專(zhuān)題08利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)

專(zhuān)題08利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)專(zhuān)題08利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)一、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性在內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)，在任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0.在上為增函數(shù)．在上為減函數(shù)．二、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的方法步驟：①確定函數(shù)f(x)的定義域；②求導(dǎo)數(shù)f'③由f'(x)>0（或f'(x)<0）解出相應(yīng)的x的取值范圍，當(dāng)f'(x)>0時(shí)，特別提醒：討論函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的實(shí)質(zhì)是解不等式，求解時(shí)，要堅(jiān)持“定義域優(yōu)先”原則．三、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值1．函數(shù)的極小值：函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其它點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(a)＝0，而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，則點(diǎn)a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．2．函數(shù)的極大值：函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近的其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)＝0，而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，則點(diǎn)b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．極小值點(diǎn)，極大值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn)，極大值和極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值．3.特別提醒：(1)函數(shù)f(x)在處有極值的必要不充分條件是f′()＝0，極值點(diǎn)是f′(x)＝0的根，但f′(x)＝0的根不都是極值點(diǎn)(例如，f′(0)＝0，但x＝0不是極值點(diǎn))．(2)極值反映了函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況，刻畫(huà)的是函數(shù)的局部性質(zhì)．極值點(diǎn)是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部的點(diǎn)，不會(huì)是端點(diǎn)．四、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值1．函數(shù)y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上取得最值的條件如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值．2.若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值．3．求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟(1)求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的極值．(2)將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值．五、常用結(jié)論1．奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù)．2.可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)，若f′(x)為增函數(shù)，則f(x)的圖象是下凹的；反之，若f′(x)為減函數(shù)，則f(x)的圖象是上凸的．3．在某區(qū)間內(nèi)f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函數(shù)f(x)在此區(qū)間上為增(減)函數(shù)的充分不必要條件．4．可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上是增(減)函數(shù)的充要條件是對(duì)?x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零．5．若函數(shù)f(x)的圖象連續(xù)不斷，則f(x)在[a，b]上一定有最值．6．若函數(shù)f(x)在[a，b]上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)一定在區(qū)間端點(diǎn)處取得最值．7．若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則相應(yīng)的極值點(diǎn)一定是函數(shù)的最值點(diǎn)．題型一判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性【典例1】【多選題】（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下面判斷正確的是（

）A．在區(qū)間上是減函數(shù)B．在區(qū)間上是減函數(shù)C．在區(qū)間上是增函數(shù)D．在區(qū)間上是增函數(shù)【答案】AC【分析】根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)圖象，即可逐項(xiàng)判斷.【詳解】對(duì)A：由導(dǎo)函數(shù)的圖象知在區(qū)間上，，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，故A項(xiàng)正確；對(duì)B、D：在區(qū)間，上分別有大于零和小于零的部分，故在區(qū)間，上不單調(diào)，故B、D項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)C：在區(qū)間上，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D項(xiàng)正確.故選:AC.【典例2】（2021·全國(guó)·高考真題（文））已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）求曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線的公共點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)和.【解析】【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類(lèi)討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可確定原函數(shù)的單調(diào)性；(2)首先求得導(dǎo)數(shù)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線方程，然后將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程求解的問(wèn)題，據(jù)此即可求得公共點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，導(dǎo)函數(shù)的判別式，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，的解為：，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；綜上可得：當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)由題意可得：，，則切線方程為：，切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則：,整理可得：，即：，解得：，則，切線方程為：,與聯(lián)立得，化簡(jiǎn)得,由于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)1必然是該方程的一個(gè)根，是的一個(gè)因式，∴該方程可以分解因式為解得,，綜上，曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為和.【規(guī)律方法】1.利用導(dǎo)數(shù)證明或判斷函數(shù)單調(diào)性的思路求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)：(1)若f′(x)>0，則y＝f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增；(2)若f′(x)<0，則y＝f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減；(3)若恒有f′(x)＝0，則y＝f(x)是常數(shù)函數(shù)，不具有單調(diào)性．2.解決含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題應(yīng)注意兩點(diǎn)(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類(lèi)討論．(2)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要在函數(shù)定義域內(nèi)討論，還要確定導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)和函數(shù)的間斷點(diǎn)．3.當(dāng)f(x)含參數(shù)時(shí)，需依據(jù)參數(shù)取值對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類(lèi)討論．討論的標(biāo)準(zhǔn)有以下幾種可能：(1)f′(x)＝0是否有根；(2)若f′(x)＝0有根，求出的根是否在定義域內(nèi)；(3)若在定義域內(nèi)有兩個(gè)根，比較兩個(gè)根的大小．4.特別提醒：易錯(cuò)點(diǎn)是忽視函數(shù)的定義域.題型二：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【典例3】（2023上·遼寧·高三?？计谥校┮阎瘮?shù)的定義域?yàn)?，?dǎo)函數(shù)為，且，則的單調(diào)遞增區(qū)間為．【答案】【分析】另，則，根據(jù)已知條件求出的解析式，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，另，則，所以，即，又，則，則，當(dāng)取等號(hào)，所以在單調(diào)遞增.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用構(gòu)造函數(shù)的常見(jiàn)方法得出，則，根據(jù)已知條件求出的解析式，進(jìn)而求出結(jié)果.【典例4】（2023上·江蘇揚(yáng)州·高二揚(yáng)州市廣陵區(qū)紅橋高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，且.(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】(1)；(2)，.【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)已知求得，再由導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線方程；（2）由（1）有，令求增區(qū)間即可.【詳解】（1）由題設(shè)，則，所以且，則，，所以點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）由（1），當(dāng)，即或，故在區(qū)間，上遞增，所以的增區(qū)間為，.【總結(jié)提升】1．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟為：(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(3)在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；(4)根據(jù)(3)的結(jié)果確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．2．若y＝f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，f′(x)≥0或f′(x)≤0且y＝f(x)在(a，b)內(nèi)導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)僅有有限個(gè)，則y＝f(x)在(a，b)內(nèi)仍是單調(diào)函數(shù)，例如：y＝x3在R上f′(x)≥0，所以y＝x3在R上單調(diào)遞增．3.溫馨提醒：所求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不止一個(gè)，這些區(qū)間之間不能用并集“∪”及“或”連接，只能用“，”“和”字隔開(kāi)．題型三利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式【典例5】（2023下·河南焦作·高二焦作市第十一中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先判定是偶函數(shù)，再判定在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而將不等式轉(zhuǎn)化為，再解不等式可得答案.【詳解】因?yàn)?，且函?shù)的定義域?yàn)椋允桥己瘮?shù).當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)，所以.令，則.因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.因?yàn)?，所以，即在上單調(diào)遞增，所以，即，所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減.所以不等式等價(jià)于，兩邊平方得，化為，即，解得.所以不等式的解集為.故選：A【典例6】（2023·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知定義在上的函數(shù)滿足為的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為.【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，由已知條件得在上是偶函數(shù)，然后根據(jù)其單調(diào)性從而可求解.【詳解】令，所以，因?yàn)椋?，化?jiǎn)得，所以在上是偶函數(shù)，因?yàn)椋驗(yàn)楫?dāng)，，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所有在上單調(diào)遞減，由，得，又因?yàn)?，所以，所以，解得或，所以不等式的解集?故答案為：.【總結(jié)提升】1.比較大小或解不等式的思路方法(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式和已知的不等式構(gòu)造函數(shù)，利用不等關(guān)系得出函數(shù)的單調(diào)性，即可確定函數(shù)值的大小關(guān)系，關(guān)鍵是觀察已知條件構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)．(2)含有兩個(gè)變?cè)牟坏仁?，可以把兩個(gè)變?cè)醋鲀蓚€(gè)不同的自變量，構(gòu)造函數(shù)后利用單調(diào)性確定其不等關(guān)系．2.構(gòu)造函數(shù)解不等式或比較大小一般地，在不等式中若同時(shí)含有f(x)與f′(x)，常需要通過(guò)構(gòu)造含f(x)與另一函數(shù)的和、差、積、商的新函數(shù)，再借助導(dǎo)數(shù)探索新函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而求出結(jié)果．常見(jiàn)構(gòu)造的輔助函數(shù)形式有：(1)f(x)＞g(x)→F(x)＝f(x)－g(x)；(2)xf′(x)＋f(x)→[xf(x)]′；(3)xf′(x)－f(x)→；(4)f′(x)＋f(x)→[exf(x)]′；(5)f′(x)－f(x)→.題型四比較函數(shù)值大小【典例7】（2022·全國(guó)·高考真題（理））已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得；構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得，即可得解.【詳解】因?yàn)?因?yàn)楫?dāng)所以,即,所以；設(shè)，，所以在單調(diào)遞增，則,所以，所以,所以，故選：A【典例8】（2023上·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)郡中學(xué)?？茧A段練習(xí)）定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，滿足，且，若，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合條件求導(dǎo)可得在上為減函數(shù)，由其單調(diào)性即可判斷的大小關(guān)系.【詳解】由已知可得：，令，則，且，再令，則，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)；，在上恒成立；在上為減函數(shù)；又因?yàn)楣柿?，?dāng)時(shí)，為增函數(shù)；故選：C題型五根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍【典例9】（2023上·福建三明·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，則在上不單調(diào)的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求導(dǎo)，令，根據(jù)在上不單調(diào)，由在上有變號(hào)零點(diǎn)求解.【詳解】，令，因?yàn)樵谏喜粏握{(diào)，在上有變號(hào)零點(diǎn)，即在上有變號(hào)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，不成立；當(dāng)時(shí)，只需，即，解得或，所以在上不單調(diào)的充要條件是或，所以在上不單調(diào)的一個(gè)充分不必要條件是，故選：B【典例10】（2023上·重慶·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）知函數(shù)在上存在遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上有解即可.【詳解】由題意得的定義域?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上存在遞增區(qū)間，即在區(qū)間上能成立，即，設(shè)，開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，所以，則，即.故答案為：.【規(guī)律方法】1.兩個(gè)基本思路(1)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問(wèn)題，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分離參數(shù)或函數(shù)性質(zhì)求解參數(shù)范圍，然后檢驗(yàn)參數(shù)取“＝”時(shí)是否滿足題意．(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出參數(shù)的取值范圍后，再驗(yàn)證參數(shù)取“＝”時(shí)f(x)是否滿足題意．2．恒成立問(wèn)題的重要思路(1)m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max．(2)m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min．題型六根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)范圍【典例11】（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（

）．A． B．e C． D．【答案】C【分析】根據(jù)在上恒成立，再根據(jù)分參求最值即可求出．【詳解】依題可知，在上恒成立，顯然，所以，設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增，，故，即，即a的最小值為．故選：C．【典例12】（2023上·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若函數(shù)的圖象在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的最小值為．【答案】【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最小值即可求得即.【詳解】因?yàn)椋裕傻膱D象在區(qū)間上單調(diào)遞增，可知不等式即在區(qū)間上恒成立．令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，故要使在上恒成立，只需．由，解得，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為，則a的最小值為．故答案為：【總結(jié)提升】由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法(1)可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)，實(shí)際上就是在該區(qū)間上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到關(guān)于參數(shù)的不等式，從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，求出參數(shù)的取值范圍．(2)可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(a，b)上存在單調(diào)區(qū)間，實(shí)際上就是f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在該區(qū)間上存在解集，從而轉(zhuǎn)化為不等式問(wèn)題，求出參數(shù)的取值范圍．(3)若已知f(x)在區(qū)間I上的單調(diào)性，區(qū)間I上含有參數(shù)時(shí)，可先求出f(x)的單調(diào)區(qū)間，令I(lǐng)是其單調(diào)區(qū)間的子集，從而求出參數(shù)的取值范圍．題型七利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象【典例13】（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，則圖象為如圖的函數(shù)可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由函數(shù)的奇偶性可排除A、B，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性可判斷C，即可得解.【詳解】對(duì)于A，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除A；對(duì)于B，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除B；對(duì)于C，，則，當(dāng)時(shí)，，與圖象不符，排除C.故選：D.【典例14】（2023下·內(nèi)蒙古烏蘭察布·高二?？茧A段練習(xí)）已知是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．若的圖象如圖所示，則的圖象最有可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的圖象可知其正負(fù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】由的圖象可知當(dāng)和時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，結(jié)合選項(xiàng)，可知C中圖象符合題意，故選：C【規(guī)律方法】函數(shù)圖象的辨識(shí)主要從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱(chēng)性；(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.題型八利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值【典例15】（2023上·河南·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，且曲線在點(diǎn)處的切線l與直線相互垂直．(1)求l的方程；(2)求的極值．【答案】(1)(2)極大值為，極小值為【分析】（1）根據(jù)題意，得到，求得，得到，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解；（2）由（1）得，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求得函數(shù)的極值.【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得，因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線l與直線相互垂直，可得，解得，所以又因?yàn)?，故所求切線方程為，即．（2）解：由（1）可知，，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，故的極大值為，極小值為．【典例16】（2022上·貴州遵義·高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；【答案】(1)極小值為1，無(wú)極大值(2)【分析】（1）求定義域，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，從而得到極值情況；（2）由題意得在區(qū)間上，參變分離，構(gòu)造函數(shù)，求出最小值，得到答案.【詳解】（1）時(shí)，，定義域?yàn)椋?，令，解得，令，解得，故在處取得極小值，，的極小值為，無(wú)極大值.（2）在區(qū)間上為減函數(shù)，∴在區(qū)間上，，令，只需，顯然在區(qū)間上為減函數(shù)，，【規(guī)律總結(jié)】1.求函數(shù)f(x)極值的步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；(4)列表檢驗(yàn)f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右兩側(cè)值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在x0處取極大值，如果左負(fù)右正，那么f(x)在x0處取極小值．2.求極值問(wèn)題主要有兩種類(lèi)型，一是由圖象求極值，二是求具體函數(shù)的極值.題型九求函數(shù)極值點(diǎn)【典例17】（2023上·廣東東莞·高三?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)，則的極大值點(diǎn)為.【答案】2【分析】求導(dǎo)，得到的解，進(jìn)而得到函數(shù)單調(diào)性，求出極大值點(diǎn).【詳解】，令，解得或6，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故在取得極大值，故極大值點(diǎn)為2.故答案為：2【典例18】（2023上·遼寧大連·高三大連八中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則的極大值點(diǎn)為，極大值為.【答案】2e2ln2【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并求，并判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再求函數(shù)的極值點(diǎn)和極值.【詳解】易求，，所以，則，因此，，由得，由得.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．因此的極大值點(diǎn)為，極大值為.故答案為：；題型十求函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)【典例19】（2023上·陜西漢中·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若在處的切線與x軸平行，求實(shí)數(shù)a的值；(2)是否存在極值點(diǎn)，若存在，求出極值點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)1(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）由在處的切線與x軸平行得，解方程得的值；（2）先求導(dǎo)數(shù)，再對(duì)進(jìn)行分類(lèi)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而討論是否存在極值點(diǎn).【詳解】（1）由，得，∵在處的切線與x軸平行，∴，解得.（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，都，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，可得，由，可得，由，可得.此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在處取得極小值，無(wú)極大值.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極小值點(diǎn)為，無(wú)極大值點(diǎn).【典例20】（2024·四川遂寧·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).(1)若，判斷在上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；(2)當(dāng)，探究在上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1)時(shí)，在上單調(diào)遞增.理由見(jiàn)解析.(2)當(dāng)時(shí)，在上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；當(dāng)時(shí)，在上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.【分析】（1）求的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)時(shí)，導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）求的導(dǎo)函數(shù)，將探究的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為探究的變號(hào)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，再求的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)a分類(lèi)討論，得到的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（1）時(shí)，，，，，所以在上單調(diào)遞增.（2）由，得，依題意，只要探究在上的變號(hào)零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可，令，，則，(Ⅰ)當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)在上恒成立，則即單調(diào)遞增，，在上無(wú)零點(diǎn)，在上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0.(Ⅱ)當(dāng)，即時(shí)，，使得，即，當(dāng)，；當(dāng)，，所以即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由于，，若，即時(shí)，在上無(wú)零點(diǎn)，在上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0.若，即時(shí)，在上有1個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，在上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；當(dāng)時(shí)，在上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.題型十一根據(jù)函數(shù)極值（點(diǎn)）研究參數(shù)【典例21】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】令且恒成立，根據(jù)的極值點(diǎn)得到矛盾，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，利用三次函數(shù)性質(zhì)判斷單調(diào)性，進(jìn)而求參數(shù)范圍.【詳解】由題意，令，若恒成立，易知：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以是的極小值點(diǎn)，不合題意，故有兩個(gè)不同零點(diǎn)．設(shè)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，則，結(jié)合三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)知：，在、上，單調(diào)遞減，在、上，單調(diào)遞增，是的極大值點(diǎn)，符合題意，此時(shí)需，得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于三次函數(shù)，易知，當(dāng)時(shí)，若，則在上單調(diào)遞增，若，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，若，則的大致圖象如圖1所示，若，則的大致圖象如圖2所示．【典例22】（2023·上海嘉定·統(tǒng)考一模）對(duì)于函數(shù)，在處取極值，且該函數(shù)為奇函數(shù)，求ab=【答案】/1.5【分析】由函數(shù)在處取極值得，求出a的值并檢驗(yàn)，再由函數(shù)為奇函數(shù)，利用奇函數(shù)定義求出b的值，即可求出的值.【詳解】由題，因?yàn)楹瘮?shù)在處取極值，所以，所以.檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，的根為或當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在處取極值，成立.故.又該函數(shù)為奇函數(shù)，所以對(duì)定義域內(nèi)任意都成立，即對(duì)任意都成立所以，故.故答案為：.【總結(jié)提升】已知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時(shí)，注意以下兩點(diǎn)：(1)根據(jù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解．(2)因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于零不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗(yàn)證充分性．題型十二根據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)研究參數(shù)【典例23】（2023上·江蘇淮安·高三校考階段練習(xí)）若是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】【分析】由題意，對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，將轉(zhuǎn)化為方程的兩個(gè)正根，利用韋達(dá)定理及判別式得到，，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得到的表達(dá)式，解出不等式即可.【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)的定義域?yàn)椋傻?，若是函?shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，則方程，有兩個(gè)不同的正根，易得，且，解得，所以，解得，結(jié)合，故實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：.【典例24】（2023上·云南曲靖·高三曲靖一中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中且．若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，得出導(dǎo)函數(shù)存在兩個(gè)不同的變號(hào)零點(diǎn)，研究導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，即，令，，分和兩種情況討論，根據(jù)與有兩個(gè)交點(diǎn)，求出過(guò)原點(diǎn)的切線，比較過(guò)原點(diǎn)的切線的斜率與斜率，得出關(guān)于兩斜率的不等式求解即可.【詳解】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得：，因?yàn)榇嬖趦蓚€(gè)極值點(diǎn)，所以有兩個(gè)不同的變號(hào)零點(diǎn)．令，有，令，，所以與有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線與的切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，所以切線方程為：，將原點(diǎn)坐標(biāo)帶入切線方程得．此時(shí)切線的斜率為：，現(xiàn)在需要有兩個(gè)交點(diǎn)，即，因?yàn)?，有，所以，所以；同理知?dāng)時(shí)，，，即，所以．綜上知：的取值范圍為．故答案為：【總結(jié)提升】討論極值點(diǎn)有無(wú)(個(gè)數(shù))問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為討論f′(x)＝0根的有無(wú)(個(gè)數(shù))．然后由已知條件列出方程或不等式求出參數(shù)的值或范圍，特別注意：極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0，而導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，要檢驗(yàn)極值點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)是否異號(hào)．題型十三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值【典例25】（2021·全國(guó)·高考真題）函數(shù)的最小值為_(kāi)_____.【答案】1【解析】由解析式知定義域?yàn)?，討論、、，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，即可求最小值.【詳解】由題設(shè)知：定義域?yàn)椋喈?dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，有，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，有，此時(shí)單調(diào)遞增；又在各分段的界點(diǎn)處連續(xù)，∴綜上有：時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增；∴故答案為：1.【典例26】（2023下·四川雅安·高二校考階段練習(xí)）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程為（其中，a，，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.(1)求a，b的值；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】(1)，(2)最大值為，最小值為0【分析】（1）根據(jù)切線斜率和切點(diǎn)在切線上列式計(jì)算即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后比較端點(diǎn)值和極值即可求解最值.【詳解】（1）由得，依題可得：，所以.又，所以，所以，.（2）由（1）知，則，令，解得或2，令，解得，令，解得或.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又，，，，故在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【規(guī)律方法】1.求函數(shù)f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟：第一步求函數(shù)的定義域；第二步，求函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值；第三步，求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)；第四步，將函數(shù)f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值．2．求函數(shù)在無(wú)窮區(qū)間(或開(kāi)區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調(diào)性，并通過(guò)單調(diào)性和極值情況，畫(huà)出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值．3.二次求導(dǎo)！當(dāng)導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)無(wú)法判斷正負(fù)時(shí)，可令g(x)＝f′(x)再求g′(x)，先判斷g(x)＝f′(x)的單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性確定y＝f′(x)的正負(fù)號(hào)．題型十四含參數(shù)的函數(shù)最值問(wèn)題【典例27】（2023上·黑龍江齊齊哈爾·高三統(tǒng)考期末）若為函數(shù)的極值點(diǎn)，則函數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由為函數(shù)的極值點(diǎn)求得a，再利用導(dǎo)數(shù)法求解.【詳解】，因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，則，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．故選：C【典例28】（2022上·寧夏銀川·高二校考期末）已知函數(shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)答案見(jiàn)解析；【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分類(lèi)討論確定和的解，得單調(diào)性；（2）結(jié)合（1）的單調(diào)性分類(lèi)討論得最小值．【詳解】（1）的定義域是，，時(shí)，恒成立，在上是減函數(shù)；時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，綜上，時(shí)，在上是減函數(shù)；時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．（2）由（1）當(dāng)時(shí)，在上遞減，；時(shí)，即時(shí)，在上遞減，；，即時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，．綜上，或時(shí)，，時(shí)，．【規(guī)律方法】1．由于參數(shù)的取值范圍不同會(huì)導(dǎo)致函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性的變化，從而導(dǎo)致最值的變化，故含參數(shù)時(shí)，需注意是否分類(lèi)討論．2．已知函數(shù)最值求參數(shù)，可先求出函數(shù)在給定區(qū)間上的極值及函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，通過(guò)比較它們的大小，判斷出哪個(gè)是最大值，哪個(gè)是最小值，結(jié)合已知求出參數(shù)，進(jìn)而使問(wèn)題得以解決．題型十五根據(jù)函數(shù)的最值研究參數(shù)【典例29】（2023下·廣東江門(mén)·高二?？计谥校┖瘮?shù)（m為常數(shù)）在上有最大值，那么．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，得到最大值為，結(jié)合題意，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的最大值為，所以.故答案為：.【典例30】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)在上的最小值為，求a的值.【答案】1【分析】利用導(dǎo)數(shù)求含參函數(shù)的最值，結(jié)合，分類(lèi)研究的單調(diào)性，由單調(diào)性求在上的最值，建立關(guān)于的方程求解即可.【詳解】由，，得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，，不合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，解得，不滿足，故舍去；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，，所以，滿足題意.綜上所述，.題型十六函數(shù)極值、最值的圖象信息問(wèn)題【典例31】（2023下·山東菏澤·高二校考階段練習(xí)）如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，給出下列命題：①是函數(shù)的極值點(diǎn)；②是函數(shù)的最小值；③在處切線的斜率小于零；④在區(qū)間上單調(diào)遞增．則正確命題的序號(hào)是（

）A．①② B．①④ C．②③ D．③④【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義與函數(shù)的單調(diào)性，極值點(diǎn)的關(guān)系結(jié)合圖象即可判斷.【詳解】由題知，根據(jù)，可以確定函數(shù)的增區(qū)間，減區(qū)間以及切線斜率的正負(fù)，由導(dǎo)函數(shù)的圖象可得，當(dāng)時(shí)，，，3的左邊負(fù)右邊正，兩邊互為異號(hào)，所以在上為減函數(shù)，上為增函數(shù)，由此可得：①是函數(shù)的極值點(diǎn)；④在區(qū)間上單調(diào)遞增，這兩個(gè)結(jié)論正確.②是函數(shù)的最小值；③在處切線的斜率小于零，這兩個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤.故選：B.【典例32】【多選題】（2023上·廣東中山·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是（）A．有兩個(gè)極值點(diǎn) B．為函數(shù)的極大值C．有兩個(gè)極小值 D．為的極小值【答案】BC【分析】根據(jù)的圖象，得到的單調(diào)性和極值情況，得到答案.【詳解】根據(jù)的圖象，可得當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，AC選項(xiàng)，在和1處取得極小值，在處取得極大值，共3個(gè)極值點(diǎn)，A錯(cuò)誤，C正確；B選項(xiàng)，為函數(shù)的極大值，B正確；D選項(xiàng)，不為函數(shù)的極小值，D錯(cuò)誤.故選：BC【總結(jié)提升】有關(guān)給出圖象研究函數(shù)性質(zhì)的題目，要分清給的是f(x)的圖象還是f′(x)的圖象，若給的是f(x)的圖象，應(yīng)先找出f(x)的單調(diào)區(qū)間及極(最)值點(diǎn)，如果給的是f′(x)的圖象，應(yīng)先找出f′(x)的正負(fù)區(qū)間及由正變負(fù)還是由負(fù)變正，然后結(jié)合題目特點(diǎn)分析求解．題型十七函數(shù)極值與最值的綜合問(wèn)題【典例33】（2021·北京高考真題）已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．【答案】（1）；（2）函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，最大值為，最小值為.【分析】（1）求出、的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程；（2）由可求得實(shí)數(shù)的值，然后利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，由此可得出結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，，，此時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）因?yàn)?，則，由題意可得，解得，故，，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，，.【典例34】（2023上·山西呂梁·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，求當(dāng)a為何值時(shí)，取得最大值．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【分析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，通過(guò)對(duì)導(dǎo)數(shù)中的分類(lèi)討論，研究函數(shù)值的符號(hào)，得出函數(shù)正負(fù)，求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)得出，化簡(jiǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求何時(shí)取最大值.【詳解】（1）由，得．令，則，，當(dāng)，即時(shí)，恒成立，則，所以在上是減函數(shù)．當(dāng)，即或．（i）當(dāng)時(shí)，恒成立，從而，所以在上是減函數(shù)．（ii）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)：，，列表如下：—0+0—減函數(shù)極小值增函數(shù)極大值減函數(shù)綜上，當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是，減區(qū)間是，．（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，，，則，是方程的兩個(gè)根，從而，，由韋達(dá)定理，得，．又，所以，令，，，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，從而，由知，又，解得，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值．【總結(jié)提升】求解函數(shù)極值與最值綜合問(wèn)題的策略(1)求極值、最值時(shí)，要求步驟規(guī)范，含參數(shù)時(shí)，要討論參數(shù)的大小范圍．(2)求函數(shù)在無(wú)窮區(qū)間(或開(kāi)區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調(diào)性，并通過(guò)單調(diào)性和極值情況，畫(huà)出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值．一、選擇題：1．（2023上·安徽亳州·高三蒙城第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，則函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分析的單調(diào)性，即可得到的單調(diào)性及變化趨勢(shì)，即可判斷.【詳解】由題知且不恒等于，又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在定義域上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即當(dāng)時(shí)，的值由小變大，再由大變小，即函數(shù)圖象從左到右是單調(diào)遞增，且變化趨勢(shì)是先慢后快再變慢.故選：B.2.（2023下·甘肅天水·高二?？计谥校┰O(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如圖所示，則下列不是導(dǎo)函數(shù)圖象的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】ABC【分析】利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可判斷選項(xiàng).【詳解】由函數(shù)單調(diào)遞增，，函數(shù)單調(diào)遞減，，(不恒為0),由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以對(duì)應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)，故AC不是導(dǎo)函數(shù)的圖象；當(dāng)時(shí)，圖象是先增，再減，再增，所以導(dǎo)函數(shù)的圖象應(yīng)先正數(shù)，零點(diǎn)，再負(fù)數(shù)，零點(diǎn)，再正數(shù)，故B不是導(dǎo)函數(shù)的圖象.故選：ABC3．（2023上·山東棗莊·高三棗莊市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)在其定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)，令極值點(diǎn)屬于已知區(qū)間即可.【詳解】所以時(shí)遞減，時(shí)，遞增，是極值點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)在其定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間(k－1，k＋1)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，所以，即，故選：B.4.（2023上·江蘇常州·高二統(tǒng)考期末）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)小于0可得答案.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，由得，所以的單調(diào)減區(qū)間為.故選：D.5.（2022·全國(guó)·高考真題（理））當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可知，即可解得，再根據(jù)即可解出．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，所以依題可知，，，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時(shí)取最大值，滿足題意，即有．故選：B.二、多選題6．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（

）．A． B． C． D．【答案】BCD【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由已知可得在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個(gè)不等的正根判斷作答.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，因?yàn)楹瘮?shù)既有極大值也有極小值，則函數(shù)在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，而，因此方程有兩個(gè)不等的正根