人教版數(shù)學(xué)八年級上冊 14.1 整式乘法 教案

/適用學(xué)科初中數(shù)學(xué)適用年級初中二年級適用區(qū)域人教版課時時長〔分鐘〕2課時知識點1、同底數(shù)冪的乘法；冪的乘方；積的乘方2、單項式乘以單項式；單項式乘以多項式；多項式乘以多項式3、同底數(shù)冪的除法；零指數(shù)指數(shù)冪教學(xué)目標1.熟記同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方的運算法那么,會結(jié)合實際問題進行根本運算；開展推理能力和有條理的表達能力。理解單項式與單項式、單項式與多項式、多項式與多項式相乘的乘法法那么,并能熟練地運用這些法那么進行相關(guān)的運算；了解同底數(shù)冪的除法運算性質(zhì),并解決一些實際問題,通過歸納規(guī)律猜測出零指數(shù)冪的意義2.通過自己的計算和歸納概括,得到同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方的運算法那么；開展學(xué)生的推理能力和表達能力,能熟練靈活地運用法那么進行整式的運算,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。通過同底數(shù)冪除法運算法那么的導(dǎo)出及運用,讓學(xué)生體會知識具有普遍聯(lián)系性和相互轉(zhuǎn)化性,通過同底數(shù)冪除法運算,培養(yǎng)學(xué)生的運算能力3.在開展推理能力和有條理的表達能力的同時,體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。教學(xué)重點同底數(shù)冪的乘除法、冪的乘方、積的乘方的運算法那么；單項式與單項式、單項式與多項式、多項式與多項式相乘的乘法法那么的靈活運用；同底數(shù)冪除法法那么的探索和應(yīng)用,理解零指數(shù)指數(shù)冪的意義教學(xué)難點同底數(shù)冪的乘除法、冪的乘方、積的乘方的綜合應(yīng)用；多項式與多項式相乘的乘法法那么的運用；理解零指數(shù)指數(shù)冪的意義【知識導(dǎo)圖】教學(xué)過程教學(xué)過程一、導(dǎo)入一、導(dǎo)入復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)1.求n個相同因數(shù)的積的運算,叫做乘方,乘方的結(jié)果叫做冪。例如an這個表達式中,a是底數(shù),n是指數(shù),an又讀作a的n次冪2.乘方的性質(zhì)：負數(shù)的偶次冪是正數(shù),負數(shù)的奇次冪是負數(shù),正數(shù)的任何次冪都是正數(shù),0的任何正整數(shù)次冪都是零,例如(-1)2=1,(-1)-1=-1等二、知識講解二、知識講解考點1考點1同底數(shù)冪的乘法法那么：一般地,對于任何底數(shù)a與任何正整數(shù)m、n,=因此我們有am﹒an=am+n〔m,n都是正整數(shù)〕即同底數(shù)冪相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相加。注意：〔1〕三個或三個以上同底數(shù)冪相乘,法那么也適用。即am×an×﹒﹒﹒×ap=am+n+﹒﹒﹒+p(m,n,...,p都是正整數(shù))〔2〕不要忽略指數(shù)為1的因數(shù)〔3〕底數(shù)不一定只是一個數(shù)字或一個字母注意法那么的逆用,即am+n=am﹒an〔m,n都是正整數(shù)〕考點2考點2冪的乘方的的意義：冪的乘方是指幾個相同的冪相乘。冪的乘方法那么：一般的,對于任意底數(shù)a與任意正整數(shù)m,n,因此,我們有(am)n=amn〔m,n都是正整數(shù)〕即冪的乘方,底數(shù)不變,指數(shù)相乘。注意：(1)法那么可推廣為[(am)n]p=amnp〔m,n,p都是正整數(shù)〕(2)此法那么可以逆用amn=(am)n=(an)m〔m,n都是正整數(shù)〕考點3考點3積的乘方法那么：一般的,對于任意底數(shù)a,b與任意正整數(shù)n,因此,可得出(ab)n=anbn〔n是正整數(shù)〕即積的乘方,等于把積的每一個因式分別乘方,再把所得的冪相乘。注意：(1)三個或三個以上因式的積的乘方,也具有這一性質(zhì).例如(abc)n=anbncn(2)此法那么可逆用：anbn=(ab)n考點4考點4發(fā)現(xiàn)、總結(jié)1.問題：光的速度約為3×105千米/秒,太陽光照射到地球上需要的時間大約是5×102秒,你知道地球與太陽的距離約是多少千米嗎?解答：(3×105)×(5×102)=(3×5)×(105×102)=15×107如果將上式中的數(shù)字改為字母,即ac5·bc2,我們可以得到ac5·bc2=(a·c5)·(b·c2)=(a·b)·(c5·c2)=abc5+2=abc7根據(jù)上式總結(jié)出單項式與單項式相乘的方法2.問題：三家連鎖店以相同的價格m(單位：元/瓶)銷售某種商品,它們在一個月內(nèi)的銷售量(單位：瓶),分別是a,b,c。請用不同方法計算它們在這個月內(nèi)銷售這種商品的總收入一種方法是先求三家連鎖店的總銷售量,再求總收入,即總收入為m(a+b+c),另一種方法是先分別求三家連鎖店的收入,再求它們的和,即總收入為ma+mb+mc,所以：m(a+b+c)=ma+mb+mc,根據(jù)上式總結(jié)出單項式與多項式相乘的方法3.問題：為了擴大綠地面積,要把街心花園的一塊長a米,寬m米的長方形綠地增長b米,加寬n米,求擴地以后的面積是多少？用兩種方法表示擴大后綠地的面積。方法一：這塊花園現(xiàn)在長(a+b)米,寬(m+n)米,因而面積為(a+b)(m+n)米2．方法二：這塊花園現(xiàn)在是由四小塊組成,它們的面積分別為：am米2、an米2、bm米2、bn米2,故這塊綠地的面積為(am+an+bm+bn)米2．(a+b)(m+n)和(am+an+bm+bn)表示同一塊綠地的面積,(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn,根據(jù)上式總結(jié)出多項式與多項式相乘的方法考點5考點5結(jié)合以上情形,我們可以得到單項式與單項式、單項式與多項式、多項式與多項式相乘的乘法法那么,即1.單項式與單項式相乘的乘法法那么：單項式與單項式相乘,把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘,對于只在一個單項式里含有的字母,那么連同它的指數(shù)作為積的一個因式。2.單項式與多項式相乘的乘法法那么：單項式與多項式相乘,就是先用單項式去乘多項式的每一項,再把所得的積相加。用式子表示為m(a+b+c)=ma+mb+mc(m,a,b,c都是單項式)3.多項式與多項式相乘的乘法法那么:多項式與多項式相乘,先用一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項,再把所得的積相加。用式子表示為(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn考點6考點6同底數(shù)冪的除法法那么：一般地,我們有am÷an=am-n〔a≠0,m,n都是正整數(shù),并且m>n〕即同底數(shù)冪相除,底數(shù)不變,指數(shù)相減。注意：〔1〕底數(shù)a可以是單項式,也可以是多項式,但底數(shù)a不能為0,那么除數(shù)為零,除法就沒有意義了〔2〕當(dāng)三個或三個以上同底數(shù)冪相除時,也具有這一性質(zhì),例如am÷an÷ap=am-n-p〔a≠0,m,n,p是正整數(shù),并且m>n+p〕〔3〕應(yīng)用這一法那么時,必須明確底數(shù)是什么,指數(shù)是什么,然后按照同底數(shù)冪除法法那么進行計算〔4〕同底數(shù)冪的除法和同底數(shù)冪的乘法是互為逆運算考點7考點7零指數(shù)冪的性質(zhì)：同底數(shù)冪相除,如果被除式的指數(shù)等于除式的指數(shù),例如am÷am,根據(jù)除法的意義可知所得的商為1,另一方面,如果按照同底數(shù)冪的除法來計算,又有am÷am=am-m=a0于是規(guī)定：a0=1〔a≠0〕即任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1注意：任何一個常數(shù)都可以看作與字母0次方的積,因此常數(shù)項可以看作是0次單項式三、例題三、例題精析類型一同底數(shù)冪相乘例題1例題1計算〔1〕104×102〔2〕(-b)3×(-b)2〔3〕xm+2﹒xm+1﹒xm﹒x【答案】〔1〕104×102=104+2=106〔2〕(-b)3×(-b)2=(-b)3+2=(-b)5〔3〕xm+2﹒xm+1﹒xm﹒x=xm+2+m+1+m+1=x3m+4【解析】三個題中,每個題中冪的底數(shù)都相同,根據(jù)同底數(shù)冪的運算法那么同底數(shù)冪相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相加計算即可。例題2例題2計算(1)(a+3)﹒(a+3)2﹒(a+3)5(2)(-x)﹒x2﹒(-x)3(3)(2a-3b)3﹒(3b-2a)4【答案】(1)(a+3)﹒(a+3)2﹒(a+3)5=(a+3)1+2+5=(a+3)8(2)(-x)﹒x2﹒(-x)3=-y﹒y2﹒〔-y3〕=y1+2+3=y6(3)(2a-3b)3﹒(3b-2a)4=(2a-3b)3﹒(2a-3b)4=(2a-3b)3+4=(2a-3b)7【解析】題〔1〕中把a+3看成一個整體,同樣適用于同底數(shù)冪的乘法法那么；題(2)中第二個冪的底數(shù)與其它兩個互為相反數(shù),通過冪的運算轉(zhuǎn)化為同底數(shù)后后進行計算；題〔3〕同題〔2〕一樣底數(shù)互為相反數(shù),通過冪的乘方符號法那么轉(zhuǎn)化運算轉(zhuǎn)化成同底數(shù)冪后運用同底數(shù)冪的運算法那么進行計算。注意：〔1〕同底數(shù)冪相乘時,底數(shù)可以是單項式,也可以是多項式〔2〕冪的運算中經(jīng)常用到的變形例題3例題3(1)假設(shè)am=2,an=5,那么am+n=________.(2)3y=4,那么3y+2=_______.【答案】(1)am=2,an=5,am+n=am﹒an=2×5=10(2)3y=4,那么3y+2=3y﹒32=4×9=36【解析】此例題運用了同底數(shù)冪的乘法法那么,將所求轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪的乘法然后整體代入求值,表達了整體思想的應(yīng)用。類型二冪的乘方例題4例題4計算(1)(a2)3(2)(xm-1)3(3)[(-y)4]5【答案】(1)(a2)3=a2×3=a6(2)(xm-1)3=x3(m-1)=x3m-3(3)[(-y)4]5=(-x)4×5=(-x)20=x20【解析】根據(jù)冪的乘方法那么,冪的乘方,底數(shù)不變,指數(shù)相乘計算即可例題5例題5am=2,求a2m-a4m的值?！敬鸢浮縜2m-a3m==22-23=4-8=-4【解析】此題逆用冪的乘方法那么,將a2m-a3m轉(zhuǎn)化為(am)2-(am)3后,把am=2整體代入求值即可解答。例題6例題6計算(1)(-2a2b)2(2)-(-3xy2)4(3)(-a3b2)3【答案】(1)(-2a2b)2=(-2)2﹒(a2)2﹒b2=4a4b2(2)-(-3xy2)4=-(-3)4﹒x4﹒(y2)4=-81x4y8(3)(-a3b2)3=(-1)3﹒(a3)3﹒(b2)3=-a9b6【解析】按照積的乘方的運算法那么,把積中的每一個因式分別乘方即可。類型三積的乘方例題7例題7計算(1)46×(0.25)6(2)【答案】(1)46×(0.5)6=(4×0.25)6=16=1(2)==(-1)1013=-1【解析】此題假設(shè)先算乘方,運算量太大,注意到4×0.25=1,,即兩底數(shù)的積容易求出.而指數(shù)又是相同的,故可逆用積的乘方的法那么簡便計算。類型四單項式乘單項式例題8例題8計算(1)3x2﹒4x(2)2xy2﹒6x2y【答案】(1)3x2﹒4x=3×4﹒x2+1=12x3(2)2xy2﹒6x2y=2×6﹒x1+2y2+1=12x3y3例題9【解析】直接運用單項式與單項式相乘的乘法法那么計算即可。例題9計算(1)(-xy2z3)2﹒(-x2y)3(2)(2x3y)2﹒x3y+(-4x6)(-xy)3【答案】(1)(-xy2z3)2﹒(-x2y)3=x2y4z6﹒(-1)x6y3=-x8y7z6(2)(2x3y)2﹒x3y+(-4x6)(-xy)3=4x6y2﹒x3y+(-4)﹒x6﹒(-1)﹒x3y3=4x9y3+4x9y3=8x9y3【解析】先根據(jù)積的乘方法那么進行計算,再直接運用單項式與單項式相乘的乘法法那么計算,題(2)最后還要合并同類項類型五單項式乘多項式例題10例題10計算(1)3x(x-1)(2)2x(3a+4b)(3)(x2y-2xy+y2)﹒(4xy)【答案】(1)3x(x-1)=3x2-3x(2)2x(3a+4b)=6xa+8xb(3)(x2y-2xy+y2)﹒(4xy)=4x3y2-8x2y2+4xy3【解析】直接運用單項式與多項式相乘的乘法法那么計算即可類型六多項式乘多項式例題11例題11計算(1)(3a+1)(a-3)(2)(2a+b)(a-2b)(3)(x-y)(x2+xy+y2)【答案】(1)(3a+1)(a-3)=3a2-9a+a-3=3a2-8a-3(2)(2a+b)(a-2b)=2a2-4ab+ab-2b2=2a2-3ab-2b2(3)(x-y)(x2+xy+y2)=x3+x2y+xy2-x2y-xy2-y3=x3-y3【解析】首先運用多項式與多項式相乘的乘法法那么計算,最后一定注意合并同類項例題12例題12計算：【答案】①；②；③；④.【解析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法法那么即同底數(shù)冪相除,底數(shù)不變,指數(shù)相減計算即可。例題13例題13計算(1)(x-2y)5÷(2y-x)2(2)(-a)5÷a2(3)(-ab)4÷(-a2b2)【答案】(1)(x-2y)5÷(2y-x)2=)(x-2y)5÷(x-2y)2=(x-2y)5-2=(x-2y)3(2)(-a)5÷a2=-a5÷a2=-a3(3)(-ab)4÷(-a2b2)=(ab)4÷[-(ab)2]=-(ab)4-2=-(ab)2=-a2b2例題14【解析】底數(shù)不同,通過冪的乘方符號法那么轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪,再根據(jù)同底數(shù)冪的除法法那么進行計算例題14假設(shè)式子(x-2)0有意義,求x的取值范圍【答案】x-2≠0,x≠2【解析】由零指數(shù)冪的意義可知,只要底數(shù)不等于零即可例題15例題15ax=6,ay=2,求ax-y,a2x-y.【答案】ax-y=ax÷ay=6÷2=3a2x-y=a2x÷ay=(ax)2÷ay=62÷2=36÷2=18【解析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法的逆用及冪的乘方法那么即可計算出結(jié)果例題16例題16假設(shè),求的值.【答案】∵32﹒(32)2a+1÷(33)a+1=32﹒34a+2÷33a+3=32+4a+2-3a-3=3a+1=81=34∴a+1=4∴a=3【解析】等式左邊底數(shù)都不相同,首先轉(zhuǎn)化成同底數(shù)冪的形式,再根據(jù)同底數(shù)冪的乘法和除法法那么進行計算,等式右邊轉(zhuǎn)化成與左邊同底數(shù)的形式列出等量關(guān)系解答出結(jié)果。四、課堂運用四、課堂運用根底根底1、計算：〔1〕；〔2〕；〔3〕2、計算：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕3、計算：〔1〕；〔2〕；〔3〕答案與解析【答案】1解：〔1〕〔2〕〔3〕2解：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕3解：〔1〕〔2〕〔3〕提升提升1、計算：〔1〕；〔2〕2、計算〔1〕；〔2〕3、計算：答案與解析【答案】1解：〔1〕2〕〔2〕3拔高拔高1、計算：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕2、計算：〔1〕；〔2〕；〔3〕〔用簡便運算〕3、計算：〔1〕；〔2〕答案與解析【答案】1、解：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕2、解：〔1〕〔2〕〔3〕3、解：〔1〕〔2〕五、課堂小結(jié)五、課堂小結(jié)1.同底數(shù)冪的乘法法那么：同底數(shù)冪相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相加,即am﹒an=am+n〔m,n都是正整