2023年高三數(shù)學(xué)寒假作業(yè)16（含答案解析）

高三寒假作業(yè)16

一、單選題

1.如圖，/是全集，M、P、S是/3個子集，則陰影部分所表示的集合是（)

A.所產(chǎn)）nsB.(/np)usc.所「加亍D.

（〃np）u亍

2.若+=貝ljz=()

A.IB.1+iC.-iD.i

3.若直線2x+y-l=0是圓（x—a）2+y2=i一條對稱軸，則。=（)

1

AB.——C.1D.-1

-I2

4.如圖是標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)遠(yuǎn)視力表的一部分.最左邊一列“五分記錄”為標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力記錄，這組

數(shù)據(jù)從上至下為等差數(shù)列，公差為0.1；最右邊一列“小數(shù)記錄”為國際標(biāo)準(zhǔn)視力記錄的近

似值，這組數(shù)據(jù)從上至下為等比數(shù)列，公比為痂.己知標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力5.0對應(yīng)的國際標(biāo)

準(zhǔn)視力準(zhǔn)確值為1.0,則標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力4.8對應(yīng)的國際標(biāo)準(zhǔn)視力精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位約為

()

(參考數(shù)據(jù)：Vio?1.58,'Vio?1.26)

標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力表

小

數(shù)

4.0

記

E錄

0.12

SUJ0.1

4.2Em0.15

A.0.57B.0.59C.0.61D.0.63

5.在中，AC=3,8C=4,NC=90°.尸為所在平面內(nèi)的動點(diǎn)，且

PC=1,則序.而的取值范圍是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

6.已知函數(shù)/（x）=2sina>xcos2|?一?|一$皿％》3>0）在區(qū)間--?，一上是增函

數(shù)，且在區(qū)間[0,兀]上恰好取得一次最大值，則”的取值范圍是（）

31-13]「15一

I5」\_25]\_22]

7.若兩曲線）=/-1與）存在公切線，則正實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.（O,2elB,（0,e]C.[2e,+<x））D.（e,2e]

8.已知雙曲線/一1=1,若過點(diǎn)（2,2）能作該雙曲線的兩條切線，則該雙曲線離心率e

a

取值范圍為（）

（rrr\（<—、

A.—7，+8B.1?—-C.D.以上選

<3）IJ

項(xiàng)均不正確

二、多選題

9.已知向量a=（l,sin6）,B=（cos。,JE）,則下列命題正確的是（）

A.存在。，使得2//BB.當(dāng)tan6=——時，￡與垂直

2

C.對任意。，都有|公同引D.當(dāng)石時，tan?=也

10.一個質(zhì)地均勻的正四面體表面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,拋擲該正四面體兩次，記

事件A為“第一次向下的數(shù)字為偶數(shù)”，事件8為“兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，則下列說

法正確的是（）

A.尸（A）=gB.事件A和事件2互為對立事件

C.P（B|A）=1D.事件A和事件B相互獨(dú)立

11.在正方體中，點(diǎn)P滿足加=23弓+僅8妹，其中丸?0』],

4G[0,1],則（）

A.當(dāng)4=〃時，4尸〃平面AC。

B.當(dāng)〃=1時，三棱錐尸―A3。的體積為定值

C.當(dāng)4=1時，4PBD面積為定值

n7i

D.當(dāng)2+4=1時，直線AQ與2P所成角的范圍為

12.已知函數(shù)/(x)=(ox+lnx)(x-lnx)-x2恰有三個零點(diǎn)3,%2，%3(5<%3)，則下列

結(jié)論中正確的是()

Al<a<l+—^—B.+——

e~—ee--e

C.xt+x2>3-aD,x2+x3>2e

三、填空題

13.(x2+2)6的展開式中常數(shù)項(xiàng)是(用數(shù)字作答).

X

14.某大學(xué)一寢室4人參加疫情防控講座，4人就坐在一排有13個空位的座位上，根據(jù)防疫

要求，任意兩人之間需間隔1米以上(兩個空位)，則不同的就坐方法有種.

15.已知5x2y2+y=l(x,yeR),則9+丁的最小值是.

16.在三棱錐尸-ABC中，頂點(diǎn)尸在底面ABC的投影為O,點(diǎn)。到側(cè)面EA5,側(cè)面

PAC,側(cè)面P3C的距離均為止若PO=2d,AB=2.CA+CB=4,且44BC是銳

角三角形，則三棱錐P-ABC體積的取值范圍為.

四、解答題

17.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=3,c=&,B=45。.

(1)求sinC的值；

4

(2)在邊BC上取一點(diǎn)。，使得cosZADC=-g,求tanNZl4c的值.

18.已知數(shù)列｛《,｝是公比為夕的等比數(shù)列，前九項(xiàng)和為S“，且滿足4+%=2夕+1,

S3=3a2+1.

(1)求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式:

。"+1〃為奇數(shù)

(2)若數(shù)列也｝滿足b?=J3an求數(shù)列也｝的前2〃項(xiàng)和&.

，〃為偶數(shù)

4.一5?！?1

高三寒假作業(yè)16答案解析

一、單選題

1.如圖，/是全集，M、尸、S是/的3個子集，則陰影部分所表示的集合是（）

A.（M"）nsB.MP）USc.（wnnnsD.

（Mnp）us

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)Venn圖表示的集合運(yùn)算作答.

【詳解】陰影部分在集合",「的公共部分,但不在集合S內(nèi)，表示為（MCP）CM，

故選：C.

2.若+=,貝I］乎（）

A.1-/B.1+zC.-iD./

【答案】D

【解析】

【分析】先利用除法運(yùn)算求得三，再利用共軌復(fù)數(shù)的概念得到z即可.

【詳解】因-［二31_/二f^l_^＞^）2二三-21一，所以zr

故選：D

【點(diǎn)晴】本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，涉及到共規(guī)復(fù)數(shù)的概念，是一道基礎(chǔ)題.

3.若直線2x+y—1=0是圓（x—q）2+y2=i的一條對稱軸，則。=（）

11

A.-B.一一C.1D.-1

22

【答案】A

【解析】

【分析】若直線是圓的對稱軸，則直線過圓心，將圓心代入直線計算求解.

【詳解】由題可知圓心為（。,0）,因?yàn)橹本€是圓的對稱軸，所以圓心在直線上，即

2?+0-1=0,解得一.

2

故選：A.

4.如圖是標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)遠(yuǎn)視力表的一部分.最左邊一列“五分記錄''為標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力記錄，這組

數(shù)據(jù)從上至下為等差數(shù)列，公差為0.1；最右邊一列“小數(shù)記錄''為國際標(biāo)準(zhǔn)視力記錄的近

似值，這組數(shù)據(jù)從上至下為等比數(shù)列，公比為曬.已知標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力5.0對應(yīng)的國際標(biāo)

準(zhǔn)視力準(zhǔn)確值為1.0,則標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力4.8對應(yīng)的國際標(biāo)準(zhǔn)視力精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位約為

()

(參考數(shù)據(jù)：1.58,1.26)

標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力表

小

數(shù)

記

錄

4.0EO.

SUJ

015

42E[T1

A.0.57B.0.59C.0.61D.().63

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，確定標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力4.8從下到上的項(xiàng)數(shù)，再利用等比數(shù)列計算作

答.

【詳解】依題意，以標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力5.0為左邊數(shù)據(jù)組的等差數(shù)列的首項(xiàng)，其公差為-0」，標(biāo)

準(zhǔn)對數(shù)視力4.8為該數(shù)列第3項(xiàng),

標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力5.0對應(yīng)的國際標(biāo)準(zhǔn)視力值1。為右邊數(shù)據(jù)組的等比數(shù)列的首項(xiàng)，其公比為

1

因此，標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力4.8對應(yīng)的國際標(biāo)準(zhǔn)視力值為該等比數(shù)列的第3項(xiàng)，其大小為

lx0.63

故選：D

5.在A4BC中，AC=3,BC=4,ZC=90°.P為AABC所在平面內(nèi)的動點(diǎn)，且

PC=],則麗.麗的取值范圍是（）

A.[-5,3JB.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

【答案】D

【解析】

【分析】依題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P（cos6,sin。），表示出百，PB，根據(jù)數(shù)量積

的坐標(biāo)表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；

【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則。（0,0）,4（3,0）,3（0,4）,

—2-

因?yàn)镻C=1,所以P在以。為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動，

設(shè)尸(cos。,sin。),6￡[0,2句,

所以刀=(3-cos6,-sin8),PB=(-cos0,4-sin3^,

所以PAPB=(-cos^)x(3-cos^)+(4-sin6)x(-sin6)

=cos2。-3cos6-4sine+sin20

=l-3cos^-4sin^

=l-5sin(9+e),其中sin°=g,cos0=*,

因?yàn)橐籰〈sin(8+e)4l,所以-4Wl-5sin(e+0)W6,即耳.麗e[-4,6]；

故選：D

(oxn

6.已知函數(shù)/(x)=2sin3xcos一sin2（yx（0>O）在區(qū)間---上是增函

24

數(shù)，且在區(qū)間［0,兀］上恰好取得一次最大值，則。的取值范圍是（）

【答案】B

【解析】

【分析】先化簡函數(shù)的解析式，再依據(jù)題意列出關(guān)于0的不等式組，即可求得。的取

值范圍.

.、乂i.//、->?（OX71A.2（的兀1.

【詳解】）（%）=2sinscos-------sinc2ox-sincox2cos--------sina）x

2424

=sincoxcos^69x-—J+l-sin^x=sin6yx(sincox+\-sincox)=sincox

由cox=—+2kit,可得工=」-+"二人GZ

2CDCD

由〃x）在區(qū)間［0,兀］上恰好取得一次最大值，可得解之得

24yCD

5

63

又/（x）在區(qū)間-丁,二上是增函數(shù)，則,解之得。<

365

13

綜上，。的取值范圍是一404一

故選：B

7.若兩曲線y=N-l與產(chǎn)HINI存在公切線，則正實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.(0,2e]B.(0,e]C.[2e,+<?)

【答案】A

【解析】

【分析】分別求出導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)，得到切線方程，再由兩點(diǎn)的斜率公式，結(jié)合切點(diǎn)滿足

曲線方程，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)區(qū)間、極值、最值即可得出a的取值范圍.

【詳解】設(shè)4（%,片-1）,8（工2，。山2-1）,凹'=2x,%'=-,k\=2xvk2=—

切線：了一（片—1）=2%（%—玉），即y=2X]X_x；—l

切線：y-(nlar2=^y^—x-a+cAxvc2-\,

2x,=—，/

x2,.\a=(1-lnx2)

一片—1=-。11

令/(x)=4x2(l-lnx),/^)=8x(l-lrix)+4x2f--、

kx7

=8x-8xlnx—4x=4x—8xlnx=4x(1-21nx)=0,x=Ve

/(x)在(0,&)上單調(diào)遞增，在(〃,+8)上單調(diào)遞減，

所以/⑴皿=/(&)=2e,，ae(0,2e].

故選：A.

8.已知雙曲線尤2一與=1,若過點(diǎn)（2,2）能作該雙曲線的兩條切線，則該雙曲線離心率e

a

取值范圍為（）

A.+B.C.D.以上選

項(xiàng)均不正確

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)切線方程為y-2=Mx-2）,代入雙曲線方程后，方程應(yīng)為一元二次方程，二

次項(xiàng)系數(shù)不能為0,然后由A=（）判別式得關(guān)于我的方程，此方程有兩個不等的實(shí)根，由此

可得標(biāo)的范圍，從而求得e的范圍，注意滿足二次項(xiàng)系數(shù)不為0的條件，即可得結(jié)論.

【詳解】設(shè)切線方程是^一2=左（了一2）,

y-2=k.（x-2）

由4,y2得（。2一左2）/+4燈Z一1?一4（后一1）2一。2=0,

X一一7=1

Ia-

顯然/一后2=0時，所得直線不是雙曲線的切線，所以

由△=0得16/伏-1）2+4（"_&2）[4（4一1）2+。2]=0,整理為3公一8k+4+4=0,

由題意此方程有兩不等實(shí)根，

2

所以=64-12（4+/）>0,a<-,則/=1+/〈一（c為雙曲線的半焦距），

33

cV2T日n[V2I

e=—=c<----，即1<e<----，

133

k=±。代入方程女2—8Z+4+/=0，得。=±1,此時e-V2，

綜上，e的范圍是（1,夜）U（血,殍）.

故選：D.

二、多選題

9.已知向量Z=（l,sin0）,5=（cose,JI）,則下列命題正確的是（）

行

A.存在氏使得Z//BB.當(dāng)tan6=-"時，Z與坂垂直

2

C.對任意6,都有阿B|D.當(dāng)二方=—6時，tane=V2

【答案】BD

【解析】

【分析】A選項(xiàng)，利用向量平行及三角函數(shù)恒等變換得到方程，sin2e=2Q〉l，故A

錯誤；B選項(xiàng)，利用垂直得到方程，求出正切值；C選項(xiàng)，計算出兩向量的模長，得到

7T1111

9=3+kn、kwZ,C錯誤；利用向量的數(shù)量積列出=cosd+J^sin。=—,平方后

得到tai?。-2夜tan0+2=0,求出正切值.

【詳解】對于選項(xiàng)A：若￡/%,則0=sinOcos。，即sin26=20>l，

所以不存在這樣的8,故A錯誤；

對于選項(xiàng)B：若￡_1_3，ROcosG+-s/2sin0=0?即cosO=-0sinO,得

tan^=-—，故B正確；

2

對于選項(xiàng)C：1Z|=Jl12+COS?6，當(dāng)|￡|=|萬I時，cos2^=-l,

此時0=—+kn,kwZ,故C錯誤；

對于選項(xiàng)D：a-b=cos4-V2sin=->/3，兩邊同時平方得

cos20+2sin20+2>/2cos-sin=3cos26+3sin20，化簡得

2cos20+sin20-2V2sin0cos0=0?等式兩邊同除以cos26得

tan20-2V2tan0+2=0?

即（tan。一收了=0,所以tan。=血，故D正確.

故選：BD.

10.一個質(zhì)地均勻的正四面體表面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,拋擲該正四面體兩次，記

事件A為“第一次向下的數(shù)字為偶數(shù)”，事件B為“兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，則下列說

法正確的是（）

A.尸（A）=gB.事件A和事件B互為對立事件

C.尸；D.事件A和事件B相互獨(dú)立

【答案】ACD

【解析】

【分析】求得尸（A）的值判斷選項(xiàng)A；舉反例否定選項(xiàng)B；求得P（B|A）的值判斷選項(xiàng)

C；利用公式P（A）P（B）=P（AB）是否成立判斷選項(xiàng)D.

C181

【詳解】選項(xiàng)A：P（A）=/身=7=；.判斷正確；

C4c4162

選項(xiàng)B：事件8：第一次向下的數(shù)字為偶數(shù)，第二次向下的數(shù)字為奇數(shù)，

則兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù).則事件A和事件B不是對立事件.判斷錯誤；

選項(xiàng)C：P（AB）=^-=—=-,則P（同4）=^^=:二;.判斷正確;

'）C；C；164V17P（A）

2

/、C'C'+C^C'81,、1P（AB）=%

選項(xiàng)D：P（B）===又尸伊）=,

C4c4lo22

則有P（A）P（B）=P（AB）成立，則事件A和事件8相互獨(dú)立.判斷正確.

故選：ACD

11.在正方體4?。。一44。1。|中，點(diǎn)尸滿足3戶=43心+〃3妹，其中/LG[（）5,

"€[0,1],則（）

A當(dāng)X=〃時，4P〃平面AC。

B.當(dāng)〃=1時，三棱錐尸-a/。的體積為定值

C.當(dāng)之=1時，的面積為定值

7171

D.當(dāng)4+〃=1時，直線A。與RP所成角的范圍為

【答案】ABD

【解析】

【分析】對于A選項(xiàng)，確定尸點(diǎn)在面對角線BC上，通過證明面面平行，得線面平行;

對于B選項(xiàng)，確定P點(diǎn)在棱qG上，由等體積法，說明三棱錐P-4BC的體積為定值；

對于C選項(xiàng)，確定產(chǎn)點(diǎn)在棱CG上，△P8D的底6。不變，高P￡隨點(diǎn)尸的變化而變

化；

對于D選項(xiàng)，通過平移直線4。，找到異面直線與RP所成的角，在正△qgc

中，確定其范圍.

【詳解】對于A選項(xiàng)，如下圖，當(dāng);1=〃時，P點(diǎn)面對角線上運(yùn)動，

又Pc平面AC8,所以42u平面4GB,

在正方體ABC?！?片G"中，?.?43〃。14且45=。10,則四邊形為平行四

邊形，

所以，AD、HBC\,???A。平面4BQ,BQu平面48G，,A￡>"平面ABQ,

同理可證AC〃平面A8C；,

?：AD.C\AC=A,所以，平面AGB〃平面AC",

???A/u平面4BG，所以，4P〃平面AC。，A正確；

對于B選項(xiàng)，當(dāng)〃=1時，如下圖，P點(diǎn)在棱B,G上運(yùn)動，

三棱錐P-ABC的體積VP_^BC=V^PBC=1為定值，B正確;

對于C選項(xiàng)，當(dāng)2=1時，如圖，P點(diǎn)在棱CG上運(yùn)動，過P作于E點(diǎn),

則其大小隨著PE的變化而變化，C錯誤；

對于D選項(xiàng)，如圖所示，當(dāng)彳+〃=1時，P,C,用三點(diǎn)共線，

因?yàn)?B//CO且AM=CD,所以四邊形A^CD為平行四邊形，所以AD//BC,

所以NQP片或其補(bǔ)角是直線耳。與。尸所成角，

7171

在正△44。中，4的取值范圍為,D正確.

故選：ABD.

12.已知函數(shù)/(x)=(Gc+lnx)(x-lnx)-/恰有三個零點(diǎn)玉,吃,毛(占<三)，則下列

結(jié)論中正確的是()

,,1,,1

A.1<a<1+-TB.1<a<Id--z

e-ee-e

C.%+工2>3—aD.x2+x3>2e

【答案】BCD

【解析】

【分析】令，=&?轉(zhuǎn)化為為『+3-1)/+1-。=0(*)在一8,—上有兩不等實(shí)根

xIe_

InX

44儲<幻從而得出參數(shù)。的范圍，設(shè)函數(shù)〃(幻=—在X=1處的切線/：丁=%-1,記

X

]nT

切線/與y=G，y=f2的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為玉,工；,又由——<x-1可得

X

6=x；_1=吧<芯―1,從而可判斷選項(xiàng)C;由對數(shù)均值不等式可判斷選項(xiàng)D.

X

1x—1

【詳解】由y=x-lnx,則y'=l-一=-——

xx

可得0cx<1時，y<o,當(dāng)x>i時，y<0

所以y=x—Inx在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增.所以x—lnx21>0

令7=見二，則產(chǎn)=上乎，當(dāng)0<x<e時，f'>0；當(dāng)]>e時，f<0

Inxx

由題意即方程(ax+Inx)(x-lnx)=x2有三個實(shí)數(shù)根，即a+—=-------有三個實(shí)數(shù)根

xx-lnx

所以""三有兩個實(shí)數(shù)根，即轉(zhuǎn)化為入伍-"+一=°⑴必有一個實(shí)根

判別式△=（。-1）2-4（1一“）>0,有a<—3或。>1,兩根情況討論如下:

①當(dāng)Ae（0,1）,72=L時，從而將,2=1代入（*）式，得4=1+一一，又

eeee-e

秘2=1—。=一一一，有4=一一一<o不符合題意，故舍去

e-ee-e

②當(dāng)4W0,，2￡（°，一）時，令gQ）=廠+（a—1），+1—。

e

i）當(dāng)4=0時，有1—a=0,得a=l,此時（*）式為產(chǎn)=0,不符合題意

g（0）=l-Q<0

ii）當(dāng)。<0時，則有|rn1z.1八，解得

g—=—y+（Q—1）--F1—>0

ee

e2-e+1

\<a<—------

e-e

綜上知〃的取值范圍為（l,e~；e+l）,故A錯誤，B正確.

e-e

11卜知/1一。-A/Q~+2a—3（1—Q+J〃~+2a—3

~L2，2―2~

InxInX

考慮函數(shù)//(?=—在X=1處的切線/：丁=X-1,易證：——<x-\

XX

記切線/與y=九y=L的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為工；,芯，則X=1一"一'『+2史+1，

2

,1—a+Ja~+2a—3,

%,=-----------------1-1

-2

,,Inx.,,

又4=X]-1=---<玉一1,則玉<々

X]

同理乂<%2，故％+工2>x：+x；=3-。，故選項(xiàng)C正確

Inx,=x.-x.1X-.+X-,2

對于選項(xiàng)D,一一一，則有■;~—=-<--,即/+￡>—>2e,故

ln

InX3=，2%3工2-In尤3t22t2

選項(xiàng)D正確

故選：BCD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題，考查復(fù)合方程的根的問題.解

InY

得本題的關(guān)鍵是先令1=—，先研究出其性質(zhì)大致圖像，然后將問題轉(zhuǎn)化為

X

r+(a-l)/+l-a=O(*)在(-8,0]和上各有一個實(shí)根，|內(nèi)(4<L)，從而使得問

題得以解決，屬于難題.

三、填空題

13.(%2+2)6的展開式中常數(shù)項(xiàng)是(用數(shù)字作答).

X

【答案】240

【解析】

【分析】寫出二項(xiàng)式展開通項(xiàng)，即可求得常數(shù)項(xiàng).

【詳解】???(x2+^[

IX)

其二項(xiàng)式展開通項(xiàng)：

…,(打I]'

=Q(2),--xl2-3f

當(dāng)12-3r=0,解得/'=4

.?.卜+4的展開式中常數(shù)項(xiàng)是：C；"=cri6=15xl6=240.

故答案為：240.

【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，利用通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開式中的指定項(xiàng)，解題關(guān)鍵是掌握

(a+b)”的展開通項(xiàng)公式(+1=C，"-'7/,考查了分析能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.某大學(xué)一寢室4人參加疫情防控講座，4人就坐在一排有13個空位的座位上，根據(jù)防疫

要求，任意兩人之間需間隔1米以上(兩個空位)，則不同的就坐方法有種.

【答案】840

【解析】

【分析】先假設(shè)每人坐一個位置相當(dāng)于去掉4個位置，再將4人中間任意兩人之間放進(jìn)2

個空位，

此時空位一共還剩3個，再將這三個分成一組、兩組、三組討論，利用分類計數(shù)原理計算可

得答案.

【詳解】先假設(shè)每人坐一個位置相當(dāng)于去掉4個位置，再將4人中間任意兩人之間放進(jìn)2

個空位，

此時空位一共還剩3個，若將這三個連在一起插入4人之間和兩側(cè)的空位上，有5種放

法；

若將這三個分成兩組，一組兩個，一組一個，插入4人之間和兩側(cè)的空位上，有A；種放

法；

若將這三個分成三組插入4人之間和兩側(cè)的空位上，有C；種放法，

故不同的就坐方法為A：x（5+A"C；）=840種.

故答案為：840.

15.已知5x2y2+/=l（x,yeR）,則x2+y2的最小值是.

【答案】|4

【解析】

【分析】根據(jù)題設(shè)條件可得￡=舁，可得/+丫2=舁+尸=3+與，利用基本不

5y5y5y5

等式即可求解.

【詳解】+

4

1—v

且

2仔Fg當(dāng)且僅當(dāng)步昔，即小

X2+/

時取等號.

???f+）,2的最小值為*.

4

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式在求最值中的應(yīng)用.利用基本不等式求最值時，一定要正確

理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，

其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。?；三相等是，最后一定要驗(yàn)證等號

能否成立（主要注意兩點(diǎn)，一是相等時參數(shù)否在定義域內(nèi)，二是多次用》或《時等號能否

同時成立）.

16.在三棱錐中，頂點(diǎn)P在底面ABC的投影為。，點(diǎn)。到側(cè)面％8,側(cè)面

PAC,側(cè)面PBC的距離均為d,若PO=2d,AB=2.CA+CB=4,且44BC是銳

角三角形，則三棱錐尸-ABC體積的取值范圍為

【解析】

【分析】根據(jù)點(diǎn)。到三個側(cè)面的距離相等，從而得出點(diǎn)。到底面三條邊的距離相等，從而

得到，三棱錐的體積關(guān)于4的表達(dá)式，再通過底面三角形為銳角三角形，得到d的范圍，

即可得出三棱錐體積的范圍.

【詳解】解析：如圖，過點(diǎn)。作AC于點(diǎn)。，連接PO.作OELPD于點(diǎn)E,則

有0E=d=L0P,0D=3^d，同理，點(diǎn)。到邊AB,AC的距離都為2叵所以

233

由AB=2,C4+CB=4可知，點(diǎn)C軌跡為以4,8為焦點(diǎn)的橢圓，

a=2,c=\=b=6如圖，當(dāng)AABC是銳角三角形時，點(diǎn)C橫坐標(biāo)取值范圍為

(-1,1),則鳳所以,詆=2島egg

_4A/3,2(GVT

所以彩一人品二三-de7-'石

(上行

故答案為：——-

43

四、解答題

17.在AABC中，角A,B,C的對邊分別為mb,c,已知a=3,c=J^,8=45。.

（I）求sinC的值；

4

（2）在邊BC上取一點(diǎn)。，使得cosNAOC=—g,求tanNZMC的值.

【答案】（1）sinC=——;（2）tanADAC——.

511

【解析】

【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得力，利用正弦定理求得sinC.

（2）方法一：根據(jù)cosNADC的值，求得sinNADC的值，由（1）求得cosC的值，從

而求得sinZDAC,cosZDAC的值，進(jìn)而求得tanADAC的值.

【詳解】（1）［方法一］:正余弦定理綜合法

由余弦定理得〃=a2+c2-2accos8=9+2-2x3x夜xJ=5，所以b=下.

2

由正弦定理得一^="一nsinC=/曳四=蟲.

sinCsinBb5

［方法二］【最優(yōu)解】：幾何法

過點(diǎn)A作AE_L3C,垂足為E.在RtAABE中，由c=0,8=45?,可得

AE=BE=1,又。=3,所以EC=2.

在Rt^ACE中，AC=>JAE2+EC2=>/5'因此sinC=[=-^

（2）［方法一］:兩角和的正弦公式法

由于cosZADC=-g,7），所以sinNADC=J1—cos?NADC=|.

由于乃）,所以Ce|。,.所以cosC=Vl-sin2C=~~~

所以sin/D4C=sin(不一ND4C)=sin(ZAZX7+ZC)

Q9/54垂)2石

=sinZADC-cosC+cosZADC-sinC=-x------1-x----=------

55525

由于ND4Ce(0,5),所以cos/D4c=yjI-sin2ZDAC

25

,小4〃sinADAC2

c所ri以tanADAC=-------------=一

cosZDAC11

［方法二］【最優(yōu)解】：幾何法+兩角差的正切公式法

4

在（1）的方法二的圖中，由cosNAOC=—g,可得

4

cosZADE=cos(l-ZADC)=一cosZADC=—,從而

4sinZDAE4

sinZDAE=cosZADE=—,tan/DAE-

5cosZDAE3

EC

又由(1)可得tanNE4C=——=2,所以

AE

/ls、tanZEAC-tanZEAD2

tanADAC=tan(ZE4C-ZEAD)=------------------------------二—

I+tanZEAC-tanZEAD11

［方法三］:幾何法+正弦定理法

在（1）的方法二中可得AE=1,CE=2,AC=J^.

AEr-4

在RtZkADE中，AD---------------=6ED=ADCOSZADE=-

sinZADE------------------------------------3

2

所以CD=C￡—=

3

在AACD中，由正弦定理可得sinZDAC=0