基本不等式教學(xué)設(shè)計

《基本不等式》教學(xué)設(shè)計張中華教材：人教版《一般中學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)試驗教科書·數(shù)學(xué)（A版）》必修5課題：3.4基本不等式（第一課時）一、教材分析《基本不等式》是中學(xué)教材人教A版必修五第三章第三節(jié)的內(nèi)容，是《不等式》這一章中繼一元二次不等式、簡潔線性規(guī)劃之后，從幾何背景（趙爽的弦圖）中抽離出的基本結(jié)論，是證明其他不等式成立的重要依據(jù)，也是求解最值問題的有力工具之一。就本章的編寫而言，教材講究從直觀性上學(xué)習(xí)，留意每個數(shù)學(xué)模型引領(lǐng)數(shù)學(xué)思想的教材編排暗線，并且都體現(xiàn)出遵循從幾何背景入手，強調(diào)數(shù)形結(jié)合思想。本節(jié)內(nèi)容在此基本上滲透不等式的證明方法（比較法、綜合法、分析法），并且會在后續(xù)學(xué)習(xí)時再次得到加強?；静坏仁降膶W(xué)時支配是3課時，它涉與基本不等式的推導(dǎo)教學(xué)和求解最值問題兩大部分。本節(jié)課是基本不等式教學(xué)的第一課時，其主要學(xué)習(xí)任務(wù)是通過趙爽弦圖中面積的直觀比較、抽象概括，提煉出不等式。在此基礎(chǔ)上，通過演繹替換、證明探究、數(shù)形結(jié)合與實際應(yīng)用等四種不同的角度引導(dǎo)學(xué)生相識基本不等式。其中基本不等式的證明是從代數(shù)、幾何多方面綻開，既有邏輯推理，又有直觀的幾何說明，使學(xué)生充分運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，進一步培育其抽象概括實力和推理論證實力。這就使得不等式的證明成為本節(jié)課的核心內(nèi)容。二、教學(xué)重難點教學(xué)重點：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式，并從不同角度探究基本不等式的證明過程。教學(xué)難點：從不同角度探究基本不等式的證明，能利用基本不等式的模型求解函數(shù)最值。三、教學(xué)目標(biāo)《課程標(biāo)準(zhǔn)》對本節(jié)課的要求有以下兩條：=1\*GB3①探究并了解基本不等式的證明過程；=2\*GB3②會用基本不等式解決簡潔的最值問題。依據(jù)《課標(biāo)》要求和本節(jié)教學(xué)內(nèi)容，并考慮學(xué)生的接受實力，我將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)確定為：1、學(xué)問與實力目標(biāo)：理解駕馭基本不等式，并能運用基本不等式解決一些簡潔的求最值問題；理解算數(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的概念，學(xué)會構(gòu)造條件運用基本不等式；培育學(xué)生探究實力以與分析問題解決問題的實力。2、過程與方法目標(biāo)：依據(jù)創(chuàng)設(shè)情景，提出問題→剖析歸納證明→幾何說明→應(yīng)用（最值的求法、實際問題的解決）的過程呈現(xiàn)。啟動視察、分析、歸納、總結(jié)、抽象概括等思維活動，培育學(xué)生的思維實力，體會數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)方法，通過運用多媒體的教學(xué)手段，引領(lǐng)學(xué)生主動探究基本不等式性質(zhì)，體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)規(guī)律的方法，體驗勝利的樂趣。3、情感與看法目標(biāo)：通過問題情境的設(shè)置，使學(xué)生相識到數(shù)學(xué)是從實際中來，培育學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看世界，通過數(shù)學(xué)思維認(rèn)知世界，從而培育學(xué)生擅長思索、勤于動手的良好品質(zhì)。四、學(xué)生學(xué)情分析學(xué)生在此之前已經(jīng)具備了平面幾何的基本學(xué)問，駕馭了不等式的基本性質(zhì)和比較法證明不等式。在學(xué)習(xí)本節(jié)課前盡管學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的最值問題以與不等式的性質(zhì)和解法，但對于用不等式模型來解決問題與基本不等式的各種幾何背景學(xué)生還是有一些困難，一時很難接受；從重要不等式到基本不等式的簡潔結(jié)構(gòu)使得變量范圍是從全體實數(shù)變更為正實數(shù)，很不好理解；對于變量存在和或者積為定值也需細致視察，在整體的變更過程中取最值是整體與局部的數(shù)學(xué)思想簡潔忽視。另外，教材中提出探究基本不等式的幾何說明須要學(xué)生具備良好的邏輯推理實力，而且圖形中線段間的關(guān)系也比較隱藏，不易被發(fā)覺。因此，我認(rèn)為本節(jié)課的教學(xué)難點為：從不同角度探究基本不等式的證明，能利用基本不等式的模型求解函數(shù)最值。五、教學(xué)策略分析本節(jié)課采納探究式課堂教學(xué)模式，即在教學(xué)過程中，在老師的引導(dǎo)下，以學(xué)生的自主探究與合作溝通為前提，以問題為導(dǎo)向設(shè)計教學(xué)情境，以“基本不等式的發(fā)覺與證明”為基本探討內(nèi)容，為學(xué)生供應(yīng)自由表達、質(zhì)疑、探究、探討問題的機會，讓學(xué)生在學(xué)問的形成、發(fā)展過程中綻開思維，逐步提高學(xué)生發(fā)覺問題、探究問題、解決問題的實力。六、教學(xué)過程設(shè)計1、創(chuàng)設(shè)情境國際數(shù)學(xué)家大會被譽為是數(shù)學(xué)界的奧林匹克盛會，每次大會上都會宣布菲爾茲獎獲獎名單。諾貝爾獎中唯獨沒有設(shè)置數(shù)學(xué)獎，而菲爾茲獎被譽為國際數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎。迄今為止已有兩位華人數(shù)學(xué)家獲此殊榮，第一位是美籍華人丘成桐教授，在班會中我們曾傾聽過他的演講，其次位是澳洲華裔數(shù)學(xué)家陶哲軒。在2002年國際數(shù)學(xué)家大會來到北京，請看大會會標(biāo)。會標(biāo)依據(jù)三國時期吳國數(shù)學(xué)家趙爽用于證明“勾股定理”的弦圖設(shè)計，顏色的明暗使它看上去像一個風(fēng)車，代表中國人民熱忱好客。下面請同學(xué)們思索以下問題。2、公式引讀問題1：會標(biāo)中含有怎樣的幾何圖形？學(xué)生一樣回答三角形和正方形問題2：你能否在這個圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系？學(xué)生們開動腦筋，找到很多相等關(guān)系與不等關(guān)系，下面我們從圖形面積角度量化探討“四個直角三角形面積小于大正方形面積”這一不等關(guān)系。生1：，得；生2：，得。問題3：四個直角三角形面積與大正方形面積什么時候?qū)崿F(xiàn)相等？生1：時(從數(shù)的角度)生2：中間小正方形四點合一時(從形的角度)兩位同學(xué)分別從數(shù)與形的角度給出結(jié)論，老師利用幾何畫板變更弦圖中兩直角邊的長度，展示運動變更的弦圖，請學(xué)生進一步視察體會?！驹O(shè)計意圖】介紹國際數(shù)學(xué)家大會以與趙爽的相關(guān)背景，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價值，滲透愛國主義教化。提出弦圖中面積間的不等關(guān)系，體會相對關(guān)系與不等關(guān)系的辯證統(tǒng)一，呈現(xiàn)趙爽弦圖的構(gòu)圖奇妙、精致，體現(xiàn)數(shù)與形的完備統(tǒng)一，讓學(xué)生對弦圖的相識清楚、完整。同時通過運動變更將直觀的面積關(guān)系轉(zhuǎn)化為隱含的數(shù)值關(guān)系。【歸納】對于兩直角邊，有，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。問題4：上式對正實數(shù)是成立的，則對隨意實數(shù)，上式都成立嗎？請證明自己的結(jié)論。（請學(xué)生自主探究完成證明，學(xué)生比較自然的想到用“比較法”證明。老師利用投影儀展示學(xué)生的完整證明過程。強調(diào)和兩種狀況，說明“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義。）【歸納】由圖形中面積間的不等關(guān)系，我們發(fā)覺了兩實數(shù)間的這一事實：對隨意實數(shù)，有，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立?！驹O(shè)計意圖】問題4給學(xué)生供應(yīng)思維發(fā)展的空間，讓學(xué)生從對學(xué)問的直觀感知上升到理性證明，既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)問發(fā)生發(fā)展的過程與其嚴(yán)謹(jǐn)性，又鞏固了證明不等式的基本方法，為后續(xù)證明基本不等式做鋪墊。在此過程中給學(xué)生供應(yīng)了一種探討思路：由圖形中的不等關(guān)系可以獲得相應(yīng)實數(shù)間的一些不等式，滲透數(shù)形結(jié)合思想。問題5：對于上式，假如,用代替，代替可得到什么結(jié)論？，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立。問題6：請用不等式的性質(zhì),證明這個不等式。方法一：作差比較或由綻開證明。方法二：分析法（完成課本填空）設(shè)計依據(jù)：課本是學(xué)生了解世界的窗口和工具，所以，課本必需成為學(xué)生賴以學(xué)會學(xué)習(xí)的文本。在教學(xué)中要讓學(xué)生學(xué)會細致看書、專心思索，養(yǎng)成講講議議、動手動筆、細致視察、專心體會的好習(xí)慣，真正學(xué)會讀“數(shù)學(xué)書”。要證①只要證②要證②,只要證③要證③,只要證④明顯,④是成立的。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,④中的等號成立?！練w納】證明方法叫做分析法，事實上是找尋結(jié)論的充分條件，執(zhí)果索因的一種思維方法。【設(shè)計意圖】激發(fā)學(xué)生的思維，使其從多角度發(fā)覺不等式與不等式的內(nèi)在聯(lián)系，相識到它們是對同一個事實的兩種不同描述，其本質(zhì)是一樣的。同時也能促進學(xué)生形成對學(xué)習(xí)進行反思的意識與習(xí)慣。此處的證明由學(xué)生獨立完成，相互溝通，并展示不同的證明方法，這樣既能使不同認(rèn)知基本的學(xué)生暴露出不同的問題，并加以解決，又能教會學(xué)生觀賞同伴身上的閃光點，發(fā)揚合作精神。3、公式構(gòu)想【歸納】通常我們把不等式，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號。稱為基本不等式。我們把叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)?；静坏仁轿淖?jǐn)⑹鰹椋簝蓚€正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)?；静坏仁綄嵸|(zhì)反映的是兩個正數(shù)的和與積之間的不等關(guān)系?！具^渡】從代數(shù)的角度我們證明白基本不等式，事實上，在很多幾何圖形中也都蘊含著基本不等式，下面就讓我們回來到直觀圖形進一步理解基本不等式?！締栴}7】你能用這個圖得出基本不等式的幾何說明嗎如圖,點C是AB上一點,AC=a，BC=b，以AB為直徑作圓,O為圓心，過點C作垂直于AB的弦DC,連接AD、BD、OD。①如何用a,b表示OD②如何用a,b表示CD③OD與CD的大小關(guān)系怎樣(請學(xué)生合作探究完成，并展示說明：生1：直角三角形中，斜邊大于直角邊；生2：在直角三角形中，斜邊上的中線不小于斜邊的高。生3：在圓中，半徑不小于半弦。)【設(shè)計意圖】通過對圖形的探究多角度說明基本不等式的幾何意義，由于學(xué)生對問題的分解實力不足，不知如何入手探究，并且表示的線段與其幾何意義學(xué)生不易發(fā)覺。為了幫助學(xué)生，我將問題7分解為三個小問題，從運動變更的角度幫助學(xué)生視察、歸納。一方面，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)結(jié)合的基本思想；另一方面，培育學(xué)生從運動變更的角度思索問題、解決問題的實力，多角度相識基本不等式的幾何說明。【過渡】基本不等式體現(xiàn)的是兩個正數(shù)的和與積之間的不等關(guān)系，這在解決實際問題中有著廣泛應(yīng)用，是解決最值問題的有力工具。4、公式活用例1：(1)用籬笆圍成一個面積為100m2的矩形菜園,問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？（請學(xué)生嘗試完成，并表述解題過程，老師板書。強調(diào)能取得最小值的緣由與等號成立的條件。老師歸納：依據(jù)基本不等式發(fā)覺，兩個正數(shù)積為定值時，和存在最小值。）(2)用一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形菜園的長和寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？（請學(xué)生嘗試完成，并表述解題過程，老師板書。強調(diào)能取得最大值的緣由與等號成立的條件。老師歸納：依據(jù)基本不等式發(fā)覺，兩個正數(shù)和為定值時，積存在最大值。）【設(shè)計意圖】本題是基本不等式在實際問題中的簡潔應(yīng)用，一方面，讓學(xué)生知道可以利用基本不等式求解最大（?。┲档膯栴}；另一方面，強化學(xué)生對基本不等式的理解，特殊是等號成立的條件，同時培育學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣，具備反思的意識，也為后續(xù)提出“一正，二定，三相等”做鋪墊。5、課堂小結(jié)（1）本節(jié)課我們學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是什么（2）在應(yīng)用基本不等式時，須要留意哪幾點？（3）在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，運用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？（請學(xué)生發(fā)言，并相互補充，老師點評即可。老師可適當(dāng)總結(jié)本節(jié)課所應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想與方法。）【總結(jié)提升】本節(jié)課我們從幾何圖形中發(fā)覺重要不等式，并抽象出基本不等式，又從代數(shù)的角度證明白基本不等式的正確性，并回來到圖形中理解了基本不等式的幾何意義。這是一個由形到數(shù)又到形的過程，數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想在此得到了淋漓盡致的體現(xiàn)。理論聯(lián)系實際方顯基本不等式的強大作用