點P作PE∥AB，∵AB∥BC，∴AB∥PE∥CD，∴∠CPE=∠C，∠APE=∠A，∵∠APC=∠APE﹣∠CPE，∴∠APC=∠A﹣∠C；圖（4）的證明：∠APC=∠C-∠A．過點P作PE∥AB，∵AB∥BC，∴AB∥PE∥CD，∴∠CPE=∠C，∠APE=∠A，∵∠APC=∠CPE﹣∠APE，∴∠APC=∠C﹣∠A．■【變式4】如圖,已知∠1=70°，∠2=30°,EF平分∠BEC,∠BEF=50°，求證：AB//CD.【分析】先過點E在∠BEC的內(nèi)部作EM//AB，求出∠BME的度數(shù)，根據(jù)角平分線求出∠BEC的度數(shù)，從而求出∠CEM的度數(shù)，然后根據(jù)∠CEM=∠2，利用內(nèi)錯角相等，兩直線平行得出EM//AB.【解答】證明：如圖，過點E在∠BEC的內(nèi)部作EM//AB，∵EF平分∠BEC,∠BEF=50°,∴∠BEC=2∠BEF=2×50°=100°，∵EM//AB,∴∠BEM=∠1=70°，∴∠CEM=∠BEC﹣∠BEM=100°﹣70°=30°，∵∠2=30°，∴∠CEM=∠2，.∴EM//CD,又∵EM//AB∴AB//CD.■【變式5】如圖，點E在線段AC上，AB∥CD，∠1=∠B，∠2=∠D．求證：BE⊥DE.【分析】過點E在∠BED的內(nèi)部作EM∥AB，先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠1=∠BEM，∠DEM=∠2然后根據(jù)∠AEC=180°得出∠1+∠BEM+∠DEM+∠2=180°，從而得到∠BEM+∠DEM=90°,即可證明BE⊥DE.【解答】證明：過點E在∠BED的內(nèi)部作EM∥AB，則∠B=∠BEM，∵∠1=∠B，∴∠1=∠BEM，又∵AB//CD，EM//CD，∴∠D=∠DEM，∵∠2=∠D，∠DEM=∠2，∴∠1+∠BEM+∠DEM+∠2=180°，∴∠BEM+∠DEM=90°,即∠BED=90，∴BE⊥DE.●●方法歸納●對于兩條平行線間“折線”與“拐點”的證明題，一般都是在拐點處作平行線，使問題轉(zhuǎn)化，從而構(gòu)造一些相等的角或互補的角，使已知和未知一目了然，達到解題的目的，具體步驟是：①作輔助線（過拐點處作平行線）②找特殊角（找相等的角或互補的角）③解決問題（找到數(shù)量關(guān)系）復(fù)復(fù)習(xí)專題突破練基礎(chǔ)基礎(chǔ)練1、已知直線a∥b，將一塊含30°角的直角三角板（∠BAC=30°）按如圖所示方式放置，并且頂點A，C分別落在直線a，b上，若∠1=22°，則∠2的度數(shù)是（）A．38°B．45°C．58°D．60°【考點】平行線的性質(zhì)；【分析】過點B作BD∥a，可得∠ABD=∠1=22°，a∥b，可得BD∥b，進而可求∠2的度數(shù)．【解答】解：如圖，過點B作BD∥a，∴∠ABD=∠1=22°，∵a∥b，∴BD∥b，∴∠2=∠DBC=∠ABC-∠ABD=60°﹣22°=38°．故選：A．2、如圖，AD∥CE，∠ABC=110°，則∠2﹣∠1的度數(shù)是（）A．50°B．60°C．70°D．110°【答案】C【考點】平行線的性質(zhì)．【分析】作BF∥AD，利用平行線的性質(zhì)分析得出答案．【解答】解：如圖，作BF∥AD，∵AD∥CE，∴AD∥BF∥EC，∴∠1=∠3，∠4+∠2=180°，∠3+∠4=110°，∴∠1+∠4=110°，∴∠2﹣∠1=70°．故選：C．3、一大門欄桿的平面示意圖如圖所示，BA垂直地面AE于點A，CD平行于地面AE，若∠BCD＝150°，則∠ABC的是.【考點】作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖；平行線的判定與性質(zhì)；【分析】根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線平行和平行線的判定與性質(zhì)即可求∠ABC的度數(shù)．【解答】解：如圖，過點B作BF∥CD，∵CD∥AE（已知），∴BF∥CD∥AE（平行于同一條直線的兩條直線平行），∴∠CBF+∠BCD＝180°，∠FBA+∠BAE＝180°，（兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補），∵∠BCD＝150°，∠BAE＝90°，∴∠CBF＝30°，∠FBA＝90°，∴∠ABC＝∠CBF+∠FBA＝120°．∴∠ABC的度數(shù)為120°．故答案為：120°.4、已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°．請你探索出一種（只須一種）添加輔助線求出∠BCD度數(shù)的方法，并求出∠BCD的度數(shù)．【考點】平行線的性質(zhì)．【分析】過C作CF∥DE．根據(jù)∠BCD=∠BCF﹣∠DCF，求出∠BCF，∠DCF即可．【解答】解：過C作CF∥DE．∵CF∥DE，AB∥DE∴AB∥DE∥CF（平行于同一條直線的兩條直線平行）∴∠BCF=∠B=80°（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∠DCF+∠D=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）又∵∠D=140°（已知）∴∠DCF=40°（等量代換）又∵∠BCD=∠BCF﹣∠DCF=80°﹣40°=40°，∴∠BCD=40°．5、如圖擺放的一副學(xué)生用直角三角板，∠F＝30°，∠C＝45°，AB與DE相交于點G，當(dāng)EF∥BC時，∠EGB的度數(shù)是．【考點】平行線的性質(zhì)；【分析】過點G作HG∥BC，則有∠HGB＝∠B，∠HGE＝∠E，又因為三角形DEF和三角形ABC都是特殊直角三角形，∠F＝30°，∠C＝45°，可以得到∠E＝60°，∠B＝45°，有∠EGB＝∠HGE+∠HGB即可得出答案．【解答】解：過點G作HG∥BC，∵EF∥BC，∴GH∥BC∥EF，∴∠HGB＝∠B，∠HGE＝∠E，在三角形DEF和三角形ABC中，∠F＝30°，∠C＝45°，∴∠E＝60°，∠B＝45°，∴∠HGB＝∠B＝45°，∠HGE＝∠E＝60°，∴∠EGB＝∠HGE+∠HGB＝60°+45°＝105°，故∠EGB的度數(shù)是105°，故答案為：105°．6、如圖所示，AB∥CD，則∠A+∠E+∠F+∠C等于（）A．180° B．360° C．540° D．720°【考點】平行線的性質(zhì)；【分析】分別過E、F作AB或CD的平行線，運用平行線的性質(zhì)求解．【解答】解：作EM∥AB，F(xiàn)N∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥CD．∴∠A+∠AEM＝180°，∠MEF+∠EFN＝180°，∠NFC+∠C＝180°，∴∠A+∠AEF+∠EFC+∠C＝540°．故選：C．提升練提升練7、如圖，直線AB、CD被直線AC所截，一直角三角板頂點放在AC上的點E處，三角板的兩直角邊分別交AB、CD于M、N，∠1＝∠2，∠3＝∠4，試說明：AB∥CD．【考點】平行線的判定；【分析】先根據(jù)直角三角板的性質(zhì)得出∠1+∠3＝90°，再由∠1＝∠2，∠3＝∠4可知∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，故∠A+∠C＝180°，由此可得出結(jié)論．【解答】證明：∵過點E作EF∥AB,∵EF∥AB,∴∠MEF=∠4=∠3，∵∠MEN＝90°，∴∠1+∠3＝90°，∴∠1+∠MEF=90°，∴∠1=∠NEF=∠2，∴EF∥CD，又∵EF∥AB,∴AB∥CD.8、閱讀下列解題過程：如圖，已知AB∥CD，∠B＝35°，∠D＝32°，求∠BED的度數(shù)．解：過E作EF∥AB，則AB∥CD∥EF（平行線的性質(zhì)）AB∥CD?∠B＝∠1＝35°又CD∥EF?∠D＝∠2＝32°∴∠BED＝∠1+∠2＝35°+32°＝67°（等量代換）然后解答下列問題：如圖．是明明設(shè)計的智力拼圖玩具的一部分，現(xiàn)在明明遇到兩個問題，請你幫他解決：問題（1）：∠D＝30°，∠ACD＝65°，為了保證AB∥DE，∠A=.問題（2）：∠G、∠F、∠H之間有什么關(guān)系時，GP∥HQ？【考點】平行線的判定與性質(zhì)；【分析】（1）過C作CM∥DE，推出∠D＝∠1＝30°，求出∠2＝∠A，推出CM∥AB即可；（2）過F作FN∥GP，得出∠G+∠4＝180°，求出∠3+∠H＝180°，推出FN∥HQ即可．【解答】解：（1）∠A＝35°，理由如下：過C作CM∥DE，如圖2，則∠D＝∠1＝30°，∴∠2＝∠ACD﹣∠1＝35°，∴∠2＝∠A，∴CM∥AB，，又∵CM∥DE，∴AB∥DE；（2）當(dāng)∠G+∠F+∠H＝360°時，GP∥HQ，理由如下：過F作FN∥GP，如圖3，則∠G+∠4＝180°，又∵∠G+∠GFH+∠H＝360°，∴∠3+∠H＝180°，∴FN∥HQ，∴GP∥HQ．9、已知AB∥CD，點E為AB，CD之外任意一點．（1）如圖①，探究∠BED與∠B，∠D的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖②，探究∠CDE與∠B，∠E的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】在①中過點E作EF∥AB，由平行線的性質(zhì)可得∠BEF=∠B，∠D=∠DEF，再根據(jù)∠BEF=∠BED+∠DEF等量代換即可得到結(jié)果；在②中過點E作EF∥AB，同①的方法，可找到∠BED與∠B、∠CDE的數(shù)量關(guān)系.【解答】解：（1）∠B=∠BED+∠D理由如下:如圖，過點E作EF∥AB，又∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD∴∠BEF=∠B,∠D=∠DEF，∴∠BEF=∠BED+∠DEF，∴∠B=∠BED+∠D.（2）∠CDE=∠B+∠BED，理由如下:如圖，過點E作EF∥AB，又∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD∴∠B+∠BEF=180°，∠CDE+∠DEF=180°，又∵∠DEF=∠BEF﹣∠BED，∴∠CDE+∠BEF﹣∠BED=∠B+∠BEF，即：∠CDE=∠B+∠BED10、如圖所示，已知：AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BFD＝140°，∠BED的度數(shù)為．【考點】平行線的性質(zhì)；【分析】過點F作直線MF∥AB，再由AB∥CD可知，AB∥CD∥MF，由平行線的性質(zhì)可知∠1＝∠ABF，∠2＝∠CDF，再根據(jù)∠1+∠2＝∠BFD＝140°，可知∠ABF+∠CDF＝140°，因為BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，所以∠ABF＝∠EBF，∠CDF＝∠EDF，故∠EBF+∠EDF＝∠ABF+∠CDF＝140°，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°即可得出結(jié)論．【解答】解：過點F作直線MF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥MF，∴∠1＝∠ABF，∠2＝∠CDF，∵∠1+∠2＝∠BFD＝140°，∴∠ABF+∠CDF＝140°，∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠ABF＝∠EBF，∠CDF＝∠EDF，∴∠EBF+∠EDF＝∠ABF+∠CDF＝140°，∴∠BED＝360°﹣∠BFD﹣（∠EBF+∠EDF）＝360°﹣140°﹣140°＝80°．故答案為：80°．11、【問題情境】我們知道，“兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補”，所以在某些探究性問題中通過“構(gòu)造平行線”可以起到轉(zhuǎn)化的作用．已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，長方形DEFG中，DE∥GF．【問題初探】（1）如圖（1），若將三角板ABC的頂點A放在長方形的邊GF上，BC與DE相交于點M，AB⊥DE于點N，求∠EMC的度數(shù)．分析：過點C作CH∥GF，則有CH∥DE，從而得∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MCH，從而可以求得∠EMC的度數(shù)由分析得，請你直接寫出：∠CAF的度數(shù)為，∠EMC的度數(shù)為.【類比再探】（2）若將三角板ABC按圖（2）所示方式擺放（AB與DE不垂直），請你猜想寫出∠CAF與∠EMC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【考點】平行線的判定與性質(zhì)；【分析】（1）利用∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC求出∠CAF度數(shù)，求∠EMC度數(shù)轉(zhuǎn)化到∠MCH度數(shù)；（2）過點C作CH∥GF，得到CH∥DE，∠CAF與∠EMC轉(zhuǎn)化到∠ACH和∠MCH中，從而發(fā)現(xiàn)∠CAF、∠EMC與∠ACB的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：（1）過點C作CH∥GF，則有CH∥DE，所以∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MC